1、易拉罐的優(yōu)化設(shè)計(jì)孟苓輝（北京交通大學(xué) 數(shù)學(xué)系 信息與計(jì)算科學(xué) 0702班）摘要： 我們對日程生活中常用的易拉罐測量不難發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)易拉罐都是同樣的尺寸和設(shè)計(jì)，容積都在355ml左右，不難發(fā)現(xiàn)易拉罐的設(shè)計(jì)有一定的規(guī)律，其實(shí)這里面也蘊(yùn)藏著數(shù)學(xué)的最優(yōu)化思想。不考慮其它因素，僅就易拉罐形狀和尺寸變化，考慮其基本用料最省的數(shù)學(xué)結(jié)論，這樣對實(shí)際易拉罐的設(shè)計(jì)有一定參考意義，所以我們的目的是在一定的體積條件下，運(yùn)用最優(yōu)化思想使我們所用的材料最省，即求表面積最小時(shí)易拉罐的各個(gè)參數(shù)大小。先通過測量實(shí)際355ml易拉罐的各部分?jǐn)?shù)據(jù)，以該數(shù)據(jù)為參考，我們分別假設(shè)易拉罐為一個(gè)正圓柱體，通過數(shù)學(xué)極值思想算出大體數(shù)據(jù)，再考

2、慮實(shí)際，假設(shè)易拉罐是由一個(gè)正圓臺(tái)和一個(gè)正圓柱組成，再通過數(shù)值分析及空間幾何的知識(shí)列出優(yōu)化模型，再通過數(shù)學(xué)軟件求解進(jìn)行優(yōu)化求解，得出結(jié)論。最后從其他角度（美學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)）方面對易拉罐設(shè)計(jì)進(jìn)行了大膽的創(chuàng)新設(shè)想，并對模型進(jìn)行改進(jìn)求解，綜合分析進(jìn)行最優(yōu)設(shè)計(jì)。關(guān)鍵詞： 易拉罐；最優(yōu)設(shè)計(jì)；數(shù)學(xué)模型；數(shù)學(xué)軟件；極值Optimized Design of Cans Shape and SizeLing hui MengAbstract: Our schedule of life measurement commonly used in cans is not difficult to find that mos

3、t of the cans are the same size and design are in 355ml volume is about the design of cans is not difficult to find a certain pattern, in fact, it is also hidden inside the mathematics of the most Optimization of thinking. Without considering other factors, just from the shape and size of cans chang

4、e, considering the basic materials of the province of the mathematical conclusion, so that the design of the actual cans have a certain reference value, so our aim is to a certain size conditions, the use of optimization thinking so that the materials we use most provinces, namely, the surface area

5、seeking the most hours of the various parameters of the size of cans. First by measuring the actual 355ml cans of the various parts of data to the data as a reference, we assume that cans were positive for a cylinder, through mathematics in general the data calculated extreme ideology, and then cons

6、ider the actual, assuming cans is a perfect circle desk and a positive cylindrical form, and through numerical analysis and knowledge of space geometry optimization model are listed, and then optimized by solving mathematical software solving, draw a conclusion. Finally from the other perspective (a

7、esthetic, economic) aspects of the design of the cans bold innovative ideas, and improve the model solution, a comprehensive analysis of optimal designKeywords: cans; optimal design; mathematical model; mathematical software; extra在現(xiàn)在的飲料市場，我們只要稍加留意就會(huì)發(fā)現(xiàn)銷量很大的飲料 (例如飲料量為355毫升的可口可樂、青島啤酒等) 的飲料罐(即易拉罐)的形狀和尺

8、寸幾乎都是一樣的。這是不是偶然呢？顯然，這不是一個(gè)偶然的，這應(yīng)該是某種意義下的最優(yōu)設(shè)計(jì)。當(dāng)然，對于單個(gè)的易拉罐來說，這種最優(yōu)設(shè)計(jì)可以節(jié)省的錢可能是很有限的，但是如果是生產(chǎn)幾億，甚至幾十億個(gè)易拉罐的話，可以節(jié)約的錢就很可觀了?，F(xiàn)在就讓我們一起來研究易拉罐的形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計(jì)問題。具體說，我們應(yīng)該完成以下的任務(wù)：取一個(gè)飲料量為355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可樂飲料罐，測量所需要的數(shù)據(jù)，例如易拉罐各部分的直徑、高度，厚度等，并把數(shù)據(jù)列表加以說明；先設(shè)易拉罐是一個(gè)正圓柱體,然后建立模型求解，對易拉罐的參數(shù)有個(gè)整體把握，求出半徑和高之比，等等。再設(shè)易拉罐的上面部分是一個(gè)正圓臺(tái)，下面部分是一個(gè)

9、正圓柱體，建立模型求解，做出關(guān)于易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計(jì)。1、 問題的提出 隨著科技的發(fā)展與社會(huì)的進(jìn)步，工業(yè)競爭也日趨激烈，我國每年生產(chǎn)上百億個(gè)易拉罐，生產(chǎn)同樣容積的易拉罐，我們要使我們的成本用料最少，這樣我們才能在競爭中占據(jù)優(yōu)勢，使我國在激烈的國際競爭中立于不敗之地，為此，我們對易拉罐在形狀和尺寸上進(jìn)行最優(yōu)化設(shè)計(jì)，經(jīng)過思考提出一下問題：1) 先對形狀設(shè)計(jì)分析，通過模型求解說明為什么選擇圓柱體是最優(yōu)設(shè)計(jì)。2) 取一個(gè)容積為355毫升的易拉罐，測量驗(yàn)證模型所需的數(shù)據(jù)；3) 設(shè)易拉罐是一個(gè)正圓柱體。確定它的最優(yōu)設(shè)計(jì)。其結(jié)果是否可以合理地說測量的易拉罐的形狀和尺寸。4) 從實(shí)際角度出發(fā)，設(shè)易拉罐的

10、上面部分是一個(gè)正圓臺(tái)，下面部分是一個(gè)正圓柱體。確定它的最優(yōu)設(shè)計(jì)。其結(jié)果是否可以合理地說明所測量的易拉罐的形狀和尺寸。5) 利用對所測量的易拉罐的思考和想象，做出關(guān)于易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計(jì)。 6) 進(jìn)一步從其他角度去分析改進(jìn)，使易拉罐的設(shè)計(jì)更符合消費(fèi)者的觀念和需求，使易拉罐生產(chǎn)者和消費(fèi)者達(dá)到雙贏的目的。 2、基本假設(shè) 1）本文研究易拉罐在體積一定的條件下，求使所用面積最小的最優(yōu)化問題，不考慮所用具體材料，也不考慮易拉罐的制造工藝過程。2）第一步先假設(shè)易拉罐形狀為正圓柱體，通過拉格朗日極值法算得最優(yōu)化數(shù)據(jù)，第二步則從實(shí)際考慮易拉罐形狀為正圓臺(tái)與正圓柱體的結(jié)合。3）問題中假設(shè)易拉罐的形狀為嚴(yán)格的

11、幾何形狀，除頂蓋比較厚之外，罐的其他部位的材料厚度是相同的。4）易拉罐的厚度均勻的，且遠(yuǎn)小于它的高度和半徑。5）實(shí)際測量允許有一定的誤差。3、符號(hào)說明1）假設(shè)易拉罐為正圓柱體時(shí)的符號(hào) h：易拉罐的高；r：易拉罐的上下底半徑；d：易拉罐金屬板的厚度；V：易拉罐的體積；D：易拉罐上下底直徑。2）假設(shè)易拉罐為正圓柱體與正圓臺(tái)的的結(jié)合時(shí)的符號(hào)說明 R：易拉罐的正圓柱體半徑（也是正圓臺(tái)下底半徑）；h：易拉罐正圓臺(tái)的高；V1：易拉罐正圓柱體容積；V：易拉罐正圓臺(tái)的容積；h1:易拉罐正圓柱體高；r：易拉罐正圓臺(tái)上底半徑。4、模型的建立與求解 4.1形狀設(shè)計(jì)分析： 為什么生活中的易拉罐都是圓柱形的呢？下面我們

12、選取集合中最常見的正方體、球體、圓柱體為研究對象，當(dāng)體積一定時(shí)，判斷以上哪種最省材料。 1) 正方體： 2）球體： 3）圓柱體（h=2r）： 顯而易見:當(dāng)體積一定時(shí)，由以上結(jié)論可知： 但在實(shí)際生產(chǎn)中為什么不采用球體呢，通過查閱相關(guān)資料和參觀實(shí)際，得出以下幾點(diǎn)： （1）球體外包括的體積太大；（2）不便于攜帶和擺放；（3）制造困難，而采用圓柱體，包括占有的空間體積較小，便于攜帶，制造相對簡單，因此生產(chǎn)商多選用圓柱體。 4.2第一個(gè)模型的建立通過查閱相關(guān)資料，獲得355ml易拉罐的各種數(shù)據(jù)如表1.355毫升可口可樂上圓臺(tái)上底59蓋厚0.30下底65上圓臺(tái)側(cè)后0.17高度12正圓柱直徑65壁厚0.10

13、高度104下圓臺(tái)上底50底厚0.30下底65下圓臺(tái)測厚0.30高度8在本問題的研究中，假設(shè)易拉罐是一個(gè)正圓柱體，見下圖，并假設(shè)易拉罐側(cè)面和底面厚度相同，由上面的數(shù)據(jù)觀察，假設(shè)頂部的厚度是側(cè)面厚度的3倍，那么易拉罐的最優(yōu)設(shè)計(jì)就是使每個(gè)易拉罐用料最少，也就是在體積一定的易拉罐中，使正圓柱體的表面積最小。所以一個(gè)易拉罐所需材料為：S=側(cè)面的材料+底面的材料+底部的材料，即假設(shè)易拉罐的體積V一定，則所需材料為對該模型求解，有是s(r)的最小值點(diǎn)。此時(shí)，易拉罐的直徑：D=2r=2易拉罐的高上述模型及其求解得到的結(jié)論是：在正圓柱體易拉罐體積一定時(shí)，當(dāng)高與直徑之比為2：1時(shí)，易拉罐的用料最省。即，為考慮用料

14、最少，正圓柱體易拉罐的高與直徑之比為2：1是最優(yōu)設(shè)計(jì)，次結(jié)果正好符合實(shí)際大多數(shù)易拉罐的形狀和尺寸，如我們所測的355毫升的可口可樂易拉罐如青島啤酒、百事可樂等它們的比例都如此。又如，180毫升的雀巢咖啡高10.5mm，直徑54mm（比例為2：1.02）通過這個(gè)假設(shè)的理想模型，我們得知易拉罐的高與直徑的比大體是2：1，可以為后面的研究提供一定的參考與依據(jù)。4.3 第二個(gè)模型的建立：下面我們假設(shè)易拉罐上面是正圓臺(tái)，下面是正圓柱體，如下圖，在（1）中，正圓柱體易拉罐用料最省的形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計(jì)是h=2D，已確定了圓柱形易拉罐的基本尺寸，若易拉罐體積一定，則基本的高與半徑可大致確定，即易拉罐的圓柱部

15、分確定，所以我們這里可以由此簡化問題為研究正圓臺(tái)部分的優(yōu)化設(shè)計(jì)。 我們不妨以常見的355ml易拉罐為例，易拉罐可取定R=32mm,h1=110mm，于是測算出V=35ml。于是問題轉(zhuǎn)化為，已知易拉罐上部正圓臺(tái)體積V一定，底半徑R一定時(shí)，其上底半徑r和高h(yuǎn)為何值正圓臺(tái)的表面積最小，見下圖： 求正圓臺(tái)的面積模型： 正圓臺(tái)面積=頂蓋面積+圓臺(tái)側(cè)面積 根據(jù)圓臺(tái)體積公式有，即，將h帶入面積公式S，有利用Mathematic對S求導(dǎo)，并令導(dǎo)數(shù)為0，求得當(dāng)S取最小值時(shí)，得r=1.467,h=1.93時(shí)，正圓臺(tái)表面積最小值s=45.074.4 兩個(gè)模型的結(jié)論通過上面的兩個(gè)模型，我們可以得出結(jié)論： 常見的正圓臺(tái)

16、與正圓柱體結(jié)合的易拉罐，只考慮形狀和尺寸變化用料最少的優(yōu)化設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)是： 總高度與底直徑之比為2：1 正圓臺(tái)的高與上底直徑之比約為2：3，相應(yīng)的易拉罐上下底直徑之比為2r:2R=1:25、模型的分析與改進(jìn) 5.1模型分析上述模型不考慮其他因素，僅就易拉罐形狀和尺寸變化，考慮其基本用料最省的數(shù)學(xué)結(jié)論，對實(shí)際易拉罐的設(shè)計(jì)有一定參考意義。但上述結(jié)果與現(xiàn)今實(shí)際易拉罐的尺寸有出入，以355ml百事可樂易拉罐為例，其r=2.9cm,h=1.2cm，我們分析這種差異的原因是易拉罐的實(shí)際設(shè)計(jì)必須要考慮形狀和尺寸之外的其他各種因素。 1）加工工藝?？煽诳蓸返蠕X制易拉罐是“兩片”構(gòu)成(即正圓柱體側(cè)面及底為一部分，上

17、密封蓋為一部分，分別簡稱為“罐體”和“封蓋”)。將鋁材罐體縮口形成上部圓臺(tái)部分，為了使“封口蓋”能扣緊“罐體”。圓臺(tái)側(cè)面的坡度(斜率)有一定要求，即為了封口蓋的工藝要求，易拉罐上部側(cè)面的(坡度)不能過小。因?yàn)槿魊較小，較小，即圓臺(tái)側(cè)面坡度小，則從圓罐上口“縮口”成圓臺(tái)形時(shí)，此加工也增加難度(如容易起皺)。 2）外形美觀。按上述數(shù)學(xué)優(yōu)化計(jì)算，易拉罐上下底直徑之比1：2，雖然材料省，但上底開口小，形狀就不美觀。按“黃金分割比例”我們設(shè)想，對于正圓柱體易拉罐的高與直徑之比取1：04，例如椰汁易拉罐高132mm，直徑52mm，其比例恰好為1：04。從外觀上看，這種易拉罐更顯得條形、別致。3）考慮焊口工

18、作量大小，我們盡可能使焊口工作量最小，這樣使生產(chǎn)者成本更低。4）從消費(fèi)者的手感考慮，易拉罐要能夠握住，半周長小于手長且越小越容易被更多的人握住，高大于手寬。5.2模型改進(jìn)通過對模型的分析我們設(shè)計(jì)新型易拉罐需滿足一下原則：節(jié)省材料原則，焊接口工作量最小原則，美觀原則，把握方便原則，同時(shí)最優(yōu)設(shè)計(jì)應(yīng)該使所用鋁合金體積W小于現(xiàn)在所用易拉罐的體積。第一目標(biāo)：（材料最少） 第二目標(biāo)：（焊接口工作量最小） 第三目標(biāo)：（越接近0.618越美觀） 第四目標(biāo)：（越小越易被人握?。?單獨(dú)以各個(gè)目標(biāo)為目標(biāo)函數(shù)，用LINGO8.0變成求解得，結(jié)果如下表所示： 不同原則下的易拉罐尺寸（長度：cm;面積：，體積：） 各目標(biāo)

19、最小值各目標(biāo)最大值第一目標(biāo)2.4922.6223.6747.4810.6400.5904.6355.067第二目標(biāo)1.8783.2363.6098.3460.0000.36488.08793.787第三目標(biāo)2.7612.6223.8904.2242.1712.31500.0309第四目標(biāo)3.0743.2343.24410.6230.1130.0083.2444.052以上是四種不同目標(biāo)下的易拉罐設(shè)計(jì)，各生產(chǎn)商自身的特點(diǎn)（目標(biāo)主次），選用適合的易拉罐設(shè)計(jì)，比如某飲料廠的消費(fèi)者更偏于兒童，則就可選擇目標(biāo)四的設(shè)計(jì)，總之，綜合考慮各原則的易拉罐，根據(jù)自身特點(diǎn)，選擇適合自己的設(shè)計(jì)方案。6、模型的評價(jià)與總結(jié) 對2）中，我們是對易拉罐查閱相關(guān)資料，并根據(jù)有關(guān)手冊，得到各種體積的易拉罐各數(shù)據(jù)，得到厚度比，然后假設(shè)一個(gè)簡單的模型，對該模型求解，得到大致的直徑與高度的比例，對3）中，我們作了更加進(jìn)一步的考慮，將問題轉(zhuǎn)化為正圓柱體部分一定考慮正圓臺(tái)的尺寸優(yōu)化設(shè)計(jì)，這種簡化有依據(jù)，有合理性，但得出的數(shù)學(xué)結(jié)果與易拉罐實(shí)際數(shù)據(jù)有明顯差別。得出常見的正圓臺(tái)與正圓柱體結(jié)合的易拉罐，只考慮形狀和尺寸變化用料最少的優(yōu)化設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)是： 1）總高度與底直徑之比為2：1 2）正圓臺(tái)的高與上底直徑之比約為2