1、 第五章 二次根式【知識網(wǎng)絡(luò)】知識點(diǎn)一： 二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被開方數(shù)可以是數(shù)，也可以是單項(xiàng)式、多項(xiàng)式、分式等代數(shù)式，但必須注意：因?yàn)樨?fù)數(shù)沒有平方根，所以是為二次根式的前提條件，如，等是二次根式，而，等都不是二次根式。知識點(diǎn)二：取值范圍1.    二次根式有意義的條件：由二次根式的意義可知，當(dāng)a0時，有意義，是二次根式，所以要使二次根式有意義，只要使被開方數(shù)大于或等于零即可。2.    二次根式無意義的條件：因負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根，所以當(dāng)a0時，沒有意義。知識點(diǎn)三：二次根式（）的非負(fù)性（）表示a的

2、算術(shù)平方根，也就是說，（）是一個非負(fù)數(shù)，即0（）。注：因?yàn)槎胃剑ǎ┍硎綼的算術(shù)平方根，而正數(shù)的算術(shù)平方根是正數(shù)，0的算術(shù)平方根是0，所以非負(fù)數(shù)（）的算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù)，即0（），這個性質(zhì)也就是非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的性質(zhì)，和絕對值、偶次方類似。這個性質(zhì)在解答題目時應(yīng)用較多，如若，則a=0,b=0；若，則a=0,b=0；若，則a=0,b=0。知識點(diǎn)四：二次根式（）的性質(zhì)（）文字語言敘述為：一個非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于這個非負(fù)數(shù)。注：二次根式的性質(zhì)公式（）是逆用平方根的定義得出的結(jié)論。上面的公式也可以反過來應(yīng)用：若，則，如：，.知識點(diǎn)五：二次根式的性質(zhì)文字語言敘述為：一個數(shù)的平方的算術(shù)平方根等

3、于這個數(shù)的絕對值。注：1、化簡時，一定要弄明白被開方數(shù)的底數(shù)a是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，若是正數(shù)或0，則等于a本身，即；若a是負(fù)數(shù)，則等于a的相反數(shù)-a,即；2、中的a的取值范圍可以是任意實(shí)數(shù)，即不論a取何值，一定有意義；3、化簡時，先將它化成，再根據(jù)絕對值的意義來進(jìn)行化簡。知識點(diǎn)六：與的異同點(diǎn)1、不同點(diǎn)：與表示的意義是不同的，表示一個正數(shù)a的算術(shù)平方根的平方，而表示一個實(shí)數(shù)a的平方的算術(shù)平方根；在中，而中a可以是正實(shí)數(shù)，0，負(fù)實(shí)數(shù)。但與都是非負(fù)數(shù)，即，。因而它的運(yùn)算的結(jié)果是有差別的， ，而2、相同點(diǎn)：當(dāng)被開方數(shù)都是非負(fù)數(shù)，即時，=；時，無意義，而.知識點(diǎn)七：二次根式的運(yùn)算1二次根式的乘除運(yùn)算

4、(1)運(yùn)算結(jié)果應(yīng)滿足以下兩個要求：應(yīng)為最簡二次根式或有理式；分母中不含根號.(2)注意知道每一步運(yùn)算的算理；(3)乘法公式的推廣：2二次根式的加減運(yùn)算先化為最簡二次根式，再類比整式加減運(yùn)算，明確二次根式加減運(yùn)算的實(shí)質(zhì)；3二次根式的混合運(yùn)算(1)對二次根式的混合運(yùn)算首先要明確運(yùn)算的順序，即先乘方、開方，再乘除，最后算加減，如有括號，應(yīng)先算括號里面的；(2)二次根式的混合運(yùn)算與整式、分式的混合運(yùn)算有很多相似之處，整式、分式中的運(yùn)算律、運(yùn)算法則及乘法公式在二次根式的混合運(yùn)算中也同樣適用.要點(diǎn)詮釋：怎樣快速準(zhǔn)確地進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算.1.明確運(yùn)算順序，先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號先算括號里

5、面的；2.在二次根式的混合運(yùn)算中，原來學(xué)過的運(yùn)算律、運(yùn)算法則及乘法公式仍然適用；3.在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能收到事半功倍的效果.(1)加法與乘法的混合運(yùn)算，可分解為兩個步驟完成，一是進(jìn)行乘法運(yùn)算，二是進(jìn)行加法運(yùn)算，使難點(diǎn)分散，易于理解和掌握.在運(yùn)算過程中，對于各個根式不一定要先化簡，可以先乘除，進(jìn)行約分，達(dá)到化簡的目的，但最后結(jié)果一定要化簡.例如，沒有必要先對進(jìn)行化簡，使計(jì)算繁瑣，可以先根據(jù)乘法分配律進(jìn)行乘法運(yùn)算，通過約分達(dá)到化簡目的；(2)多項(xiàng)式的乘法法則及乘法公式在二次根式的混合運(yùn)算中同樣適用.如：，利用了平方差公式.所以

6、，在進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算時，借助乘法公式，會使運(yùn)算簡化.4分母有理化把分母中的根號化去，分式的值不變，叫做分母有理化.兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，若它們的積不含二次根式，則這兩個代數(shù)式互為有理化因式.常用的二次根式的有理化因式：（1）互為有理化因式；（2）互為有理化因式；一般地互為有理化因式；（3）互為有理化因式；一般地互為有理化因式.專題總結(jié)及應(yīng)用一、知識性專題專題1 二次根式的最值問題【專題解讀】涉及二次根式的最值問題，應(yīng)根據(jù)題目的具體情況來決定應(yīng)采用的方法，不能一概而論，但一般情況下利用二次根式的非負(fù)性來求解.例1 當(dāng)x取何值時，的值最??？最小值是多少？分析 由二次根式的非負(fù)性可知的

7、最小值為0，因?yàn)?是常數(shù)，所以的最小值為3.解：，當(dāng)9x+1=0，即時，有最小值，最小值為3.【解題策略】解決此類問題一定要熟練掌握二次根式的非負(fù)性，即0（a0）.專題2 二次根式的化簡及混合運(yùn)算【專題解讀】對于二次根式的化簡問題，可根據(jù)定義，也可以利用這一性質(zhì)，但應(yīng)用性質(zhì)時，要根據(jù)具體情況對有關(guān)字母的取值范圍進(jìn)行討論.例2 下列計(jì)算正確的是 （ ）分析 根據(jù)具體選項(xiàng)，應(yīng)先進(jìn)行化簡，再計(jì)算. A選項(xiàng)中，B選若可化為，C選項(xiàng)逆用平方差公式可求得，而D選項(xiàng)應(yīng)將分子、分母都乘，得.故選A. 例3 計(jì)算的結(jié)果是 （ ）分析 本題可逆用公式（ab）m=ambm及平方差公式，將原式化為故選D.例4 書知.

8、分析 本題主要利用二次根式的定義及非負(fù)性確定x的值，但要注意所得x的值應(yīng)使分式有意義.解：由二次根式的定義及分式性質(zhì)，得【解題策略】 本題中所求字母x的取值必須使原代數(shù)式有意義.例5 化簡【解題策略】 本題應(yīng)根據(jù)條件直接進(jìn)行化簡，主要應(yīng)用性質(zhì)圖21-8例6 已知實(shí)數(shù)，a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖21-8所示，化簡解：由a，b，c在數(shù)軸上的位置可知：【解題策略】 利用間接給出的或隱含的條件進(jìn)行化簡時，要充分挖掘題目中的隱含條件，再進(jìn)行化簡.規(guī)律·方法 對于無約束條件的化簡問題需要分類討論，用這種方法解題分為以下步驟：首先，求出絕對值為零時未知數(shù)的值，這些未知數(shù)的值在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)稱為零

9、點(diǎn)；其次，以這些零點(diǎn)為分點(diǎn)，把數(shù)軸劃分為若干部分，即把實(shí)數(shù)集劃分為若干個集合，在每個集合中分別進(jìn)行化簡，簡稱“零點(diǎn)分區(qū)間法”.例8 已知分析 這是一道二次根式化簡題，在化為最簡二次根式的過程中，要注意a，b的符號，本題中沒明確告訴，a，b的符號，但可從a+b=-3，ab=12中分析得到.解：a+b=-3，ab=12，a0，b0.【解題策略】 本題最容易出現(xiàn)的錯誤就是不考慮a，b的符號，把所求的式子化簡，直接代入. 專題3 利用二次根式比較大小、進(jìn)行計(jì)算或化簡例9 估計(jì)×+的運(yùn)算結(jié)果應(yīng)在 （ ）A. 6到7之間B. 7到8之間C. 8到9之間D. 9到10之間分析 本題應(yīng)計(jì)算出所給算式

10、的結(jié)果，原式，由于，即. 故選C.例10 已知m是的整數(shù)部分，n是的小數(shù)部分，求的值. 解：91316，即34的整數(shù)部分為3，即m=3，的小數(shù)部分為二、規(guī)律方法專題專題4 配方法【專題解讀】 把被開方數(shù)配方，進(jìn)而應(yīng)用化簡.例11 化簡規(guī)律·方法 一般地，對于型的根式，可采用觀察法進(jìn)行配方，即找出x，y(xy0)，使得xy=b，x+y=a，則，于是，從而使得到化簡.例12 若a，b為實(shí)數(shù)，且b=，試求的值.分析 本題中根據(jù)b=可以求出a，b，對的被開方數(shù)進(jìn)行配方、化簡.解：由二次根式的性質(zhì)得當(dāng)【解題策略】 對于形如形式的代數(shù)式都要變?yōu)榛虻男问剑?dāng)它們作為被開方式進(jìn)行化簡時，要注意專題5

11、 換元法【專題解讀】 通過換元將根式的化簡和計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為方程問題.例13 計(jì)算解：令x=，兩邊同時平方得：x2=（）（）+2×=10專題6 代入法【專題解讀】 通過代入求代數(shù)式的值.例14 已知專題7 約分法【專題解讀】 通過約去分子和分母的公因式將第二次根式化簡.例15 化簡例16 化簡三、思想方法專題專題8 類比思想【專題解讀】 類比是根據(jù)兩對象都具有一些相同或類似的屬性，并且其中一個對象還具有另外某一些屬性，從而推出另一對象也具有與該對象相同或相似的性質(zhì).本章類比同類項(xiàng)的概念，得到同類二次根式的概念，即把二次根式化簡成最簡二次根式后，若被開方數(shù)相同，則這樣的二次根式叫做同類二

12、次根式.我們還可以類比合并同類項(xiàng)去合并同類二次根式.例17 計(jì)算.解：（1）原式=（1+2）=3. （2）原式=3-+2+2=2+4.【解題策略】 對于二次根式的加減法，應(yīng)先將各式化為最簡二次根式，再類比合并同類項(xiàng)的方法去合同類二次根式.專題9 轉(zhuǎn)化思想【專題解讀】 當(dāng)問題比較復(fù)雜難于解決時，一般應(yīng)采取轉(zhuǎn)化思想，化繁為簡，化難為易，本章在研究二次根式有意義的條件及一些化簡求值問題時，常轉(zhuǎn)化為不等式或分式等知識加以解決. 例18 函數(shù)y=中，自變量x的取值范圍是 .分析 本題比較容易，主要考查函數(shù)自變量的取值范圍的求法，本題中是二次根式，所以被開方數(shù)2x-40,所以x2.故填x2.例19 如圖2

13、1-9所示的是一個簡單的數(shù)值運(yùn)算程序，若輸入x的值為，則輸出的數(shù)值為 .圖21-9分析 本題比較容易，根據(jù)程序給定的運(yùn)算順序?qū)栴}化為二次根式求值問題，易知圖中所表示的代數(shù)式為，代入可知（）2-1=2.故填2.專題10 分類討論思想【專題解讀】 當(dāng)遇到某些數(shù)學(xué)問題存在多種情況時，應(yīng)進(jìn)行分類討論.本意在運(yùn)用公式進(jìn)行化簡時，若字母的取值范圍不確定，應(yīng)進(jìn)行分類討論.例20 若化簡的結(jié)果為，則x的取值范圍是 （ ）A. x為任意實(shí)數(shù) B. 1x4C. x1 D. x4分析 由題意可知，由此可知，且，由絕對值的意義可知，且，所以的取值范圍是.故選B.【解題策略】 對和|a|形式的式子的化簡都應(yīng)分類討論.

14、例21 如圖21-10所示的是一塊長、寬、高分別為7cm，5cm和3cm的長方體木塊，一只螞蟻要從長方體木塊的一個頂點(diǎn)A處，沿著長方體的表面爬到和頂點(diǎn)A相對的頂點(diǎn)B處吃食物，那么它要爬行的最短路徑的長是多少？分析 這是一個求最短路徑的問題，一個長方體有六個面，螞蟻有三種不同的爬行方法，計(jì)算時要分類討論各種方法，進(jìn)而確定最佳方案.解：沿前、右兩個面爬，路徑長為(cm).圖21-10沿前、上兩個面爬，路徑長為(cm).沿左、上兩個面爬，路徑長為(cm).所以它要爬行的最短路徑長為cm.規(guī)律·方法 沿表面從長方體的一個頂點(diǎn)爬到相對的頂點(diǎn)去，共有三個爬行路線，每個路線長分別是它爬行兩個展開圖

15、的對角線的長.二次根式單元測試題（一）判斷題：（每小題1分，共5分）12（）22的倒數(shù)是2（）3（）4、是同類二次根式（）5，都不是最簡二次根式（）（二）填空題：（每小題2分，共20分）6當(dāng)x_時，式子有意義7化簡÷ 8a的有理化因式是_9當(dāng)1x4時，|x4|_10方程（x1）x1的解是_11已知a、b、c為正數(shù)，d為負(fù)數(shù)，化簡_12比較大?。篲13化簡：(75)2000·(75)2001_14若0，則(x1)2(y3)2_15x，y分別為8的整數(shù)部分和小數(shù)部分，則2xyy2_（三）選擇題：（每小題3分，共15分）16已知x，則（）（A）x0（B）x3（C）x3（D）3x0

16、17若xy0，則（）（A）2x（B）2y（C）2x（D）2y18若0x1，則等于（）（A）（B）（C）2x（D）2x19化簡a0得（）（A）（B）（C）（D）20當(dāng)a0，b0時，a2b可變形為（）（A）（B）（C）（D）（四）計(jì)算題：（每小題6分，共24分）21（）（）；22 ；23 （a2）÷a2b2；24 （）÷（）（ab）（五）求值：（每小題7分，共14分）25已知x，y，求的值26.當(dāng)x1時，求的值六、 解答題：（每小題8分，共16分）27.計(jì)算（21）（）28. 若x，y為實(shí)數(shù)，且y求的值（一）判斷題：（每小題1分，共5分）1、【提示】|2|2【答案】×

17、2、【提示】（2）【答案】×3、【提示】|x1|，x1（x1）兩式相等，必須x1但等式左邊x可取任何數(shù)【答案】×4、【提示】、化成最簡二次根式后再判斷【答案】5、是最簡二次根式【答案】×（二）填空題：（每小題2分，共20分）6、【提示】何時有意義？x0分式何時有意義？分母不等于零【答案】x0且x97、【答案】2a【點(diǎn)評】注意除法法則和積的算術(shù)平方根性質(zhì)的運(yùn)用8、 【提示】（a）（_）a2a【答案】a9、【提示】x22x1（）2，x1當(dāng)1x4時，x4，x1是正數(shù)還是負(fù)數(shù)？x4是負(fù)數(shù)，x1是正數(shù)【答案】310、【提示】把方程整理成axb的形式后，a、b分別是多少？，【

18、答案】x3211、【提示】|cd|cd【答案】cd【點(diǎn)評】ab（ab0），abc2d2（）（）12、【提示】2，4【答案】【點(diǎn)評】先比較，的大小，再比較，的大小，最后比較與的大小13、【提示】(75)2001(75)2000·（_）75（75）·（75）？1【答案】75【點(diǎn)評】注意在化簡過程中運(yùn)用冪的運(yùn)算法則和平方差公式14、【答案】40【點(diǎn)評】0，0當(dāng)0時，x10，y3015、【提示】34，_8_4，5由于8介于4與5之間，則其整數(shù)部分x？小數(shù)部分y？x4，y4【答案】5【點(diǎn)評】求二次根式的整數(shù)部分和小數(shù)部分時，先要對無理數(shù)進(jìn)行估算在明確了二次根式的取值范圍后，其整數(shù)部分

19、和小數(shù)部分就不難確定了（三）選擇題：（每小題3分，共15分）16、【答案】D【點(diǎn)評】本題考查積的算術(shù)平方根性質(zhì)成立的條件，（A）、（C）不正確是因?yàn)橹豢紤]了其中一個算術(shù)平方根的意義17、【提示】xy0，xy0，xy0|xy|yx|xy|xy【答案】C【點(diǎn)評】本題考查二次根式的性質(zhì)|a|18、【提示】(x)24(x)2，(x)24(x)2又0x1，x0，x0【答案】D【點(diǎn)評】本題考查完全平方公式和二次根式的性質(zhì)（A）不正確是因?yàn)橛眯再|(zhì)時沒有注意當(dāng)0x1時，x019、【提示】·|a|a【答案】C20、【提示】a0，b0，a0，b0并且a，b，【答案】C【點(diǎn)評】本題考查逆向運(yùn)用公式a（a0）和完全平方公式注意（A）、（B）不正確是因?yàn)閍0，b0時，、都沒有意義（四）計(jì)算題：（每小題6分，共24分）21、【提示】將看成一個整體，先用平方差公式，再用完全平方公式【解】原式()252