1、概率論及數(shù)理統(tǒng)計(jì)期末必備復(fù)習(xí)資料事件的運(yùn)算律事件的運(yùn)算律交換律：交換律：結(jié)合律：結(jié)合律：分配律：分配律：對(duì)偶律對(duì)偶律De MorganDe Morgan德摩根律：德摩根律：減法：減法：;ABBAABBA()()AB CA BC()();ABCABC()()();AB CACBC()()()ABCABAC;ABAB;ABABABAB 概率：做概率：做n次重復(fù)試驗(yàn)，事件次重復(fù)試驗(yàn)，事件A發(fā)生的次數(shù)發(fā)生的次數(shù)記為記為 ，當(dāng)，當(dāng)n很大時(shí)，假設(shè)頻率很大時(shí)，假設(shè)頻率 穩(wěn)定在穩(wěn)定在常數(shù)常數(shù)P附近，那么稱附近，那么稱P為隨機(jī)事件為隨機(jī)事件A發(fā)生的概發(fā)生的概率，記作率，記作P(A)=P。概率的公理化定義：設(shè)概率

2、的公理化定義：設(shè)E是隨機(jī)試驗(yàn)，是隨機(jī)試驗(yàn)，S是樣本是樣本空間，對(duì)空間，對(duì)E的每個(gè)隨機(jī)事件的每個(gè)隨機(jī)事件A，賦予一個(gè)實(shí)，賦予一個(gè)實(shí)數(shù)數(shù)P(A)，假設(shè)它滿足：，假設(shè)它滿足：非負(fù)性：非負(fù)性：標(biāo)準(zhǔn)性：標(biāo)準(zhǔn)性： ，S為樣本空間必然事件為樣本空間必然事件可列可加性：假設(shè)事件可列可加性：假設(shè)事件 中中 那么那么那么稱那么稱P(A)為事件為事件A的發(fā)生概率。的發(fā)生概率。An/Ann( )( )()nfAP A n 0( )1P A( )=1P S12,nA AA,ijA Aij1212()()()P AAP AP A概率的性質(zhì)概率的性質(zhì)有限可加性：有限個(gè)兩兩互斥的事件有限可加性：有限個(gè)兩兩互斥的事件 那么那么

3、 是是A A的對(duì)立事件，那么的對(duì)立事件，那么 那么那么一一 ，當(dāng)，當(dāng)A A，B B互斥互斥即即 時(shí)時(shí) 推廣：推廣：12,nA AA()( )( )()P ABP AP BP AB1212()()()()nnP AAAP AP AP AA 1P AP A AB()= ( )( )P BAP BP A( )0,P( )1P S ( )1P A ()( )( )( )P ABCP AP BP C()()()P ABP ACP BC()P ABCAB()( )( )P ABP AP B預(yù)備知識(shí)：排列、組合預(yù)備知識(shí)：排列、組合分類計(jì)數(shù)原理分類計(jì)數(shù)原理( (加法原理加法原理) )：設(shè)完成一件事：設(shè)完成一件

4、事有有k k類方法，每類分別有類方法，每類分別有 種方法種方法，那么完成這件事情共有，那么完成這件事情共有 種種方法方法. .分步計(jì)數(shù)原理分步計(jì)數(shù)原理( (乘法原理乘法原理) )：設(shè)完成一件事：設(shè)完成一件事有有k k個(gè)步驟，第一步有個(gè)步驟，第一步有 種方法，種方法，,第第k k步步有有 種方法，那么完成這件事情共有種方法，那么完成這件事情共有 種方法種方法. .排列：從排列：從n n個(gè)不同元素中取出個(gè)不同元素中取出m m個(gè)元素，按個(gè)元素，按一定次序排成一列一定次序排成一列. . 排列數(shù)：從排列數(shù)：從n n個(gè)不同元素中取出個(gè)不同元素中取出m m個(gè)元素個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)記為的所有排列的個(gè)數(shù)記為

5、注：注：(1)(1)mnAn nnm0! 112,km mm12kmmm12kmmmkm1m!()!nnm11,mmnnAnA,mnA等可能概型古典概型等可能概型古典概型組合：組合：從從n個(gè)不同元素中取出個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素并成個(gè)元素并成一組一組( (與順序無(wú)關(guān)與順序無(wú)關(guān)).). 組合數(shù)：從組合數(shù)：從n個(gè)不同元素中取出個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，記為所有組合的個(gè)數(shù)，記為,mnCmnC!()!nm nm!mnAm(1)(1)!n nnmm等可能概型古典概型等可能概型古典概型定義：具有以下性質(zhì)的隨機(jī)試驗(yàn)稱為等可定義：具有以下性質(zhì)的隨機(jī)試驗(yàn)稱為等可能概型能概型試驗(yàn)的樣本空間

6、的元素只有有限個(gè)試驗(yàn)的樣本空間的元素只有有限個(gè)試驗(yàn)中每個(gè)根本領(lǐng)件發(fā)生的可能性一樣試驗(yàn)中每個(gè)根本領(lǐng)件發(fā)生的可能性一樣等可能概型中事件概率的計(jì)算公式：等可能概型中事件概率的計(jì)算公式： n n為隨機(jī)試驗(yàn)的總的結(jié)果數(shù)，即樣本點(diǎn)為隨機(jī)試驗(yàn)的總的結(jié)果數(shù)，即樣本點(diǎn)的總數(shù)，的總數(shù)，k k為事件為事件A A包含的結(jié)果數(shù)。包含的結(jié)果數(shù)。 kP An定義：事件定義：事件A A已發(fā)生的條件下事件已發(fā)生的條件下事件B B發(fā)生的發(fā)生的概率，稱為條件概率，記為概率，稱為條件概率，記為P(B|A)P(B|A)。例例 將一枚硬幣拋擲兩次，觀察其出現(xiàn)正面將一枚硬幣拋擲兩次，觀察其出現(xiàn)正面的情況，設(shè)的情況，設(shè)A=A=至少有一次為正

7、面至少有一次為正面HH，B=B=兩次擲出同一面兩次擲出同一面 ，求，求P(B|A)P(B|A)解：樣本空間解：樣本空間S=HH,HT,TH,TT,A=HH,HT,TH, S=HH,HT,TH,TT,A=HH,HT,TH, B=HH,TTB=HH,TT。那么可得：。那么可得： P(B|A) P(B|A)1/31/3條件概率的計(jì)算公式：條件概率的計(jì)算公式：ABA中包含的基本事件中包含的基本事件 |P ABP BAP A條件概率條件概率乘法定理：設(shè)乘法定理：設(shè)P(A)0P(A)0，那么有，那么有P(AB)=P(B|A)P(A)P(AB)=P(B|A)P(A)推廣：推廣：P(AB)0P(AB)0，那么

8、有，那么有P(ABC)=P(C|AB)P(AB)P(ABC)=P(C|AB)P(AB) = P(C|AB) = P(C|AB) P(B|A)P(A)P(B|A)P(A)設(shè)設(shè) 為為n n個(gè)事件個(gè)事件 ，且，且121()0nP A AA12,nA AA(2)n 12121121()(|) ()nnnnP A AAP AA AAP A AA1211122211(|,) (|,)(|) ()nnnnP AA AAP AA AAP AA P A全概率公式全概率公式劃分：設(shè)劃分：設(shè)S S為試驗(yàn)為試驗(yàn)E E的樣本空間，的樣本空間， 為為E E的一組事件，假設(shè)的一組事件，假設(shè) 那么稱那么稱 為樣本空間為樣本空

9、間S S的一個(gè)劃的一個(gè)劃分分. .例例 E E：擲骰子觀察點(diǎn)數(shù)：擲骰子觀察點(diǎn)數(shù) 是是S S的一的一個(gè)劃分個(gè)劃分 不是不是S S的一個(gè)劃分的一個(gè)劃分123=1 2 34 56BBB， ，12,nB BB, ,1,2,ijB Bij i jn12nBBBS12,nB BB1 2 3 4 5 6S ，123=1 2 33 45 6CCC， ，全概率公式全概率公式定理：設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)定理：設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E E的樣本空間為的樣本空間為S S，A A為為E E的事件的事件. . 為為S S的一個(gè)劃分，且的一個(gè)劃分，且 那么那么 ，稱之為全概率公式。，稱之為全概率公式。注：全概率公式給出我們一個(gè)用來(lái)計(jì)算在注：全概率

10、公式給出我們一個(gè)用來(lái)計(jì)算在眾多原因眾多原因 的作用下事件的作用下事件A A發(fā)生發(fā)生概率的方法概率的方法. . 由因得果由因得果12,nB BB()0(1,2, )iP Bin1122nn( )( |) ()( |) ()( |) ()P AP A B P BP A B P BP A B P B12,nB BB貝葉斯公式由果溯因貝葉斯公式由果溯因設(shè)設(shè)E的樣本空間為的樣本空間為S，A為為E的事件的事件. 為為S的一個(gè)劃分，且的一個(gè)劃分，且 ，那么那么 為貝葉斯為貝葉斯Bayes公式公式.稱稱 為先驗(yàn)概率；為先驗(yàn)概率；稱稱 為后驗(yàn)概率為后驗(yàn)概率.( )0, ()0.(1,2, )iP AP Bin1

11、2,nB BB1122nn()( |) ( )( | )=( )( |) ( )( |) ()( |) ()iiiiP ABP A B P BP B AP AP A B P BP A B P BP A B P B()iP B(|)iP BA條件概率 條件概率小結(jié)縮減樣本空間 定義式 乘法公式 全概率公式 貝葉斯公式獨(dú)立性獨(dú)立性獨(dú)立事件：兩事件獨(dú)立事件：兩事件A A、B B，A A發(fā)生對(duì)發(fā)生對(duì)B B發(fā)生沒(méi)有發(fā)生沒(méi)有影響，影響，B B發(fā)生也對(duì)發(fā)生也對(duì)A A沒(méi)有影響，那么稱兩事件沒(méi)有影響，那么稱兩事件相互獨(dú)立相互獨(dú)立. .即即P(A|B)=P(A)P(A|B)=P(A)且且P(B|A)=P(B)P(

12、B|A)=P(B)，那么那么P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B)P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B)例例 拋甲，乙兩枚硬幣，拋甲，乙兩枚硬幣，A=A=甲出現(xiàn)正面甲出現(xiàn)正面HH，B=B=乙出現(xiàn)正面乙出現(xiàn)正面HH，問(wèn)，問(wèn)A A，B B同時(shí)發(fā)生的概率同時(shí)發(fā)生的概率. .定理定理 四對(duì)事件四對(duì)事件 中有一中有一對(duì)相互獨(dú)立，那么另外三對(duì)也相互獨(dú)立對(duì)相互獨(dú)立，那么另外三對(duì)也相互獨(dú)立. .獨(dú)立與互斥的區(qū)別：獨(dú)立與互斥的區(qū)別： A A，B B相互獨(dú)立：相互獨(dú)立：P(AB)=P(A)P(B)P(AB)=P(A)P(B)； A A，B B互斥：互斥：P(AB)=0P(AB)=0。, ;

13、A BA BA BA B； ； 1212112,2, ,kjnkiiiijnA AAnknP A AAP AA AA定義：設(shè)為 個(gè)隨機(jī)事件，若對(duì) 均有：則稱相互獨(dú)立多個(gè)事件的獨(dú)立多個(gè)事件的獨(dú)立定義定義 隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個(gè)實(shí)值變量表示，隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個(gè)實(shí)值變量表示，這個(gè)變量的取值是隨機(jī)的，但又服從一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)這個(gè)變量的取值是隨機(jī)的，但又服從一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，這種變量稱為隨機(jī)變量，通常用律性，這種變量稱為隨機(jī)變量，通常用X，Y，Z表表示。示。中心問(wèn)題中心問(wèn)題：將試驗(yàn)結(jié)果數(shù)量化：將試驗(yàn)結(jié)果數(shù)量化隨機(jī)變量分為離散型和連續(xù)型：隨機(jī)變量分為離散型和連續(xù)型：離散型離散型：X的取值是有限個(gè)或可列

14、無(wú)限個(gè)。的取值是有限個(gè)或可列無(wú)限個(gè)。1.1.連續(xù)型連續(xù)型：X的取值是連續(xù)的。的取值是連續(xù)的。esxX=f(e)為S上的單值函數(shù)，X為實(shí)數(shù) 分布律分布律 稱為離散型隨機(jī)稱為離散型隨機(jī)變量變量X的的分布律分布律，分布律可用列表的方式直，分布律可用列表的方式直觀的表示出來(lái)觀的表示出來(lái)(1,2, )kkP Xxp kXkp1p1x2xnx2pnp1、寫出可能取值即寫出了樣本點(diǎn)2、寫出相應(yīng)的概率即寫出了每一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的概率分布律概率分布分布律概率分布1212 0 1 0 1X Xkp1.1.兩點(diǎn)分布，又稱為兩點(diǎn)分布，又稱為(0-1)(0-1)分布分布(0-1)(0-1)分布的分布律為分布的分布律為也可

15、以寫為也可以寫為對(duì)隨機(jī)實(shí)驗(yàn)，假設(shè)樣本空間只包括兩個(gè)元素對(duì)隨機(jī)實(shí)驗(yàn)，假設(shè)樣本空間只包括兩個(gè)元素，即，即 ，那么一定能在，那么一定能在S S上定義一個(gè)服上定義一個(gè)服從從(0-1)(0-1)分布的隨機(jī)變量，令分布的隨機(jī)變量，令例例 拋硬幣一次，定義隨機(jī)變量拋硬幣一次，定義隨機(jī)變量X X為出現(xiàn)正面為出現(xiàn)正面的次數(shù)，那么的次數(shù)，那么 0 1 0 1X Xkp1-p p1()(1),0,1kkP Xkppk12 ,Se e120 1 eeXee0 1 X反面正面三種重要的離散型隨機(jī)變量三種重要的離散型隨機(jī)變量2.2.二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn)E E只有兩個(gè)可能結(jié)果：只有兩個(gè)可能結(jié)果：A A和和 ，那

16、么，那么稱稱E E為伯努利試驗(yàn)。設(shè)為伯努利試驗(yàn)。設(shè)P(A)=p(0p1),P(A)=p(0p1),那么那么將伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)展將伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)展n n次，稱為次，稱為n n重重伯努利試驗(yàn)。伯努利試驗(yàn)。X X表示表示n n重伯努利試驗(yàn)中事件重伯努利試驗(yàn)中事件A A發(fā)生的次數(shù)，發(fā)生的次數(shù)，X X所有可能取值所有可能取值k=0,1,2,nk=0,1,2,n。求。求PX=kPX=kPX=kPX=k記記q=1-pq=1-p，隨機(jī)變量隨機(jī)變量X X服從參數(shù)為服從參數(shù)為n,pn,p的二項(xiàng)分布，記為的二項(xiàng)分布，記為當(dāng)當(dāng)n=1n=1時(shí)，即為時(shí)，即為(0-1)(0-1)分布。分布。(1)kkn kn

17、C ppA 1P Ap ,0,1,2,kn00()nnkkn knkkP XkC p q()nqp1 ( , )Xb n p假設(shè)隨機(jī)變量假設(shè)隨機(jī)變量X X的概率分布律為的概率分布律為稱稱X X服從參數(shù)為服從參數(shù)為的泊松分布，記的泊松分布，記() 0,1,2, 0!keP Xkkk，( )X (Poisson(Poisson分布分布) )Poisson定理 設(shè) 是一個(gè)常數(shù)，n是任意正整數(shù)，設(shè) ， 那么對(duì)于任一固定的非負(fù)整數(shù)k，有 0nnplim(1)!kkknknnnneCppk 當(dāng) 時(shí)近似公式近似效果更佳。10100npn，20,0.05, 1, kn kkknnpeC ppnpk二項(xiàng)分布與泊

18、松分布有 以下近似公式 ：當(dāng)時(shí)其中！定義：定義：設(shè)設(shè)X為一個(gè)隨機(jī)變量，為一個(gè)隨機(jī)變量，x是任意實(shí)數(shù)，函是任意實(shí)數(shù)，函數(shù)數(shù) 稱為隨機(jī)變量稱為隨機(jī)變量X的概率分布函的概率分布函數(shù)，簡(jiǎn)稱數(shù)，簡(jiǎn)稱分布函數(shù)分布函數(shù)。由分布函數(shù)的定義，有由分布函數(shù)的定義，有( )F xP Xx1221P xXxP XxP Xx21()( )F xF x分布函數(shù)分布函數(shù)( )F x 的幾何意義：xX注注: 分布函數(shù)分布函數(shù)F(x)在在x處的函數(shù)值表示處的函數(shù)值表示x落在區(qū)間落在區(qū)間 上的概率。上的概率。 (1) (1) (2)F(x) (2)F(x)是一個(gè)不減函數(shù)是一個(gè)不減函數(shù) (3) (3)對(duì)于離散型隨機(jī)變量，假設(shè)分布律

19、為對(duì)于離散型隨機(jī)變量，假設(shè)分布律為 那么其分布函數(shù)那么其分布函數(shù)( )kkxxF xP XxP Xx0( )1F x,()lim( )1xFF x ,()lim( )0 xFF x kkP Xxp分布函數(shù)分布函數(shù)1221 0()()( )P xXxF xF x( )F x 的性質(zhì)：定義：對(duì)于隨機(jī)變量定義：對(duì)于隨機(jī)變量X X的分布函數(shù)的分布函數(shù) 假設(shè)存假設(shè)存在在 非負(fù)的函數(shù)非負(fù)的函數(shù) 使對(duì)于任意實(shí)數(shù)使對(duì)于任意實(shí)數(shù) 有有： ( ),f x( )( )xF xf t dt( ),F x, x( )f x其中 稱為X的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱概率密度概率密度。 那么稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，概率密度概率密度00

20、()( )( )( )xxF xxF xP xXxxf xF xlimlimxx ( )f x 的性質(zhì)：1) ( )0f x +2) ( )1f x dx211221123) () ( ) 0 xxxx xxP xXxf t dtP Xa對(duì)于任意的實(shí)數(shù) ，4) ( ) ( )( )f xx F xf x在連續(xù)點(diǎn) ，( )f x即在的連續(xù)點(diǎn)( )yf x1x2x1面積為12 P xXx1.1.均勻分布均勻分布定義：設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量定義：設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X X具有概率密度函數(shù)具有概率密度函數(shù) 那么稱那么稱X X在區(qū)間在區(qū)間(a,b)(a,b)上服從均勻分布。記上服從均勻分布。記為為注：注：X X落

21、在落在(a,b)(a,b)上任一子區(qū)間內(nèi)的概率只依上任一子區(qū)間內(nèi)的概率只依賴于子區(qū)間的長(zhǎng)度，而與位置無(wú)關(guān)。賴于子區(qū)間的長(zhǎng)度，而與位置無(wú)關(guān)。1 ( )0 axbf xba其他三種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量三種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量( , )XU a b 1c lcacclblP cXcldtcbaba 設(shè) -與 無(wú)關(guān)均勻分布的分布函數(shù)均勻分布的分布函數(shù)0 ( ) 1 xaxaF xaxbbaxb f x0bxa1b a F x0bxa1定義：連續(xù)型隨機(jī)變量定義：連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為的概率密度為 稱稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的指數(shù)分布，記為的指數(shù)分布，記為指數(shù)分布的分布函數(shù)指數(shù)分布的分布函數(shù)1 0

22、( ) (0)0 xexf x其它 0 0( ) (0) 1 0 xxF xex2.2.指數(shù)分布指數(shù)分布定義：設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量定義：設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X X的概率密度為的概率密度為 其中其中 為常數(shù)，那么稱為常數(shù)，那么稱X X服從參服從參數(shù)為數(shù)為 的正態(tài)分布也稱為的正態(tài)分布也稱為GaussGauss分布，記為分布，記為,(0) 2()2212( )()xf xex , 2( ,)XN 三種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量三種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量3.3.正態(tài)分布正態(tài)分布 f( (x) )圖形的性質(zhì)：圖形的性質(zhì)：關(guān)于關(guān)于 對(duì)稱對(duì)稱結(jié)論：結(jié)論：當(dāng)當(dāng) 時(shí)，取得最大值時(shí)，取得最大值 固定，改變固定，改變 ，f( (x

23、) )的圖形不變，沿的圖形不變，沿x軸平移軸平移 固定，改變固定，改變 ，由最大值，由最大值 知，知， 越小，圖形越尖，越小，圖形越尖，X落在落在 附近的概率越大。附近的概率越大。 時(shí)，時(shí)， ，即曲線以，即曲線以X軸為漸近線。軸為漸近線。 分布函數(shù)分布函數(shù)F( (x) )x0, hPhxPxh x12( )f12( )fx ( )0f x 22()()22221122( )ttxxF xedtedt標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 時(shí)，稱時(shí)，稱X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布， 概率密度函數(shù)概率密度函數(shù) 分布函數(shù)分布函數(shù) 結(jié)論結(jié)論： 的函數(shù)值見(jiàn)的函數(shù)值見(jiàn)第第382382頁(yè)頁(yè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分

24、布表 例例 ，求，求(0,1)XN0,12212( )xxe2212( )tx xedt()1( )x x ( ) x(0,1)XN 2.013.25PX正態(tài)分布轉(zhuǎn)變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布正態(tài)分布轉(zhuǎn)變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布引理引理 假設(shè)假設(shè) ，那么，那么結(jié)論：結(jié)論： ，那么它的分布函數(shù)，可寫成：，那么它的分布函數(shù)，可寫成： 正態(tài)分布的問(wèn)題都可以通過(guò)線性變換轉(zhuǎn)化為正態(tài)分布的問(wèn)題都可以通過(guò)線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，然后查書中第標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，然后查書中第382382頁(yè)標(biāo)準(zhǔn)正頁(yè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得解態(tài)分布表得解例例 ，求，求(0,1)XZN( )()XxxF xP XxP2( ,)XN 2( ,)XN 1212xxXP

25、 xXxP21()()xx(1,4)XN01.6PX隨機(jī)變量的函數(shù)的分布隨機(jī)變量的函數(shù)的分布離散型離散型離散型隨機(jī)變量的函數(shù)分布律的求法：離散型隨機(jī)變量的函數(shù)分布律的求法：找出找出Y=g(=g(X) )的所有可能取值的所有可能取值找出每個(gè)值對(duì)應(yīng)的找出每個(gè)值對(duì)應(yīng)的X取值，將對(duì)應(yīng)概率相加取值，將對(duì)應(yīng)概率相加例例 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X具有分布律具有分布律求求 的分布律。的分布律。X -1 0 1 2 -1 0 1 2 0.2 0.3 0.1 0.4 0.2 0.3 0.1 0.4kp2YX問(wèn)題提出：隨機(jī)變量問(wèn)題提出：隨機(jī)變量X的概率分布，且的概率分布，且Y=g(X)， 求求Y的概率分布。的概率分布

26、。關(guān)鍵是找出關(guān)鍵是找出Y的等價(jià)事件。的等價(jià)事件。連續(xù)型連續(xù)型 連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)分布的求法：連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)分布的求法：求求Y=g(=g(X) )的取值范圍的取值范圍分段討論分段討論在取值范圍外的在取值范圍外的y，在取值范圍內(nèi)的在取值范圍內(nèi)的y， ( )0Yfy 11( ) ()( )( )YXFyP YyP g XyP XgyFgy111( )( )( )( ) ( )YYXXfyFyFgyfgygy( ),( )0 ( )0)() XXfxxg xg xYg XY ：設(shè)，或。， 則 具有概率密度為：定定理理( ( )( ) , ( ) 0, XYfh yh yyfy其他min( ()

27、,() max( (),()( )( )ggggh yxyg x其中，第四章第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征定義：定義：定義：定義：111() 1,2,kkkkkkkkkkkXP Xxpkx pXE Xx pE Xx p絕對(duì)收設(shè)離散型隨機(jī)變量 的分布律為：若級(jí)數(shù)則稱級(jí)數(shù)的和為隨機(jī)變量的，數(shù)學(xué)期記望為即 斂， , 0，有2( )( ).D XP XE X切比雪夫不等式的等價(jià)形式2()()1.D XP XE X 注：注： 1. 切比雪夫不等式可用來(lái)估計(jì)不是服從正態(tài)分布的隨切比雪夫不等式可用來(lái)估計(jì)不是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量落在機(jī)變量落在E(X)附近的概率。附近的概率。 2. 切比雪夫不等

28、式的主要作用是進(jìn)展概率論的理論研切比雪夫不等式的主要作用是進(jìn)展概率論的理論研究。究。第六章第六章 樣本及抽樣分布樣本及抽樣分布樣本樣本總體：試驗(yàn)中全部可能的觀察值研究對(duì)象總體：試驗(yàn)中全部可能的觀察值研究對(duì)象的全體，如一批燈泡，一個(gè)總體對(duì)應(yīng)于一的全體，如一批燈泡，一個(gè)總體對(duì)應(yīng)于一個(gè)隨機(jī)變量個(gè)隨機(jī)變量X。個(gè)體：每個(gè)可能觀察值稱為個(gè)體組成總體個(gè)體：每個(gè)可能觀察值稱為個(gè)體組成總體的每個(gè)元素，如某個(gè)燈泡的每個(gè)元素，如某個(gè)燈泡抽樣：從總體抽樣：從總體X中抽取有限個(gè)個(gè)體對(duì)總體進(jìn)展中抽取有限個(gè)個(gè)體對(duì)總體進(jìn)展觀察的取值過(guò)程。觀察的取值過(guò)程。隨機(jī)樣本：隨機(jī)抽取的隨機(jī)樣本：隨機(jī)抽取的n個(gè)個(gè)體的集合個(gè)個(gè)體的集合(X1

29、,X2,Xn), n為樣本容量。為樣本容量。簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本：滿足以下兩個(gè)條件的隨機(jī)樣簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本：滿足以下兩個(gè)條件的隨機(jī)樣本本(X1,X2,Xn)1. 每個(gè)每個(gè)Xi與與X同分布同分布2. X1,X2,Xn是相互獨(dú)立的隨機(jī)變是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量量說(shuō)明說(shuō)明：后面提到的樣本均指簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。：后面提到的樣本均指簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。統(tǒng)計(jì)量：設(shè)統(tǒng)計(jì)量：設(shè) 是總體是總體X X的樣本，那么函數(shù)的樣本，那么函數(shù) 如果不包含任何未知參數(shù)那么稱為樣如果不包含任何未知參數(shù)那么稱為樣本本 的一個(gè)統(tǒng)計(jì)量。的一個(gè)統(tǒng)計(jì)量。 221231232123323121, 1 2 2 3 max, 1 4 5 iiNXXXXXXXXXXXX

30、X 思考題：設(shè)在總體中抽取樣本其中 已知，未知指出在哪些是統(tǒng)計(jì)量，哪些不是統(tǒng)計(jì)量，為什么？答：只有(4)不是統(tǒng)計(jì)量。統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量12,nXXX12,ng XXX12,nXXX簡(jiǎn)言之，樣本的不含任何未知參數(shù)的函數(shù)。簡(jiǎn)言之，樣本的不含任何未知參數(shù)的函數(shù)。常用的統(tǒng)計(jì)量常用的統(tǒng)計(jì)量樣本平均值：樣本平均值：樣本方差：樣本方差：樣本均方差：樣本均方差：樣本樣本k階階( (原點(diǎn)原點(diǎn)) )矩：矩：樣本樣本k階中心矩：階中心矩：11niiXXn22111niiSXXn22111niiXnXn22111niiSSXXn11,1,2,nkkkiiAXXkn11,2,3,nkkiiBXXkn統(tǒng)計(jì)學(xué)三大分布統(tǒng)計(jì)學(xué)三大分

31、布 22122221,0,1 1,2, 11ininiXXXXXNinnn 設(shè)設(shè)隨隨機(jī)機(jī)變變量量相相互互獨(dú)獨(dú)立立， 則 則稱稱 服 服從從自自由由度度為為 的的， 指 指式式右右端端包包分分布布記記為為含含的的獨(dú)獨(dú)立立自自由由變變義義度度定定：量量的的個(gè)個(gè)數(shù)數(shù) 20,1 ,XNYnX YXtnttt nY n 設(shè)設(shè)并并且且相相互互獨(dú)獨(dú)立立， 服服從從自自由由度度為為 的的 分分布布，記記 則 則稱稱隨隨變變量量為為機(jī)機(jī)定定義義： 221211212212, ,/,/ UnVnX YU nFn nFFF n nV nnn設(shè)設(shè)且且獨(dú)獨(dú)立立， 則 則稱稱隨隨機(jī)機(jī)變變量量服服定定義義：從從自自由由度度

32、的的 分分布布，記記為為 其 其中中稱稱為為第第一一自自由由度度，稱稱為為第第二二自自由由度度 2 分分布布的的一一些些重重要要性性質(zhì)質(zhì)： 22221. ,2nEn Dn設(shè)則有22211221212122. ,YnYnY YYYnn設(shè)且相互獨(dú)立，則有22分布的可加性性質(zhì) 稱為，可推廣到有限個(gè)的情形： 221211,mmiimiiiiYnY YYYn設(shè)且相互獨(dú)立，則 22222,01,nnfny dyn為分布的上對(duì)給定的概率稱滿足條件的點(diǎn)上 分位點(diǎn)的分位值可查點(diǎn)分布表. 2n02分布的分位點(diǎn)x( )f x0.1,25n例：20.12534.381 20,1 ,XNYnX YXtnttt nY n

33、 設(shè)設(shè)并并且且相相互互獨(dú)獨(dú)立立， 服服從從自自由由度度為為 的的 分分布布，記記 則 則稱稱隨隨變變量量為為機(jī)機(jī)定定義義： , 01,tnh t dttnt ntt對(duì)給定的稱滿足條件的點(diǎn)為分布的。 分布的上 分位點(diǎn)可上位點(diǎn)查分分布表t分布 121222 1, nnntt nh ttnn 分布的概率密度為： tn f xx0t分布的分位點(diǎn)10n 313x( )f x1n 4n 2021t分布的密度函數(shù)1( )( )tntn 221211212212, ,/,/ UnVnX YU nFn nFFF n nV nnn設(shè)設(shè)且且獨(dú)獨(dú)立立， 則 則稱稱隨隨機(jī)機(jī)變變量量服服定定義義：從從自自由由度度的的 分

34、分布布，記記為為 其 其中中稱稱為為第第一一自自由由度度，稱稱為為第第二二自自由由度度F分布 111212221121221212 ,2,0 2210,nnnnF n nnnn nyyynnn y n分布的概率密度為：其它11221( ,),(,)FF n nFF n n性質(zhì)：則 121212,1212, 01,;,Fn nf x n ndxFn nF n nFn nF 對(duì)于給定的稱滿足條件的點(diǎn)為分布的。的值可分位點(diǎn)查上分布表0 x12 f x21,20nn225n 210n F分布的密度函數(shù)0 x12,Fn n( )f xF分布的分位點(diǎn)111221( ,)(,)Fn nF n n0.955,

35、10F例如：例如：0.05110.211.10,54.74Fz,0,1 ,01XNZP XZZ此外 設(shè)標(biāo)若滿足準(zhǔn)正態(tài)條件 分布的上則稱點(diǎn)為分位點(diǎn)。1ZZ 第七章第七章 參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì) 121212121;, 1,2, ,1 1,2, ,1121,212kkkvvknnvviiXF xXkE XE XvkXXXXvAXvkkAknA 設(shè)總體 的分布函數(shù)為是待估計(jì)的未知參數(shù)，假定總體 的 階原點(diǎn)矩存在，則有：對(duì)于樣用樣本矩作為總體矩的估計(jì)，即本其 階樣本：矩是：令 12122 ,12kkAkkk 解此方程即得的一個(gè)矩估計(jì)量矩估計(jì)法矩估計(jì)法最大似然估計(jì)的求法最大似然估計(jì)的求法寫出似然函數(shù)寫出似然函

36、數(shù)求求 ，使得，使得 為為 的最大值，求法如下的最大值，求法如下： 求使得方程求使得方程 又又 在同一在同一 處取得極值，因此處取得極值，因此， 的最大似然估計(jì)值可從方程的最大似然估計(jì)值可從方程 中求得中求得 稱稱 為似然方程為似然方程( )0L 的( )L( )L( )L( )( )LL與l nln ( )0Lln ( )0L1.1.單參數(shù)單參數(shù)2.2.雙參數(shù)雙參數(shù)似然函數(shù)似然函數(shù)似然方程似然方程121122ln ( ,)0 ln ( ,)0 LL 1211221212( ,);,;,;, nLp xp xp x最大似然估計(jì)法最大似然估計(jì)法估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn) 對(duì)總體的未知參數(shù)可

37、用不同方法求得不同的對(duì)總體的未知參數(shù)可用不同方法求得不同的估計(jì)量，如何評(píng)價(jià)好壞？估計(jì)量，如何評(píng)價(jià)好壞？ 通常用三條標(biāo)準(zhǔn)檢驗(yàn)：通常用三條標(biāo)準(zhǔn)檢驗(yàn)：無(wú)偏性無(wú)偏性，有效性有效性，相相合性合性 無(wú)偏性無(wú)偏性 ,nEliEm E若那么若則稱為估計(jì)量 的偏差漸近稱 是 的無(wú)偏估計(jì)量 12,nXXEX滿足 則稱定義是 的一若參數(shù) 的估計(jì)個(gè)無(wú)偏量：估計(jì)量。 有效性有效性 121212 , DD設(shè)是 的兩個(gè)無(wú)偏估計(jì)， 如果對(duì)一切成立，且至少對(duì)某一個(gè)上式中的不等式成立， 定 則稱 比義：有效。相合性相合性1,0 0, nnXXnlim P設(shè)為參數(shù) 的估計(jì)量， 若對(duì)于任意，當(dāng)時(shí)， 依概率收斂于 ， 定 即有：義成立

38、 則稱 為 的相合估計(jì)量：，或一致估計(jì)量2, N單個(gè)正態(tài)總體的情形2212, 1nXXXNXS 來(lái)自和分別為樣本均值和方差 置信度為1. 均值 的置信區(qū)間 21 已知時(shí), 0,1XXNn是 的無(wú)偏估計(jì) 由 21XPZn 有221P XZXZnn 即22,XZXZnn置信區(qū)間為： 正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計(jì)正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計(jì)2Z1222Z 22 未知時(shí)1431Xt nSn由第頁(yè)定理三有： 22111XPtntnSn 有22111SSP XtnXtnnn 即221 ,1SSXtnXtnnn置信區(qū)間為： 2t1222t22. 方差的置信區(qū)間設(shè) 未知22214311nSn由第頁(yè)定理二有： 22212221111nSPnn 有2222221211111nSnSPnn 即222221211,11nSnSnn置信區(qū)間為： 1-?思考題:均方差 的置信度為的置信區(qū)間是什么22212122