1、 無窮乘積的收斂性 郭州雄 （數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 西北師范大學(xué) 甘肅蘭州 730070）摘 要 在無窮乘積的研究中，確定無窮乘積的斂散性問題是一個很重要的問題，本文通過無窮級數(shù)與無窮乘積的關(guān)系淺談一下判斷無窮乘積斂散性的一些方法。關(guān)鍵詞 無窮乘積 無窮級數(shù) The abstract in the infinite product research, determined the infinite product collects the divergence question is a very important question, this article through the infi

2、nite series and the infinite product relations discussed shallowly judges the infinite product to collect the divergence some methods.Key word infinite product infinite series 一 預(yù)備知識定義1 設(shè)（0）是無窮可列個實數(shù)，我們稱他們的“積”.為無窮乘積，記為，其中稱為無窮乘積的通項或一般項.從定義我們可以看出，這里有無窮多個實數(shù)相乘，當(dāng)然我們無法對無窮多個實數(shù)逐一地進行乘法運算，所以必須對無窮乘積求積給出一個合理地定義，

3、為此構(gòu)作無窮乘積的部分積數(shù)列： 定義2 如果部分積數(shù)列收斂于一個非零的有限數(shù)，則稱無窮乘積收斂，且稱為它的積，記為=，如果發(fā)散或收斂于零，則稱無窮乘積發(fā)散。注意這里當(dāng)時，我們稱無窮乘積發(fā)散于0，而不是收斂于0，以后我們將會看到這樣做的好處僅僅是使無窮乘積的收斂性和無窮級數(shù)的收斂性統(tǒng)一，下面給出無窮乘積收斂的一個必要條件：定理1 如果無窮乘積收斂，則（1）（2）證明 設(shè)無窮乘積 的部分積數(shù)列為 ，則 證畢由定理1知，若無窮乘積的通項不趨于0，則無窮乘積必定發(fā)散，而當(dāng)通項趨于0時，必定在某一項以后大于0，而無窮乘積的收斂性與前面有限項無關(guān)，只不過若收斂的話“積”不同罷了，所以下面我們假定無窮乘積的

4、通項，而下面的定理將無窮乘積與無窮級數(shù)的斂散性統(tǒng)一起來：定理2 無窮乘積收斂的充分必要條件是無窮級數(shù)收斂。證明：設(shè)無窮乘積的部分積數(shù)列為 ，無窮級數(shù) 的部分和數(shù)列為 ，則 =所以 收斂的充分必要條件是 收斂，而 收斂于0，既 發(fā)散于0的充分必要條件是 發(fā)散于。由定理2 ，我們建立了 與 之間的關(guān)系，于是我們可以通過判斷無窮級數(shù)的斂散性來判斷無窮乘積的斂散性，下面給出兩個重要的推論： 推論1 設(shè)（或），則 無窮乘積 收斂的充分必要條件是級數(shù) 收斂。證明：顯然級數(shù)與級數(shù) 都是正項級數(shù)或都是負(fù)項級數(shù)，它們都以 為收斂的必要條件，而當(dāng) 時，我們有于是由正項級數(shù)的比較判別法，級數(shù) 收斂的充分必要條件是

5、收斂。 證畢推論2 設(shè)級數(shù) 收斂，則 無窮乘積收斂的充分必要條件是級數(shù) 收斂。證明：由收斂，可知，由及，根據(jù)正項級數(shù)的比較判別法，當(dāng)與收斂時，必有的收斂性，反過來，當(dāng) 收斂時 ，由于的收斂性，必定可得到的收斂性。 證畢我們由定理2 可以看到，要判斷一個無窮乘積的斂散性我們只需要判斷對應(yīng)的級數(shù)的斂散性，而由推論1及推論2可以看到正項級數(shù)在數(shù)項級數(shù)中占有重要的地位，于是我們先討論正項級數(shù)的判別法，進而再討論一般的數(shù)項級數(shù)的判別法.二 正項級數(shù)的判別法定理3 （正項級數(shù)的收斂原理）正項級數(shù)收斂的充分必要條件是它的部分和數(shù)列有上界。定理4（比較判別法）設(shè)與是兩個正項級數(shù)，若存在常數(shù)A，成立 則（1）

6、當(dāng)收斂時，也收斂（2） 當(dāng)發(fā)散時，也發(fā)散。證明：設(shè)級數(shù) 的部分和數(shù)列為，級數(shù)的部分和數(shù)列為，則顯然有于是當(dāng)有上界時，也有上界，而當(dāng)無上界時，必定無上界。 證畢定理 （比較判別法的極限形式）設(shè)與是兩個正項級數(shù)，如果與是同階無窮小量，即則與同時收斂或同時發(fā)散。 證明：由，取，則存在自然數(shù)N，當(dāng)時，由定理4，即得所需結(jié)論， 證畢定理5 （1）若收斂，則有收斂，其中； （2）若發(fā)散，則有發(fā)散，其中。 證明：（1）令，顯然，因為收斂，所以收斂（2）若發(fā)散，令，顯然，而由的發(fā)散性，得到的發(fā)散性。 證畢 由定理5可以看出 ，一切正項級數(shù)均可以用比較判別法判定，但問題是要找到一個合適的比較對象卻很難，但是基于

7、比較判別法，我們可以得到很多判別法，盡管這些判別法都有一定的局限性，但它們給我們判別正項級數(shù)的斂散性帶來了極大的方便，如果我們把比較對象取為級數(shù)，則可得到下面的對數(shù)判別法：定理 6（對數(shù)判別法）若有 ，使得當(dāng)時，則級數(shù) 收斂；若時 ，則級數(shù)發(fā)散。證明：若，則 或 ，由于級數(shù) 收斂，故級數(shù)也收斂若，則或 。由于級數(shù) 發(fā)散，故級數(shù) 也發(fā)散. 證畢如果我們把比較對象取為幾何級數(shù)，則可得到下面的判別法：定理7 設(shè)是正項級數(shù)， ，則（1） 當(dāng)r<1，級數(shù)收斂；（2） 當(dāng)r>1，級數(shù)發(fā)散（3） 當(dāng)r=1，判別法失效，級數(shù)既可能收斂，也可能發(fā)散。證明：當(dāng)r<1時，取q滿足r<q<

8、;1，則存在N，對一切n>N，成立 ，從而，由定理4可知收斂當(dāng)r>1，由于r是數(shù)列的極限點，可知存在無窮多個n滿足>1，這說明不是無窮小量，從而發(fā)散。對于r=1，級數(shù)與 的斂散性說明判別法失效 證畢引理 設(shè)是正項數(shù)列，則 證明：設(shè)則對任意給定的，存在N，對一切n>N，成立于是從而由的任意性，就得到 同理可證 證畢通過上面的引理，我們可得到如下定理：定理8 （判別法）設(shè) 是正項級數(shù)，則（1） 當(dāng)<1，級數(shù)收斂（2） 當(dāng)，級數(shù)發(fā)散（3） 當(dāng)或時，判別法失效，級數(shù)可能收斂，可能發(fā)散對于某些級數(shù)，成立，這時定理6與定理7 都失效，下面給出針對這類情況的判別法：定理9 （R

9、aabe判別法）設(shè)是正項級數(shù)，則（1） 當(dāng)r>1，級數(shù)收斂（2） 當(dāng)r<1，級數(shù)發(fā)散證明 設(shè)s>t>1，,由的連續(xù)可微性與，,可知存在，對一切 成立當(dāng)r>1時，取s,t滿足r>s>t>1。由>s>t與不等式，可知當(dāng)n充分大時，這說明正項數(shù)列從某一項開始單調(diào)減少，因而其必有上界，設(shè) 于是 由于，因而收斂，根據(jù)比較判別法就得到的收斂。當(dāng)<1，則對于充分大的n， 這說明正項數(shù)列從某一項開始單調(diào)增加，因而存在N, ,使對一切n>N成立，于是由于發(fā)散，根據(jù)比較判別法就得到發(fā)散. 證畢無窮級數(shù)與反常積分結(jié)合，便有下面的積分判別法：定理

10、10 （積分判別法）設(shè) 定義于 且 在任意有限區(qū)間上可積，取一單調(diào)增加趨于 的數(shù)列： ， 令 則反常積分與正項級數(shù)同時收斂或同時發(fā)散于，且=特別，當(dāng)單調(diào)減少時，取，則反常積分 與正項級數(shù) 同時收斂或同時發(fā)散。證明：設(shè)正項級數(shù)的部分和數(shù)列為 則對任意 存在整數(shù) 成立 于是當(dāng) 有界時 即 收斂時，則有 收斂 ，且根據(jù)極限的夾逼性，它們收斂于相同的極限；當(dāng) 無界時。即發(fā)散于時，則同樣有 。由此得到下列關(guān)系=特別，當(dāng)單調(diào)減少時取 ，則當(dāng) ， 由比較判別法可知 與 同時收斂或同時發(fā)散，從而與 同時收斂或同時發(fā)散。證畢 由積分判別法可得下面的馬爾可夫判別法：定理 11（馬爾可夫判別法） 設(shè)為單調(diào)減少的正值

11、函數(shù)，又設(shè) 若，則函數(shù)收斂；若，則級數(shù)發(fā)散。證明：由于，故對任意的，總存在，使得當(dāng) 時，有當(dāng)時，取使得，則有，于是，當(dāng)時有即，也即由于充分大且，故，又因，故，從而 固定，讓，取極限即得常數(shù)于是，由積分判別法知級數(shù)收斂， 當(dāng)時，則取為充分大，可得 ，從而，即 或 故 今設(shè)并分別取，則 最后得，即為發(fā)散的，并由積分判別法知級數(shù)發(fā)散。 證畢三 一般項級數(shù)的判別法 上面淺談了正項級數(shù)的收斂判別法，接下來討論一般項級數(shù)的收斂判別法，對于一般項級數(shù)，判斷斂散性最本質(zhì)的方法是Cauchy收斂原理:定理12 （Cauchy收斂原理）級數(shù) 收斂的充分必要條件是：對任意給定的，存在 ，使得對一切 成立。定義3 如

12、果級數(shù)且單調(diào)減少收斂于0，則稱此級數(shù)為級數(shù)由Cauchy收斂原理，可以得到：定理13 級數(shù)必定收斂 證明： =當(dāng)是奇數(shù)時 所以 當(dāng)是偶數(shù)時 因而成立 = 由，于是對于一切正整數(shù)，成立 由定理 10 ， 級數(shù)必定收斂。 證畢關(guān)于一般項級數(shù)的判別法還有判別法和判別法：定理 14 若下面兩個條件之一滿足，則級數(shù)收斂：（1）（判別法）單調(diào)有界，收斂；（2）（判別法）單調(diào)趨于0，有界。證明：（1）若判別法條件滿足，設(shè) ，由于 收斂， 和 ，成立，對 應(yīng)用 引理，即得|（2）若判別法條件滿足，由于 ，因此：設(shè)。令則 應(yīng)用引理，同樣可得|對于一切與一切正整數(shù)成立根據(jù)定理10 ，可知收斂。 證畢四 例題例1 討論無窮乘積的斂散性（）。解：根據(jù)定理2的推論1 ，無窮乘積的斂散性與無窮級數(shù)的斂散性是等價的，于是我們只需說明無窮級數(shù)的斂散性即可，由于由判別法知當(dāng)即時，級數(shù)收斂所以無窮乘積收斂，例2 討論無窮乘積的斂散性。解： 根據(jù)定理2推論1，無窮乘積的斂散性與無窮級數(shù)的斂散性等價