1、直線及圓的參數方程 教學重點和難點:直線參數方程及圓的參數方程的基本形式，對直線標準參數方程中參數t的理解，非標準參數方程如何化為標準方程并求出傾角，并應用直線參數方程解決有關問題。 例題分析:例1下列各式中，哪一個是直線的三角式方程，試述理由，若是點角式參數方程時，寫出始點和傾角，若不是，化為點角式參數方程。 （1）（t為參數）；（2）（t為參數）；（3）（t為參數） 解:（1）始點（-2，3），傾角為是點角式參數方程。（2）不是點角式參數方程，不滿足為點角式參數方程的必要條件，即a2+b2=1。但是形如（t為參數）的可化為參數方程的標準式即（t為參數） （3）（t為參數）不是點角式參數方程

2、，令t=-t，得， 直線始點為（-2，2），傾角為。 例2寫出過點A（1，-2），傾角為45的直線l1的點角式參數方程，若l1與l2:x+2y-4=0相交于B。（1）求|AB|； （2）求點B的坐標。 解:設l1的參數方程為:（I）（t為參數）把（I）代入l2方程，1+t+2(-2+t)-4=0 解出t=（II）， |AB|=|t-0|= 把（II）代入（I）得:B(, )。 小結:從此例可看出應用三角式參數方程求距離很簡捷。 例3求橢圓=1中斜率為2的平行弦中點的軌跡。 解：（1）用普通方程解決，設弦中點P(x0, y0)，弦的兩端點A(x1, y1), B(x2, y2) 由已知得: (1

3、)-(2)： =0， .(6) 將(5)代入(6)， 2=, x0+3y0=0,軌跡為含在橢圓內的一條線段。 法（2）參數方程解題設弦中點P(x0,y0)，弦的傾角為a， 平行弦的直線參數方程為:（t為參數）(1)將（1）代入2x2+3y2-6=0中，整理后得:(2cos2+3sin2)t2+2(2x0cos+3ysin)t+2x02+3y02-6=0, t1+t2= P為弦中點，t1+t2=0，即2x0cos+3y0sin=0，又tg=2, 2x0+6y0=0, P點軌跡是方程為x+3y=0在橢圓=1內的一條線段。 小結:此例用普通方程及參數方程對比解決，體會參數t的幾何意義，其中t1+t2

4、=0對點角式方程而言具有普遍的意義，常用于解決弦中點問題。 例4設M，N是拋物線y2=2px(p0)的對稱軸上兩點，且它們關于頂點O對稱，過M，N作兩條平行線，分別交拋物線于P1，P2，Q1，Q2，求證:|MP1|MP2|=|NQ1|NQ2|。證明:由已知可設M(a,0), N(-a, 0)(a0) 則直線MP1，NQ1的參數方程為: （1）和（2）其中t是參數，是傾斜角。 把（1）（2）分別代入y2=2px中，由韋達定理可得:|MP1|MP2|=，|NQ1|NQ2|=，|MP1|MP2|=|NQ1|NQ2| 評述:此例中應用了點角式參數方程中t的幾何意義，即|t1|,|t2|為相應點到定點M

5、的距離，據此證明了關于線段的等式問題。 例5橢圓長軸|A1A2|=6，焦距|F1F2|=4，過橢圓焦點F1引直線交橢圓于M，N兩點，設F2F1M=，0,），若|MN|等于短軸時，求。 解:a=3, c=2,b=1, F1(-2,0)，橢圓方程+y2=1。 法（1）設MN所在直線參數方程為.(1)（t為參數） 將(1)代入+y2=1得:(1+8sin2)t2-4tcos-1=0 t1+t2=, t1t2=,2b=2。|t1-t2|2=, =22, sin2=,0,）， sin=, =或。 （法二）設MN方程:y=k(x+2) x1+x2=.(1),x1x2=.(2) |MN|=|x1-x2|.又

6、|x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1x2.(3) 將(1),(2)代入(3)，將(3)代入(I)解得:k2=(下略) 另； e=, M(x1,y1), N(x2,y2)由第二定義:|MF2|=ex2+a, |MF1|=ex1+a |MN|=e(x1+x2)+2a=(x1+x2)+6, 2=+6, k2=(下略)。 評述:利用直線參數方程，常常解決弦長的問題，對比普通方程的弦長公式可知，形式上要簡捷，運算上也將更加簡化，減少運算的出錯可能。 例6過M(-1,0)的直線l交雙曲線x2-y2=10于A，B兩點，且|MA|=3|MB|，求直線l的方程。 分析:|MA|=3|MB|，若設普通方程，

7、則兩線段間的上述關系表述很繁瑣，條件不利于應用。設直線參數方程點角式，直接利用參數t的幾何意義表達|MA|=3|MB|，可以很方便的代入式子中去應用。 解:設直線MA的參數方程為（t為參數）(-1+tcos)2-t2sin2-10=0(cos2-sin2)t2-2tcos-9=0，有 t1+t2=, t1t2= 又 |MA|=3|MB|， t1=3t2。 當t1=3t2時，4t2=, 3=, t2=, 3=, 解得:cos2=，sin2=, tg=， l: y=(x+1)。 當t1=3t2時，同理可求l:y=(x+1)。 本周小結:直線參數方程點角式問題，應注重從下面幾點講解。會判斷方程是否為

8、點角式參數方程；若參數方程為會化為點角式，并會求出傾角，一定要注意傾角的范圍。會應用它解決弦長問題，弦的中點線分弦成定比問題，點在直線上位置等常見問題。 參考練習:1直線:（t為參數）的傾斜角是（ ） A、20B、70C、110D、160 2直線（t是參數）與圓（為參數）相交所得弦長為（） A、(3-) B、C、D、(3+) 3圓x2+y2=8內有一點P0(-1,2)，AB為過P0且傾角為的弦。 （1）當=，求|AB|；（2）當弦AB被點P0平分時，寫出直線AB的方程。 參考答案: 1.C2.B 3.解:設直線AB方程為:(1)（t為參數）把(1)代入x2+y2=8,整理得: t2-2(cos

9、-2sin)t-3=0.(2) 直線與圓相交，(2)有實根，則由韋達定理:t1+t2=2(cos-sin), t1t2=-3, (1)當=時，|AB|2=|t1-t2|2=(t1+t2)2-4t1t2=2(cos-sin)2-4(-3)=30 |AB|=。 （2）弦AB被點P0平分 cos-2sin)=0tg=，即k=, AB方程為:y-2=(x+1)，即x-2y+5=0。在線測試窗體頂端選擇題1直線（t為參數）的傾斜角是（） A、20B、70C、110D、160 窗體底端窗體頂端2曲線的參數方程為（0t5），則曲線是（） A、線段B、雙曲線的一支C、圓弧D、射線 窗體底端窗體頂端3橢圓的兩個

10、焦點坐標是（） A、(-3,5), (-3,-3)B、(3,3),(3,-5)C、(1,1),(-7,1)D、(7,-1),(-1,-1) 窗體底端窗體頂端4下列參數方程(t為參數)與普通方程x2-y=0表示同一曲線的方程是（） A、B、C、D、 窗體底端窗體頂端5曲線的參數方程是(t是參數，t0)，它的普通方程是（） A、(x-1)2(y-1)=1 B、y= C、y=-1 D、y=+1窗體底端答案與解析 答案：1、C 2、A 3、B 4、D 5、B解析：1本題考查三角變換及直線的參數方程。解：由直線方程知此直線過定點(3，0)，那么它的斜率k=-ctg20=tg(90+20)=tg110。因

11、此直線的傾斜角為110。故應選C。 2本小題考查化參數方程為普通方程的方法，及解不等式的知識。 解：消去參數t，得x-3y-5=0。因為0t5，所以2x77，-1y24。因此是一條線段，故選A。 3本小題考查參數方程和橢圓方程的知識，以及坐標軸平移。解：原方程消參得=1，是中心為（3，-1），焦點在x=3這條直線上的橢圓，c=4，焦點坐標為(3，3)及(3，-5)，所以選B。 4本小題考查參數方程和三角函數式的恒等變形解：選項A中x0，與x2-y=0中x的取值范圍不符；B中，-1x1，與x2-y=0中的x范圍不符；C中，y=ctg2t=，不能化成x2-y=0；D中，y=tg2t=x2，即x2-

12、y=0，故選D。 5本題考查參數方程的知識。解：由參數方程得消去t，得=1-y， y=1-=。故選B參數方程、極坐標知識小結 一、求軌跡的參數方程（1）對于曲線的參數方程應注意以下兩點：一是參數方程中參數的變化范圍是有限制的；二是給出一個t，解出唯一對應的x, y的值，因而得出唯一的對應點。 （2）可供選擇的參數較多，如角度、時間、點的坐標、位移、直線斜率等。 二、普通方程與參數方程的互化1注意方程等價性在曲線的普通方程與參數方程的互化中應注意方程的等價性通過參數的取值范圍推出x、y的取值范圍。 2消去參數，把參數方程化為普通方程化曲線的參數方程為普通方程可用代數消元法和三角消元法，如果參數方

13、程中不含三角函數式，或者參數方程中雖含三角函數式，但三角函數中不含參數，用代入等代數方法消去參數；如果三角函數式含參數，可用三角函數關系消去參數。當然問題不是絕對的，有的題目既可以用代數方法又可用三角方法。 3普通方程化參數方程由普通方程化為參數方程，應注意恰當地選擇參數，一般在與運動有關的問題中往往選時間為參數，與旋轉有關的某些曲線中往往選角度為參數。參數選擇得不同，所得方程也不同。因此，同一條曲線的參數方程不是唯一的。注意 應用參數方程及參數的幾何意義解題，有時可使解法簡便。 三、求軌跡的極坐標方程1直接法建立極坐標方程常常可以在一個三角形中實現(xiàn)。也就是說，建立起這個三角形中的邊角關系，就

14、是建立了極坐標方程。 2轉移法如果已知某直線的極坐標方程，求受該直線制約的動點軌跡方程時，常使用轉移法，利用已知的極坐標方程推出所求的極坐標的方程。 3參數法在建立曲線的極坐標方程時也可運用參數法，先適當地選取參數t，建立動點的坐標、與t的關系：(t為參數)這就是動點軌跡的參數方程。再消去參數t，就得到極坐標方程。 注意 在求曲線的極坐標方程時，要特別注意點的極坐標(, )取值范圍。因為在極坐標系中，平面上所有點的集合與極坐標之間不是”一一對應的；一般情況下，如果限制0，02，則除極點外，平面內的點和它的極坐標之間便可以一一對應。但是這樣的限制對于研究曲線的極坐標方程有時有妨礙。如限制02，那么螺線=a只表示動點M的軌跡的一部分，這時螺線只剩下圈了，這顯然是不合適的。 四、極坐標方程與直角坐標方程互化1極坐標方程與直角坐標方程互化時要注意以下兩點： 在一般情況下取正值，取最小正角； 由tan=求時，因為在(0,2)中滿足條件