1、專(zhuān)題九：正弦定理、余弦定理教學(xué)目的：1.掌握正弦定理、余弦定理；2.使學(xué)生能初步運(yùn)用它們解斜三角形，并會(huì)解決斜三角形的計(jì)算問(wèn)題。教學(xué)重點(diǎn)：正弦定理、余弦定理的運(yùn)用教學(xué)難點(diǎn)：正弦定理、余弦定理的靈活運(yùn)用一、引言在直角三角形中，由三角形內(nèi)角和定理、勾股定理、銳角三角函數(shù)，可以由已知的邊和角求出未知的邊和角。那么斜三角形怎么辦？提出課題：正弦定理、余弦定理 二、講解新課（一）三角形的面積公式：（1）；（2）。證明：如右圖，。（）同理可證：。（二）正弦定理：在任一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦之比彼此相等，且都等于其外接圓的直徑，即（為外接圓半徑）。證明：（1）在直角三角形中，sinA=，sinB=

2、，sinC=1，即c=，c=，c=，=。（2）在斜三角形中， 證法一：（外接圓法）如圖所示，同理 =2R，2R，=。證法二：（向量法）過(guò)A作單位向量垂直于，由+=，兩邊同乘以單位向量的數(shù)量積得 (+)=，則+=，|cos90°+|cos(90°-C)=|cos(90°-A)， =；同理，若過(guò)C作垂直于得： =，=。證法三：（等積法）在任意ABC當(dāng)中，SABC=， 兩邊同除以即得：=。注意：正弦定理適用于任意三角形；正弦定理應(yīng)用于解三角形（結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理）：1）“角角邊”型：已知三角形的兩角和任意一邊，求其它兩邊和一角；2）“邊邊角”型：已知三角形的兩邊和其

3、中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角（從而進(jìn)一步求出其它的邊和角）；例1.（1）在中，已知，求；（2）在中，已知，求；（3）在中，已知，求；（4）在中，已知，求；（5）在中，已知，求；（6）在中，已知，解這個(gè)三角形。小結(jié)（一）：正弦定理解三角形的類(lèi)型：（結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理） 1）“角角邊”型：一解；2）“邊邊角”型：已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角（從而進(jìn)一步求出其它的邊和角）；在中，已知邊和角，用正弦定理解三角形的各種情況（見(jiàn)圖示）：（1）若為銳角時(shí)：一解無(wú)解（2）若為直角或鈍角時(shí)：。（過(guò)渡：在RtABC中(若C=90°)有：，在斜三角形中一邊的平方與其余兩邊平方和及其

4、夾角還有什么關(guān)系呢？）問(wèn)題 對(duì)于任意一個(gè)三角形來(lái)說(shuō)，是否可以根據(jù)一個(gè)角和夾此角的兩邊，求出此角的對(duì)邊？推導(dǎo) 如圖在中，、的長(zhǎng)分別為、，即；同理可證 ，。（三）余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍，即 注：“邊角邊”型：這組定理適用于“已知兩邊及夾角求第三邊和另兩個(gè)角”。 注：“邊邊邊”型：這組定理適用于“已知三邊求三個(gè)角”。小結(jié)（二）：（1）在中，；（2）利用余弦定理，可以解決以下兩類(lèi)有關(guān)三角形的問(wèn)題：已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其它兩個(gè)角；已知三邊，求三個(gè)角。例2.（1）在中，已知，求角；（2）在中，已知，解這個(gè)三角形。（3）有一解三角形

5、的題，因紙張破損有一個(gè)條件不清，具體如下：在中，已知_，求角經(jīng)推斷破損處的條件為三角形一邊的長(zhǎng)度，且答案提示為 試問(wèn)條件補(bǔ)充完整應(yīng)為( )A B C或 D以上答案都不對(duì)（四）解三角形與正余弦定理注意以下幾點(diǎn)：（1）解三角形時(shí)要注意利用等關(guān)系轉(zhuǎn)換角，且注意角的取值范圍。（2）利用正、余弦定理進(jìn)行邊角互化，或統(tǒng)一成角的關(guān)系，或統(tǒng)一成邊的關(guān)系，要視情況靈活掌握。（3）熟悉正、余弦定理的常見(jiàn)變形：正弦定理的變形：；余弦定理變形：在出現(xiàn)邊的偶次及交叉項(xiàng)的齊次結(jié)構(gòu)時(shí)，要聯(lián)想到余弦定理。例3.（1）在中，“”是“”的_條件；（2）在中，求的值；（3）求證：的面積，其中為外接圓半徑；（4）在中，角的對(duì)邊分別為，且成等差數(shù)列。求證：；若，判斷的形狀；求角的取值范圍。例4.（1）在中，求邊的關(guān)系；（2）在中，求的值；（3）在中，角的對(duì)邊分別為，已知且，判斷的形狀；（4）如圖，內(nèi)的點(diǎn)到角的兩邊的距離分別是5和2，求的長(zhǎng)。（5）在中，若且，試判斷的形狀；練習(xí)：在中，設(shè)三角形的面積為，已知，求的值。（6）在中角的對(duì)邊分別為，且滿足。求角；若為的最小邊，且，求的值。（7）ABC中,若,則= 。變式練習(xí)：（1）已知銳角三角形的邊長(zhǎng)分別是，求