1、課程五 立體圖形問題學(xué)習(xí)目標(biāo)1.長方體、正方體表面積的計算2.長方體、正方體的切割問題3.長方體、正方體的體積4.不規(guī)則物體的體積重 點計算長方體和正方體的表面積應(yīng)注意的問題（1）找出必備條件（長、寬、高或棱長），如題中沒有直接給出，則先求出必備條件，再求表面積（有蓋還是無蓋）。（2）統(tǒng)一計量單位，單位不統(tǒng)一的，一般要通過化、聚，使單位統(tǒng)一后再計算。（3）求所需用的面積材料時，一般用“進(jìn)一法“取近似值。（4）用同樣多的立體拼圖，由于拼法不同，重疊的次數(shù)不同，表面積就會發(fā)生變化，每重疊一次，就減少兩個面；每切一刀，就增加兩個面?？?結(jié)1.長方體和正方體的體積概念及其計算公式（1）長方體體積長&#

2、215;寬×高 V長方體abc（2） 正方體體積棱長×棱長×棱長 V正方體a32.求不規(guī)則物體的體積水中物體的體積容器的底面積×水上升或下降的高度。水上升或下降的高度水中物體的體積÷容器的底面積容器的底面積水中物體的體積÷水上升或下降的高度 例1有一個長15厘米，寬10厘米，高8厘米的長方體，現(xiàn)在要在這個長方體中挖去一個棱長為5厘米的小正方體，那么剩下部分的表面積是多少？（1） （2） （3） 分析與解法根據(jù)長方體的特征我們可以知道，挖去小正方體的位置有3種情況，可能是在面上，如圖（1），可能在頂點上，如圖（2），可能在棱上，如圖（3

3、）。在面上時，可以用長方體的表面積小正方體4個面的面積;在角上時，正好等于長方體的表面積；在棱上時，要用長方體的表面積+小正方體2個面的面積。解：原長方體表面積為:（15×10+15×8+10×8） ×2=700（平方厘米）在角上時，剩下部分的表面積是700（平方厘米）；在面上時，剩下部分的表面積是：700+5×5×4=800（平方厘米）在棱上時，剩下部分的表面積是：7005×5×2750（平方厘米）所以剩下部分的表面積是700平方厘米，或800平方厘米，或750平方厘米。說明：本題也是要考慮可能出現(xiàn)的各種情況，要

4、做到不重不漏。 例2ADHGFEBC如圖棱長是2分米的正方體，沿與AB棱垂直的方向切3刀，沿與BC棱垂直的方向切4刀，沿與BF棱垂直的方向切5刀，共得到大小長方體120個。問這120個長方體的表面積之和是多少平方分米。 分析與解法在這道題中，120個長方體表面積的總和是由原來正方體的表面積與所有切面的面積兩部分組成。每切一刀，就增加2個邊長是2分米的正方形，共切12刀，增加了24個邊長是2分米的正方形。解： 2×2×62×2×（345）×22496120（平方分米）答：這120個長方體的表面積是120平方分米。說明：此題并沒有要求是平均切，所以

5、只能考慮在原來基礎(chǔ)上增加了多少。 例3有一根長3.5米的方木，把它截成3段，表面積增加了144平方厘米，這根方木的體積是多少立方分米？ 分析與解法把方木截成三段要截2次，每截一次要增加2個面，截2次增加4個面，4個面的面積為144平方厘米，144÷436（平方厘米），根據(jù)體積公式就能求出方木的體積。解： 144÷436（平方厘米）36×35012600（立方厘米）12.6（立方分米）答：這根方木的體積是12.6立方分米。說明：切n 刀分出（n+1）段，增加2n個面。 例4一個長方體的表面積是67.92平方分米，底面積是19平方分米，底面周長是17.6分米，這個長方

6、體的體積是多少？ 分析與解法表面積減去兩個底面積，差就是長方體的側(cè)面積，側(cè)面積除以底面周長是長方體的高。根據(jù)公式“底面積×高”求出長方體的體積。（67.92-19×2）÷17.629.92÷17.61.7（分米）19×1.732.3（立方分米） 例5一個長方體正塊，長5分米，寬3分米，高4分米，在它的六個面上都漆滿油漆然后鋸成棱長都是1分米的正方體木塊，鋸成的小正方體木塊中，幾個三面有紅色？兩個面、一個面有紅色的各有幾個？有沒有六個面都沒有紅色的？如果有，有幾個？ 分析與解法切開后三個面是紅色的8個頂點處；兩個面是紅色的在每條棱的中間（兩頭各去

7、掉1個）；一面是紅色的在每個面的中間（上下和左右都各去掉1個）。六個面都沒有紅色的，在原來的長方體的正中，也就是把原來長方體涂色的面都去掉剩下的長方體。解： 切開后三面有紅色的有8個；兩個面有紅色的有 （52）+（32）（42）×424（個）一個面有紅色的有（52）×（32）（52）×（42）（32）×（42）×222（個）六個面都沒有紅色的有（5-2） ×（3-2） ×（4-2）=6（個）說明：平時要多動手，多培養(yǎng)自己的動手能力和空間想象能力。 例6在長為16厘米，寬為15厘米的長方體水箱中有10厘米深的水?，F(xiàn)在往水箱里放

8、一塊石頭完全沉入水中，這時水面上升了4厘米。如果把石頭取出來又放入一個鐵球（球浸沒在水中，且水沒有溢出），這時水深17厘米，正好是水箱的高度。求水箱的容積和鐵球、石頭的體積。 分析與解法水上升4厘米的體積就是石頭的體積。17107（厘米），這7厘米高的水的體積就是鐵球的體積，由這些已知條件，再根據(jù)長方體的體積公式就能分別求出它們的體積。解：16×15×4960（立方厘米）16×15×（1710）1680（立方厘米）16×15×174080（立方厘米）答：水箱的容積是4080立方厘米，鐵球的體積是1680立方厘米，石頭的體積是960立方

9、厘米。說明：仔細(xì)讀題，注意“上升了”，“水深”等詞語，很容易解題。 例7一個棱長都是整數(shù)的長方體的表面積是110平方厘米，已知它的6個面中有2個相對面是正方形，它的體積是多少？ 分析與解法根據(jù)題意得知，這個長方體6個面中有兩個面是正方形，假設(shè)它的長、寬相等。假設(shè)長和寬用字母a表示，高用h表示，根據(jù)等量關(guān)系式就能找到答案。解：設(shè)長方體的長和寬都是a厘米，高是h厘米。由題意可知：2a2+4ah=110即a（a+2h）=55=5×11因為a和h都是整數(shù)，所以a5，a2h11所以a=5,h=3長方體的體積是5×5×375（立方厘米）答：長方體的體積是75立方厘米。說明:

10、當(dāng)題目出現(xiàn)未知數(shù)時，列方程解方程是比較簡便的方法。 例8小明在桌面上擺了一些大小一樣的正方體木塊，擺完后從正面看如圖（1），從側(cè)面看如圖（2），那么他最多用了多少塊木塊？最少用了多少塊木塊？（1） （2） 分析與解法（1）最多用了25塊正方體，第一層放3×412塊，第二層放3×39塊，第三層的4角各放一塊共4塊，總共用了129425塊。（2）在（1）的基礎(chǔ)上不影響視圖（1）、（2）的情況下逐步減少正方體，最少用9塊。我們用圖來說明312321223123300000200103小正方體 最多25塊 最少9塊在一個4×3的方格長方形中，每個小方格中標(biāo)有的數(shù)字表示在這

11、個小方格中摞起的小正方體的個數(shù)。左圖顯示最多用25塊小正方體；右圖顯示最少用9塊小正方體。練 習(xí) 1. 圖（1）是用棱長1厘米的立方體搭成的一個空間圖形，問其體積是多少？表面積是多少？2. 從一個長方體上截下一個體積是32立方厘米的長方體后，剩下的部分正好是棱長為4厘米的正方體，問原來這個長方體的表面積是多少平方厘米？3. 下面圖中哪些可以拼成正方體（ ）A B C D4. 一根鐵絲圍成的長方體，長15分米，寬8分米，高7分米，如果還用這根鐵絲改圍成一個正方體，那么這個正方體的棱長是多少分米？5. 用棱長是1厘米的立方塊拼成如圖的立體圖形，從正面看和從右面看得到的是什么樣的圖形？6. 一個長方體的水箱，從里面量長8分米，寬6