第第頁2022-2023學年四川省宜賓市高一（下）期末數(shù)學試卷（含解析）2022-2023學年四川省宜賓市高一（下）期末數(shù)學試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.函數(shù)的最小正周期為()

A.B.C.D.

2.某班有男生人，女生人，采用分層抽樣的方法從這名學生中抽取一個容量為的樣本，則應(yīng)抽取的女生人數(shù)為()

A.B.C.D.

3.已知復數(shù)滿足，則()

A.B.C.D.

4.中，角，，對應(yīng)的邊分別為，，，已知，，，則()

A.B.C.D.

5.中，，則()

A.B.C.D.

6.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則()

A.

B.

C.

D.

7.若，，則()

A.B.C.D.

8.在中，，將繞直線旋轉(zhuǎn)一周，得到的旋轉(zhuǎn)體的表面積為()

A.B.C.D.

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）

9.在中，已知，，且有兩解，則的取值可以是()

A.B.C.D.

10.已知向量，，則下列結(jié)論正確的是()

A.B.

C.向量與的夾角為D.向量在上的投影向量為

11.將函數(shù)的圖象沿軸向右平移個單位，再將圖象上所有點的橫坐標擴大為原來的倍縱坐標不變，得到函數(shù)的圖象，則下列判斷正確的是()

A.為偶函數(shù)

B.為奇函數(shù)

C.在單調(diào)遞減

D.

12.在正方體中，是側(cè)面上一動點，下列結(jié)論正確的是()

A.三棱錐的體積為定值

B.若，則平面

C.若，則與平面所成角為

D.若平面，則與所成角的正弦最小值為

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.已知向量，，若，則______．

14.設(shè)，且，在復平面內(nèi)對應(yīng)的點形成的圖形的面積為______．

15.數(shù)據(jù)，，，的方差為，則數(shù)據(jù)，，，的方差為______．

16.已知，，為球的球面上的三個點，且，球心到平面的距離為，若球的表面積為，則三棱錐體積的最大值為______．

四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.本小題分

設(shè)為第二象限角，．

求的值；

求的值．

18.本小題分

某物業(yè)管理公司為了解小區(qū)住戶對其服務(wù)管理水平的滿意度，從，兩個小區(qū)住戶中各隨機抽取戶參與滿意度測評，根據(jù)住戶的測評分數(shù)，得到小區(qū)住戶的滿意度評分的頻率分布直方圖和小區(qū)住戶的滿意度評分的頻數(shù)分布表．

小區(qū)住戶的滿意度評分的頻率分布直方圖

小區(qū)住戶的滿意度評分的頻數(shù)分布表

滿意度評分分組

頻數(shù)

求，并估計小區(qū)住戶的滿意度評分的分位數(shù)；

根據(jù)頻率分布直方圖，計算小區(qū)住戶的滿意度評分的平均數(shù)；

根據(jù)小區(qū)住戶的滿意度評分，將住戶的滿意度從低到高分為三個等級

滿意度評分低于分分到分不低于分

滿意度等級不滿意滿意非常滿意

根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，估計哪個小區(qū)住戶非常滿意的百分比大？說明理由．

19.本小題分

已知函數(shù)．

求的單調(diào)遞增區(qū)間；

若，求的值域．

20.本小題分

如圖，在四棱錐中，底面是正方形，為的中點．

證明：平面；

已知，，求二面角的余弦值．

21.本小題分

中，角，，對應(yīng)的邊分別為，，，已知．

證明：；

若，，求．

22.本小題分

如圖，在幾何體中，平面平面，四邊形是平行四邊形，，．

求證：；

若，，，為上一動點，求直線與平面所成角的正弦值的取值范圍．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：，

滿足，

由正切函數(shù)的定義可得，函數(shù)的最小正周期為．

故選：．

利用三角函數(shù)的誘導公式結(jié)合正切函數(shù)的定義求得函數(shù)的最小正周期．

本題考查三角函數(shù)的周期的求法，是基礎(chǔ)的定義題．

2.【答案】

【解析】解：根據(jù)分層抽樣法從人中抽取容量為的樣本，應(yīng)抽取的女生人數(shù)為．

故選：．

根據(jù)分層抽樣原理計算即可．

本題考查了分層抽樣原理應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．

3.【答案】

【解析】解：，

則，

故．

故選：．

根據(jù)已知條件，結(jié)合復數(shù)模公式，即可求解．

本題主要考查復數(shù)模公式，屬于基礎(chǔ)題．

4.【答案】

【解析】解：由正弦定理有：，

．

故選：．

由正弦定理直接計算即可．

本題考查正弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

5.【答案】

【解析】解：因為，

所以，

故．

故選：．

根據(jù)已知條件，結(jié)合平面向量的線性運算，即可求解．

本題主要考查平面向量的線性運算，屬于基礎(chǔ)題．

6.【答案】

【解析】解：由圖象可知，，可得，

則，

又過點，

則，

又，

則，

所以．

故選：．

根據(jù)圖象可得函數(shù)的周期，進而求得，再由過點，結(jié)合的范圍，可得的值，進而得解．

本題考查三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想以及運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．

7.【答案】

【解析】解：因為，，

所以，，

所以，

解得或舍去，可得，

所以．

故選：．

由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可求解．

本題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在三角函數(shù)求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

8.【答案】

【解析】解：中，，

將繞直線旋轉(zhuǎn)一周，得到的旋轉(zhuǎn)體是兩個圓錐體的組合體，如圖所示：

因為圓錐底面圓的半徑為，

所以幾何體的表面積為

故選：．

繞直線旋轉(zhuǎn)一周，得到的旋轉(zhuǎn)體是兩個圓錐體的組合體，由此求出幾何體的表面積．

本題考查了圓錐的側(cè)面積計算問題，是基礎(chǔ)題．

9.【答案】

【解析】解：有兩解，

，

即，

，

的取值可以是．

故選：．

由三角形解的個數(shù)知識得到不等式即可．

本題考查三角形解的個數(shù)問題，屬于基礎(chǔ)題．

10.【答案】

【解析】解：已知向量，，

則，，

對于選項A，，即選項A錯誤；

對于選項B，，即選項B正確；

對于選項C，，即向量與的夾角為，即選項C錯誤；

對于選項D，向量在上的投影向量為，即選項D正確．

故選：．

由平面向量數(shù)量積的坐標運算，結(jié)合平面向量的夾角及模的運算求解即可．

本題考查了平面向量數(shù)量積的坐標運算，重點考查了平面向量的夾角及模的運算，屬基礎(chǔ)題．

11.【答案】

【解析】解：將函數(shù)的圖象沿軸向右平移個單位，可得的圖象，

再將圖象上所有點的橫坐標擴大為原來的倍縱坐標不變，得到函數(shù)的圖象．

由于，顯然它是偶函數(shù)，故A正確．

由于，是非奇非偶函數(shù)，故B錯誤．

在上，，函數(shù)沒有單調(diào)性，故C錯誤．

由于函數(shù)的最小正周期為，

，

，

，故D正確．

故選：．

由題意利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律，求得的解析式，再利用余弦函數(shù)的周期性求得要求式子的值．

本題主要考查函數(shù)的圖象變換規(guī)律，利用余弦函數(shù)的周期性求函數(shù)的值，屬于中檔題．

12.【答案】

【解析】解：對選項，的面積一定，

又側(cè)面?zhèn)让?，且是?cè)面上一動點，

到側(cè)面的距離為定值，

三棱錐的體積為定值，選項正確；

對選項，如圖，若，則點在線段上，不包含點，

在上底面的射影為，而與不垂直，

根據(jù)三垂線定理可知與不垂直，

與平面不垂直，選項錯誤；

對選項，如圖，若，

則根據(jù)三垂線定理可知：垂直于在側(cè)面內(nèi)的射影，

而在側(cè)面內(nèi)的射影為，且，

點在線段上，

與平面所成角即為與平面所成角，

又平面，平面，

，又，且，

平面，設(shè)，

則與平面所成角為，

在中，易知，

，，

故A與平面所成角為，選項正確；

對選項，如圖，連接，，，

則易證平面平面，

又是側(cè)面上一動點，且平面，

在線段上，又，

與所成角為與所成角，即為，

又在中，，又的長度不變，

當?shù)拈L度最小時，即為與的交點時，

最小，最小，此時，

最小值為，

最小值為，選項正確．

故選：．

根據(jù)三棱錐的體積公式，三垂線定理，線面角的概念，面面平行的性質(zhì)，異面直線所成角的概念，對各個選項分別求解即可．

本題考查三棱錐的體積公式的應(yīng)用，三垂線定理的應(yīng)用，線面角的概念，面面平行的性質(zhì)的應(yīng)用，異面直線所成角的概念，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．

13.【答案】

【解析】解：向量，，，

則，解得．

故答案為：．

根據(jù)已知條件，結(jié)合向量共線的性質(zhì)，即可求解．

本題主要考查向量共線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．

14.【答案】

【解析】解：，且，復平面內(nèi)對應(yīng)的點形成的圖形為以為圓心，為半徑的圓，以及內(nèi)部區(qū)域，

故所求面積為．

故選：．

根據(jù)已知條件，結(jié)合復數(shù)的幾何意義，即可求解．

本題主要考查復數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．

15.【答案】

【解析】解：設(shè)原數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，

則原數(shù)據(jù)的方差為，

則新數(shù)據(jù)的方差為．

故答案為：．

根據(jù)方差的計算公式可解．

本題考查方差的計算公式，屬于中檔題．

16.【答案】

【解析】解：，，為球的球面上的三個點，且，

過，，三點的截面小圓的圓心為中點，

設(shè)，，截面小圓為的半徑為，球的半徑為，

則，，且球心到平面的距離為，

又球的表面積為，，

，，

的面積，當且僅當取等，

的面積的最大值為，又球心到平面的距離為，

三棱錐體積的最大值為．

故答案為：．

根據(jù)球的表面積公式，重要不等式，三棱錐的體積公式，即可求解．

本題考查球的截面問題，三棱錐的體積的最值的求解，重要不等式的應(yīng)用，屬中檔題．

17.【答案】解：為第二象限角，．

，

．

．

【解析】根據(jù)角的范圍，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可求解．

利用誘導公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可化簡求值得解．

本題主要考查了誘導公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．

18.【答案】解：由題知：，

解得，

設(shè)小區(qū)住戶的滿意度評分的分位數(shù)為，

則，解得，

小區(qū)住戶的滿意度評分的分位數(shù)為．

小區(qū)住戶的滿意度平均數(shù)為

．

小區(qū)住戶評分不低于分的頻率為；

小區(qū)住戶評分不低于分的頻數(shù)為，頻率為，

所以估計小區(qū)住戶非常滿意的百分比大．

【解析】由頻率分布直方圖中所有小矩形的面積和為，求出，進而求出分位數(shù)；

由頻率分布直方圖求平均值；

由頻率分布直方圖求頻率．

本小題考查運用樣本對總體進行估計，查由頻率分布直方圖求頻率、平均值，考查頻率公式，頻數(shù)，百分位數(shù)，同時也考查數(shù)據(jù)分析處理、數(shù)學運算等數(shù)學核心素養(yǎng)．

19.【答案】解：由題意可得，

令，，

所以，

所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，；

因為，

所以，

，

所以，

所以在上的值域為．

【解析】利用三角恒等變換化簡函數(shù)解析式，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求解即可；

由的取值范圍，由正弦函數(shù)的性質(zhì)求出最值，即可求得值域．

本題主要考查三角函數(shù)恒等變換，正弦型函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查運算求解能力，屬于中檔題．

20.【答案】解：證明：連接，記，連接，

因為是正方形，

所以為的中點．

又因為為的中點，

所以，

又因為平面，平面，

所以平面．

在中，，，，

所以，

所以，

取中點，連接，，

所以且，

因為，

所以，

又因為，分別為，的中點，

所以且，

所以．

所以二面角的平面角為，

在中，，，，

所以，

所以二面角的余弦值為．

【解析】連接，記，連接，根據(jù)題意可得為的中點，為的中點，由中位線定理可得，再由線面平行的判定定理，即可得出答案．

取中點，連接，，則且，由，則，又，分別為，的中點，進而可得且，推出二面角的平面角為，進而可得答案．

本小題考查線面平行判定，二面角定義及判斷等基礎(chǔ)知識，考查邏輯推理、空間想象能力，考查數(shù)學運算、直觀想象等數(shù)學核心素養(yǎng)，屬于中檔題．

21.【答案】解：因為，

即，

則，

，

，

，

則，

所以，

由正弦定理可得：；

因為，，

所以，

又因為，

得，

又因為，

則，

由得，

又因為，所以．

【解析】將條件式用三角恒等變換知識化簡后由正弦定理即可證明；

由余弦定理和條件可得，再由三角形的面積公式得，兩式相除可求得．

本題考查正余弦定理，三角形面積公式，兩角和差等基礎(chǔ)知識，還考查了邏輯思維能力，屬于中檔題．

22.【答案】證明：因為，所以，

因為平面平面，平面平面，平面，

所以平面，

因為平面，所以，

又因為，所以．

解：取與的中點分別為，，連接，，，，

過作交于點，連接，

因為，，所以四邊形為平行四邊形，

因為，，，，所以，，

所以四邊形為平行四邊形，

所以，，又因為，，

所以四邊形為平行四邊形，所以，

因為平面，平面，

所以平面，

因為，同理可得平面，

又因為，平面，，

所以平面平面，

所以與平面所成角即為與平面所成角，

當與重合時，與重合，此時與平面所成角為，

當與重合時，與重合，此時與平面所成角最大，

所以線面角的最大為直線與平面所成角，

即線面角的最大為直線與平