1、多面體外接球、內(nèi)切球半徑常見的5種求法如果一個多面體的各個頂點(diǎn)都在同一個球面上，那么稱這個多面體是球的內(nèi)接多面體，這個球稱為多面體的外接球.有關(guān)多面體外接球的問題，是立體幾何的一個重點(diǎn)，也是高考考查的一個熱點(diǎn).研究多面體的外接球問題，既要運(yùn)用多面體的知識，又要運(yùn)用球的知識，并且還要特別注意多面體的有關(guān)幾何元素與球的半徑之間的關(guān)系，而多面體外接球半徑的求法在解題中往往會起到至關(guān)重要的作用.公式法例1 一個六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個球面上，且該六棱柱的體積為，底面周長為，則這個球的體積為 .解 設(shè)正六棱柱的底面邊長為，高為，則有 正六棱柱的底面圓的半徑，

2、球心到底面的距離.外接球的半徑.小結(jié) 本題是運(yùn)用公式求球的半徑的，該公式是求球的半徑的常用公式.多面體幾何性質(zhì)法例2 已知各頂點(diǎn)都在同一個球面上的正四棱柱的高為4，體積為16，則這個球的表面積是A. B. C. D.解 設(shè)正四棱柱的底面邊長為，外接球的半徑為，則有，解得.這個球的表面積是.選C.小結(jié) 本題是運(yùn)用“正四棱柱的體對角線的長等于其外接球的直徑”這一性質(zhì)來求解的.補(bǔ)形法例3 若三棱錐的三個側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長均為，則其外接球的表面積是 .解 據(jù)題意可知，該三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，把這個三棱錐可以補(bǔ)成一個棱長為的正方體，于是正方體的外接球就是三棱錐的外接球.設(shè)其外接球的半徑為，則有.

3、故其外接球的表面積.小結(jié) 一般地，若一個三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且其長度分別為，則就可以將這個三棱錐補(bǔ)成一個長方體，于是長方體的體對角線的長就是該三棱錐的外接球的直徑.設(shè)其外接球的半徑為，則有.尋求軸截面圓半徑法例4 正四棱錐的底面邊長和各側(cè)棱長都為，點(diǎn)都在同一球面上，則此球的體積為 .解 設(shè)正四棱錐的底面中心為，外接球的球心為，如圖3所示.由球的截面的性質(zhì)，可得.又，球心必在所在的直線上.的外接圓就是外接球的一個軸截面圓，外接圓的半徑就是外接球的半徑.在中，由，得.是外接圓的半徑，也是外接球的半徑.故.小結(jié) 根據(jù)題意，我們可以選擇最佳角度找出含有正棱錐特征元素的外接球的一個軸截面圓，于是該

4、圓的半徑就是所求的外接球的半徑.本題提供的這種思路是探求正棱錐外接球半徑的通解通法，該方法的實(shí)質(zhì)就是通過尋找外接球的一個軸截面圓，從而把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題來研究.這種等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法值得我們學(xué)習(xí).確定球心位置法例5 在矩形中，沿將矩形折成一個直二面角，則四面體的外接球的體積為A. B. C. D.解 設(shè)矩形對角線的交點(diǎn)為，則由矩形對角線互相平分，可知.點(diǎn)到四面體的四個頂點(diǎn)的距離相等，即點(diǎn)為四面體的外接球的球心，如圖2所示.外接球的半徑.故.選C.出現(xiàn)多個垂直關(guān)系時建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量知識求解【例題】：已知在三棱錐中，求該棱錐的外接球半徑。解：由已知建立空間直角坐標(biāo)系

5、由平面知識得 設(shè)球心坐標(biāo)為 則,由空間兩點(diǎn)間距離公式知 解得 所以半徑為【結(jié)論】：空間兩點(diǎn)間距離公式：四面體是正四面體 外接球與內(nèi)切球的圓心為正四面體高上的一個點(diǎn)， 根據(jù)勾股定理知，假設(shè)正四面體的邊長為時，它的外接球半徑為。內(nèi)切球的半徑正方體的內(nèi)切球：設(shè)正方體的棱長為，求（1）內(nèi)切球半徑；（2）外接球半徑；（3）與棱相切的球半徑。（1）截面圖為正方形的內(nèi)切圓，得；（2）與正方體各棱相切的球：球與正方體的各棱相切，切點(diǎn)為各棱的中點(diǎn)，如圖4作截面圖，圓為正方形的外接圓，易得。圖3圖4圖5（3） 正方體的外接球：正方體的八個頂點(diǎn)都在球面上，如圖5，以對角面作截面圖得，圓為矩形的外接圓，易得。構(gòu)造直三

6、角形，巧解正棱柱與球的組合問題正棱柱的外接球，其球心定在上下底面中心連線的中點(diǎn)處，由球心、底面中心及底面一頂點(diǎn)構(gòu)成的直角三角形便可得球半徑。例題：已知底面邊長為正三棱柱的六個頂點(diǎn)在球上，又知球與此正三棱柱的5個面都相切，求球與球的體積之比與表面積之比。分析：先畫出過球心的截面圖，再來探求半徑之間的關(guān)系。圖6解：如圖6，由題意得兩球心、是重合的，過正三棱柱的一條側(cè)棱和它們的球心作截面，設(shè)正三棱柱底面邊長為，則，正三棱柱的高為，由中，得，圖1二 棱錐的內(nèi)切、外接球問題4 .正四面體的外接球和內(nèi)切球的半徑是多少？ 分析：運(yùn)用正四面體的二心合一性質(zhì)，作出截面圖，通過點(diǎn)、線、面關(guān)系解之。解：如圖1所示，設(shè)點(diǎn)是內(nèi)切球的球心，正四面體棱長為由圖形的對稱性知，點(diǎn)也是外接球的球心設(shè)內(nèi)切球半徑為，外接球半徑為在中，即，得，得【點(diǎn)評】由于正四面體本身的對稱性可知，內(nèi)切球和外接球的兩個球心是重合的，為正四面體高的四等分點(diǎn)，即內(nèi)切球的半徑