1、機(jī)器人機(jī)構(gòu)學(xué)作業(yè)1. Point out the differences between the open chain robot mechanism and the closed chain robot mechanism in structure characteristics, movement characteristics and forward/inverse kinematics.答：1）開鏈機(jī)器人的機(jī)構(gòu)特點(diǎn)：各桿循序構(gòu)成單鏈相鄰連桿間通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)副或移動(dòng)副連接的開鏈機(jī)器人。開鏈機(jī)器人的自由度數(shù)等于該機(jī)器人的關(guān)節(jié)數(shù)。運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)：機(jī)器人的關(guān)節(jié)空間Q有機(jī)器人的變量的所有可能值構(gòu)成，這也是機(jī)

2、器人的位型空間，這是因?yàn)榻o定了關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角也就給定了機(jī)器人所有連桿的位置。對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)副，關(guān)節(jié)變量用轉(zhuǎn)角給出，對(duì)于移動(dòng)副，用軸線方向觀察線位移來(lái)表示，如果機(jī)器人的雅可比矩陣在某一位型降秩，則此位型為奇異位型，機(jī)器人的在這一位型的運(yùn)動(dòng)不確定。運(yùn)動(dòng)學(xué)正解：運(yùn)動(dòng)學(xué)把所有的關(guān)節(jié)變量都看作是轉(zhuǎn)角，當(dāng)給定彝族關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角Q，希望確定工具坐標(biāo)系相對(duì)與基礎(chǔ)坐標(biāo)系的位型。運(yùn)動(dòng)學(xué)正解可用一個(gè)反映此相對(duì)關(guān)系的映射來(lái)表示。開鏈機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解映射可以通過(guò)將有各關(guān)節(jié)引起的剛體運(yùn)動(dòng)加以組合構(gòu)成。如果定義為相鄰連桿坐標(biāo)系間的變換，那么總的運(yùn)動(dòng)方程為：,這是相鄰連桿的坐標(biāo)系的相對(duì)表示的開鏈操作器運(yùn)動(dòng)學(xué)正解的一般公式。用各關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)由位

3、于關(guān)節(jié)軸線的運(yùn)動(dòng)旋量產(chǎn)生。將各關(guān)節(jié)加以組合，即得運(yùn)動(dòng)學(xué)正解映射如下：，此式稱為機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)正解的支書積公式。必須由基座開始循序編號(hào)，但是給出的工具坐標(biāo)系的位型與轉(zhuǎn)動(dòng)和移動(dòng)的實(shí)際循序無(wú)關(guān)。運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解：給定工具坐標(biāo)系所期望的位型，找出該位型的關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角。也就是說(shuō)，給定運(yùn)動(dòng)學(xué)正解映射和一個(gè)期望的位型，通過(guò)求解下式，獲得Q。該問(wèn)題可能有多解、唯一解或無(wú)解。求解運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解問(wèn)題時(shí)，首先要將問(wèn)題細(xì)分為幾個(gè)子問(wèn)題。每個(gè)子問(wèn)題可能無(wú)解、有一個(gè)解或多個(gè)解，這與末端執(zhí)行器的給定位置有關(guān)。如果該位型超出機(jī)器人的工作空間，那么肯定無(wú)解，且至少有一個(gè)子問(wèn)題無(wú)解。當(dāng)位型空間處于工作空間內(nèi)，且有多組關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角對(duì)應(yīng)與末端執(zhí)行器的同

4、一個(gè)位置映射，此時(shí)出現(xiàn)多解。如果某個(gè)子問(wèn)題有多解，那么整個(gè)求解過(guò)程應(yīng)考慮每個(gè)解的情況。2）閉鏈機(jī)器人的機(jī)構(gòu)特點(diǎn)：它是一種在末端執(zhí)行器與機(jī)器人基座之間有兩個(gè)或多個(gè)分支運(yùn)動(dòng)鏈連接的機(jī)器人。相對(duì)于開鏈機(jī)器人而言，閉鏈機(jī)器人具有剛性大和便于布置驅(qū)動(dòng)裝置等優(yōu)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)：對(duì)于并聯(lián)機(jī)構(gòu)，如果在某一位型其機(jī)構(gòu)方程降秩，則在該位型機(jī)器人是運(yùn)動(dòng)奇異的。在這種情況下，執(zhí)行器就會(huì)失去在某個(gè)方向上瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)的能力。這一點(diǎn)與串聯(lián)機(jī)構(gòu)奇異位型的描敘。然而在該位型，尚不能確定機(jī)構(gòu)中那些關(guān)節(jié)是主動(dòng)的，那些關(guān)節(jié)是被動(dòng)的。如果并聯(lián)機(jī)構(gòu)的關(guān)節(jié)都是主動(dòng)的，則僅存在所能發(fā)生的奇異性。如果并聯(lián)機(jī)器人中僅有部分關(guān)節(jié)都是主動(dòng)的，這樣就會(huì)導(dǎo)致額

5、外的奇異性，稱之為驅(qū)動(dòng)奇異性。運(yùn)動(dòng)學(xué)正解：可以通過(guò)令每個(gè)分支運(yùn)動(dòng)鏈所確定的末端執(zhí)行器的位置相等來(lái)描敘。假設(shè)機(jī)器人的第一個(gè)分支運(yùn)動(dòng)鏈（包括末端執(zhí)行器）有n1個(gè)關(guān)節(jié)，第二個(gè)分支運(yùn)動(dòng)鏈（包括末端執(zhí)行器）有n2個(gè)關(guān)節(jié)，則運(yùn)動(dòng)學(xué)正解可用指數(shù)坐標(biāo)表示為。它建立了機(jī)器人關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角之間的約束，正是由于這些約束的存在，從而僅須確定關(guān)節(jié)變量的子集就能控制末端執(zhí)行器的位置，而其余關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角的變量的取值必須滿足上式。由于關(guān)節(jié)變量受到上式的限制，并聯(lián)機(jī)器人的關(guān)節(jié)空間就不是簡(jiǎn)單地象開鏈機(jī)構(gòu)那樣為各關(guān)節(jié)空間的笛卡兒積。相反，它是滿足上式的子集。維數(shù)的確定，以及并聯(lián)機(jī)器人自由度的確定，需要對(duì)機(jī)構(gòu)中的關(guān)節(jié)數(shù)和構(gòu)件數(shù)做仔細(xì)分析。運(yùn)動(dòng)

6、學(xué)逆解：并聯(lián)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解問(wèn)題可以通過(guò)對(duì)聯(lián)基座和末端執(zhí)行器的各開鏈機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解的處理來(lái)解決。答： =其中，式中： 則， = 解：該問(wèn)題對(duì)應(yīng)于將一點(diǎn)p先繞軸2旋轉(zhuǎn)2，再繞軸1旋轉(zhuǎn)1，p點(diǎn)的最后位置能與點(diǎn)q重合。問(wèn)題1：如果1和2重合，則滿足1+2=的任意1，2都是解。如下圖所示，1、2重合變成軸。該問(wèn)題對(duì)應(yīng)于將一點(diǎn)p繞定軸旋轉(zhuǎn)至與第二點(diǎn)q重合。假設(shè)r是軸上的一點(diǎn)，定義u=（p-r）是r與p間的矢量，v=（q-r）是r與q之間的矢量。由expp=q和expr=r可得expu=v。因此有expu=expu。圖 3.2為了確定該問(wèn)題何時(shí)有解，定義u、v為u、v在垂直于軸的平面上的投影。如果是軸方

7、向的單位矢量，那么u=u-Tu 和 v=v-Tv該問(wèn)題有解當(dāng)且僅當(dāng)u、v在軸上的投影和在與垂直的平面上的投影具有相同的長(zhǎng)度。嚴(yán)格來(lái)說(shuō)，如果將上式在生成的空間和T的零空間投影，即得必要條件Tu=Tv 和 u=v如果上式成立，那么僅由3.2b所示的投影矢量u、v就可求得。若u0，則利用如下關(guān)系就可確定u×v=sinuvuv=cosuv=tan2Tu×v，uTv若u=0，則有無(wú)窮多個(gè)解，因此此時(shí)p=q且兩點(diǎn)位于旋轉(zhuǎn)軸上。問(wèn)題2:如果這兩個(gè)軸線不平平，即1×20，并設(shè)c是滿足下式的點(diǎn)exp22p=c=exp-11q換句話說(shuō)，c表示p繞2軸旋轉(zhuǎn)2所得之點(diǎn)。設(shè)r是兩軸線的交點(diǎn)

8、，那么exp22p-r=c-r=exp-11q-r與前相同，定義矢量u=（p-r），v=（q-r），z=（c-r）。將其帶入上式得exp22u=z=exp-11v上式表明2Tu=2Tz 和 1Tv=1Tz且u2=z2= v2。因1，2和1×2是線性獨(dú)立的，故有z=1+2+1×2和z2=2+2+21T2+21×22由上幾式能得到含兩個(gè)未知量得方程2Tu=2T1+1Tv=+1T2從而得到=1T22Tu-1Tv1T22-1=1T21Tv-2Tu1T22-1再由上幾式求解2，并利用u2=z2得2=u2-2-2-21T21×22上式可能沒有實(shí)根，也有可能有1個(gè)或2

9、個(gè)實(shí)根。在有根的情況下，由、和可以求得z和c。為求1和2，利用問(wèn)題1解下式exp22p=c和exp-11q=c如果c有多個(gè)解，對(duì)應(yīng)于每個(gè)c值都能解出相應(yīng)的1和2。當(dāng)圖3.1中的圓相交于兩個(gè)點(diǎn)時(shí)存在兩個(gè)解，圓相切時(shí)只有一個(gè)解，圓分離時(shí)無(wú)解。解：（1）如下圖所示，以B點(diǎn)為原點(diǎn)，AB為x軸，其垂直方向?yàn)閥軸建立Bxy坐標(biāo)軸。對(duì)應(yīng)于該坐標(biāo)軸中的任意一點(diǎn)（x,y）在oxy軸中的坐標(biāo)為：xy=cosB-sinBsinBcosBx'y'-xByB而對(duì)應(yīng)于兩個(gè)腳在oxy的坐標(biāo)軸為（b，0）和（a，0），它們?cè)贐xy坐標(biāo)軸的坐標(biāo)為-l0+l3sin3-l4sin4，-l3cos3-l4cos4和

10、l0+l1sin1-l2sin2，-l1cos1-l2cos2從而有b0=cosB-sinBsinBcosB-l0+l3sin3-l4sin4-l3cos3-l4cos4-xByB和a0=cosB-sinBsinBcosBl0+l1sin1-l2sin2-l1cos1-l2cos2-xByB由上四式整理可得到b+xByB=-l0cosB+l3sin3+B-l4sin4-B-l0sinB-l3cos3+B-l4cos4-B和a+xByB=l0cosB+l3sin1+B-l4sin2-Bl0sinB-l3cos1+B-l4cos2-B上面有四個(gè)方程，有四個(gè)未知數(shù)1、2、3、4，從而可求解出1、2、3、4。（2）對(duì)上面得到的方程組求導(dǎo)可得到xByB=l0Bs