1、五、空間解析幾何1、基本概念（1）空間兩點(diǎn)和間的距離：（2）向量在軸u上的投影：Prju= (其中，是向量與軸u的夾角)（3）向量的定比分點(diǎn)：設(shè)、為兩已知點(diǎn)，是向量的定比分點(diǎn)，則： ， (注：AM和MB是有向線段) ， ，當(dāng)M為的中點(diǎn)時(shí)，有： ， ，（4）方向余弦：或，且有：其中、是向量與各坐標(biāo)軸的夾角，、是向量在各坐標(biāo)軸上的投影。（5）兩向量的數(shù)量積、向量積和混合積數(shù)量積：=+(推論：兩向量夾角余弦：)數(shù)量積的性質(zhì)：=數(shù)量積的運(yùn)算規(guī)律：交換律：=分配律：(+)=+結(jié)合律：()=()向量積：×=(代表以為鄰邊的平行四邊形的面積)向量積的性質(zhì)： ×=0向量積的運(yùn)算規(guī)律：反交換

2、律：×=-×分配律：(+)×=×+×結(jié)合律：()×=×()=(×) (為數(shù))混合積：=(×)=(當(dāng)為銳角時(shí)，代表以三個(gè)向量組成的平行六面體的體積。)混合積的運(yùn)算規(guī)律：輪換對(duì)稱性：反交換律：（6）向量之間的關(guān)系(設(shè))向量，之間的夾角：向量，共線存在不全為零的，使得向量共面=0存在不全為零的使得向量在上的投影：2、空間曲面（1）球面：一般式：標(biāo)準(zhǔn)式： (圓心為，半徑為R)（2）旋轉(zhuǎn)曲面：(設(shè)曲線L：在YOZ坐標(biāo)面上)曲線L繞Z軸旋轉(zhuǎn)所成曲面方程：曲線L繞Y軸旋轉(zhuǎn)所成曲面方程：（3）柱面：母線平行于Z軸的柱面：

3、曲面方程只含x,y而缺z，其準(zhǔn)線是XOY面上的曲線L：；母線平行于Y軸的柱面：曲面方程只含x,z而缺y，其準(zhǔn)線是XOZ面上的曲線L：；母線平行于X軸的柱面：曲面方程只含y,z而缺x，其準(zhǔn)線是YOZ面上的曲線L：；常見(jiàn)柱面及其方程圓柱面：橢圓柱面：雙曲柱面：拋物柱面：（4）二次曲面橢球面：橢球面：(當(dāng)時(shí)，變?yōu)榍蛎娣匠蹋?旋轉(zhuǎn)橢球面：(Z軸為旋轉(zhuǎn)軸)拋物面：橢圓拋物面： ()旋轉(zhuǎn)拋物面： ()雙曲拋物面(鞍形曲面)：()雙曲面：?jiǎn)稳~雙曲面：雙葉雙曲面：二次錐面：（5）空間曲面的切平面與法線空間曲面的法向量為：空間曲面上點(diǎn)處的法線方程為： 或 空間曲面上點(diǎn)處的切平面方程為：（6）旋轉(zhuǎn)體的體積極坐標(biāo)圖

4、形繞極軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體體積：平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體體積：曲線繞軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體表面積：古爾金定理(輪胎定理)：平面圖形(設(shè)面積為)繞不與它相交的軸旋轉(zhuǎn)(圖形重心與旋轉(zhuǎn)軸的距離，即旋轉(zhuǎn)半徑為)，所得旋轉(zhuǎn)體體積為：3、空間曲線（1）空間曲線方程一般式： (空間曲線可看作兩個(gè)曲面的交線)參數(shù)式： (如螺旋線方程為： )（2）空間曲線的切線與法平面空間曲線的切向量：一般式方程的切向量為：參數(shù)式方程的切向量為：設(shè)是空間曲線在點(diǎn)處的切向量，則其切線方程為： 或 設(shè)是空間曲線在點(diǎn)處的切向量，則其法平面方程為：4、空間平面（1）空間平面方程：一般式：(其中，是平面的法向量)點(diǎn)法式：(其中，是平面上一點(diǎn)，是

5、平面的法向量)截距式：(其中，、是平面在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距)三點(diǎn)式： 或 (其中，是平面上不共線的三點(diǎn))過(guò)直線L：的平面束的方程：（2）空間兩平面間的夾角：（3）空間兩平面間的位置關(guān)系：平行： 或 重合：垂直： (即)（4）點(diǎn)到空間平面的距離：5、空間直線（1）空間直線方程：一般式： (空間直線可看作兩個(gè)平面的交線)對(duì)稱式(點(diǎn)向式)：(其中，是直線上一點(diǎn)，是直線的方向向量)兩點(diǎn)式：(，是直線上兩點(diǎn))參數(shù)式：（2）空間兩直線間的夾角：（3）空間兩直線間的位置關(guān)系：平行：重合： (其中，、分別為兩直線上的點(diǎn))垂直：(即)異面：(其中，、分別為兩直線上的點(diǎn))（4）空間直線與平面間的夾角：（5）空間直線與平面間的位置關(guān)系：平行：(即)垂直