1、第二章 質(zhì)點運動學（習題） 質(zhì)點的運動學方程為 求質(zhì)點軌跡并用圖表示。 解 : . 軌跡方程為 y=5 消去時間參量 t 得： 質(zhì)點運動學方程為 ，（ 1 ） . 求質(zhì)點的軌跡；（ 2 ） . 求自 t=-1 至 t=1 質(zhì)點的位移。 解 ; 消去 t 得軌跡： xy=1,z=2 , , 質(zhì)點運動學方程為 ，（ 1 ） . 求質(zhì)點的軌跡；（ 2 ） . 求自 t=0 至 t=1 質(zhì)點的位移。 解 : . 消去 t 得軌跡方程 雷達站于某瞬時測得飛機位置為 ， 0.75s 后測得 均在鉛直平面內(nèi)。求飛機瞬時速率的近似值和飛行方向（角）。解 :代入數(shù)值得： 利用正弦定理可解出 一小圓柱體沿拋物線軌

2、道運動，拋物線軌道為 （長度 mm ）。第一次觀察到圓柱體在 x=249mm 處，經(jīng)過時間 2ms 后圓柱體移到 x=234mm 處。求圓柱體瞬時速度的近似值。 解: 一人在北京音樂廳內(nèi)聽音樂，離演奏者 17m 。另一人在廣州聽同一演奏的轉(zhuǎn)播，廣州離北京 2320km ，收聽者離收音機 2m ，問誰先聽到聲音？聲速為 340m/s, 電磁波傳播的速度為 。 解 : 在廣州的人先聽到聲音。 如果不允許你去航空公司問訊處，問你乘波音 747 飛機自北京不著陸飛行到巴黎，你能否估計大約用多少時間？如果能，試估計一下（自己找所需數(shù)據(jù)）。 解 : 火車進入彎道時減速，最初列車向正北以 90km/h 速率

3、行駛， 3min 后以 70km/h 速率向北偏西 方向行駛。求列車的平均加速度。 解， （ 1 ） R 為正常數(shù)。求 t=0, /2 時的速度和加速度。（ 2 ） 求 t=0,1 時的速度和加速度（寫出正交分解式）。 解：（ 1 ） 當 t=0 時， 當 t= /2 時， （ 2 ） 當 t=0 時， 當 t=1 時， 圖中 a 、 b 和 c 表示質(zhì)點沿直線運動三種不同情況下的 x-t 圖，試說明三種運動的特點（即速度，計時起點時質(zhì)點的坐標，位于坐標原點的時刻）。 解 : a 直線的斜率為速度 b 直線的斜率為速度 c 直線的斜率為速度 質(zhì)點直線運動的運動學方程為 x=acost, a 為

4、正常數(shù)。求質(zhì)點速度和加速度并討論運動特點（有無周期性，運動范圍，速度變化情況等）。 解 : 質(zhì)點受力 ，是線性恢復(fù)力，質(zhì)點做簡諧振動，振幅為 a ，運動范圍在 ，速度具有周期性。 跳傘運動員的速度為 v 鉛直向下，、 q 為正常量。求其加速度。討論當時間足夠長時（即 t ），速度和加速度的變化趨勢。 解 : 直線運動的高速列車在電子計算機控制下減速進站。列車原行駛速度為 ，其速度變化規(guī)律如圖所示。求列車行駛至 x=1.5km 時加速度的大小。 解 : 當 x=1.5km 時， 在水平桌面上放置 A 、 B 兩物體，用一不可伸長的繩索按圖示的裝置把它們連接起來。 C 點與桌面固定。已知物體 A

5、的加速度 ，求物體 B 的加速度。 解 :以 C 為坐標原點，建立一維坐標系 o-x 。設(shè)繩的總長度為 ， B 的坐標為 ， A 的坐標為 ，則得 兩端對 t 求導(dǎo) 質(zhì)點沿直線的運動學方程為 。 （ 1 ）將坐標原點沿 ox 軸正方向移動 2m ，運動學方程如何？初速度有無變化？ （ 2 ）將計時起點前移 1s ，運動學方程如何？初始坐標和初始速度都發(fā)生怎樣的變化？加速度變不變？ 解 :（ 1 ） ，代入上式得： 初速度不變。 （ 2 ） 代入上式得： 初坐標 由 0 變?yōu)?-7m. , 初速度由 10m/s 變?yōu)?4m/s. 加速度不變，都是 . 以下四題用積分 質(zhì)點由坐標原點出發(fā)時開始計時

6、，沿 x 軸運動，其加速度 ，求在下列兩種情況下質(zhì)點的運動學方程、出發(fā)后 6s 時質(zhì)點的位置、在此期間所走過的位移及路程： （ 1 ）初速度 ； （ 2 ）初速度 的大小為 9cm/s, 方向與加速度方向相反。 解 :（1） ， ， 當 t=6s時， , , 質(zhì)點運動的路程： (2) , , 當 t=6s時， , , 質(zhì)點運動的路程如圖， ， ， 質(zhì)點運動的路程： 質(zhì)點直線運動瞬時速度的變化規(guī)律為 求 至 時間內(nèi)的位移。 解 : ， 一質(zhì)點作直線運動，其瞬時加速度的變化規(guī)律為 在 t=0 時， 其中 均為正常數(shù)，求此質(zhì)點的運動學方程。 解 : ， ， 飛機著陸時為盡快停止采用降落傘制動。剛著陸

7、時，t=0時速度為 且坐標為 x=0. 假設(shè)其加速度為 ， b= 常量，求此質(zhì)點的運動學方程。 解 : ， ， 解以下四題中勻變速直線運動時應(yīng)明確寫出所選的坐標系、計時起點和初始條件。 在 195m 長的坡道上，一人騎自行車以 18km/h 的速度和 -20cm/s 2 的加速度上坡，另一自行車同時以 5.4km/h 的初速度和 0.2m/s 2 的加速度下坡。問（ 1 ）經(jīng)過多長時間兩人相遇；（ 2 ）兩人相遇時，各走過多少路程。 解 :建立坐標系 o-x, 原點為質(zhì)點 1 的初始位置。 對上坡的質(zhì)點 1:t=0,v 10 =5m/s, x 10 =0, a 1 =-0.2m/s 2 , 對

8、下坡的質(zhì)點 2:t=0,v 20 =-1.5m/s,x 20 =195m, a 2 =-0.2m/s 2 , 相遇時， x 1 =x 2 , 所需時間設(shè)為 t ，則 質(zhì)點 1 的速度表達式為： ，所以質(zhì)點 1 的路程為兩段路程之和，如圖所式。前 25s 的路程： 后 5s 的路程： 質(zhì)點 2 的路程： 195-62.5+2.5=135(m) 站臺上送行的人，在火車開動時站在第一節(jié)車廂的最前面?；疖囬_動后經(jīng)過 t=24s ，第一節(jié)車廂的末尾從此人的面前通過。問第七節(jié)車廂駛過他面前需要多長時間？火車作勻加速運動。解 : 設(shè)火車第六節(jié)末尾經(jīng)過此人的時間為 t 6 ， 火車第七節(jié)末尾經(jīng)過此人的時間為

9、t 7 ， 在同一鉛直線上相隔 h 的兩點以同樣的速率 v 0 上拋二石子，但在高處的石子早 t 0 秒被拋出。求此二石子何時何處相遇。解 : 解出 t 得： ， 將 t 代入 ，得 電梯以 1.0m/s 的勻速率下降，小孩在電梯中跳離地板 0.50m 高，問當小孩再次落到地板上時，電梯下降了多長距離？ 解 : 建立基本坐標系 o-x, 原點固結(jié)在地面上，建立運動坐標系 原點固結(jié)在電梯的地板。 小孩相對運動參照系 （電梯）跳起到落回地板所需時間設(shè)為 t ，則 解出 td 得， 這段時間電梯下降的距離為 , 質(zhì)點在 o-xy 平面內(nèi)運動，其加速度為 位置和速度的初始條件為 t=0 時 ，求質(zhì)點的

10、運動學方程并畫出軌跡（本題用積分）。 解 :由 得 初始條件： t=0 時 ,v 0x =0,v 0y =1,x 0 =1,y 0 =0 , , , , 軌道方程： 在同豎直值面內(nèi)的同一水平線上 A 、 B 兩點分別以 30 0 、 60 0 為發(fā)射角同時拋出兩小球欲使兩小球相遇時都在自己的軌道的最高點，求 A 、 B 兩點的距離。已知小球在 A 點的發(fā)射速率 解 :， 迫擊炮彈的發(fā)射角為 60 0 , 發(fā)射速率 150m/s. 炮彈擊中傾角 30 0 的山坡上的目標，發(fā)射點正在山腳。求彈著點到發(fā)射點的距離 OA. 解 : 由幾何關(guān)系： 將 (2) 、 (3) 式代入 (1) 式 轟炸機沿與鉛

11、直方向成 俯沖時，在 763m 高度投放炸彈，炸彈離開飛機 5.0s 時擊中目標。不計空氣阻力。（ 1 ）轟炸機的速率是多少？（ 2 ）炸彈在飛行中經(jīng)過的水平距離是多少？（ 3 ）炸彈擊中目標前一瞬間的速度沿水平和鉛直方向的分量是多少？解 :以投放炸彈處為坐標原點 （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） 雷達觀測員正在監(jiān)視一越來越近的拋射體，在某一時刻，靠他得到這樣的信息：（ 1 ）拋射體達到最大高度且以速率 v 沿水平方向運動；（ 2 ）觀察者到拋射體的直線距離為 ；（ 3 ）觀測員觀察拋體的視線與水平方向成 角。 問：（ 1 ）拋射體命中點到觀察者的距離 D 等于多少？（ 2 ）何種情況下拋體

12、飛越觀察者的頭頂以后才擊中目標？何種情況下拋體在未達到觀測員以前就命中目標？ 解 :（ 1 ） ， ，命中點， 觀測者 拋射體命中點到觀察者的距離 （ 2 ） 當 ，飛越觀察者的頭頂擊中目標，即 當 ，拋體在未達到觀測員以前就命中目標，即 列車在圓弧形軌道上自東轉(zhuǎn)向北行駛，在我們所討論的時間范圍內(nèi)，其運動學方程為 （長度： m 時間： s ）。 t=0 時，列車在圖中 o 點，此圓弧形軌道的半徑 r=1500m. 求列車駛過 o 點以后前進至 1200m 處的速率及加速度。 解 :采用自然坐標系， o 為自然坐標系的原點。 由 得 ， ， 當 s=1200m 時，由 得 （舍去）因為當 t=6

13、0 時， 當 ，即列車駛過 o 點以后前進至 1200m 處的速率為 40m/s. 過 o 點以后前進至 1200m 處的加速度： 可以算出 與 的夾角為 152 0 。 火車以 200km/h 的速度駛?cè)雸A弧形軌道，其半徑為 300m 。司機一進入圓弧形軌道立即減速，減速度為 2g 。求火車在何處的加速度最大？最大加速度是多少？解 : ， 由上式可見 t=0 時（剛進入圓弧形軌道時）， a 最大。 代入數(shù)值得 斗車在位于鉛直平面內(nèi)上下起伏的軌道運動。當斗車達到圖中所示位置時，軌道曲率半徑為 150m ，斗車速率為 50km/h, 切向加速度 a =0.4g. 求斗車的加速度。 解， 加速度與

14、水平方向的夾角 飛機在某高度的水平面上飛行。機身的方向是自東北向西南，與正西夾 15 0 角，風以 100km/h 的速率自西南向東北方向吹來，與正南夾 45 0 角，結(jié)果飛機向正西方向運動。求飛機相對于風的速度及相對地面的速度。 解 :基本參照系：地面 運動參照系：風 研究對象：飛機 絕對速度： ，相對速度： ，牽連速度： = + （ 1 ） （ 2 ） 飛機在靜止空氣中的飛行速率是 235km/h ， 它朝正北的方向飛行，使整個飛行的時間內(nèi)都保持在一條南北向的公路上空。地面觀察者利用通訊設(shè)備告訴駕駛員正在刮著速率等于 70km/h 的風，但飛機仍能以 235km/h 的速率沿公路方向飛行。

15、（ 1 ）風的方向是怎樣的？（ 2 ）飛機的頭部指向哪個方向？也就是說，飛機的軸線和公路成怎樣的角度？解 :基本參照系：地面 運動參照系：風 研究對象：飛機 絕對速度： ，相對速度： ，牽連速度： = + 一輛卡車在平直路面上以恒定速率 30m/s 行駛，在此車上射出一拋體，要求在車前進 60m 時，拋體仍落回到車上原拋出點，問拋體射出時相對于卡車的初速度的大小和方向，空氣阻力不計。解 :以卡車為參照系，以起拋點為坐標原點，建立直角坐標系o-xy,如圖所示。以拋出時刻為計時起點。 得： 由已知， 代入 表明：拋射體相對卡車以 9.8m/s的速率豎直上拋時，當卡車前進了60m，拋體落回拋射點。 河的兩岸互相平行，一船由A點朝與岸垂直的方向勻速行駛，經(jīng)10min到達對岸的C點。若船從