1、第一章 行列式1 二階與三階行列式1. 1. 二階行列式二階行列式二元線性方程組二元線性方程組 )2()1(22221211212111bxaxabxaxa211222112112112211222112122211,aaaaabbaxaaaabaabx當(dāng)當(dāng)021122211aaaa時(shí)，方程組有唯一解時(shí)，方程組有唯一解用消元法用消元法得得2222121212221121122211)(bxaxabaabxaaaa1222)2() 1(aa記記2112221122211211aaaaaaaa則有則有221111222212111,1babaDxababDx22211211aaaaD 其中其中.,

2、221111211211222121212221babaabbaababbaab于是于是為為稱稱21122211aaaa二階行列式二階行列式，記作，記作也稱為方程組的系數(shù)行列式。也稱為方程組的系數(shù)行列式。22211211aaaa行標(biāo)列標(biāo)(1,2) 元素對(duì)角線法則對(duì)角線法則:22211211aaaa主對(duì)角線主對(duì)角線副對(duì)角線副對(duì)角線2112aa2211aa例例. 解方程組解方程組 1212232121xxxx解：解：07)4(31223D14112121D21121232D, 271411DDx372122DDx2. 三階行列式三階行列式類似地，討論三元線性方程組類似地，討論三元線性方程組3333

3、23213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa333231232221131211aaaaaaaaa322311332112312213322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa為為三階行列式三階行列式, 記作記作稱稱對(duì)角線法則：對(duì)角線法則：333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa312312aaa322113aaa312213aaa332112aaa322311aaa例：例：38114110241648248)1(2310)1()4(1811)1()1(03)4(22 全全排列與逆序

4、數(shù)定義定義1：把：把 n 個(gè)不同的元素排成的一列個(gè)不同的元素排成的一列, 稱為這稱為這 n 個(gè)元素的個(gè)元素的一個(gè)全排列一個(gè)全排列, 簡(jiǎn)稱排列。簡(jiǎn)稱排列。把把 n 個(gè)不同的元素排成一列個(gè)不同的元素排成一列, 共有共有 Pn個(gè)排列。個(gè)排列。P3 = 321 = 6例如：例如：1, 2, 3 的全排列的全排列123，231，312，132，213，321共有共有321 = 6種，即種，即 一般地，一般地，Pn= n(n-1)321= n!P3 = 321 = 6標(biāo)準(zhǔn)次序：標(biāo)準(zhǔn)次序：標(biāo)號(hào)由小到大的排列。標(biāo)號(hào)由小到大的排列。定義定義2：在在n個(gè)個(gè) 元素的一個(gè)排列中，若某兩個(gè)元素元素的一個(gè)排列中，若某兩個(gè)

5、元素排列的次序與標(biāo)準(zhǔn)次序不同，就稱這兩個(gè)排列的次序與標(biāo)準(zhǔn)次序不同，就稱這兩個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)逆序逆序，一個(gè)排列中所有逆序的，一個(gè)排列中所有逆序的總和稱為這個(gè)總和稱為這個(gè)排列的逆序數(shù)排列的逆序數(shù)。一個(gè)排列的逆序數(shù)的計(jì)算方法：一個(gè)排列的逆序數(shù)的計(jì)算方法：設(shè)設(shè) p1 p2 pn 是是 1，2，n 的一個(gè)排列，的一個(gè)排列，用用 ti 表示元素表示元素 pi 的逆序數(shù)，即排在的逆序數(shù)，即排在 pi 前面并比前面并比 t = t1 + t2 + + tn pi 大的大的元素有元素有 ti 個(gè)，則個(gè)，則排列的逆序數(shù)為排列的逆序數(shù)為例例4：求排列：求排列 32514 的逆序數(shù)。的逆序數(shù)。解：解：51301

6、054321tttttt排列的逆序數(shù)排列的逆序數(shù),逆序數(shù)為逆序數(shù)為奇數(shù)奇數(shù)的排列稱為的排列稱為奇排列奇排列。逆序數(shù)為逆序數(shù)為偶數(shù)偶數(shù)的排列的排列稱為稱為偶排列偶排列。例如：例如：123 t = 0 為偶排列，為偶排列，312 t = 2 為偶排列。為偶排列。321 t = 3 為奇排列，為奇排列，3 n 階行列式的定義觀察二、三階行列式，得出下面結(jié)論：觀察二、三階行列式，得出下面結(jié)論： 每項(xiàng)都是處于不同行不同列的每項(xiàng)都是處于不同行不同列的n n個(gè)元素的乘積。個(gè)元素的乘積。2. n n 階行列式是階行列式是 n n！項(xiàng)的代數(shù)和。！項(xiàng)的代數(shù)和。3. 每項(xiàng)的符號(hào)都是由該項(xiàng)元素下標(biāo)排列的奇偶性每項(xiàng)的符

7、號(hào)都是由該項(xiàng)元素下標(biāo)排列的奇偶性 所確定。所確定。定義定義1： n! 項(xiàng)項(xiàng)nnnnnnaaaaaaaaa212222111211nnppptaaa2121)1(的和的和nnppptaaa2121)1(稱為稱為 n 階行列式階行列式 (n1)，記作，記作例例1：寫出四階行列式中含有因子：寫出四階行列式中含有因子2311aa的項(xiàng)。的項(xiàng)。42342311aaaa44322311aaaa 例例2： 計(jì)算四階行列式計(jì)算四階行列式hgfedcbaD00000000 D = acfh + bdeg adeh bcfg重要結(jié)論：重要結(jié)論：(1) 上三角形行列式上三角形行列式nnnnaaaaaaD0002221

8、1211 nnaaa2211 (2) 下三角形行列式下三角形行列式nnaaa2211 nnnnaaaaaaD21222111000 (3) 對(duì)角行列式對(duì)角行列式nnaaaD2211 nnaaa2211 (4) 副對(duì)角行列式副對(duì)角行列式11, 21nnnaaaD 11,212)1()1(nnnnnaaa 行列式的等價(jià)定義行列式的等價(jià)定義nnnnnnaaaaaaaaa212222111211nnjjjtaaa21211)(niiitnaaa21211)(5 行列式的性質(zhì)nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211nnnnnnaaaaaaaaaD212221212111T稱稱 DT 為為

9、 D 的轉(zhuǎn)置行列式。的轉(zhuǎn)置行列式。設(shè)設(shè)則則D 經(jīng)過經(jīng)過“行列互換行列互換”變?yōu)樽優(yōu)?DT 性質(zhì)性質(zhì)1：行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等。：行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等。113102011110101321證明：設(shè)證明：設(shè)nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211nnnnnnbbbbbbbbbD212222111211T則則jiijab ), 2 , 1,(nji 由行列式定義由行列式定義nnjjjtbbbD2121T1)(Daaanjjjtn2121)1(性質(zhì)性質(zhì)2：互換行列式的兩行：互換行列式的兩行 ( 列列 )，行列式變號(hào)。，行列式變號(hào)。32110111011010132131rr互

10、換互換 s、t 兩行：兩行：tsrr 互換互換 s、t 兩列：兩列：tscc “運(yùn)算性質(zhì)運(yùn)算性質(zhì)”推論：若行列式有兩行（列）相同，推論：若行列式有兩行（列）相同， 則行列式為則行列式為 0 。032110132132110132131rr性質(zhì)性質(zhì)3：用非零數(shù)：用非零數(shù) k 乘行列式的某一行（列）中乘行列式的某一行（列）中 所有元素，等于用數(shù)所有元素，等于用數(shù) k 乘此行列式。乘此行列式。1101016422121101013211r“運(yùn)算性質(zhì)運(yùn)算性質(zhì)”用用 k 乘第乘第 i 行：行：用用 k 乘第乘第 i 列：列：krikci推論：行列式中某一行（列）的公因子可以提到推論：行列式中某一行（列）

11、的公因子可以提到 行列式符號(hào)外面。行列式符號(hào)外面。1101013212110101642性質(zhì)性質(zhì)4：若行列式有兩行（列）的對(duì)應(yīng)元素成比：若行列式有兩行（列）的對(duì)應(yīng)元素成比 例，則行列式等于例，則行列式等于0 。0321101321)2()(321101642211r性質(zhì)性質(zhì)5：若某一行是兩組數(shù)的和，則此行列式就等：若某一行是兩組數(shù)的和，則此行列式就等 于如下兩個(gè)行列式的和。于如下兩個(gè)行列式的和。nnnininnnnininnnnininiinaaccaaaabbaaaacbcbaa1111111111111111110101210110101111110101211101性質(zhì)性質(zhì)6：行列式的某

12、一行（列）的所有元素乘以同：行列式的某一行（列）的所有元素乘以同 一數(shù)一數(shù) k 后再加到另一行（列）對(duì)應(yīng)的元素后再加到另一行（列）對(duì)應(yīng)的元素 上去，行列式的值不變。上去，行列式的值不變。用數(shù)用數(shù) k 乘第乘第 t 行加到第行加到第 s 行上：行上：用數(shù)用數(shù) k 乘第乘第 t 列加到第列加到第 s 列上：列上：tskrr tskcc 11042032111010132112rr“運(yùn)算性質(zhì)運(yùn)算性質(zhì)”利用行列式性質(zhì)計(jì)算：利用行列式性質(zhì)計(jì)算：（化為三角形行列式）（化為三角形行列式）例例1：計(jì)算：計(jì)算22211642141121111)(33511102431521132)(22211642141121

13、11D03103420350021112141312rrrrrrr35003100005102111223 rr4590003500051021112310003500051021113443rrrr1353210153143112335111024315211341ccD10002510551824193101611353141312cccccc1000250051812131041401000250051810310181000250051811231014例例2：計(jì)算：計(jì)算3111131111311113D“行等和行等和”行列式行列式3111131

14、111311111631161316113611163111131111311113各各列列加加到到第第一一列列4820000200002011116各行減去第一行各行減去第一行例例10：設(shè)：設(shè)kkkkkkkkbbbbDaaaaD1111211111證明：證明：21DDD nnnnknnkkkkkbbccbbccaaaaD1111111111110證明：利用行的運(yùn)算性質(zhì)證明：利用行的運(yùn)算性質(zhì) r 把把1D化成下三角形，化成下三角形，kkkkkppppprD111111再利用列的運(yùn)算性質(zhì)再利用列的運(yùn)算性質(zhì) c c 把把2D化成下三角形，化成下三角形，nnnnnqqqqqcD111112對(duì)對(duì) D

15、的前的前 k 行作運(yùn)算行作運(yùn)算 r，后，后 n 列作運(yùn)算列作運(yùn)算 c, 則有則有nnnnknkkkkqqccqccpppcrD1111111111211111DDqqppnnkk4374121511003010002100111D例例301021111 43212 6 行列式按行（列）展開333231232221131211aaaaaaaaa323122211333312321123332232211aaaaaaaaaaaaaaa 問題：一個(gè)問題：一個(gè) n 階行列式是否可以轉(zhuǎn)化為若干個(gè)階行列式是否可以轉(zhuǎn)化為若干個(gè) n1 階行列式來計(jì)算？階行列式來計(jì)算？對(duì)于三階行列式，容易驗(yàn)證：對(duì)于三階行列式，

16、容易驗(yàn)證：定義定義1：在：在 n 階行列式中，把元素階行列式中，把元素ija所在的第所在的第 i 行行和第和第 j 列劃去后，余下的列劃去后，余下的 n1 階行列式叫階行列式叫ija的余子式的余子式, 記為記為ijM ijjiijMA 1稱為稱為 (i, j)元素元素的代數(shù)余子式。的代數(shù)余子式。做做 (i, j) 元素元素ija, 同時(shí)同時(shí)例如：例如：44424134323114121123aaaaaaaaaM 232332231MMA44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD 考慮考慮( 2, 3) 元素元素( 2, 3)元素元素的余子

17、式的余子式( 2, 3)元素的元素的代數(shù)余子式代數(shù)余子式定理定理3：行列式等于它的任一行（列）的各元素與行列式等于它的任一行（列）的各元素與 其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即),(niAaAaAaDniniiiii212211 ),(njAaAaAaDnjnjjjjj212211 21021)1()1(1132)1(1)1(0121101013213212232221AAAD行展開行展開按第按第證明：分三種情況討論，只對(duì)行來證明此定理。證明：分三種情況討論，只對(duì)行來證明此定理。(1)nnnnnaaaaaaaD21222211100利用上一節(jié)例利用上一節(jié)例10的結(jié)論有

18、的結(jié)論有111111111111111AaMaMaD)(2) 設(shè)設(shè) D 的第的第 i 行除了行除了ijannnjnijnjaaaaaaaD1111100 把把 D 轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為 (1) 的情形的情形外都是外都是 0 0 。先把先把 D 的第的第 i 行依次與第行依次與第 i 1行行, 第第 i 2行行, , 第第 1 行交換行交換, 經(jīng)過經(jīng)過 i 1次行交換后得次行交換后得nnnjninijiinijiinjijiaaaaaaaaaaaaaD,)(1111111111111001再把再把 第第 j 列依次與第列依次與第 j1列列, 第第 j2列列, , 第第 1 列交換列交換, 經(jīng)過經(jīng)過 j1

19、次列交換后得次列交換后得nnjnjnnjnnijijiijinijijiijinjjjjijiaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaD11111111111111111111111111111000011,)()(jijijijijiAaMa)( 1(3) 一般情形一般情形, 考慮第考慮第 i 行行nnnniniinaaaaaaaaaD212111211000000nnnninaaaaaaa2111121100nnnninaaaaaaa2121121100nnnninnaaaaaaa211121100niAaAaAaininiiii,212211例例2322211012110101321A

20、AA)(行展開行展開按第按第或者或者110101321101232221AAA)(那么那么?233222211AbAbAb110321321bbb推論：行列式任一行推論：行列式任一行( (列列) )的元素與另一行的元素與另一行( (列列) )的的 對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零， 即即jiAaAaAanjnijiji , 02211jiAaAaAajninjiji , 02211綜上，得公式綜上，得公式 jijiDAaAaAanjnijiji，02211 , jijiDAaAaAajninjiji，02211 ,jinkkjkiDAa 1或或jinkjk

21、ikDAa 1或或例例12: 12: 證明范德蒙德證明范德蒙德( ( Vandermonde ) )行列式行列式1112112222121111jinjinnnnnnnxxxxxxxxxxxD)()1(證明：證明：用數(shù)學(xué)歸納法用數(shù)學(xué)歸納法1221211xxxxD, )(12 jijixx(1) 當(dāng)當(dāng) n = 2 時(shí)時(shí),(2) 設(shè)設(shè) n1 階范德蒙德行列式成立階范德蒙德行列式成立, 則則112112222121111 nnnnnnnxxxxxxxxxD1nnnrxr21nnnrxr12rxrn0001111121222121112211121)()()()()()(nnnnnnnnnnnnnnn

22、nnxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx)(njxxjn列列的的公公因因子子列列展展開開，再再提提出出第第按按第第21222112112111111nnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxx)()()(= =)()()(jjininnnnxxxxxxxx11121)(jjinixx 11jinjinxxD)()()(1221nnnnnnxxxxxxxx)()(212111nnnnxxxxxx)()(122313xxxxxx有有21)( nn個(gè)因子個(gè)因子! !例：例：27881944132211111D4 1 5 ( 1) ( 4) 3 240例：例：278819441322111

23、11D設(shè)設(shè)求求14131211AAAA解解: :2788194413221111114131211AAAA4 1 5 ( 1) ( 4) 3 240例：例：444422221111dcbadcbadcbaD 0001111222222222)()()()()()(dccdbbdaadccdbbdaadcdbdaD324rdr 23drr 12drr )()()()()()(dccdbbdaacbadcdbda222411111按第按第4列展開，然后各列的提出公因子列展開，然后各列的提出公因子= =222333111111cbacbadcbacbadcdbda)()()()()()()()(dc

24、badcdbcbdacaba例：例：nD001030100211111ncncc12121nini00003000020111112)( !niin211D例：例：baaaaabaaaaabaaaaabaDnnnn32132132132111312 rrrrrrnbbbbbbaaaban000000321Dbbbaaabannii000000000321121)()( nnbbaaanccc217 Cramer 法則Cramer法則：法則： 如果線性方程組如果線性方程組)(1122112222212111212111nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa的系數(shù)行列式不等

25、于零，的系數(shù)行列式不等于零，nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 0 即即.,DDxDDxDDxnn2211則線性方程組則線性方程組(1(11)1)有唯一解，有唯一解，其中其中nnjnnjnnnjjjaabaaaabaaD11111111111 ,),(njAbAbAbDjnnjjj212211證明：證明：njnnjnnnnnjjnnjjnnAbAxaxaxaAbAxaxaxaAbAxaxaxa)()()(221122222221211111212111得得個(gè)個(gè)方方程程的的依依次次乘乘方方程程組組列列元元素素的的代代數(shù)數(shù)余余子子式式的的第第用用,)(,nAAAjDjnjj1

26、121再把再把 n 個(gè)方程依次相加，得個(gè)方程依次相加，得nkjkknnkjknkjnkjkjknkjkkAbxAaxAaxAa111111DDxDDxDDxnn,2211當(dāng)當(dāng) D0 時(shí)時(shí), ,方程組方程組( (1)1)也即也即( (11)11)有唯一的解有唯一的解于是于是)(,121njDDxjj例例1：用：用 Cramer 法則解線性方程組。法則解線性方程組。 067452296385243214324214321xxxxxxxxxxxxxx解：解：6741212060311512D212rr 24rr 12770212060311357012772121357 212cc 232cc 27

27、7010353 2733 27 67402125603915181 D81 67012150609115822 D108 60412520693118123 D27 07415120903185124 D27 ,32781 11DDx所所以以, 42 x, 13 x. 14 x定理定理4：定理定理4：Cramer 法則也可以敘述為法則也可以敘述為定理定理 4 的逆否命題是的逆否命題是 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111線性方程組線性方程組非齊次與齊次線性方程組的概念非齊次與齊次線性方程組的概念: :不全為零，則稱此方程不全為零，則稱此方程若常數(shù)項(xiàng)若常數(shù)項(xiàng)mbbb,21組為非齊次線性方程組；若組為非齊次線性方程組；若mbbb,21全為零，全為零，則稱此方程組為齊次線性方程組。則稱此方程組為齊次線性方程組。 13000221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa齊次線性方程組齊次線性方程組易知，易