1、遼寧工程技術(shù)大學(xué)數(shù) 學(xué) 建 模 課 程 成 績 評 定 表學(xué) 期09-10學(xué)年1學(xué)期姓 名劉思奇 梁景龍 馬寶強專 業(yè)涉外機(jī)械班 級07-2課程名稱數(shù)學(xué)建模論文題目高壓鍋的銷量評定標(biāo)準(zhǔn)評定指標(biāo)分值得分知識創(chuàng)新性20理論正確性20內(nèi)容難易性15結(jié)合實際性10知識掌握程度15書寫規(guī)范性10工作量10總成績100評語:任課教師時 間08年 月 日備 注高壓鍋的銷售量一、摘要本文通過對從1981到1993年高壓鍋在某地的銷量的研究，分別建立指數(shù)增長模型、Logistic組織增長模型、Gompertz模型，通過線性回歸，采用最小二乘法與三點微分法來確定參數(shù)系數(shù)，來研究高壓鍋銷量的增長率的變化，以此來預(yù)測

2、未來該地區(qū)高壓鍋的銷量的增長率的變化趨勢。同時對三種不通模型的所得到的結(jié)果進(jìn)行比較，來驗證三種模型應(yīng)用的范圍。二、問題背景Logistic增長曲線模型和Gompertz增長曲線模型是計量經(jīng)濟(jì)學(xué)等學(xué)科中的兩個常用模型，可以用來擬合銷售量的增長趨勢。記Logistic增長曲線模型為，記Gompertz增長曲線模型為，這兩個模型中L的經(jīng)濟(jì)意義都是銷售量的上限。表中給出的是某地區(qū)高壓鍋的銷售量（單位：萬臺）。 高壓鍋的銷售量（單位：萬臺）年份ty年份ty1981043.65198871238.7519821109.86198981560.0019832187.21199091824.291984331

3、2.671991102199.0019854496.581992112438.8919865707.651993122737.7119876960.25表1 要求：（1）運用適當(dāng)?shù)姆椒ǎ⒏邏哄伒匿N售量模型，并作出模型的分析與檢驗。（2） Logistic增長曲線模型是一個可線性化模型嗎？如果是可線性化模型，取L=3000，建立Logistic的線性回歸模型。利用線性回歸模型所得到的a和k的估計值和L=3000作為Logistic模型的擬合初值，對Logistic模型做非線性回歸。（3） 擬合Gompertz模型。（4） 將幾個模型作出比較與分析。三、模型假設(shè)由于表中的數(shù)據(jù)都是逐年增長的，所

4、以我們很容易想到建立指數(shù)增長模型，這其中我們假設(shè)高壓鍋銷量的增長率為常數(shù)，且銷量函數(shù)為連續(xù)函數(shù)。但是考慮到消費人群數(shù)量的限制，高壓鍋的銷量不會無限增長，以此我們在第二次討論中建立Logistic阻滯增長模型，其中我們依然假設(shè)銷量函數(shù)為連續(xù)函數(shù)。在Gompertz模型中也是假設(shè)銷量函數(shù)為連續(xù)函數(shù)來言進(jìn)行研究。四、模型的建立與求解1 指數(shù)增長模型表中的數(shù)據(jù)都是逐年增長的，所以我們很容易想到建立指數(shù)增長模型，記今年的高壓鍋銷量為,年后的銷量為，年增長率為，則顯然這個公式的基本條件是年增長率保持不變。1.1模型建立 記時刻時的高壓鍋銷量為，由于是一個很大的整數(shù)。為了利用微積分這一數(shù)學(xué)工具，將視為連續(xù)可

5、微函數(shù)。記時刻的人口為。假設(shè)高壓鍋的銷量增長率為常數(shù)，即單位時間內(nèi)的增量等于乘以。考慮到到時間內(nèi)高壓鍋的增量，顯然有 令，得到滿足的微分方程： 由這方程很容易解出 式表示高壓鍋的銷量將按指數(shù)規(guī)律隨時間無限增長，為指數(shù)增長模型。1.2 參數(shù)估計 式的參數(shù)可用表1的數(shù)據(jù)估計。為了利用線性最小二乘法，將取對數(shù)，可得 以年的數(shù)據(jù)擬合式，用MATLAB軟件通過表2的程序計算可得所 即 t=0:11;y=43.65 109.86 187.21 312.67 496.58 707.56 960.25 1238.75 1560.00 1824.29 2199.00 2438.89;z=log(y);p,s=p

6、olyfit(t,z,1);k=p(1),a=p(2)，y0=exp(a)表2將全部數(shù)據(jù)（）擬合式，得1.3 結(jié)果分析 將上述模型在MATLAB中與實際數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合后作圖得圖1、圖2（+號是實際數(shù)據(jù)，曲線是計算結(jié)果）?？梢钥闯觯眠@個模型基本上能夠描述1990年以前的高壓鍋的銷量增長，但是從此以后的，高壓鍋的銷量增長明顯變慢，這個模型就不再適合了。 圖1圖22. Logistic模型 一般來說，當(dāng)開始的時候，高壓鍋的銷量基數(shù)較小，增長較快，增長率較大；當(dāng)高壓鍋的銷量基數(shù)達(dá)到一定的數(shù)量后，增長就慢下來，即增長率減小。而且由于消費人群的數(shù)量不會有很大變化，高壓鍋的更新?lián)Q代有事很慢的一件事，所以這些

7、因素都就阻滯高壓鍋銷量的增長，所以我們就就采用Logistic模型，來改進(jìn)我們的模型。2.1模型建立 阻滯作用主要體現(xiàn)在對高壓鍋銷量的增長率的影響上，是得隨高壓鍋銷量基數(shù)的增大而下降。若將表示為銷量的函數(shù)，則它應(yīng)是減函數(shù)。于是方程寫作 對的一個簡單的假定是，設(shè)為的線性函數(shù)，即， 這里稱為固有增長率，表示高壓鍋的銷量基數(shù)很少時的增長率。為了確定系數(shù)的意義，引入所有人類所需要的高壓鍋的最大數(shù)量，稱為高壓鍋的最大需求量。當(dāng)時，高壓鍋的銷量不再增長，即增長率，代入式為 式的另一種解釋是，增長率與高壓鍋尚未普及的那部分的人的比例成正比，比例系數(shù)為固有增長率。將代入方程得 方程右端的因子體現(xiàn)了高壓鍋銷量的

8、增長趨勢，因子則體現(xiàn)了使用人數(shù)等因素對高壓鍋銷量增長的阻滯作用。顯然，越大，前一因子越大，后一因子越小，高壓鍋的銷量的增長是兩個因子共同作用的結(jié)果。2.2參數(shù)估計 為了利用簡單的線性最小二乘法估計這個模型的參數(shù)，我們將方程式表示為 記時刻的高壓鍋的銷量為，則高壓鍋的銷量的（相對）增長率為，表示每年高壓鍋的增長的比例。對于題目給出的數(shù)據(jù)，用數(shù)值微分的三點公式計算得結(jié)果為下表：年份198219831984198519861987198819891990199165.337754.166449.472339.761032.765427.658924.207918.767317.513713.9745

9、表3有端參數(shù)是線性的。我們用1982年至1991年的數(shù)據(jù)，用MATLAB軟件通過，程序如下y=109.86 187.21 312.67 496.58 707.56 960.25 1238.75 1560.00 1824.29 2199.00;k1= 65.3377 54.1664 49.4723 39.7610 32.7654 27.6589 24.2079 18.7673 17.5137 13.9745;k2=k1./100;z=log(y);p,s=polyfit(y,k2,1);Y,detal=polyconf(p,y,s);p表4從而求出 ,從而，在時最大，可以看出上述結(jié)果的一致性。2

10、.3結(jié)果分析 用上面得到的參數(shù)代入式得： 將計算結(jié)果與時機(jī)數(shù)據(jù)作比較用MATLAB作圖，程序如下t=0:12;y1=43.65 109.86 187.21 312.67 496.58 707.56 960.25 1238.75 1560.00 1824.29 2199.00 2438.89 2737.71;y2=3000./(1+30.01.*exp(-0.4574.*t);plot(t,y1,'+b');hold onplot(t,y2,'r');xlabel('年份t')ylabel('銷售量y')title('高壓鍋

11、阻滯增長模型')表5將上面得到的參數(shù)通過計算得出估計的高壓鍋銷量與實際的高壓鍋銷量數(shù)據(jù)作比較列表,得表6圖3，如下所示：年份計算銷量實際銷量1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990199119920.0967 0.1500 0.2304 0.3485 0.5158 0.7411 1.0242 1.3507 1.6922 2.0146 2.2908 2.50850.0437 0.1099 0.1872 0.3127 0.4966 0.7076 0.9603 1.2388 1.5600 1.8243 2.1990 2.4389 表

12、6圖3從圖表中可以看出當(dāng)在時曲線的斜率最大，即最大，也就是高壓鍋的銷量的增長率最大，與實際情況也比價吻合。再從圖表中的數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)這個模型開始與實際數(shù)據(jù)有比較大的差距，但是從1984年以后的數(shù)據(jù)就都吻合的很好（除了個別差一點）。2.4模型檢驗 在估計組織增長模型的參數(shù)時沒有用到1993年的實際銷量數(shù)據(jù)，是為了用它做模型檢驗。我們用模型計算1993年的高壓鍋銷量，與已知的實際數(shù)據(jù)（2737.71）作比較，老檢驗?zāi)Ｐ褪欠窈线m。與實際數(shù)據(jù)的誤差約為1.6%，可以認(rèn)為該模型是相當(dāng)?shù)臐M意的。2.5銷量預(yù)測 將1993年的數(shù)據(jù)加進(jìn)去重新估計參數(shù),得,，然后利用此模型去預(yù)測1994年的高壓鍋的銷量，即的值，

13、得到。對Logistic模型進(jìn)行非線性回歸，在MATLAB中輸出結(jié)果如圖4，在畫面中綠色曲線為擬合曲線，它兩側(cè)的紅線是的置信區(qū)間。圖43 Gompertz模型 我們接下來來建立Gompertz模型，3.1建立模型 記時刻時的高壓鍋銷量為，由于是一個很大的整數(shù)。為了利用微積分這一數(shù)學(xué)工具，將視為連續(xù)可微函數(shù)。 3.2參數(shù)估計 為了利用簡單的最小二乘法，對式兩邊取對數(shù)得 再對式再兩邊取對數(shù)得Gompertz的線性化模型 在MATLAB中通過如表7中的程序t=1:13;y1=43.65 109.86 187.21 312.67 496.58 707.56 960.25 1238.75 1560.00

14、 1824.29 2199.00 2438.89 2737.71;y2=y1./3000;w=log(1./log(1./y2);p,s=polyfit(t,w,1);k=-p(1),a=p(2),b=-exp(a)表7求得 ，所以高壓鍋銷量的Gompertz模型為 3.3結(jié)果分析 在MATLAB中作出圖像如圖5所示圖5從圖5中可以看出該模型與實際數(shù)據(jù)在起初出入較大，后來吻合的還算不錯。五、模型的比較 我們通過不通的方法對高壓鍋的銷量的增長這一問題建立起來了三個不通的模型，下來的問題是我們對這三個模型進(jìn)行一下比較，首先在MATLAB中將三個模型的曲線畫在同一起，如圖6。其中藍(lán)色的曲線表示高壓鍋

15、銷量的指數(shù)增長模型，從圖中可以看出在前九年也就是1981年至1990年的時間段內(nèi)，與實際的銷量是比較吻合的。但是從1990年以后的數(shù)據(jù)就與實際有很大差距，并且可以看出隨著時間的推移，差距就會越來越大。所以用此模型來預(yù)測高壓鍋的銷量所得出的結(jié)果與實際數(shù)據(jù)可能會存在很大差距。綠色的曲線表示的是Logistic組織增長模型，在這個例子中除了中間有幾個點不大好之外，開始與最后都吻合的很好，尤其是最后的走向與實際銷量的趨勢吻合的十分完美。所以用次模型來預(yù)測高壓鍋的銷量所得結(jié)果會較為理想。藍(lán)綠色的曲線表示的是Gompertz增長模型，在此例中該模型中間段的數(shù)據(jù)與實際銷量相差較大，但是從總體的曲線的走勢來說，還是與實際相符合的，所以用此模型所作的預(yù)測還是具有一定的可信度。通過上面的比較我們發(fā)現(xiàn)在此例中，Logistic模型是其中最優(yōu)的一個。圖6六、模型的應(yīng)用與推廣本文研究的是某地區(qū)的高壓鍋的銷量的增長率問題，文中建立的模型