1、第二章 流體的運(yùn)動(dòng)  復(fù)雜的心臟流動(dòng)模式可以利用速度場(chǎng)中假象粒子的軌跡直觀地表示出來。此圖使用時(shí)間分辨三維相差磁共振成像技術(shù)通過粒子軌跡直觀地表示了流入左心室的血流本章是用這些一般規(guī)律去研究適用于液體和氣體流動(dòng)的較為特殊的規(guī)律。液體和氣體的各部分之間可以有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，因而沒有固定的形狀。物體各部分之間可以有相對(duì)運(yùn)動(dòng)的特性，稱為流動(dòng)性。具有流動(dòng)性的物體，稱為流體。從具有流動(dòng)性來看，液體和氣體都是流體。 流體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律在水利、電力、煤氣和石油的輸送等工程部門都有廣泛的應(yīng)用。在人體生命活動(dòng)中，也起著十分重要的作用。 本章研究流體運(yùn)動(dòng)的方法，選用歐拉法，即通過確定流體質(zhì)元每一時(shí)刻在空間各點(diǎn)的密

2、度和速度來描述流體的運(yùn)動(dòng)。 實(shí)際流體是復(fù)雜的，具有可壓縮性和粘滯性，研究流體的運(yùn)動(dòng)時(shí)，可分為理想流體和粘性流體。一般流體的運(yùn)動(dòng)也是復(fù)雜的，根據(jù)流體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可分為層流（即穩(wěn)定流動(dòng)）、湍流和過渡流。 實(shí)際流體及其運(yùn)動(dòng)都是復(fù)雜的。實(shí)際流體具有可壓縮性和粘滯性；一般實(shí)際流體運(yùn)動(dòng)時(shí)，流速是空間點(diǎn)(位置)及時(shí)間的函數(shù)，即v = f ( x ,y, z, t )。但在某些問題中可以突出起作用的主要因素，忽略掉作用不大的次要因素，而使問題簡(jiǎn)化。因此，提出流體的理想模型絕對(duì)不可壓縮、完全沒有粘滯性的流體，稱為理想流體。把在流體中，各點(diǎn)質(zhì)元流速不隨時(shí)間改變的流動(dòng)稱為穩(wěn)定流動(dòng)(或定常流動(dòng))。為了形象地描述流體的運(yùn)

3、動(dòng)情況，引入流線和流管；為了便于描述流體在管道中運(yùn)動(dòng)，定義了橫截面上的體積流量和平均速度等物理概念。經(jīng)分析得出不可壓縮的流體、穩(wěn)定流動(dòng)時(shí)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律連續(xù)性方程。可壓縮性：流體的體積（或密度）隨壓力的大小而變化的性質(zhì)，稱為流體的可壓縮性。壓力增大時(shí)，流體的體積減?。簤毫p小時(shí)，流體的體積增大。液體的可壓縮性很小；氣體流動(dòng)時(shí)，可壓縮性可以忽略。粘滯性：流體分層流動(dòng)時(shí)，速度不同的各流層之間存在著沿分界面的切向摩擦力（即內(nèi)摩擦力），流體的這種性質(zhì)稱為流體的粘滯性。流速大的一層給流速小的一層以拉力，流速小的一層給流速大的一層以阻力。流體的粘滯性流線（stream line）：在流體中作許多曲線，曲線上每一

4、點(diǎn)的切線方向和流經(jīng)該處的流體質(zhì)元的速度方向一致，這種曲線稱為流線。流線流管（tube of flow）：由流線圍成的管子，稱為流管。流管理想流體（ideal fluid）：絕對(duì)不可壓縮、完全沒有粘滯性的流體（理想化模型），稱為理想流體。實(shí)際意義：可壓縮性和粘滯性都很小的實(shí)際流體，可近似看成理想流體。穩(wěn)定流動(dòng)（steady flow）：在流體中，任意時(shí)刻，流體質(zhì)元流經(jīng)任一給定點(diǎn)的速度不隨時(shí)間改變，這種流動(dòng)稱為穩(wěn)定流動(dòng)。特點(diǎn)：流線不隨時(shí)間改變，不同時(shí)刻也不相交，流線與流動(dòng)線（流線上質(zhì)元的運(yùn)動(dòng)軌跡）相重合。流管不隨時(shí)間改變，不同時(shí)刻也不相交，管內(nèi)流體不會(huì)流出管外，管外流體不會(huì)流入管內(nèi)。體積流量（vo

5、lume rate of flow）：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)通過流管某一橫截面的流體的體積，稱為該橫截面的體積流量。公式：設(shè)Dt時(shí)間內(nèi)通過流管某一橫截面的流體的體積為DV，則該橫截面的體積流量Q為：           單位：米3·秒-1（m3·s-1）平均流速（mean velocity of flow）：通過流管某一橫截面的單位面積流體的體積，定義為該橫截面的平均流速。公式：設(shè)流管某一橫截面的面積為S, 通過該橫截面的流量為Q,則流體通過該橫截面的平均流速v為：  

6、;    單位：米·秒-1（m·s-1）連續(xù)性方程（equation of continuity）： 條件：不可壓縮的流體作穩(wěn)定流動(dòng)。連續(xù)性方程方程：設(shè)流管兩橫截面的面積分別為s1和s2；平均流速分別為v1和v2，則流體通過兩橫截面的流量Q1 和Q 2相等，即Q1 = Q 2 ，亦即 s1v1 = s2v2 ，此式稱為連續(xù)性方程。連續(xù)性方程表明：(1) 不可壓縮的流體作穩(wěn)定流動(dòng)時(shí)，流管的任一橫截面積與該處的平均流速的乘積為一恒量。(2) 同一流管，截面積較大處流速較??；截面積較小處流速較大。(3) 流場(chǎng)中，流線密集的地方流速較大；流線

7、稀疏的地方流速較小。流體動(dòng)力學(xué)的基本原理仍然是牛頓運(yùn)動(dòng)定律。伯努利于1738年首先推導(dǎo)出理想流體穩(wěn)定流動(dòng)時(shí)的動(dòng)力學(xué)基本規(guī)律伯努利方程。伯努利方程實(shí)質(zhì)上是理想流體作穩(wěn)定流動(dòng)時(shí)的功能原理。應(yīng)用伯努利方程可以解決很多流體運(yùn)動(dòng)中的實(shí)際問題，而解題方法有別于固體物體的運(yùn)動(dòng)。虹吸管、抽水機(jī)、流量計(jì)、流速計(jì)（皮托管）等，都是伯努利方程的實(shí)際應(yīng)用。伯努利方程（Bernoulli equation）： 如圖所示，理想流體、穩(wěn)定流動(dòng)時(shí)，同一流管兩截面（s1和s2）處的參量橫截面積、速度、壓強(qiáng)、高度分別為s1、v1、p1、h1和s2、v2、p2、h2，流體的密度為r由功能原理可推導(dǎo)出伯努利方程： 

8、0;          或            伯努利方程表明：理想流體、穩(wěn)定流動(dòng)時(shí)，同一流管不同截面處，單位體積流體的動(dòng)能、勢(shì)能與該處壓強(qiáng)之和都是相等的。 解題方法：1.在流體中選流管：通常選管壁或流線。2.在流管上選截面（或點(diǎn)）的原則：選所求量所在處的截面（或點(diǎn)）和已知條件多的截面（或點(diǎn)）。3.高度h的零點(diǎn)（即重力勢(shì)能零點(diǎn)）位置可任意選，但要便于解題。4.近似條件的使用：(1) 若S2 &g

9、t;> S1，則v2 << v1, 在伯努利方程中v2可近似為零。(2) 與氣體相通處液體的壓強(qiáng)可近似看成氣體的壓強(qiáng)。5.較復(fù)雜的題，可選同一流管的多個(gè)截面，列聯(lián)立方程求解。 虹吸管：如圖所示，粗細(xì)均勻的U形管，先注滿水，一端插入敞開的容器內(nèi)的水面下，另一端在容器外，可從容器中把水抽出來，這種管子稱為虹吸管。抽水條件：(a) h2>0，即出水口低于液面. (b) h1<10m.抽水機(jī)：用管子將水從低處抽到高處的機(jī)器。一般抽水機(jī)，機(jī)內(nèi)空氣壓強(qiáng)p內(nèi)為 0<p內(nèi)<p0；真空式抽水機(jī)一般10-8毫米汞柱，極限狀況下p內(nèi)=0。抽水條件：抽水機(jī)不得置于高

10、出水面10m以上。流量計(jì)：測(cè)量管道中流體流量的儀器。         已知S1、S2、重力加速度g，測(cè)量出h，求出Q。液體流量計(jì)其中g(shù)為重力加速度，r為氣體的密度，r'為液體的密度。已知S1、S2，測(cè)量出h，求出Q。氣體流量計(jì)皮托管：測(cè)定流速的儀器。如圖所示，兩個(gè)彎成L形的管子，一個(gè)管子的開口（A）在前方，另一個(gè)管子的開口（B）在側(cè)面。測(cè)流速時(shí)，將兩個(gè)管子沿流動(dòng)方向放置，兩管口A、B在同一水平高度，開口A 與流速方向相對(duì)，開口B與流速方向相切。液體流速計(jì)流速計(jì)：由皮托管測(cè)速原理制成的測(cè)流速的儀器。（注：畫原

11、理圖及實(shí)物圖）液體流速計(jì)（皮托管）：如圖所示，流速 ，測(cè)量出h，可知流速v。 氣體流速計(jì)：如圖所示，流速 其中g(shù)為重力加速度，r為氣體的密度，r'為液體的密度。測(cè)量出h，可知流速v。實(shí)際流體都不同程度地具有粘滯性。氣體和一些粘滯性小的液體在小范圍內(nèi)流動(dòng)時(shí)，粘滯性作為次要因素可忽略不計(jì)，而粘滯性很大的流體、或粘滯性雖小，但由于遠(yuǎn)距離輸送，粘滯性的影響卻不能忽略不計(jì)。研究在流體中運(yùn)動(dòng)的物體受到阻力時(shí)，也必須考慮到流體的粘滯性。粘性流體層流時(shí)，各層流動(dòng)的速度不同。相鄰兩層之間存在著摩擦力，稱為內(nèi)摩擦力（或稱為粘滯力），其大小與該處的速度梯度有關(guān)，與流體的粘滯系數(shù)有關(guān)，服從牛頓粘滯定律。流體的

12、流動(dòng)除層流外，還有湍流和過渡流的運(yùn)動(dòng)形式，流體處于那一種運(yùn)動(dòng)形式，由雷諾數(shù)決定。不可壓縮的、粘滯流體在粗細(xì)均勻的水平圓管中層流時(shí)，圓管橫截面上速度分布有一定的規(guī)律，通過管子的流量遵從泊肅葉定律。：不可壓縮的粘性流體，穩(wěn)定流動(dòng)時(shí)，有粘性流體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，即對(duì)理想流體、穩(wěn)定流動(dòng)時(shí)的伯努利方程加一個(gè)修正項(xiàng)，表示粘性流體在流動(dòng)過程中需克服內(nèi)摩擦力做功，因而有自身的能量損失。在流體中運(yùn)動(dòng)的物體，由于其表面附著的流體與相臨的流體有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，而受到粘滯阻力。球形物體在流體中運(yùn)動(dòng)的速度很小時(shí)，其受到的粘滯阻力服從斯托克斯定律，物體在流體中上升或下降時(shí)，受到重力、浮力和到粘滯阻力。物體起初為變速運(yùn)動(dòng)，最終會(huì)達(dá)到勻

13、速運(yùn)動(dòng)，此時(shí)的速度稱為收尾速度。內(nèi)摩擦力(internal friction), 粘滯力(viscous force), 粘滯性(viscosity)：流體分層流動(dòng)時(shí)，速度不同的各流層之間存在著沿分界面的切向摩擦力，流速大的一層給流速小的一層以拉力，流速小的一層給流速大的一層以阻力。這種流體內(nèi)部的摩擦力，稱為內(nèi)摩擦力，或粘滯力。流體的這種性質(zhì)稱為流體的粘滯性。速度梯度（velocity gradient）：流體中，在垂直于流速方向上，單位距離的兩流層的速度變化量，稱為速度梯度。平均速度梯度：xx+Dx 范圍內(nèi)的平均速度梯度為： 速度梯度：x 附近的速度梯度為： 速度梯度的單位：秒1（s1）。

14、牛頓粘滯定律（Newton law of viscosity ）：粘性流體層流時(shí)，相鄰兩層之間的內(nèi)摩擦力F與兩流層的面積S成正比，與該處的速度梯度 成正比，即稱為牛頓粘滯定律。式中比例系數(shù)h，稱為為流體的粘滯系數(shù)。粘滯系數(shù)（coefficient of viscosity）h：流體粘滯性大小的量度。流體具有粘滯性的原因：分子力和分子的無規(guī)則熱運(yùn)動(dòng)。滯系數(shù)的決定因素：粘滯系數(shù)大小由流體本身的性質(zhì)、流體的溫度決定。對(duì)液體來說：溫度越高，粘滯系數(shù)越??；溫度越低，粘滯系數(shù)越大。對(duì)氣體來說：溫度越高，粘滯系數(shù)越大；溫度越低，粘滯系數(shù)越小。粘滯系數(shù)的單位：Pa·s層流（laminar

15、flow）：流體分層流動(dòng)、各層流動(dòng)彼此不相混合、只作相對(duì)滑的流動(dòng)，稱為層流。湍流（turbulent flow）：流體不保持分層流動(dòng)、各層之間相互混合、可出現(xiàn)旋渦的流動(dòng)，稱為湍流。過渡流：流體的流動(dòng)狀態(tài)不穩(wěn)定，可能層流，也可能湍流。雷諾數(shù)（Reynold number）Re ：流體的流動(dòng)狀態(tài)與流體的密度r、粘滯系數(shù)h、平均流速v，管道半徑r有關(guān)。定義  ：Re稱為雷諾數(shù)。 Re<1000時(shí)，流體作層流；Re>1500時(shí)，流體作湍流；1000<Re<1500時(shí)，流體作過渡流。速度分布: 不可壓縮的、粘滯系數(shù)為h的流體，在半徑為R的水平圓管中層流時(shí)，若長(zhǎng)度為L(zhǎng)的流

16、體兩端的壓強(qiáng)差為p1-p2，則圓管橫截面上速度分布流速隨半徑變化的關(guān)系為：       管壁處：r=R處，vR=0；管中心處：r=0處，中心流速最大， ； 當(dāng)R，h 一定時(shí)，vr由 決定，稱為壓強(qiáng)梯度。 泊肅葉定律（Poiseuille law）：不可壓縮的、粘滯系數(shù)為h的流體，在半徑為R的水平圓管中層流時(shí)，若長(zhǎng)度為L(zhǎng)的流體兩端的壓強(qiáng)差為p1-p2，則  流量： ；稱為泊肅葉定律。 平均流速 ，流阻：定義 ，則Rf 稱為流阻。 單位：牛頓·秒·米-5（N·s·m-5

17、）, 則流量有： 粘性流體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律：不可壓縮的粘性流體，穩(wěn)定流動(dòng)時(shí)有 粘性流體的伯努利方程： 其中w為單位體積流體從1處流到2處克服內(nèi)摩擦力所做的功，或損失的能量。 能量損失：粘滯性流體，在半徑相同的管道中穩(wěn)定流動(dòng)時(shí)，由粘性流體的伯努利方程：(1) 高度相同時(shí)： w = p1 p2，又由泊肅葉定律可得： 此二式表明：(a ) 該情況下流體損失的能量與流程成正比，故稱為沿程能量損失，流體損失了壓強(qiáng)；(b) 即使在水平管中，也必須有一定的壓強(qiáng)差，粘性流體才能作穩(wěn)定流動(dòng)。(2) 壓強(qiáng)相同時(shí)： w = rgh1 rgh2。此式表明：在外界壓強(qiáng)相同的情況下，流體損失了重力勢(shì)能，管道必須有一定的高度差，粘性流體才能保持速度。斯托克斯定律（Stokes law）：半徑為r的球形物體,在靜止的粘滯系數(shù)為