1、四邊形-矩形專題培優(yōu)訓練基礎(chǔ)與鞏固1 .下列條件中，不能判定四邊形ABCDfe矩形的是（）.A.AB/CDAB=CDAC=BDB./A=ZB=/D=90°C.AB=BCAD=CD且/C=90°D.AB=CDAD=BC/A=90°2 .已知點A、B、GD在同一平面內(nèi)，有6個條件：AB/CDAB=CDBCAD,?BC=ADAC=BD/A=90°.從這6個條件中選出（直接填寫序號）3個，能使四邊形ABCD1矩形拓展與延伸4.已知：如圖，在YaBCW,以AC為斜邊作RtAACIE且/BEM直角.？求證：？四邊形ABC此矩形.例5、已知：如圖，O是矩形ABCD對角

2、線的交點，AE平分/BAD,/AOD=120,求/AEO的度數(shù).智力操如圖，以ABC勺三邊為邊，在BC?勺同側(cè)分別作3?個等邊三角形，?gPAABDABCEACF請回答問題并說明理由：（1）四邊形ADEF什么四邊形？（2）當ABC兩足什么條件時，四邊形ADEF1矩形？一.選擇題（共7小題）1 .（2009?綏化）在矩形ABCD中，AB=1,AD*,AF平分/DAB,CE!BD于E,延長AF、EC交于點H,下列結(jié)論中：AF=FH;CA=CH;BE=3ED.正確的是（）A.B.C.2 .如圖，矩形ABCD中，DELAC于E,且/ADE:/EDC=32,貝U/BDE的度數(shù)為（）A.360B.18&#

3、176;C.270D.9°3 .（2007?萊蕪）如圖，四邊形ABCD為矩形紙片，把紙片ABCD斤疊，使點B恰好落在CD邊的中點E處，折痕為AF,若CD=6,則AF等于（）A.B.C.D.84 .如圖，矩形ABCD沿AE折疊，使D點落在BC邊上的F點處，如果/BAF=60°,則/AEF=（）A.600B.700C.750D.80°5 .如圖，矩形紙片ABCD的邊AD=9,AB=3,將其折疊，使點D與點B重合，則折疊后DE的長與折痕EF的口別為（）A.4,匹1B,5,依C.4,麗D.5,2小6 .已知下列命題中：（1）矩形是軸對稱圖形，且有兩條對稱軸；（2）兩條對角

4、線相等的四邊形是矩形；（3）有兩個角相等的平行四邊形是矩形；（4）兩條對角線相等且互相平分的四邊形是矩形.其中正確的有（）A.4個B.3個C.2個D.1個7 .（2007劑池）在矩形ABCD中，AB=3,AD=4,P是AD上的動點，PE±AC于E,PF±BD于F,則PE+PF勺值為（A.B.2C.D.1二.填空題（共7小題）8 .（2009張春）如圖，l/m,矩形ABCD的頂點B在直線m上，則/5三度.9 .如圖，過矩形ABCD的對角線BD上一點K分別作矩形兩邊的平行線MN與PQ,那么圖中矩形AMKP的面積S與矩形QCNK的面積&的大小關(guān)系是SiS:（填法”或之”或

5、“=”10 .如圖，在矩形ABCD中，AD=5,AB=4,點E、G、H、F分別在AB、BGCDAD上，且AF=CG=2BE=DH=1點P是直線ERGH之間任意一點，連接PEPRPG、PH,則4PEF和4PGH的面積和等11 .如圖，RtAABC中，/C=90°,AC=3,BC=4,點P為AB邊上任一點，過P分另作PE±AC于E,PF±BC于F,則線段EF的最小值是.12 .如圖在4ABC中，BC=&AC=6,AB=10,它們的中點分別是點D、E、F,WJCF的長為.13 .如圖，四邊形ABCD中，對角線AC±BD,E、F、G、H分別是各邊的中點，

6、若AC=&BD=6,則四邊形EFGH的面積是.14 .如圖，矩形紙片ABCD中，AB=4,AD=3,折疊紙片使AD邊與對角線BD重合，折痕為DG,則AG的長為.三.解答題（共16小題）15 .如圖，已知RtAABC中，/BAC=90,AB=ACP是BC延長線上一點，PE!AB交BA延長線于E,PF±AC交AC延長線于F,D為BC中點，連接DE,DF.求證：DE=DF16 .如圖，在矩形ABCD中，AB=24cm,BC=8cm,點P從A開始沿折線A-B-C-D以4cm/s的速度移動，點Q從C開始沿CD邊以2cm/s的速度移動，如果點P、Q分別從A、C同時出發(fā)，當其中一點到達D時

7、，另一點也隨之停止運動，設(shè)運動時間為t（s）.當t為何值時，四邊形QPBC為矩形？21.（2008?咸寧）如圖，在4ABC中，點。是AC邊上的一個動點，過點O作直線MN/BC,設(shè)MN交/BCA的角平分線于點E,交/BCA的外角平分線于點F.（1）求證：EO=FO（2）當點。運動到何處時，四邊形AEC支矩形？并證明你的結(jié)論.23 .如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線BD=12cm,AC=16cm）AC,BD相交于點O,若E,F是AC上兩動點，分別從A,C兩點以相同的速度向C、A運動，其速度為0.5cm/s.（1）當E與F不重合時，四邊形DEBF是平行四邊形嗎？說明理由；（2）點E,F在AC上運

8、動過程中，以D、E、B、F為頂點的四邊形是否可能為矩形？如能，求出此時的運動時間t的值；如不能，請說明理由.24 .如圖所示.矩形ABCD中，F(xiàn)在CB延長線上，且BF=BCE為AF中點，CF=CA求證：BE!DE.初二下矩形專題培優(yōu)訓練參考答案與試題解析一.選擇題（共7小題）1 .（2009?綏化）在矩形ABCD中，AB=1,AD=/,AF平分/DAB,過C點作CELBD于E,延長AF、EC交于點H,下列結(jié)論中：AF=FH;BO=BF;CA=CH;BE=3ED.正確的是（）A.B.C.D.考點：矩形的性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì).分析：這是一個特殊的矩形：對角線相交

9、成60。的角.利用等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合圖中的特殊角度解答.解答：解：AB=1,AD=g,BD=AC=2OB=OA=OD=OC=1OB=OA=OD=OC=AB=CD=1 .OAB,AOCD為等邊三角形.AF平分/DAB,/FAB=45;即4ABF是一個等腰直角三角形.BF=AB=1,BF=BO=1. /FAB=45； /CAH=45-30=15: ./ACE=30°（正三角形上的高的性質(zhì)） /AHC=15;由正三角形上的高的性質(zhì)可知：DE=OD2,OD=OB,BE=3ED故選D.點評：本題主要考查了矩形的性質(zhì)及正三角形的性質(zhì).2 .如圖，矩形ABCD中，DELAC于E,且/ADE:/E

10、DC=3:2,則/BDE的度數(shù)為（）A.36°B,18°C,27°D,9°考點：矩形的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理.分析：本題首先根據(jù)/ADE:/EDC=32可推出/ADE以及/EDC的度數(shù)，然后求出ODC各角的度數(shù)便可求出/BDE解答：解：已知/ADE:/EDC=32?/ADE=54,/EDC=36,又因為DE，AC,所以/DCE=9036°=54°,根據(jù)矩形的性質(zhì)可得/DOC=1802X54=72°所以/BDE=180/DOC/DEO=18故選B.點評：本題考查的是三角形內(nèi)角和定理以及矩形的性質(zhì)，難度一般.3 .（2007?萊

11、蕪）如圖，四邊形ABCD為矩形紙片，把紙片ABCD折疊，使點B恰好落在CD邊的中點E處，折痕為AF,若CD=6,則AF等于（）A.B.C.D.8考點：矩形的性質(zhì).專題：操作型.分析：先圖形折疊的性質(zhì)得到BF=EFAE=AR再由E是CD的中點可求出ED的長，再求出/EAD的度數(shù)，設(shè)FE=x,則AF=2x,在ADE中利用勾股定理即可求解.解答：解：由折疊的性質(zhì)得BF=EFAE=AB,因為CD=6,E為CD中點，故ED=3,又因為AE=AB=CD=6所以/EAD=30,貝U/FAE（90°30°）=30°,2設(shè)FE=x則AF=2x在4AEF中，根據(jù)勾股定理，（2x）2=

12、62+x2,x2=12,xi=2'hj3,x2=2二（舍去）.AF=2V1X2=4/3.故選A.點評：解答此題要抓住折疊前后的圖形全等的性質(zhì)解答.4 .如圖，矩形ABCD沿AE折疊，使D點落在BC邊上的F點處，如果/BAF=60°,貝U/AEF=（）A.60°B,70°C,75°D,80°考點：矩形的性質(zhì).專題：計算題.分析：根據(jù)矩形的性質(zhì)，求出/EAF=15,從而得出/AEF的度數(shù)即可.解答：解：ZEAF是/DAE折疊而成，90"-ZBAF90。-60”/EAF=/DAE,/ADC=/AFE=90；/EAF=15;在4AEF

13、中/AFE=90,/EAF=15,/AEF=180°/AFE/EAF=180°90°15=75:故選C.點評：本題考查了矩形的性質(zhì)，圖形的折疊實際上相當于把折疊部分沿著折痕所在直線作軸對稱，所以折疊前后的兩個圖形是全等三角形，復合的部分就是對應(yīng)量.5 .如圖，矩形紙片ABCD的邊AD=9,AB=3,將其折疊,使點D與點B重合，則折疊后DE的長與折痕EF的長分別為（）a.4,Vnib.5,MToC.4,2J3D.5,2/3考點：矩形的性質(zhì)；勾股定理；翻折變換（折疊問題）.專題：計算題.分析：利用直角三角形ABE可求得BE,也就是DE長，構(gòu)造EF為斜邊的直角三角形，進

14、而利用勾股定理求解.解答：解：連接BD交EF于點O,連接DF.根據(jù)折疊，知BD垂直平分EF.根據(jù)ASA可以證明DOEBOF,得OD=OB.則四邊形BEDF是菱形.設(shè)DE=x,貝UCF=9x.x2= (9 x) 2+9.。425- 22. 5呼，則訐寸五在直角三角形DCF中，根據(jù)勾股定理，得:解得：x=5.在直角三角形BCD中，根據(jù)勾股定理，得在直角三角形BOF中，根據(jù)勾股定理，得故選B.點評：此題主要是能夠根據(jù)對角線互相垂直平分得菱形DEBF,根據(jù)菱形的性質(zhì)得到邊之間的關(guān)系，熟練運用勾股定理進行計算.6 .已知下列命題中：（1）矩形是軸對稱圖形，且有兩條對稱軸；（2）兩條對角線相等的四邊形是矩

15、形；（3）有兩個角相等的平行四邊形是矩形；（4）兩條對角線相等且互相平分的四邊形是矩形.其中正確的有（）A.4個B.3個C.2個D.1個考點：矩形的判定與性質(zhì).分析：根據(jù)矩形的軸對稱性、矩形的判定和矩形的性質(zhì)逐項分析即可得到正確命題的個數(shù).解答：解：已知如圖：（1）矩形是軸對稱圖形，對邊中點連線所在的直線是它的對稱軸，并且有兩條，故該選項正確；（2）只有兩條對角線相等的平行四邊形是矩形；故該選項錯誤；（3）所有的平行四邊形對角都相等，但不一定是矩形，故該選項錯誤；（4）兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，再加對角線相等則為矩形，故該選項正確；所以其中正確的有（1）和（4）.故選C.點評：本

16、題考查了矩形的軸對稱性以及矩形的性質(zhì)和矩形的判定，準確掌握其性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵.7 .（2007?河池）在矩形ABCD中，AB=3,AD=4,P是AD上的動點，PE±AC于E,PF±BD于F,貝UPE+P用勺值為（）A.B.2C.D.1考點：矩形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì).專題：動點型.分析：根據(jù)AE24ADC;ADFFADAB找出關(guān)系式解答.解答：解：設(shè)AP=x,PD=4x./EAP=/EAP,/AEP=/ADC; AAEPAADC,故-=(I同理可得DF24DAB,12PE+PF=.故選A.5點評:此題比較簡單，根據(jù)矩形的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)解答即可.填空題（

17、共7小題）8 .（2009?長春）如圖，l/m,矩形ABCD的頂點B在直線m上，則/a=25度.考點：矩形的性質(zhì)；平行線的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理.專題：計算題；證明題.分析：建立已知角和未知角之間的聯(lián)系是關(guān)鍵.作平行線的截線，根據(jù)平行線的性質(zhì)建立它們之間的聯(lián)系.解答：解：延長DC交直線m于E.l/m,：/CEB=65在RtABCE中，/BCE=90,/CEB=65,./a=9O°ZCEB=90-65=25:點評：此題很簡單，只要熟知兩直線平行的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理即可.9 .如圖，過矩形ABCD的對角線BD上一點K分別作矩形兩邊的平行線MN與PQ,那么圖中矩形AMKP的面積Si與矩

18、形QCNK的面積S2的大小關(guān)系是&=S2;（填多”或之”或“=考點：矩形的性質(zhì)；三角形的面積；三角形中位線定理.專題：證明題；幾何綜合題.分析：根據(jù)矩形的性質(zhì)，首先設(shè)矩形的邊長分別為a,b,Si的邊長分別為x,y,利用比例得出xy=abby.要使矩形的面積最大,故讓&的邊長分別是ABC,4ADC的中位線，得出邊長的值，然后求出面積即可（也可用矩形的對角線平分矩形的面積分析得出答案）.解答：解：設(shè)矩形ABCD的邊長分別為a,b,Si的邊長分別為x,y.MK/AD強,即型AD BD a BD貝 U x=?a.BD同理：y=_!_?b.BD而qBK'DK貝1Si=xy=ab.

19、同理S2=HLLab.BD2所以Si=S?.故答案為Si=&.點評：本題的關(guān)鍵是利用函數(shù)分析最大取值，即都是三角形的中位線.然后利用三角形的面積公式即可求得相等.10 .如圖，在矩形ABCD中，AD=5,AB=4,點E、G、H、F分別在AB、BCCDAD上，且AF=CG=2BE=DH=1,點P是直線EF、GH之間任意一點，連接PE、PF、PG、PH,貝IJPEF和4PGH的面積和等于.考點：矩形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的判定與性質(zhì).分析：連接EGFH,易證得4AE的ACHG,AFHDAGEEJ,即可得FH=EGEF=GH由此可證得四邊形EFHG是平行四邊形，可過P作E

20、F、GH的垂線，可發(fā)現(xiàn)所求的兩個三角形的面積和實際等于平行四邊形EFHG面積的一半，按此思路進行求解即可.解答：解：連接FHEG;AF=CG=ZAE=CH=41=3,/A=/C=90;AEFCHG,&AEF=Schg=3;同理可證：AFHgAGEB,SAfhdfSagebfI.5;：FH=EGEF=GH即四邊形EFHG是平行四邊形；且S平行四邊形=S矩形2SaAEF2SFHD=11;過P作ERGH的垂線，交EF于M,GH于N;則SAEFP+Sghf=-EF（PM+PN）WeF?MN±S?efh導，.22口2故答案為：2點評：此題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四

21、邊形的判定和性質(zhì)以及圖形面積的求法，能夠判斷出四邊形EFHG是平行四邊形是解答此題的關(guān)鍵所在.11 .如圖，RtABC中，/C=90°,AC=3,BC=4,點P為AB邊上任一點，過P分另作PE±AC于E,PF±BC于F,貝U線段EF的最小值旱12-f5-考點：矩形的判定與性質(zhì)；垂線段最短；三角形的面積；勾股定理.專題：計算題.分析:解答:點評:根據(jù)勾股定理求出AB,證矢!形EPFC推出EF=CP過C作CD，AB,得到CD=EF求出CD的長即可./ACB=90；AC=3,BC=4,由勾股定理得：AB=5,.PEIAC,PF±BC,/PEC=/PFC=/AC

22、B=90四邊形EPFB矩形，EF=CP即EF表示C與邊AB上任意一點的距離,根據(jù)垂線段最短，過C作CD,AB,當EF=DC最短，根據(jù)三角形面積公式得：一ACXBC=-ABXCDraFaCD-12CD5故答案為：u.CD=EF是解止匕題本題主要考查對矩形的性質(zhì)和判定，三角形的面積，垂線段最短，勾股定理等知識點的理解和掌握，能得到的關(guān)鍵.12 .如圖在4ABC中，BC=8,AC=6,AB=10,它們的中點分別是點D、E、F,則CF的長為5.考點：矩形的判定與性質(zhì)；勾股定理的逆定理；三角形中位線定理.分析：利用勾股定理的逆定理可以推知/ACB=90;然后利用三角形中位線定理可以求得平行四邊形CEFD

23、是矩形、EF與CE的長度；最后在直角三角形DFC中利用勾股定理求得CF的長度.解答：解：:在ABC中，BC=8,AC=6,AB=10,ABAd+Bd,/ACB=90;又點D、E、F分別是BCAC、AB的中點，EF/BC,且EF匚BC=4,二口1FD/AC,且FD=AC=3,四邊形CEFD是矩形，EF=CD。力町飛口匹5；故答案是：5.點評：本題綜合考查了矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理的逆定理、三角形中位線定理.解答該題的突破口是根據(jù)已知條件在ABC中，BC=8,AC=6,AB=10'利用勾股定理的逆定理推知4ABC是直角三角形.13 .如圖，四邊形ABCD中，對角線AC±BD,E

24、、F、G、H分別是各邊的中點，若AC=8,BD=6,則四邊形EFGH的面積是12.考點：矩形的判定與性質(zhì)；三角形中位線定理.專題：計算題.分析：根據(jù)E、F、G、H分別是各邊的中點，利用三角形中位線定理求出EH和EF,判定四邊形EFGH是矩形，然后即可四邊形EFGH的面積.解答：解：E>F、G、H分別是四邊形ABCD各邊的中點，L1L1EH/BD且EH=1BD,FG/BD且1BD,22EH/FG,EH=FG同理EF/HG,EF=HG又ACLBD,四邊形EFGH是矩形，四邊形EFGH=EFXEacxLbD*46=122221點評：此題主要考查學生對三角形中位線定理和矩形的判定與性質(zhì)等知識點的

25、理解和掌握，此題難度不大，屬于中檔題.314.如圖，矩形紙片ABCD中，AB=4,AD=3,折疊紙片使AD邊與對角線BD重合，折痕為DG,則AG的長為.考點：翻折變換（折疊問題）；勾股定理.分析：根據(jù)勾股定理可得BD=5,由折疊的性質(zhì)可得AADGAADG,則A'D=AD=3,A'G=AG,則A'B=5-3=2,在RtAA'BG中根據(jù)勾股定理求AG的即可.解答：解：在RtAABD中，AB=4,AD=3,:BD=屈福曲解十=5,由折疊的性質(zhì)可得，ADGZA'DG,A'D=AD=3,A'G=AG,A'B=BDA'D=53=2,設(shè)

26、AG=x,貝UA'G=AG=x,BG=4x,在RtAA'BG中，x2+22=（4x）2解彳導x=2即AG=二.2點評：此題主要考查折疊的性質(zhì)，綜合利用了勾股定理的知識.認真分析圖中各條線段的關(guān)系，也是解題的關(guān)鍵.三.解答題（共16小題）15 .如圖，已知RtAABC中，/BAC=90AB=AQP是BC延長線上一點，PE±AB交BA延長線于E,PF±AC交AC延長線于F,D為BC中點，連接DE,DF.求證：DE=DF.考點：矩形的判定與性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理；全等三角形的判定與性質(zhì).專題：證明題.分析：連接AD,由題意可判斷出四邊形AEPF是矩形，再根據(jù)矩形的

27、性質(zhì)可得出AE=FP由RUABC中，/BAC=90,AB=AC,D為BC中點可得出AD=BC,/1=/2=45°=/3,再由全等三角形的判定定理可得出AD中CDF,進而可得出結(jié)論.解答：證明：連接AD（如圖）， /BAC=90；PE±AB,PF±AC四邊形AEPF是矩形，AE=FRAB=AC,/BAC=90,°D為BC中點，AD=DC,/1=/2=45=/3, /EAD=/FCD=135,°/CPF=45=°Z3,CF=PF=AE AADEACDF（SASDE=DF.點評：本題考查的是矩形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)

28、角和定理，涉及面較廣，難度適中.16 .如圖，在矩形ABCD中，AB=24cm,BC=8cm,點P從A開始沿折線ABCD以4cm/s的速度移動，點Q從C開始沿CD邊以2cm/s的速度移動，如果點P、Q分別從A、C同時出發(fā)，當其中一點到達D時，另一點也隨之停止運動，設(shè)運動時間為t（s）.當t為何值時，四邊形QPBC為矩形？考點：矩形的判定與性質(zhì).專題：計算題；動點型.分析：求出CQ=2t,AP=4t,BP=24-4t,由已知推出/B=/C=90,CD）/AB,推出CQ=BP時，四邊形QPBC是矩形，得出方程2t=24-4t,求出即可.解答：解：根據(jù)題意得：CQ=2t,AP=4t,貝UBP=244

29、t,四邊形ABCD是矩形，/B=/C=90；CD）/AB,:只有CQ=BP時，四邊形QPBC是矩形，即2t=244t,解得：t=4,答：當t=4s時，四邊形QPBC是矩形.點評：本題考查了矩形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學生的理解能力和運用定理進行推理的能力，題目比較典型，難度適中.21. （2008?咸寧）如圖，在ABC中，點。是AC邊上的一個動點，過點O作直線MN/BC,設(shè)MN交/BCA的角平分線于點E,交/BCA的外角平分線于點F.（1）求證：EO=FQ（2）當點。運動到何處時，四邊形AECF是矩形？并證明你的結(jié)論.考點：矩形的判定.專題：幾何綜合題.分析：（1）根據(jù)平行線性質(zhì)和角平分線

30、性質(zhì)及，由平行線所夾的內(nèi)錯角相等易證.（2）根據(jù)矩形的判定方法，即一個角是直角的平行四邊形是矩形可證解答：（1）證明：,CE平分/ACB,/1=/2,又MN/BC,/1=/3,/3=/2,EO=CQ（2分）同理，F(xiàn)O=CQ（3分）EO=FO（4分）（2）解：當點O運動到AC的中點時，四邊形AECF是矩形.（5分）EO=FO點。是AC的中點.:四邊形AECF是平行四邊形，（6分）CF平分/BCA的外角，:/4=/5,又/1=/2,/2+/4X18=90:2即/ECF=90度，（7分）四邊形AECF是矩形.（8分）點評：本題涉及矩形的判定定理，解答此類題的關(guān)鍵是要突破思維定勢的障礙，運用發(fā)散思維，多方思考，探究問題在不同條件下的不同結(jié)論，挖掘它的內(nèi)在聯(lián)系，向縱、橫、深、廣”拓展，從而尋找出添加的條件和所得的結(jié)論.23.如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線BD=12cm,AC=16