1、六優(yōu)化工具箱（Optimization Toolbox）簡介61 優(yōu)化工具箱的功能及應用步驟1 基本功能（1）（2）（3）（4）（5）（6）求解線性和二次問題；求解無約束條件非線性的極小值問題； 求解帶約束條件非線性的極小值問題； 求解非線性方程組；求解帶約束的線性最小二乘問題；求解非線性最小二乘逼近和曲線擬合問題。2 應用步驟（1）（2）（3）根據(jù)所提出的最優(yōu)化問題，建立數(shù)學模型，確定變量、約束條件合目標函數(shù)； 對數(shù)學模型進行分析研究，選擇合適的最優(yōu)求解方法；根據(jù)最優(yōu)化方法的算法，選擇最優(yōu)化函數(shù)，編程計算。62 優(yōu)化工具箱的函數(shù)使用方法1 求解線性問題（1） 基本模型minCT xA1x &

2、#163; b1ìïs.t.í A2 x = b2ïlb £ x £ ubî其中 x 為向量，A1, A2 為常數(shù)矩陣，C, b1, b2 ,lb, ub 均為常數(shù)向量。（2） 數(shù) linprog 調(diào)用x=linprog(C,A1,b1);%決策變量無上下約束條件，并且只含有“約束條件；x=linprog(C,A1,b1,A2,b2); %決策變量無上下約束條件；x=linprog(C,A1,b1,A2,b2,lb,ub); %決策變量有上下約束條件；x,fv=linprog();%要求在迭代中同時返回目標函數(shù)值；x,fv,

3、ef=linprog(); %要求返回程序結束標志；x,fv,ef,out=linprog(); 要求返回程序的優(yōu)化信息；（3） 例子例 1 求線性問題z5x1 - 4x2 - 6x3minsubject to首先輸入系數(shù)C=-5; -4; -6A= 1 -11;324;3b=20; 42; 30lb=zeros(3,1)調(diào)用 linprog 函數(shù)2 0x,fv,ef,out=linprog(C,A,b,lb)輸出結果：>> x,fv,ef,out=linprog(C,A,b,lb) Optimization terminated successfully. x =0.000015

4、.00003.0000fv =-78.0000ef =1out =iterations: 6cgiterations: 0 algorithm: 'lipsol'例 1 求線性問題max z=2x1+3x2-5x3s.t.x1+x2+x3=72x1-5x2+x3>=10, x1,x2,x3>=0.首先輸入系數(shù)C=-2; -3; 5A=-2 5 1 b=-10 Aeq=1 1 1beq=7lb=zeros(3,1)調(diào)用 linprog 函數(shù)x,fv,ef,out=linprog(C,A,b,Aeq,beq,lb) 輸出結果：>> x,fv,ef,out=l

5、inprog(C,A,b,Aeq,beq,lb)Optimization terminated successfully. x =6.42860.57140.0000fv =-14.5714ef =1out =iterations: 7cgiterations: 0 algorithm: 'lipsol'2 求解二次問題（1） 基本模型min1 xT Hx + CT x2A1x £ b1ìïs.t.í A2 x £ b2ïlb £ x £ ubî其中 x 為向量，H,A1, A2 為常數(shù)矩

6、陣，C, b1, b2 ,lb, ub(2) 函數(shù) quadprog 調(diào)用格式x,fv,ef,out=quadprog(H,C,A1,b1,A2,b2,lb,ub)均為常數(shù)向量。3 求解無約束條件非線性的極小值問題（1） 基本模型f (x),x Î Rnmin其中 x 為 n 維向量，f(x)維非線性函數(shù)。（2） 函數(shù) fminunc 調(diào)用格式x,fv,ef,out,grad,hess=fminunc(fun,x0);其中 x0 為迭代初值向量，opt 為設置的可選參數(shù)值；%grad 返回函數(shù)在 x 處的梯度；%hess 返回函數(shù)在 x 處的海賽矩陣；（3） 函數(shù) fminsearc

7、h 調(diào)用格式x,fv,ef,out=fminsearch(fun, x0);注：fminunc 是用擬牛頓法實現(xiàn)，需要用到函數(shù)的導數(shù)，而 fminsearch 是用單純形搜索實現(xiàn)，不需要導數(shù)。例1 求無約束非線性最小值問題minf (x) = ex1 (4求解過程：x + 2x +1)1 22fun = inline('exp(x(1) * (4*x(1)2 + 2*x(2)2 + 4*x(1)*x(2) + 2*x(2) + 1)'); x0=-1,1;x,fv,eg,out,grad,hess=fminunc(fun,x0)其中 x0 為選取的迭代初值； 輸出結果：Opti

8、mization terminated successfully:Current search direction is a descent direction, and magnitude of directional derivative in search direction less than 2*options.TolFun x =0.5000-1.0000fv =1.3028e-010eg =1out =iterations: 7funcCount: 40stepsize: 1 firstorderopt: 8.1998e-004algorithm: 'medium-sca

9、le: Quasi-Newton line search'grad =1.0e-003 *-0.4346-0.8200hess =13.32656.74646.74646.8576f = 8x - 4 y + x 2 + 3y 2min例 2 ： 求程序：編輯 ff1.m 文件function f=ff1(x)f=8*x(1)-4*x(2) +x(1)2+3*x(2)2; 通過繪圖確定一個初始點： x,y=meshgrid(-10:.5:10);z= 8*x-4*y +x.2+3*y.2; surf(x,y,z)選初始點：x0=(0,0) x0=0,0;x,fval,exitflag=

10、fminunc(ff1,x0)結果：x =-4.0000fval =-17.3333exitflag =0.666714求解有約束條件非線性的極小值問題數(shù)學模型： min F(x)s.tGi (x) 0i=1,mGj (x) =0Axb; Aeq*xbeq lbxubj=m+1,n其中：F(x)為多元實值函數(shù)，G(x)為向量值函數(shù)，調(diào)用格式:x=fmincon(f,x0,A,b) x=fmincon(f,x0,A,b,Aeq,beq) x=fmincon(f,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub) x=fmincon(f,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)x=fmi

11、ncon(f,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options) x,fval=fmincon()x, fval, exitflag=fmincon()x, fval, exitflag, output=fmincon()x, fval, exitflag, output, lambda=fmincon()說明：x=fmincon(f,x0,A,b)返回值 x 為最優(yōu)解向量。其中：x0 為初始點。A,b 為不等式約束的系數(shù)矩陣和右端列向量。x=fmincon(f,x0,A,b,Aeq,beq) 作有等式約束的問題。若沒有不等式約束，則令 A= 、b= 。x=fminco

12、n(f, x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub, nonlcon ,options) 中 lb ,ub 為變量 x 的下界和上界；nonlcon=fun,由M 文件fun.m 給定非線性不等式約束c (x) 0 和等式約束g(x)=0；options為指定優(yōu)化參數(shù)進行最小化。22例 2 求解：minf=ex1(6x1 +3x2 +2x1x2+4x2+1)s.tx1x2-x1-x2+10-2x1x2-50程序：首先建立目標函數(shù)文件 ff8.m 文件：functionf=ff8(x) f=exp(x(1)*(6*x(1)2+3*x(2)2+2*x(1)*x(2)+4*x(2)+1);再建立非線

13、性的約束條件文件：ff8g.m function c,g=ff8g(x) c(1)=x(1)*x(2)-x(1)-x(2)+1；c(2)=-2*x(1)*x(2)-5； g=;然后在工作空間鍵入程序：x0=1,1;nonlcon=ff8gx, fval =fmincon(ff8,x0, nonlcon)結果： x =-2.5000fval =3.3244exitflag = 11.0000當有等式約束時，要放在矩陣 g 的位置，如上例中加等式約束：x(1)+2*x(1)=0程序：首先建立 fun1.m 文件： functionc,g=ff8g1(x) c(1)=x(1)*x(2)-x(1)-x

14、(2)+1； c(2)=-2*x(1)*x(2)-5；g(1)=x(1)+2*x(2);然后在工作空間鍵入程序：x0=-1,1;nonlcon=ff8g1;x, fval,exitflag =fmincon(ff8,x0,結果： x =-2.23611.1180fval =3.6576exitflag =1nonlcon)5. 多目標模型多目標定義為在一組約束下，多個不同的目標函數(shù)進行優(yōu)化設計。數(shù)學模型：min f1 (x), f 2 (x), L, fm (x)s.tgj(x) 0j=1, 2, ,k其中 x=(x1 ,x2 , ,xn)為一個 n 維向量；fi(x)為目標函數(shù)，i=1, 2

15、, ,m; gj (x)為系統(tǒng)約束, j=1, 2, ,k。當目標函數(shù)處于狀態(tài)時，不存在最優(yōu)解使所有目標函數(shù)同時達到最優(yōu)。于是我們尋求有效解(又稱非劣解或非支配解或帕累托解)定義：若 x* ( x* )的鄰域內(nèi)不存在 x，使得( x* +x)，且F (x + Dx)£ F (x )i = 1, L , m*iiF (x* + Dx)< F (x* )對某些 jjj則稱 x* 為有效解。多目標 問題的幾種常用解法：(1) (1) 主要目標法其基本思想是：在多目標問題中，根據(jù)問題的實際情況，確定一個目標為主要目標， 而把其余目標作為次要目標，并且根據(jù)經(jīng)驗，選取一定的界限值。這樣就可

16、以把次要 目標作為約束來處理，于是就將原來的多目標問題轉化為一個在新的約束下的單目標 最優(yōu)化問題。(2) (2) 線性和法其基本思想是：按照多目標 fi(x) (i=1, 2, ,m)的重要程度，分別乘以一組權系數(shù)j(j=1,2, ,m) 然 后 相 加 作 為 目 標 函 數(shù) 而單 目 標問 題 。 即mmmin f = ål j f j (x)l j ³ 0且ål j = 1j =1j =1，其中例 1：某鋼鐵廠準備用 5000 萬用于 A、B 兩個項目的技術改造投資。設 x1、x2 分別表示分配給項目 A、B 的投資。據(jù)預估計，投資項目 A、B 的年分別為

17、70%和 66%。同時，投資后總的風險損失將隨著總投資和單項投資的增加而增加，已知總的風險損失為2220.02x1 +0.01x2 +0.04(x1+x2) ，問應如何分配資金才能使期望的為最小。建立數(shù)學模型max f1(x)=70x1+66x2min f2(x)= 0.02x12+0.01x22+0.04(x1+x2)2最大，同時使風險損失s.tx1+x250000x1, 0x2構造目標函數(shù)： max f=0.5f1(x) 0.5f2(x)線性min (-f)=- 0.5f1(x) +0.5f2(x)化最小值問題：首先編輯目標函數(shù) M 文件 ff11.mfunctionf=ff11(x)f=

18、-0.5*(70*x(1)+66*x(2)+0.5*(0.02*x(1)2+0.01*x(2)2+0.04*(x(1)+x(2)2);調(diào)用單目標求最小值問題的函數(shù)x0=1000,1000 A=1 1; b=5000;lb=zeros(2,1);x,fval, exitflag=fmincon(ff11,x0, A,b,lb,) f1=70*x(1)+66*x(2) f2=0.02*x(1)2+0.01*x(2)2+0.04*(x(1)+x(2)2結果：x =307.1428414.2857fval =-1.2211e+004exitflag =1f1 =4.8843e+004 f2 =2.44

19、21e+004(3) (3) 極大極小法其基本思想是：對于極小化的多目標，讓其中最大的目標函數(shù)值盡可能地小為此，對每個 xR，我們先求諸目標函數(shù)值 fi(x)的最大值，然后再求這些最大值中的最小值。即構造單目標：min f = maxf (x)j1£ j£m(4) (4) 目標達到法： min f1 (x), f 2 (x), L, fm (x)對于多目標s.t gj (x) 0j=1, 2, ,n( f *, f *,L f * )先設計與目標函數(shù)相應的一組目標值理想化向量12m，= (w1 , w2 ,L, wm ) 為權值系數(shù)向量。再設為一松弛因子標量。設W于是多目標

20、問題化為：min gx,gf (x) - w g £f *j = 1, 2, L, mjg j (x) £ 0jjj = 1, 2, L, k在的優(yōu)化工具箱中，fgoalattain 函數(shù)用于解決此類問題。其數(shù)學模型形式為：min F(x)-weight ·goalc(x) 0 ceq(x)=0 A xb Aeq x=beq lbxub其中，x,weight,goal,b,beq,lb 和 ub 為向量，A 和 Aeq 為矩陣，c(x),ceq(x)和 F(x)為函數(shù)，調(diào)用格式： x=fgoalattain(F,x0,goal,weight) x=fgoalatt

21、ain(F,x0,goal,weight,A,b)x=fgoalattain(F,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq) x=fgoalattain(F,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub) x=fgoalattain(F,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon) x=fgoalattain(F,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options) x=fgoalattain(F,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,

22、options,P1,P2) x,fval=fgoalattain()x,fval,attainfactor=fgoalattain() x,fval,attainfactor,exitflag,output=fgoalattain() x,fval,attainfactor,exitflag,output,lambda=fgoalattain()說明：F 為目標函數(shù)；x0 為初值；goal 為 F 達到的指定目標；weight 為參數(shù)指定權重； A、b 為線性不等式約束的矩陣與向量；Aeq、beq 為等式約束的矩陣與向量；lb、ub 為變量 x 的上、下界向量；nonlcon 為定義非線性不

23、等式約束函數(shù) c(x)和等式約束函數(shù) ceq(x)； options 中設置優(yōu)化參數(shù)。x 返回最優(yōu)解；fval 返回解 x 處的目標函數(shù)值；attainfactor 返回解 x 處的目標達到因子；exitflag 描述計算的格朗日乘子的參數(shù)。條件；output 返回包含優(yōu)化信息的輸出參數(shù)；lambda 返回包含拉例 2：某化工廠擬生產(chǎn)兩種新A 和 B，其生產(chǎn)設備費用分別為 2 萬元/噸和 5 萬元/噸。這兩種均將造成環(huán)境污染，設由公害所造成的損失可折算為 A 為 4 萬元/噸，B 為1 萬元/噸。由于條件限制，工廠生產(chǎn)A 和 B 的最大生產(chǎn)能力各為每月 5 噸和 6 噸，而市場需要這兩種的總量

24、每月不少于 7 噸。試問工廠如何安排生產(chǎn)計劃，在滿足市場需要的前提下，使設備投資和公害損失均達最小。該工廠決策認為，這兩個目標境污染應優(yōu)先考慮，設備投資的目標值為 20 萬元，公害損失的目標為 12 萬元。建立數(shù)學模型：設工廠每月生產(chǎn)A 為 x1 噸，B 為 x2 噸，設備投資費為 f(x1),公害損失費為 f(x2),則問題表達為多目標優(yōu)化問題：min min s.tf1(x)=2x1+5x2 f2(x)=4x1+x2 x15x26 x1+x27 x1 ,x20程序：首先編輯目標函數(shù) M 文件 ff12.m function f=ff12(x) f(1)=2*x(1)+5*x(2);f(2)

25、= 4*x(1) +x(2);按給定目標?。篻oal=20,12; weight=20,12; x0=2,2A=1 0; 0 1;-1 -1;b=5 6 -7;lb=zeros(2,1); x,fval,attainfactor,exitflag=fgoalattain(ff12,x0,goal,weight,A,b,lb,)結果：x =2.91674.0833fval =26.250015.7500attainfactor = 0.3125exitflag =16.最大最小化模型基本思想：在對策論中，我們常遇到這樣的問題：在最不利的條件下，尋求最有利的 策略。在實際問題中也有許多求最大值的最

26、小化問題。例如急救中心選址問題就是要其到所有地點最大距離的最小值。在投資中要確定最大風險的最低限度等等。為此，對每個 xR,我們先求諸目標值 fi(x)的最大值，然后再求這些最大值中的最小值。最大最小化問題的數(shù)學模型：min maxFi (x)Fi xs × tc(x) £ 0ceq(x) = 0A × x £ bAeq × x = beq lb £ x £ ub求解最大最小化問題的函數(shù)為 fmininax調(diào)用格式：x=fminimax(F,x0,)x=fminimax(F,x0,A,b) x=fminimax(F,x0,A

27、,b,Aeq,beq) x=fminimax(F,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub) x=fminimax(F,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon) x=fminimax(F,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)x=fminimax(F,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options,P1,P2) x,fval=fminimax()x,fval,maxfval=fminimax() x,fval,maxfval,exitflag,output=fminimax() x,fval,maxfval,exi

28、tflag,output,lambda=fminimax()說明：F 為目標函數(shù)；x0 為初值； A、b 為線性不等式約束的矩陣與向量；Aeq、beq 為等式約束的矩陣與向量；lb、ub 為變量 x 的上、下界向量；nonlcon 為定義非線性不等式約束函數(shù) c(x)和等式約束函數(shù) ceq(x)；options 中設置優(yōu)化參數(shù)。x 返回最優(yōu)解；fval 返回解x 處的目標函數(shù)值；maxfval 返回解x 處的最大函數(shù)值；exitflag描述計算的子的參數(shù)。條件；output 返回包含優(yōu)化信息的輸出參數(shù)；lambda 返回包含拉格朗日乘例 1 求解下列最大最小值問題：min max f1 (x)

29、, f 2 (x), f3 (x), f 4 (x)+ 35其中 ff ff首先編輯 M 文件 ff14.m function f=ff14(x)2 + 20f(1)=3*x(1)2+2*x(2)2-12*x(1)+35; f(2)=5*x(1)*x(2)-4*x(2)+7; f(3)=x(1)2+6*x(2); f(4)=4*x(1)2+9*x(2)2-12*x(1)*x(2)+20;取初值 x0=(1,1)調(diào)用優(yōu)化函數(shù)x0=1 1;x,fval=fminimax(ff14,x0)結果：x =1.7637fval =23.7331例 2：選址問題0.53179.56216.301023.73

30、31設某城市有某種物品的 10 個需求點，第 i 個需求點 Pi 的坐標為(ai,bi),道路網(wǎng)與坐標軸平行，彼此正交?，F(xiàn)打算建一個該物品的供應中心，且由于受到城市某些條件的限制，該 供應中心只能設在 x 界于5,8，y 界于5.8的范圍之內(nèi)。問該中心應建在何處為好?P 點的坐標為：建立數(shù)學模型：設供應中心的位置為(x,y)，要求它到最遠需求點的距離盡可能小，此處采用沿道路行 走計算距離，可知每個用戶點 Pi 到該中心的距離為 |x-ai|+|y-bi|，于是有：ai1435912620178bi2108181451089ìüminímaxx - ai+x - b

31、iýîþx, yis × tx ³ 5x £ 8y ³ 5y £ 8編程：首先編輯 M 文件：ff15.m function f = ff15(x)a=1 4 3 5 9 12 6 20 17 8;b=2 10 8 18 1 4 5 10 8 9;f(1) = abs(x(1)-a(1)+abs(x(2)-b(1);f(2) = abs(x(1)-a(2)+abs(x(2)-b(2);f(3) = abs(x(1)-a(3)+abs(x(2)-b(3);f(4) = abs(x(1)-a(4)+abs(x(2)-b

32、(4);f(5) = abs(x(1)-a(5)+abs(x(2)-b(5);f(6) = abs(x(1)-a(6)+abs(x(2)-b(6);f(7) = abs(x(1)-a(7)+abs(x(2)-b(7);f(8) = abs(x(1)-a(8)+abs(x(2)-b(8);f(9) = abs(x(1)-a(9)+abs(x(2)-b(9);f(10) = abs(x(1)-a(10)+abs(x(2)-b(10);然后 用以下程序計算 ：x0 = 6; 6;AA=-1 0100 -101; bb=-5;8;-5;8;x,fval = fminimax(ff15,x0,AA,bb

33、)結果： x =88fval =91即：在坐標為(8,8)處設置供應中心可以使該點到各需求點的最大距離最小，最小的最大距離為 14。七統(tǒng)計工具箱的簡介71 統(tǒng)計工具箱的功能及應用步驟1 基本功能（1）提供了常見的 20 多中概率分布的分布密度函數(shù)、分布函數(shù)逆分布函數(shù)，參數(shù)估計函數(shù)合隨機數(shù)生成函數(shù)；提供多種概率分布的分布參數(shù)合置信區(qū)間的估計方法；提供包括單因子方差分析、雙因子方差分析和多因子方差分析方法； 提供多元線性回歸，非線性回歸，一般線性擬合，多項式擬合等功能； 提供多種有效的假設檢驗，分布的檢驗，非參數(shù)檢驗等功能；提供多種判別分析，主成分分析，因子分析等方法。（2）（3）（4）（5）（6

34、）2 應用步驟（1）根據(jù)實際中所研究的概率統(tǒng)計問題，建立問題的數(shù)學模型，選擇適當?shù)母怕史?布密度函數(shù)合分布函數(shù)，對有關的概率分布參數(shù)作相應的估計；對所需要的數(shù)學模型作適當?shù)幕貧w或擬合；對所建立的模型作必要的分析和檢驗；（2）（3）62 統(tǒng)計工具箱的函數(shù)使用方法1 常見的概率密度分布函數(shù)，見下表：例1 計算正態(tài)分布>> x=-2:0.1:2;>> f=normpdf(x,0,1) f =Columns 1 through 100.05400.06560.07900.09400.11090.12950.1497分布類型數(shù)學表達式調(diào)用函數(shù)說明二項分布B(n,p)y = f (

35、x; n, p) = æ n ö pxqn-x ; p > 0ç ÷è x øx = 0= 1, q > 0;Y=binopdf(X,N,P)N 為正整數(shù)， 0<P<1泊松分布P()l xy = f (x; l) =e-lx!x = 0,1, 2,.; l > 0;Y=poisspdf(X,Lambda)X 為非負整數(shù)連續(xù)均勻分布U(a,b)ì1y = f (x; a,b) = ïb - a;a £ x £ bíïî0;other.Y=

36、unifpdf(X,A,B)A<B正態(tài)分布N (m,s )( x-m )2y = f (x; m,s ) =1e- 2s 22psY=normpdf(X,Mu,Sigma)Sigma>0指數(shù)分布e(m )1 - xy = f (x; m) =e mmY=exppdf(X,Mu)Mu>00.17140.19420.2179Columns 11 through 200.24200.26610.28970.31230.33320.35210.36830.38140.39100.3970Columns 21 through 300.39890.39700.39100.38140.36

37、830.35210.33320.31230.28970.2661Columns 31 through 400.24200.21790.19420.17140.14970.12950.11090.09400.07900.0656Column 410.0540畫出圖像：>>plot(x,f)2.累累布函數(shù)與逆累布函數(shù)布函數(shù)（cdf）與逆累布函數(shù)（icdf 或 inv）例2 用正態(tài)分布說明 cdf 與 inv 函數(shù)之間的關系>> x=-2:0.5:2;>> xnew=norminv(normcdf(x,0,1),0,1);分布類型數(shù) 學 表 達式累布函數(shù)逆累布函數(shù)

38、二項分布 B(n,p)B=binocdf(X,N,P)X=binoinv(B,N,P)泊松分布 P()P=poisscdf(X,Lambda)X=Poissinv(P,Lambda)連 續(xù) 均 勻 分 布U(a,b)U=unifcdf(X,A,B)X=unifinv(U,A,B)正態(tài)分布 N (m,s )N=normcdf(X,Mu,Sigma)X=norminv(N,Mu,Sigma)指數(shù)分布e(m )E=expcdf(X,Mu)X=expinv(E,Mu)>> x x =-2.00001.5000>> xnew xnew =-2.0000-1.50002.0000-

39、1.0000-0.500000.50001.0000-1.5000-1.0000-0.500000.50001.00001.50002.0000例3 算出正態(tài)分布的 80%置信區(qū)間>> p=0.013,0.813;>> x=norminv(p,0,1) x =-2.22623 參數(shù)估計0.8890參數(shù)估計式統(tǒng)計推斷問題，即當總體分布的數(shù)學形式已知，用有限個參數(shù)表示估計的問題。它可以分為點估計和區(qū)間估計兩個方面。在參數(shù)模型中，最常用的是極大似然法。 統(tǒng)計工具箱采用極大似然法給出了常用的概率分布模型參數(shù)的點估計和區(qū)間估計值。其函數(shù)通常以”fit”結尾。4 常用的數(shù)據(jù)樣本統(tǒng)計

40、量函數(shù)對于實際到的樣本數(shù)據(jù)，常常要用一些統(tǒng)計量來描述數(shù)據(jù)的分布情況，即研究數(shù)據(jù)的集中程度和分散程度，并通過這些統(tǒng)計量來對數(shù)據(jù)的總體特征進行分析研究。例 3求隨機矩陣 X 和 Y 的協(xié)方差和相關系數(shù)>> rand('seed',0)>> X=rand(10,1);>> Y=rand(10,1);>> CX=cov(X);>> CY=cov(Y);>> Cxy=cov(X,Y) Cxy =0.1154-0.0764>> CX CX =-0.07640.0919函數(shù)功能函數(shù)功能max最大元素mad平均

41、絕對偏差min最小元素range樣本極差sum元素和std標準差sort遞增排序moment任意階中心矩geomean幾何均值cov協(xié)方差矩陣harmmean調(diào)和均值corrcoef相關系數(shù)mean算術平均值median中位元素var方差0.1154>> PX=corrcoef(X) PX =1>> Pxy=corrcoef(X,Y) Pxy =1.0000-0.7418-0.74181.00005 方差分析及回歸分析方差分析、回歸分析是分析實驗數(shù)據(jù)的法，是數(shù)理統(tǒng)計中的一個重要分支。它可以通過數(shù)據(jù)的分析，弄清除與研究對象有關的各個因素以及他們之間相互作用的影響，其線 性

42、模型的一般形式為y = xb + e其中 y 為實驗中觀測值向量，x 為模型的系數(shù)矩陣， 為參數(shù)向量， 為隨機誤差向量1.在統(tǒng)計工具箱中使用命令 regress()實現(xiàn)多元線性回歸，調(diào)用格式為b=regress(y，x)或b，bint，r，rint，statsl = regess(y，x，alpha)其中因變量數(shù)據(jù)向量 y 和自變量數(shù)據(jù)矩陣 x 按以下排列方式輸入對一元線性回歸，取 k=1 即可。alpha 為顯著性水平(缺省時設定為 0.05)，輸出向量 b，bint 為回歸系數(shù)估計值和它們的置信區(qū)間，r，rint 為殘差及其置信區(qū)間，stats 是用于檢函數(shù)分類函數(shù)功能方差分析anoval

43、1單因素方差分析anoval2多因素方差分析回歸分析regress多重線性回歸lscov給定方差矩陣回歸ridge嶺回歸stepwise逐步回歸多項式回歸ployfit多項式擬合ployval多項式ployconf給出置信區(qū)間的多項式驗回歸模型的統(tǒng)計量，有三個數(shù)值，第一個是 R2，其中 R 是相關系數(shù)，第二個是 F 統(tǒng)計量值，第三個是與統(tǒng)計量 F 對應的概率 P，當 P< 時拒絕 H0，回歸模型成立。畫出殘差及其置信區(qū)間，用命令 rcoplot(r，rint)例 4：已知某湖八年來湖水中 COD 濃度實測值(y)與影響因素湖區(qū)工業(yè)產(chǎn)值(x1)、總人口數(shù)(x2)、捕魚量(x3)、降水量(x4)資料，建立污染物 y 的水質(zhì)分析模型。(1)輸入數(shù)據(jù)x1=1.376,1.375, 1.387, 1.401, 1.412, 1.428, 1.445, 1.477x2=0.450, 0.475, 0.485, 0.500, 0.535, 0.545, 0.550, 0.575x3=2.170,2.55