1、第 5 章 信號(hào)的抽取與插值5.1 前言至今，我們討論的信號(hào)處理的各種理論、算法及實(shí)現(xiàn)這些算法的系統(tǒng)都是把抽樣頻率fs視為恒定值，即在一個(gè)數(shù)字系統(tǒng)中只有一個(gè)抽樣率。但是，在實(shí)際工作中，我們經(jīng)常會(huì) 遇到抽樣率轉(zhuǎn)換的問題。一方面，要求一個(gè)數(shù)字系統(tǒng)能工作在“多抽樣率(multirate )”狀態(tài)，以適應(yīng)不同抽樣信號(hào)的需要；另一方面，對(duì)一個(gè)數(shù)字信號(hào)，要視對(duì)其處理的需要及其 自身的特征，能在一個(gè)系統(tǒng)中以不同的抽樣頻率出現(xiàn)。例如：1. 一個(gè)數(shù)字傳輸系統(tǒng)，即可傳輸一般的語音信號(hào)，也可傳輸播視頻信號(hào)，這些信號(hào)的 頻率成份相差甚遠(yuǎn)，因此，相應(yīng)的抽樣頻率也相差甚遠(yuǎn)。因此，該系統(tǒng)應(yīng)具有傳輸多種抽 樣率信號(hào)的能力，并

2、自動(dòng)地完成抽樣率的轉(zhuǎn)換；2. 如在音頻世界，就存在著多種抽樣頻率。得到立體聲聲音信號(hào)(Studio work )所用的抽樣頻率是 48kHz ， CD 產(chǎn)品用的抽樣率是 44.1kHz ，而數(shù)字音頻廣播用的是 32kHz 15 。3. 當(dāng)需要將數(shù)字信號(hào)在兩個(gè)具有獨(dú)立時(shí)鐘的數(shù)字系統(tǒng)之間傳遞時(shí)，則要求該數(shù)字信號(hào)的抽樣率要能根據(jù)時(shí)鐘的不同而轉(zhuǎn)換；4. 對(duì)信號(hào)(如語音，圖象)作譜分析或編碼時(shí)，可用具有不同頻帶的低通、帶通及高 通濾波器對(duì)該信號(hào)作“子帶”分解，對(duì)分解后的信號(hào)再作抽樣率轉(zhuǎn)換及特征提取，以實(shí)現(xiàn) 最大限度減少數(shù)據(jù)量，也即數(shù)據(jù)壓縮的目的；5. 對(duì)一個(gè)信號(hào)抽樣時(shí)，若抽樣率過高，必然會(huì)造成數(shù)據(jù)的冗余

3、，這時(shí)，希望能在該數(shù) 字信號(hào)的基礎(chǔ)上將抽樣率減下來。以上幾個(gè)方面都是希望能對(duì)抽樣率進(jìn)行轉(zhuǎn)換， 或要求數(shù)字系統(tǒng)能工作在多抽樣率狀態(tài)。近 20 年來，建立在抽樣率轉(zhuǎn)換理論及其系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)基礎(chǔ)上的“多抽樣率數(shù)字信號(hào)處理”已成為現(xiàn)代信號(hào)處理的重要內(nèi)容。 “多抽樣率數(shù)字信號(hào)處理” 的核心內(nèi)容是信號(hào)抽樣率的轉(zhuǎn) 換及濾波器組。減少抽樣率以去掉過多數(shù)據(jù)的過程稱為信號(hào)的“抽取( decimatim )”，增加抽樣率以增 加數(shù)據(jù)的過程稱為信號(hào)的“插值( interpolation )。抽取、插值及其二者相結(jié)合的使用便可 實(shí)現(xiàn)信號(hào)抽樣率的轉(zhuǎn)換。濾波器組，因名思義，它是一組濾波器，它用以實(shí)現(xiàn)對(duì)信號(hào)頻率分量的分解，然后根據(jù)

4、需要對(duì)其各個(gè)“子帶”信號(hào)進(jìn)行多種多樣的處理(如編碼)或傳輸，在另一端再用一組濾波器將處理后的“子帶”信號(hào)相綜合。前者稱為分析濾波器組，后者稱為綜合濾波器組。我們將在本章詳細(xì)討論抽樣率轉(zhuǎn)換的方法，在第6、第7及第8三章討論濾波器組問題。y(n) = x(Mn )5.2信號(hào)的抽取一個(gè)，依次組成一個(gè)新的序列y(n)，即設(shè)x(n) =x(t)|yTs，欲使fs減少M(fèi)倍，最簡單的方法是將x(n)中每M個(gè)點(diǎn)中抽取n=- ;、+：(5.2.1)現(xiàn)在我們證明，y(n)和x(n)的DTFT有如下關(guān)系:Y(e)=M J、:X(eK'2-K)/M)k =0(522)125證明： 由(5.2.1)式，y(n)

5、的z變換為oOoo(523)Y(z)二' y(n)z=、x(Mn)znn 二二為了導(dǎo)出Y(z)和X(z)之間的關(guān)系，我們定義一個(gè)中間序列x1(n):x( n)0n =0,_M ,_2M ,其它(5.2.4)注意，捲(門)的抽樣率仍示fs,而y(n)的抽樣率是fs/M。x(n)、x1(n)及y(n)如 圖5.2.1( a),( b )和(。)所示，抽取的框圖如圖(d)所示。圖中符號(hào) 卩M表示作M倍 抽取。由該圖，顯然y(n) =x(Mn ) x/Mn)，這樣，有oOCOY(z)八 x1(Mn)z* 二n/ M= _x1( n)znn 二：:即丫(z)=X1(z1/M)(5.2.5)現(xiàn)在的

6、任務(wù)是要找到x1 (z)和x(z)之間的關(guān)系。0令 P(n)= '-(n - Mi)為一脈沖序列，它在M的整數(shù)倍處的值為1，其余皆為零，i :其抽樣頻率也為 fs。由1.8節(jié)的Possion和公式及DFS的理論，p(n)又可表示為：1 M 4p(n)=*、Wm： Wm 二 e"M(5.2.6)M心因?yàn)?x1(n)二 x(n) p(n)，所以:oOX,z)八 x(n)p(n)zn :od、x(n)(zWM)n 二.二(5.2.7)即:127#將該式代入(5.2.5 )式，有1 M JI(5.2.8)Y(z) '、X(z'MWk)M kA令z二e '代入此

7、式，即得(5.2.2)式，證畢。(5.2.8)式又常寫成如下形式(5.2.9)M _1Y(zm)二、X(zW<)M心x(n)y(n) J M 圖5.2.1信號(hào)抽取示意圖，M=3，橫坐標(biāo)為抽樣點(diǎn)數(shù)(a)原信號(hào)x(n) , (b)x1(n) , (c)抽取后的信號(hào) y(n) , (d)抽取的框圖(522)式的含意是，將信號(hào) x(n)作M倍的抽取后，所得信號(hào)y(n)的頻譜等于原信2 TT號(hào)x(n)的頻譜先作 M倍的擴(kuò)展，再在軸上作2 k( k=1,2，M -1 )的移位后再迭M加。如圖5.2.2的(a)，( b)，( c),(小及(e)所示。圖5.2.2信號(hào)抽取后頻譜的變化，圖中M =3由抽樣

8、定理，在由 x(t)抽樣變成x(n)時(shí)，若保證fs _2fc，那么抽樣的結(jié)果不會(huì)發(fā)生頻譜的混迭。對(duì)x(n)作M倍抽取得到y(tǒng)(n),若保證由y(n)重建出x(t)，那么，Y(e')的一個(gè)周期(，二,M )也應(yīng)等于x(t)的頻譜X(j)。這就要求抽樣頻率 fs必須滿足fs -2Mfc。圖5.2.2正是這種情況。圖中X(ej )的頻譜限制在-爲(wèi)3 ：二3內(nèi)，而又正好作M = 3的抽取，因此 Y(ej中沒有發(fā)生頻譜的混迭，如圖(e)所示。但是，如果fs -2Mfc的條件不能得到滿足，那么 丫(ej')中將發(fā)生混迭，因此也就無法重建出x(t)。如圖523 (a)所示，X(e切 的頻譜在卜

9、岸珂2的范圍內(nèi)仍有值，因此， 即使作M=2倍的抽取，也必然發(fā)生混迭，如圖( b)所示。由于M是可變的，所以很難要求在不同的M下都能保證fs _ 2Mfc。為此，防止抽取后在丫(e ')中出現(xiàn)混迭的方法是在對(duì)x(n)抽取前先作低通濾波，壓縮其頻帶，如圖(c)所示。令h(n)為一理想低通濾波器，即H (ej° 1 ®42/m(5.2.10)0 其它如圖(d)所示，令濾波后的輸出為 ：(n),貝UQ0(n) = ' h(k)x(n -k)k =.：:令對(duì)：(n)抽取后的序列為 y(n)，則y(n) = (Mn) = ' h(k)x(Mn -k)k :(52

10、11)二 ' x(k)h(Mn -k)k :由前面的推導(dǎo)不難得出:丫二Z X(z1mW,)H(z1mwM；)k =0(5.2.12a)129#M 4jC -2k)jC，Ck)(5.2.12b)'、 X(e M )H(e M)k =0：(n)的頻譜V(e)如圖(e)所示，Y(e'')如圖(f)所示。由該圖可以看出，加上 頻帶為(-二.M M )的低通濾波器后，可以避免抽取后頻譜的混迭。因此，在對(duì)信號(hào) 抽取時(shí)，抽取前的低通濾波一般是不可缺少的。在圖5.2.3 (f)中使用了變量“ ©y ”，現(xiàn)對(duì)此稍作解釋。在一個(gè)多抽樣率系統(tǒng)中，不同位置處的信號(hào)往往工作在不

11、同的抽樣頻率下，因此，標(biāo)注該信號(hào)頻率的變量“ ”也就具有不同的含義。例如，在圖5.2.1 (d)中，若令相對(duì)Y(e) 的圓周頻率為-'y，相對(duì)對(duì)X(ej )的圓周頻率為-x，則y和上有如下關(guān)系:(5.2.13)y =2二 f fy =2二 f (fs M) = 2二Mf fs = M若要求by|蘭兀，則必須有bx蘭兀/M，這正是（5.2.10）式對(duì)H（e網(wǎng)）頻帶所提要求的原因。同時(shí)使用-.y和，x兩個(gè)變量固然能指出抽取前后信號(hào)頻率的內(nèi)涵，但使用起來非常不方便。故在本書中，除非特別說明，在抽取前后及下一節(jié)要討論的插值前后，信號(hào)的圓周頻率統(tǒng)一用表示之。只要搞清了抽取和插值前后的頻率關(guān)系，一

12、般是不會(huì)混淆的。圖5.2.3先濾波再抽取后的頻譜的變化，圖中M=2（a）X（e'），（ b）沒濾波就抽取得到的 Y（ej），（ c）信號(hào)抽取框圖，（d） H （ej ），（e）V（eJ ），（d）濾波后再抽取得到的 丫（e）5.3信號(hào)的插值如果希望將x（n）的抽樣頻率fs增加l倍，即變成Lfs，那么，最簡單的方法是將 x（n）每兩個(gè)點(diǎn)之間補(bǔ) L-1個(gè)零。設(shè)補(bǔ)零后的信號(hào)為(n)x( n/'L)0:(n),則n =0,丄_2L,其它(5.3.1)如圖5.3.1 (玄)和(b)所示。圖5.3.1信號(hào)的插值(a)原信號(hào)x(n)，(b)插入L -1個(gè)零后的：(n)，L =3?，F(xiàn)在來分析x

13、(n)、：(n)各自DTFT之間的關(guān)系。由于QOQOV(ej )八.(n)en二、x(n L)e，nn 二:n 二:QO二 ' x(k)eJ kLk -.：:即V(ej ) =X(ej L)(5.3.2)同理V( z) = X(zL)(5.3.3)式中，V(e')和X(ej )都是周期的，X(ej )的周期是2二，但X(ej L)的周期是 2 L。這樣，V(ej的周期也是2二L。( 5.3.2)式的含意是：在-二二的范圍內(nèi)，X(ej )的 帶寬被壓縮了 L倍，因此，V(er )在-二二內(nèi)包含了 L個(gè)X(e')的壓縮樣本，如圖5.3.2 所示。132133圖532插值后對(duì)

14、頻域的影響，L = 2(a)插值前的頻譜，(b)插值后的頻譜由該圖可以看出，插值以后，在原來的一個(gè)周期(一理二)內(nèi)，V(ej')出現(xiàn)了 L個(gè)周期，多余的L-1個(gè)周期稱為X(er )的映像，我們應(yīng)當(dāng)設(shè)法去除這些映像。實(shí)際上，圖5.3.1用塞進(jìn)零的方法實(shí)現(xiàn)插值是毫無意義的，因?yàn)檠a(bǔ)零不可能增加信息。自然，我們需要用 x(n)中的點(diǎn)對(duì)這些為零的點(diǎn)作出插值。實(shí)現(xiàn)插值的方法是用：(n)和一低通濾波器作卷積。為此，令W0廠L其它(5.3.4)式中c為常數(shù)，是一定標(biāo)因子。令：(n)通過h(n)后的輸出為y(n)，如圖5.3.3所示。圖5.3.3插值后的濾波這樣，濾波器的作用即是去除了V(e，'

15、)中多余的映像，另一-方面，也實(shí)現(xiàn)了對(duì)：(n)中零值點(diǎn)的插值。因?yàn)閅(ej )二 H(ej )二 cX(ej )| n L及1 二y(0)Y(eJ )d 2兀 -n所以y(0) = CCO.i.CX(ej )d x(0)2 二 L -二L這樣，若取c = L，則可保證y(0) = x(0)?，F(xiàn)在，我們來分析一下圖533中的時(shí)域關(guān)系。由（5.3.1 ）式，有y(n)=(n)*h(n) - ' . (k)h(n-k)k=' x(k L)h(n - k)kQO(5.3.5)y(n) x(k)h(n -kL)k :5.4抽取與插值相結(jié)合的抽樣率轉(zhuǎn)換對(duì)給定的信號(hào)x（n）,若希望將抽樣率轉(zhuǎn)

16、變?yōu)長/M倍，可以按以上兩節(jié)討論的方法，先將x（n）作M倍的抽取，再作L倍的插值來實(shí)現(xiàn)， 或是先作L倍的插值，再作M倍的抽 取。一般來說，抽取使 x（n）的數(shù)據(jù)點(diǎn)減少，會(huì)產(chǎn)生信息的丟失，因此，合理的方法是先對(duì)信號(hào)作插值，然后再抽取，如圖 5.4.1（ a）所示。圖中插值和抽取工作在級(jí)聯(lián)狀態(tài)。圖（a）中濾波器h,（n），h2（n）所處理的信號(hào)的抽樣率都是Lfs，因此可以將它們合起來變成一個(gè)濾波器，如圖5.4.1（ b）所示。令H(e尬)00 日，匸 min（ Ln其它M)ji(5.4.1)135#則該濾波器既去除了插值后的映像又防止了抽取后的混迭。現(xiàn)在分析一下圖5.4.1（ b）中各部分信號(hào)的關(guān)

17、系。由上兩節(jié)的討論可知，有因?yàn)閡(n) = «k(n /L)y(n) = u(M n)u(n) = - (n)* h(n)n =0,丄_2L其它n = ：亠：-_h(n k) (k)k -：(5.4.2)(5.4.3)(5.4.4)#所以圖541插值合抽取的級(jí)聯(lián)實(shí)現(xiàn)（a ）使用兩個(gè)低通濾波器,（b）使用一個(gè)低通濾波器Q0u(n)二 ' h(n -k)x(k L)Q0=、 h(n - Lk)x(k)(545)Q0(546)y(n)二 ' x(k) h(Mn - Lk)對(duì)比（5.2.11 ）及（5.3.5）式，可以看出（5.4.6）式中的y（n）正是單獨(dú)抽取和單獨(dú)插 值時(shí)

18、時(shí)域關(guān)系的結(jié)合。因?yàn)閔（n）是因果的濾波器，所以Mn - Lk _ 0，即卩n，這是（5.4.6）式中k的L取值制約關(guān)系。記Mn-m(547)#0y(n)八 x(iMnI-L式中ILp表示求小于或等于P的最大整數(shù)，這樣，（5.4.5）式可寫成些 L+mL）由于我們可最后得到. Mn |.Mn iL = Mn-Ly(n)和x(n)之間關(guān)系的表達(dá)式：mod Ly(n)=瓦 x(.字m)h(mL+(Mn)L)m_ L(5.4.9)式中Mn L表示Mn對(duì)模L求余。現(xiàn)在我們通過一個(gè)實(shí)例來分析一下上述抽樣率轉(zhuǎn)換的過程。令和h(n)都是一個(gè)四點(diǎn)的序列，如圖 5.4.2所示。L =3, M =2，x(n)x(

19、n)* nv(n)* h( -n)圖5.4.2抽樣率轉(zhuǎn)換過程x(n)依次求出:(n)，u(n)及實(shí)現(xiàn)圖5.4.1( b)的L M倍抽樣率轉(zhuǎn)換，一個(gè)辦法是從y(n)。如要求出u(n)，按(5.4.4)式，有u(0) =x(O)h(O)u(1) =0 h(0)x(0)h(1) =x(0)h(1)u(2) =0 h(0) 0 h(1)x(0)h(2) =x(0)h(2)u(3) =x(1)h(0) 0 h(1) 0 h(2) x(0)h(3) = x(1)h(0) x(0)h(3)5.4.5 )式，貝 U顯然，式中包含很多乘以零的運(yùn)算，這實(shí)際上是不需要的。若按(u(0) = x(O)h(O)u(1)

20、 =x(0)h(1)u(2) = x(0)h(2)u(3) -x(1)h(0) x(0)h(3)u(4) =x(1)h(1)從而避免了乘以零的不必要的計(jì)算。但是，把u(0) , u(1) , u(2) , u(3),都求出來也是沒有必要的，因?yàn)槲覀儗?duì) u(n)要作M =2倍的抽取，這樣，u(1) , u(3),等要 被舍棄，因此，沒有必要計(jì)算。改由(549)式，即一步由x(n)得到y(tǒng)(n)，有Q0y(n)二 '、x(2n3n =0 時(shí),n = 1 時(shí)，n =2時(shí)y(0)=、x(-m)h(3m) =x(0)h(0) =u(0)my(i) =瓦 xj|- m)h(3m 2 3)二、x( -

21、m)h(3m 2) = x(0)h(2) = u(2)m :oOy八x(m -. s4引-m)h(3m+(4)3)m = ：.：139#=x(1 -m)h(3m 1) = x(1)h(1) = u(4)m 二：二”LX(e鬥0這樣，按(5.4.9)式計(jì)算時(shí)既避免了與插值后為零的點(diǎn)相乘的多余運(yùn)算，又避免了被 舍棄點(diǎn)的多余計(jì)算?？梢姡诙喑闃勇兽D(zhuǎn)換中，不同計(jì)算方法的選取會(huì)需要不同的計(jì)算量。最后，我們給出x(n)和y(n)的頻域關(guān)系。由上兩節(jié)的討論，有V(ej ) =x(ej L)U(ej ) =V(ej )H(ej ) =X(ej L)H(ej ')解決這一問題的有效方法是采用信號(hào)的“多相

22、( polyphase)結(jié)構(gòu)” 。(5.4.9)式即是多相結(jié)構(gòu)的一種表示形式，更多的內(nèi)容我們將在下一節(jié)討論。JI(5.4.10)其它1 Y(e")=MM A'、U(ej()M)k衛(wèi)M A_ _(5411)' X(ej(L"二)|min(二) kM L_0其它在實(shí)際工作中，無論抽取還是插值，所用的濾波器一般都選取截止性能好而且是線性 相位的FIR濾波器。文獻(xiàn)50給出了信號(hào)抽取與插值的概論性的論述。5.5信號(hào)的多相表示信號(hào)的多相表示在多抽樣率信號(hào)處理中有著重要的作用。使用多相表示可在抽樣率轉(zhuǎn) 換的過程中去掉許多不必要的計(jì)算，因而大大提高運(yùn)算的速度。給定序列h(n

23、),令n =0 ，假定M =4，有oOH (z)二 ' h(n)z二 h0h4z*h8z” hz'2n =0hiz h5z* h9z hi3z'3 h2z，h6z h10z0h14z'4 -h3z：h7zh11zJ1 - h15zJ5二z0 h0 h4z*h8z"8 h12z_l2' I z 4 h-ih5z ' h9z ' h13zJ2 丨h(huán)2 h6z，h10z* h14z42】z h3h7z，h11z"8h15z'2 丨M -4叱即H(z)二 ' z' h(Mn l)zn(5.5.1)l =

24、0n=0QO記E«z)二、h(Mn l)z*(5.5.2)n -0M 4則H(z)二' zEdz” )(5.5.3)l =0若再記e (n) =h(Mn +1)(5.5.4)為h(n)的多相分量，則Q0Ei(z)八 0(n)zn z0上面的求和是從 0二，這是考慮h(n)是因果序列。對(duì)任一序列x(n)可擴(kuò)展至-：；:。上面的多相表示對(duì) FIR和IIR系統(tǒng)均適用。例如，若123H(z) =1 2z 3z 4z，取 M =2，1 1 令Eo(z) =1 3z ，EMz) =2 4z(5.5.5)上面各式的求和均再例如，令H(z)二 Eo(z2) zEjz2)H(z)，由關(guān)系:1

25、-z1 -z，1 zH(z)11 - ： zd11 -： 2z-J :zEo(z)CtE1(z)=lpH(z) = Eo(z2) z，E1(z2)(5.5.1)( 5.5.5)式稱為類型-I多相表示。如果我們用M -1 -M 4則有H(z) z°MSr(zm)0式中R(z) =Em_l(z)二 v h(Mn M -1 -l)zn=0這兩個(gè)表達(dá)式稱為類型 -II多相表示。若用-丨代替(5.5.1)(5.5.5)中的丨，則有Q0Qi(z)八 h(M n - l)z"n=0M 4H(z)八 zlQi(zM)l =0l代替類型I中的丨，(5.5.6)'(5.5.7)(5.5

26、.8)(5.5.9)這兩個(gè)表達(dá)式稱為類型-III多相表示。顯然，Ql(z) =zEM4(z)。E(z)、R(z)和Q(z)是信號(hào)重新組合的三種不同形式，在本書中，最常用的是E(z)和R(z)?，F(xiàn)在，我們來觀察它們對(duì)原序列重新組合的不同方式。令h(E)(n)=h(Mn I)，h,R)(n)=h(Mn M -仁I)，h(Q)(n) =h(Mn-I)則h0E)(n) Jho,h4,h8,hi2, ?，h0R)(n)十山幾幾,?，h0Q)(n)工人九佩幾, hi(E)( n) =h,h5,h9,hi3, X h/R)( n)二仏池,*。, h,，h；Q)( n)-hthiih,'， h2E)(

27、 n)h2,h6,hio,hu,h2R)( n)-打池池,hi3,】，h2Q)( n) - h2,h6,hi°,hi4, 耐E)(n)二匯,人了厲皿,/，h2R)(n)二嘰池亂幾,h2Q)(n)二比山池幾,請(qǐng)讀者自己尋找出各多相分量之間的關(guān)系。5.6幾個(gè)重要的恒等關(guān)系由上述幾節(jié)的抽樣率轉(zhuǎn)換關(guān)系，我們可得到在多抽樣率系統(tǒng)中幾個(gè)重要的恒等關(guān)系：1.Xi(n):1y(n)X2(n) :2144#圖中“二”表示等效。該圖說明，兩個(gè)信號(hào)分別定標(biāo)以后再相加后的抽取等于它們各自 抽取后再定標(biāo)和相加。2.4 y(n)X(n) J M =x(n) -4zJ My(n)#即信號(hào)延遲M個(gè)樣本后作 M倍抽取

28、和先抽取再延遲一個(gè)樣本是等效的。#證明：設(shè)而所以x'(n) =x(n M)，則 X'(z) = zMX(z)Y(z)心X'/wM)k -0Y(z) =M11(z MwMk)MX(z mwM°)k衛(wèi)二丄zX(wMz1|M)M k令 y'( n) =x(M n)，貝Uy( n)=y'( n-1) , Y(z)=zY'(z)又所以即二者是等效的。1 M J1Y'(z)= a X(z MWM)M z1 MJLv kY(z) ' zX(zMW<)M k=o3.x(n) y(n)H(zm)J M 二x(n)即在M倍抽取器的前后

29、，濾波器的z的幕相差M倍。證明：設(shè)H(zm)的輸出為y'(n)，則1 M 4rY'(z)=X(z)H(zM)，Y=HJ(zMM)所以1 MJ 1 Y(z-V X(z M M k=oMJ1.=Z X(zMwMk)H(z) M k =o這即是右圖所對(duì)應(yīng)的關(guān)系，故二者等效。W為H ”MWM)叮y1(n)1*-x(n) _T LOLx(n)-a c2y2(n) 02aT L:14.yd n)y2( n)146LatL(zG5.X147#請(qǐng)讀者自行證明恒等關(guān)系 4、5和6。這六個(gè)關(guān)系，又稱為"Noble Identities ” 。為 保證這六個(gè)關(guān)系成立，H(z)和G(z)都應(yīng)

30、是z (或z)的有理多項(xiàng)式，而且 z的幕均應(yīng)是整數(shù)。5.7抽取和插值的濾波器實(shí)現(xiàn)5.7.1抽取的濾波器實(shí)現(xiàn)12,15對(duì)圖5.7.1(a)的抽取，按照順序，首先要做的是對(duì)x(n)作濾波，即x(n)和h(n)的卷積，然后對(duì)卷積后的結(jié)果：(n)作抽取，如圖5.7.1(b)所示。但這種實(shí)現(xiàn)方式是費(fèi)時(shí)的，這是因?yàn)榍蟪龅?(n)中只有:(0)，: (M )，: (2M )，”，等是需要的，而其余的點(diǎn)在 抽取后都被舍棄了，即做了大量不必要的運(yùn)算。合理的方法應(yīng)按圖5.7.1 ( c)來進(jìn)行，這時(shí)，卷積在低抽樣率進(jìn)行，即N /y(n) - ' h(k)x(Mn -k)k=0式中假定h(n)為N點(diǎn)FIR濾

31、波器?，F(xiàn)在分析一下在圖5.7.1 (c)中x(n)被分組的情況；假定 M =3，輸入到:h°的是:x0 ,x3 ,x6 , x9 ,h的是：x1 , x4 , x7 ,x10 ,h2的是：x2 , x5 ,x8 ,x11 ,h3的是:x3 , x6 , x9 , x12，”，人4的是：ax4 , x7 ， x10 ,x13 ，,圖5.7.1抽取的濾波器實(shí)現(xiàn)(a) 般框圖，(b)先卷積后抽取，(c)先抽取后卷積假定N =9，分析上面結(jié)果后可以看出，與子序列x( Mn )相卷積的濾波器系數(shù)是 h0,h3和h6，和x(Mn1)相卷積的系數(shù)是g，h4，h7，與x(Mn 2)相卷積的系數(shù)是h2

32、，h8。這樣，我們可將 FIR的系數(shù)分N M成組，如圖5.7.2所示。圖5.7.2將濾波器系數(shù)分組來實(shí)現(xiàn)信號(hào)的抽取上面的分析及圖5.7.2提示我們可以用多相結(jié)構(gòu)來實(shí)現(xiàn)信號(hào)的抽取，即假定M = 3則H(z)二 E°(z3) z'Ei(z3) z(z3)而對(duì)本例:3Ej(z)二 '、h(Mn i)zn =0Eo(z) = ho hsz 二 hez，_J_2Er(z) = m h4z - h7zE2(z) = h2 h5Z hgz，所以，圖5.7.2可變成如圖5.7.3所示的多相形式。讀者不難發(fā)現(xiàn)，在本圖中使用了恒等關(guān) 系3。x(n)y(n)150#圖5.7.3抽取的多相結(jié)

33、構(gòu)實(shí)現(xiàn)5.7.2插值的濾波器實(shí)現(xiàn)若直接按順序?qū)崿F(xiàn)圖 5.7.4（a）中的插值，由于:（n）中每兩點(diǎn)增加了 L - 1個(gè)零，這些 零和h（n）做乘法是毫無意義的，因此，我們不應(yīng)把卷積放在高抽樣率（Lfs）端進(jìn)行，而應(yīng)想辦法將其移到低抽樣率端來實(shí)現(xiàn)。由多相表示的第二種形式，即（假定M =3）M 4（M -1 -L）M、H（z） - z；Rl（z ）l=0二 z經(jīng)R°(Z3) z，R1(z3) R2(z)式中R(z)二 ' h(Mn M -1 -l)z*n =0圖5.7.4（ a）的多相直接實(shí)現(xiàn)如圖5.7.4（ b）所示。這種卷積仍處在高抽樣率端，利用恒等關(guān)系6，可得圖（c）,這時(shí)

34、卷積在低抽樣率端進(jìn)行，從而避免了乘以零的無意義運(yùn)算。#x(n)151#（c）高效多相實(shí)現(xiàn)5.7.5（ a）的抽取和插值相結(jié)所示，利用恒等關(guān)系1和3，則可圖5.7.4插值得多相實(shí)現(xiàn) （a） 般框圖，（b ）直接多相實(shí)現(xiàn),5.7.3抽取和插值相結(jié)合得濾波器實(shí)現(xiàn)我們?cè)谇皟晒?jié)分別討論了抽取和插值得多相實(shí)現(xiàn)，對(duì)圖合的抽樣率轉(zhuǎn)換，若用多相形式直接實(shí)現(xiàn)，則如圖（ I得到圖（c）,顯然，圖（c）比圖（b）的效率高。圖中假定M =3，L=2。#152圖5.7.5抽取與插值的類型-I多相實(shí)現(xiàn)（a） 般框圖，（b）直接多相實(shí)現(xiàn)，（c）高效實(shí)現(xiàn)顯然，我們也可對(duì)h（n）按類型-II多相結(jié)構(gòu)來安排，因?yàn)長 = 2，所以圖

35、5.7.5 （a）可表示成圖5.7.6（ a）的形式。但圖5.7.5（ c）和圖5.7.6（ a）都是單獨(dú)地對(duì)抽取和插值作多 相表示，現(xiàn)希望把二者結(jié)合起來。對(duì)圖5.7.6（ a）來說，困難的是不能把匚2簡單地移到右邊，| 3也不能簡單地移到左邊。如果我們把圖中的zJ寫成£ Z的形式，如圖（b）所示，利用前述的恒等關(guān)系則可得到圖5.7.6 （c），再將抽取與插值交換位置，則得到圖（d ）。在圖5.7.6（d）中，抽取環(huán)節(jié)仍在Ro（z），R（Z）的后面，這必然存在多余的運(yùn)算。由圖5.7.3,啟發(fā)我們應(yīng)將 Ro（z），R（Z）再作多相分解，而Ro(z) =R°0(z3) zR&#

36、176;i(z3)z，Ro2(z3)R(z) =Rio(z3) zRii(z3) z，Ri2(z3)5.7.7所示。讀者可證明,這樣，我們可得到抽取與插值相結(jié)合時(shí)的最有效的結(jié)構(gòu)，如圖該結(jié)構(gòu)和圖5.7.5（ c）、5.7.6（ a）等是等效的。x(n)z*(n)圖5.7.6抽取與插值的類型-II多相實(shí)現(xiàn)，(a)插值的類型-II實(shí)現(xiàn),(b) 將z寫成z2 Z , (c)恒等變換，(d)抽取與插值交換位置圖5.7.7抽取與插值相結(jié)合的濾波器的結(jié)構(gòu)5.8抽取與插值的編程實(shí)現(xiàn)N M 4多相濾波器Ez) =、h(Mn I)z=n=0NM及R(z)二 ' h(Mn M -l)zn =0中的h(M n

37、 丨)和h(M n M _丨)都是變量n和丨的函數(shù)，我們可按(549)式將它們寫成h(mL Mn L)的形式。定義g(m,n) =h(mL Mn L)(5.8.1)則g(m, n)為一時(shí)變?yōu)V波器，它也是一種多相表示形式。因?yàn)間(m,n kL)二 h(mL Mn kML L)=h(mL Mn L) = g(m,n kL)所以g(m,n)是以變量n為周期的，周期為 L。假定h(n)的長度為N ,令K =N. L，則g(m, n)中的m=0,1,K -1， n =0,1，,L -1，例如，若 N =30 , L =5，M =2，則 K =6，多相濾波器 g(m,n)的 系數(shù)分別是：g(0,n) =h

38、(02n 5)=嘰応亂山池 1 g(1,n) =h(5 .2n 5)h5,h7, hghh g(2, n) =h(10 2n 5 ) = ：h10 ,h12 ,h14 ,h11 ,h13 * g (3, n) = h(15 .2n. 5) =、h15 ,h17 ,h19 , h16 , h18 : g(4,n)=h(20 .2n 5H 20, h22, h24, h21, h23 ' g(5, n)二 h(25；2n 5)=肝25山27山29山26, h28 *由(548)、( 5.4.9)及(5.8.1)式，我們可重寫抽取和插值相結(jié)合的多抽樣率轉(zhuǎn)換系統(tǒng)的 輸入輸出關(guān)系，即K 4y(n

39、)二嘉 x(m =0Mn-L-m)h(Mn -Mn-LL mL)K 4=' x(m =0iMn工F/lMn-m)h(ML ：M n：L)m)g(m,nIn丄L)K 1八x(m -0|Mn-L(582)該式有利于在計(jì)算機(jī)上編程以實(shí)現(xiàn)信號(hào)的抽取與插值。其工作過程是:步驟1.對(duì)給定的M , L,設(shè)計(jì)一低通濾波器h(n)，使其逼近理想的低通濾波器H (e甌)=丿I 徑 min(,)M L其它建議使用FIR濾波器,N =KL。步驟2.將長度為步驟3.將 x(n)按 x(h(n)的長度為N ,N的h(n)分成L個(gè)子濾波器，每段長 K二NI，即g(m,n), m =0,1廠，k -1,n =0,1丄-1Mn)來轉(zhuǎn)換，n變化時(shí)，只有當(dāng) M 為整數(shù)時(shí)才變化。上述三個(gè)步驟可用圖5.8.1來表示。圖中輸入緩沖器長度為M，中間緩沖器數(shù)據(jù)長為K ,濾波器系