1、備戰(zhàn)2021高考數(shù)學(xué)沖刺秘籍之恒成立與有解問題解法大全第二篇專題十六與雙變量有關(guān)的恒成立問題一、問題指引函數(shù)背景下的雙變量問題,一直是高考的熱點與難點,求解根本方法是利用相關(guān)知識轉(zhuǎn)化為一個變量的函數(shù)問題.二、方法詳解(一)構(gòu)造齊次式,換元【例】(2021年河南高三期末)函數(shù)fxx2axblnx,曲線yfx在點1,f1處的切線方程為y2x.(1)求實數(shù)a,b的值；(2)設(shè)Fxfxx2mxmR,xi,x20xx2分別是函數(shù)Fx的兩個零點,求證：FJxx20.一、,一一一一一一._一,一、,一12【類題展木1】【四川省2021屆局二期末】函數(shù)fx-xaxlnxax2aR有兩個不同的極2值點x1,x2

2、,且x1<x2.(1)求實數(shù)a的取值范圍；(2)求證：xva2.1【類題展布2】(2021湖北高三期末)函數(shù)fx-x2alnx.x(1)討論fx的單調(diào)性；2(2)設(shè)gxlnxbxcx,假設(shè)函數(shù)fx的兩個極值點x1,x2x1x?恰為函數(shù)gx的兩個零點,且yx1x2g'2的范圍是In21,求實數(shù)a的取值范圍.(二)各自構(gòu)造一元函數(shù)【例】(2021河南高三月考)函數(shù)f(x)=lnx-ax+1(aCR).(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；,x3,一,、(2)設(shè)g(x)=mx,右對任意的x1C(0,+8),存在x2C(1,+8),使得f(x1)vg(x2)成44x立,求實數(shù)a的取值范圍.【類題展

3、本】【廣東省2021屆高三期末】設(shè)函數(shù)f(x)(x2axa)ex(aR).(1)當a0時,求曲線yf(x)在點(l,f(1)處的切線方程；(2)設(shè)g(x)x2x1,假設(shè)對任意的t0,2,存在s0,2使得f(s)>g(t)成立,求a的取值范圍.(三)消元構(gòu)造一元函數(shù)【例】函數(shù)?(?='爰71y六0,函數(shù)？?=?(?(?)1)-?(?)恰有兩個零點？和？.(1)求函數(shù)?(?物值域和實數(shù)？?的最小值；(2)假設(shè)？<?,且？?a?A1恒成立,求實數(shù)？的取值范圍.【類題展示】【四川省2021屆高三期末函數(shù)？?(?=?§+?ln?.?(1)假設(shè)函數(shù)？?(?律2,5上單調(diào)遞增,

4、求實數(shù)？的取值范圍；(2)當？?=2時,假設(shè)方程?(?=?+2?有兩個不等實數(shù)根？,？,求實數(shù)？砌取值范圍,并證實？?？<1.(四)獨立雙變量,化為兩邊同函數(shù)形式【例】(2021深圳市高三期末)函數(shù)fxkx1lnx,其中k為非零實數(shù).(1)求fx的極值;(2)當k4時,在函數(shù)gx廠2cfxx2x的圖象上任取兩個不同的點MXi,%、Nx2,y2.假設(shè)當0x1x2t時,總有不等式g%gx24x1x2成立,求正實數(shù)t的取值范圍:k【類題展示】設(shè)函數(shù)fxlnx-,kR.x(1)假設(shè)曲線yfx在點e,fe處的切線與直線x20垂直,求fx的單調(diào)遞減區(qū)間和極小值(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))；假設(shè)對任何x

5、1x20,fx1fx2x1x2恒成立,求k的取值范圍.【類題展示】函數(shù)？=?+?ln?(I)求函數(shù)？?的圖象在點(1,1)處的切線方程；(I)假設(shè)？C?且？?1)<?對任意？?>1恒成立,求？的最大值；(I)當？?>?R4時,證實：(？?%?>(?)?(五)把其中一個看作自變量,另一個看作參數(shù)2【例】【山東2021局二期末】aR,函數(shù)fxlnx1xax2(I)假設(shè)函數(shù)fx在2,上為減函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍；(I)設(shè)正實數(shù)mim21,求證：對f(x)f(1)上的任意兩個實數(shù)x1,x2,總有fmix1m?x2mfxm2fx2成立【類題展示】【福建省2021高三期末】函數(shù)？

6、?(?=?-?(?=(?+?)ln(?臺?)-?(1)假設(shè)？?=1,?(?)=?(?)求實數(shù)？的值.(2)假設(shè)？?？C?,?(?+?(?戶？?(0)+?(0)+?求正實數(shù)？的取值范圍.(六)利用根與系數(shù)的關(guān)系,把兩變量用另一變量表示一一1【例】(2021山西局二期末)設(shè)函數(shù)f(x)xaInx(aR)(1)討論f(x)的單調(diào)性;k,問：是否存(2)假設(shè)f(x)有兩個極值點Xi和X2,記過點A(Xi,f(Xi),B(X2,f(X2)的直線的斜率為在a,使得k2a?假設(shè)存在,求出a的值,假設(shè)不存在,請說明理由.12【類題展布】【玄南管2021局二期末】函數(shù)f(X)-x2xalnx,其中a0.2(1)

7、討論f(x)的單調(diào)性；(2)假設(shè)f(x)有兩個極值點x1,x2,證實：3f(x1)f(x2)2.12【類題展布】【湖南省師范大學(xué)附屬中學(xué)2021屆高三考前演練】函數(shù)f(x)Inax2x(a0).2x(1)討論函數(shù)f(x)的極值點的個數(shù)；(2)假設(shè)f(x)有兩個極值點x1,x2,證實：f(x1)f(x2)34ln2.三、跟蹤練習(xí)一一1_1.函數(shù)f(x)x-alnx(aR).x(1)討論函數(shù)yf(x)的單調(diào)性；1,(2)右0b1,g(x)f(x)一bx,且存在不相等的實數(shù)X,x2,使得gxgX2,求證：a0x2日a且XX2X1.b12.12021河北省衡水市高三期末】函數(shù)?(?=?ln?.(1)令

8、？?(?=?(?+?假設(shè)？?=?(?在區(qū)間(0,3)上不單調(diào),求？的取值范圍；(2)當？?=2時,函數(shù)？(?)=?(?)?的圖象與？軸交于兩點？,0),?:?,0),且0<?<?,又？(?是一,一.、',一一.?(?)的導(dǎo)函數(shù).假設(shè)正常數(shù)？摘足條件？?+?=1,?>?很比擬？(?+?與0的關(guān)系,并給出理由12 .(2021江辦金陵中學(xué)局二開學(xué)測試)函數(shù)f(x)=-ax2+Inx,g(x)=-bx,其中a,bCR,設(shè)h(x)=f(x)-g(x),(1)假設(shè)f(x)在x=5處取得極值,且f'(1)=g(-1)-2.求函數(shù)h(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)假設(shè)a=0時,函數(shù)

9、h(x)有兩個不同的零點xi,X2求b的取值范圍；求證：號>1.e23 .【福建省2021高三期中】函數(shù)？?(?=?!?-?有兩個極值點？,?.(1)求？的取值范圍；(2)求證：2?<?+?.4 .【安徽省示范高中皖北協(xié)作區(qū)2021屆高三模擬】函數(shù)?=-1?+2?2?ln?(1)討論函數(shù)?的單調(diào)性;?+?(2)設(shè)？=?(?,萬程？=?(其中？為常數(shù))的兩根分別為？?<?,證實：？(丁不)<0.注:?(?,?(?分別為？?,？的導(dǎo)函數(shù).5 .(2021江蘇徐州一中高三期中)設(shè)函數(shù)fxxnmlnx1,其中nN,n>4且mr.(2)當n2時,令gx(1)當n2,m1時,

10、求函數(shù)fx的單調(diào)區(qū)間;fx2x2,假設(shè)函數(shù)gx有兩個極值點x1,x2,且4x2,求gx2的取值范圍；alnx6 .(2021江辦徐州一中局二月考)函數(shù)fx,g(x)=b(x-1),其中awqbO(1)假設(shè)a=b,討論F(x)=f(x)-g(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)函數(shù)f(x)的曲線與函數(shù)g(x)的曲線有兩個交點,設(shè)兩個交點的橫坐標分別為xi,x2,證實：Xix2gx1x2>2.a27.(2021廣西南寧二中局二(又)函數(shù)fxlnx1axx,12cgxalnxlnx1ax2xx(i)假設(shè)a0,討論函數(shù)fx的單調(diào)性；1(i)設(shè)hxfxgx,且hx有兩個極值點為公,其中x1(0,求hkhx2的最小值.e(注：其中e為自然對數(shù)的底數(shù))8.(2021云南高三(理)函數(shù)fxeexax(a為常數(shù)).(1)討論fx的單調(diào)性；fxifx2一(2)fx是fx的導(dǎo)函數(shù),右fx存在兩個極值點x1,x2x1x2,求證：f0xx2.12.119 .函數(shù)fxlnx-axbx1的圖象在x1處的