1、高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)公式導(dǎo)數(shù)公式:(tgx)二 sec x(ctgx)二-esc2 x (secx) = seex tgx (cscx)二-cscx ctgx (ax) = ax In a1(log ax)-xln a(arcsin x)=(arccos x)=(arctgx)=(arcctgx)1.1 - x21121 x11 x2基本積分表：Jtgxdx = In cosx +CJctgxdx = ln sin x +CJsecxdx =ln secx + tgx +C2= sec xdx = tgx C cos xdxcsc xdx 二-ctgx Csin xJcscxdx = In cscx

2、ctgx +Csecx tgxdxsecx Cdxa2x21x carctg C aadx2 2x -aC1 ln 2acscx ctgxdx 二-cscx Cxaxdx C ln ashxdx 二 chx Cdx2 2 a -xln C2a a xchxdx = shx Cdx : 2 2“ a2 -x2-arcsin Cdx.X2 - a2第1頁(yè)共6頁(yè)高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)公式第#頁(yè)共6頁(yè)高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)公式Xdx”1n22二 sinn xdx 二 cosn001 21Hx2 +a2 dx = Jx2 +a2 +父1 n(x + 寸 x2 + a2) +C 2 2i 2 Wx2 -a2dx = x*x2

3、 -a2 - Jn x + Ux2 - a2 +C 2 2 2.a2 -x2dx2a . x-xarcs in2三角函數(shù)的有理式積分:2usinx 2，1 ucosx 二匕,tgi，dx2duu2第#頁(yè)共6頁(yè)高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)公式一些初等函數(shù):兩個(gè)重要極限:雙曲正弦:shxx_xe -ex雙曲余弦:chx 2sin xlim1x 2 xlim （1 2）x =e =2.718281828459045 j xX _x雙曲正切g(shù)詁汴arshx =1 n（ x . x1）2archx 二 In（x 亠x -1）arthx21 -x-和差角公式:sin（x 二）=sin ： cosL 二 cos： sin

4、: cos（：） =cos： cos ： -sin ： sin :tg：； tg :tg（_ btg： tgl ctg（： _ ctg： ctgTctgi 二 ctg：Ra + P a - Psin 篇出 sin= 2sincos2 2Ra +P a _Psin 匚-sin= 2cos sin 一2 2Ga + P a - Pcos： cos- - 2cos cos2 2Ra + P a - Pcos： -cos - - 2sinsin 2 2倍角公式:sin 2： =2s in- icos-：2 2 2 2cos2- = 2cos - -1 =12sin - = cos - -sin -ct

5、g 2:ctg2 ： -12 ctg :sin3： = 3sin：4sin3:3cos3： - 4cos ： -3cos：tg2：2tg :21 -tg :-tg3：=33tg： -tg :1-3tg2：-半角公式:丄 1cosa2 2丄 a 亠-cosatgr-.1 cos：1 -cos：蛙si nsin :1 +cosa正弦定理：- b 2Rsin Asin Bsin Csin ，1+cosacos2 2丄a丄 jM+cosctg2 1 co申1 cos：si nsi n：1-cos：2 2 2余弦定理：c = a b -2abcosC-和差化積公式:第2頁(yè)共6頁(yè)高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)公式高階導(dǎo)數(shù)公

6、式萊布尼茲(Leibniz )公式:n(n)k (n 上)(k)(uv)Cnu vkX(n)g) n(n-1) (n. n(n- 1廠(n-k 1) 5 g5)=uv nuvuv亠 亠uv 亠 亠uv2!k!中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用：拉格朗日中值定理：f(b) -f (a) = f ( J(b-a)柯西中值定理：f(b)-f”F(b)-F(a)F 徉)當(dāng)F(x)二x時(shí)，柯西中值定理就是 拉格朗日中值定理。定積分的近似計(jì)算：定積分應(yīng)用相關(guān)公式：多元函數(shù)微分法及應(yīng)用隱函數(shù)方程組:F(x，y，u，v)=jG(x,y,u,v)=O:u 1 j(F,G)；v 1,_ ,I,”， _-.xJ；：(x,v)；xJ

7、:u1；:(F,G)；v1= =:yJ；:(y,v)為JcFcF1 ,(F,G) _石FuFvc(u,v)cGcGGuGvcu：(F,G)；：(u,x)：(F,G)f(u, y)第3頁(yè)共6頁(yè)高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)公式微分法在幾何上的應(yīng)用： 多元函數(shù)的極值及其求法:fxy(x,y) = B,fyy(x,y) = C設(shè)fx(x0,y。)= fy(x,y) =0,令：fxx(X0,y。)= A, 2 A0時(shí)，0爲(wèi)治0,(x0, y0 )為極小值貝ACB2 0時(shí)，無(wú)極值A(chǔ)C-B2=0寸,不確定I常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)：等比數(shù)列：1 q q2 g7qn 4 = 1 q1 q等差數(shù)列：2,3n=加2調(diào)和級(jí)數(shù)：1 1 1 J是發(fā)

8、散的23 n級(jí)數(shù)審斂法:1正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法根植審斂法(柯西判別法)：-Pel時(shí)，級(jí)數(shù)收斂設(shè)：P =lim；.：un，則 P1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散I P=1時(shí)，不確定2、比值審斂法：設(shè):心im Ua，nUn：:：1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂 則 P 1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散 p=1時(shí)，不確定 3、定義法：sn =比 U2川卷Un； lim Sn存在，則收斂；否則發(fā) 散。交錯(cuò)級(jí)數(shù)5 -u2 u3 -u (或 -5U2-u3 ，un 0)的審斂法萊布尼茲定理：Un譏十如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足n：，那么級(jí)數(shù)收斂且其和S蘭*,其余項(xiàng)rn的絕對(duì)值rn WUn審 lim un =04-JPC絕對(duì)收斂與條件收斂：(1) u U2川Un宀，其中Un為

9、任意實(shí)數(shù)；(2) U +上|+比|+血+如果(2)收斂，則肯定收斂，且稱為絕對(duì) 收斂級(jí)數(shù);如果(2)發(fā)散，而(1)收斂，則稱為條件收斂級(jí)數(shù)。調(diào)和級(jí)數(shù)1發(fā)散，而上收斂；nnp級(jí)數(shù)：np第5頁(yè)共6頁(yè)高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)公式第#頁(yè)共6頁(yè)高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)公式幕級(jí)數(shù):第#頁(yè)共6頁(yè)高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)公式x0 =0時(shí)即為麥克勞林公式：f(xrf(0) f(0)x ；(!0)八f In些函數(shù)展開(kāi)成幕級(jí)數(shù):1 xx2 . x3 川質(zhì)xn x 1時(shí)，收斂于丄1 -xx _1時(shí)，發(fā)散對(duì)于級(jí)數(shù)(3)a aiX - a?x2亠亠anXn ，如果它不是僅在原點(diǎn)收斂，也不是在全數(shù)軸上都收斂，則必存x:：:R時(shí)收斂在R,使 x .R時(shí)發(fā)散，其

10、中R稱為收斂半徑x=R時(shí)不定求收斂半徑的方法：設(shè)lim = P,其中 an， T anan 1是 (3)的系數(shù)，則0時(shí)，R=1Pr =0時(shí)，R =:時(shí)，R = 0函數(shù)展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)：f(X)= f(x0)(X-x0)畀(X-X)n2!n!函數(shù)展開(kāi)成幕級(jí)數(shù):f ( n制()余項(xiàng)：Rn JLJ(x_Xo)n1,f(X河以展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)的 充要條件是(n +1)!lim Rn = 0(1x)J mx 啞以22!35sin x =x _ x(_1)n_3!5!(2n -1)!十十 m(m1)(m n +1)” 十2n4xn!(-1 ： x : 1)微分方程的相關(guān)概念:一階微分方程：y=f(x, y)

11、或 P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0可分離變量的微分方程：一階微分方程可以化 為g(y)dy = f(x)dx的形式，解法: g(y)dy =jf (x)dx 得：G(y)=F(x) V稱為隱式通解。齊次方程：一階微分方 程可以寫(xiě)成 魚(yú)=f(x, y)二(x, y)，即寫(xiě)成衛(wèi)的函數(shù)，解法：dxx設(shè)u = y，貝U=u x，u 史二(u)， dxdu 分離變量，積分后將 代替u，x dxdx dxx (u)-ux即得齊次方程通解。一階線性微分方程：1、階線性微分方程：dy P(x)y =Q(x)dx當(dāng)Q(x) =0時(shí)，為齊次方程，y當(dāng) Q(x)0時(shí)，為非齊次方程,y =(JQ(

12、x)eF(gdx+C)eTP(g 2 貝努力方程：dy P(x)y 二Q(x)yn,(n = 0,1)dx全微分方程:如果P(x,y)dx Q(x,y)dy=0中左端是某函數(shù)的全微 分方程，即：du(x, y)二 P(x, y)dx Q(x,y)dy =0,其中：-U = P(x, y),=Q(x, y) excy.u(x, y) =C應(yīng)該是該全微分方程的 通解。二階微分方程：d2ydx2+ %)孚dxQ(x)y = f(x)，f (x)三0寸為齊次f (x) = 0寸為非齊次二階常系數(shù)齊次線性微分方程及其解法：(*) y py qy =0，其中p,q為常數(shù);求解步驟：1、 寫(xiě)出特征方程：(=)r2 pr q = 0,其中r2，r的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)恰好是(*)式中y ,y ,y的系數(shù);2、求出(式的兩個(gè)根ri,r23根據(jù)ma的不同情況，按下表寫(xiě) 出(*)式的通解:G D的形式(*)式的通解兩個(gè)不相等實(shí)根(p2 4q 0)gx |r2xy =