1、其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點(diǎn)高考數(shù)學(xué)中的內(nèi)切球和外接球問(wèn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的體積為題9一、直接法 (公式法 )8 ，底面周長(zhǎng)為，則這個(gè)球的體積為1、求正方體的外接球的有關(guān)問(wèn)題.例 1 若棱長(zhǎng)為 3 的正方體的頂點(diǎn)都在解設(shè)正六棱柱的底面邊長(zhǎng)為x ，高同一球面上，則該球的表面積為6x3,x1 ,963x2h,2_ .27 .為 h ，則有 84h3 例 2一個(gè)正方體的各頂點(diǎn)均在同一r1正六棱柱的底面圓的半徑2 ，球心到底球的球面上，若該正方體的表面積為24 ，d3面的距離2.外接球的半徑則該球的體積為 _. 43 .2、求長(zhǎng)方體的外接球的有關(guān)問(wèn)題r 2d 2V 球4R1.3 .例

2、 3 （2007年天津高考題） 一個(gè)長(zhǎng)方二、構(gòu)造法 (補(bǔ)形法 )體的各頂點(diǎn)均在同一球面上，且一個(gè)頂點(diǎn)1、構(gòu)造正方體上的三條棱長(zhǎng)分別為 1,2,3 ，則此球的表面例 5 （2008 年福建高考題） 若三棱錐積為.14 .的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長(zhǎng)均為3 ，例 4、（2006年全國(guó)卷 I ）已知各頂點(diǎn)則其外接球的表面積是都在一個(gè)球面上的正四棱柱高為4，體積_.9為 16，則這個(gè)球的表面積為（）. C.解據(jù)題意可知，該三棱錐的三條側(cè)A. 16B. 20棱兩兩垂直，把這個(gè)三棱錐可以補(bǔ)成一C. 24D. 32個(gè)棱長(zhǎng)為3 的正方體，于是正方體的外3.求多面體的外接球的有關(guān)問(wèn)題接球就是三棱錐的外接球.設(shè)其

3、外接球的例 5. 一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，R半徑為，則有22222R3339.R294 .故其外接球的表面積S4R29.小結(jié)一般地，若一個(gè)三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直， 且其長(zhǎng)度分別為 a、 b、 c ，則就可以將這個(gè)三棱錐補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，于是長(zhǎng)方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)就是該三棱錐的外接球的直徑 .設(shè)其外接球的半徑為R ，則有 2Ra2b2c2 .出現(xiàn)“墻角” 結(jié)構(gòu)利用補(bǔ)形知識(shí)，聯(lián)系長(zhǎng)方體?！纠}】：在四面體中，共頂點(diǎn)的三條棱兩兩垂直，其長(zhǎng)度分別為，若該四面體的四個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，求這個(gè)球的表面積。解：因?yàn)椋洪L(zhǎng)方體外接球的直徑為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)所以：四面體外接球的直徑為的長(zhǎng)即：所以球的表面積為例

4、 6.一個(gè)四面體的所有棱長(zhǎng)都為2 ，四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，則此球的表面積為（）A. 3B. 4C.3 3D. 6解析：一般解法，需設(shè)出球心，作出高線，構(gòu)造直角三角形， 再計(jì)算球的半徑 .在此，由于所有棱長(zhǎng)都相等，我們聯(lián)想只有正方體中有這么多相等的線段，所以構(gòu)造一個(gè)正方體，再尋找棱長(zhǎng)相等的四面體，四面體 ABDE 滿足條件，即AB=AD=AE=BD=DEBE2 ，由此可求得正方體的棱長(zhǎng)為1，體對(duì)角線為3 ，從而外接球的直徑也為3 ，所以此球的表面積便可求得，故選A.例 7在等腰梯形 ABCD 中，AB=2DC=2 ，DAB=60 0 ，E 為 AB 的中點(diǎn)，將ADE 與BEC 分布沿 ED 、E

5、C向上折起，使 A 、B重合于點(diǎn) P ，則三棱錐 P-DCE 的外接球的體積為（） .436A. 27B. 266C. 8D. 24解析：因?yàn)?AE=EB=DC=1 ，DAB=CBE=DEA=60 0 ，所以ADAE=EB=BC=DC=DE=CE=1 ，即三棱錐 P-DCE 為正四面體， 至此，這與例 6 就完全相同了，故選 C.例 8 .已知球 O 的面上四點(diǎn) A 、B、C、D，DA 平面ABC ，AB BC， DA=AB=BC= 3 ，則球 O 的體積等于.解析：本題同樣用一般方法時(shí)，需要找出球心，求出球的半徑 .而利用長(zhǎng)方體模型很快便可找到球的直徑，由于DA平面 ABC ， ABBC ，

6、聯(lián)想長(zhǎng)方體中的相應(yīng)線段關(guān)系，構(gòu)造長(zhǎng)方體，又因?yàn)镈A=AB=BC=3 ，則此長(zhǎng)方體為正方體，所以 CD 長(zhǎng)即為外接球的直徑，利用直角9三角形解出 CD=3 .故球 O 的體積等于 2.2、構(gòu)造長(zhǎng)方體例 9.已知點(diǎn) A、B、C、D 在同一個(gè)球面上， AB平面 BCD ， BCDC ，若AB6,AC=213,AD=8 ，則球的體積是.解析：首先可聯(lián)想到例8，構(gòu)造下面的長(zhǎng)方體，于是 AD 為球的直徑， O 為球心， OB=OC=4 為半徑，要求 B、C 兩點(diǎn)間的球面距離，只要求出BOC 即可，在Rt ABC 中，求出 BC=4 ，所以BOC=60 0 ，故 B、C 兩點(diǎn)間的球面距離4是 3 .三 .多

7、面體幾何性質(zhì)法例 1 0.已知各頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上的正四棱柱的高為 4，體積為 16，則這個(gè)球的表面積是A. 16B. 20C.24D. 32解設(shè)正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為x ，外接球的半徑為 R ，則有 4x216 ，解得x2 .2R 22 22 42 26, R 6. 這個(gè)球的表面積是 4 R2 24 .選 C.小結(jié)本題是運(yùn)用“正四棱柱的體對(duì)角線的長(zhǎng)等于其外接球的直徑” 這一性質(zhì)來(lái)求解的 .四 .尋求軸截面圓半徑法例 11.正四棱錐 S ABCD 的底面邊長(zhǎng)和各側(cè)棱長(zhǎng)都為2，點(diǎn)SDCO1A圖 3BS、A、B、C、 D 都在同一球面上， 則此球的體積為.解設(shè)正四棱錐的底面中心為O1 ，外接球的球

8、心為 O ，如圖 1 所示 .由球的截面的性質(zhì)，可得 OO1平面 ABCD .又 SO平面 ABCD ，球心 O 必在1SO1 所在的直線上 . ASC 的外接圓就是外接球的一個(gè)軸截面圓，外接圓的半徑就是外接球的半徑 .在ASC 中，由 SA SC2， AC2 ，得 SA2SC2AC 2.ACASC是以 AC為斜邊的 Rt1. 2是外接圓的半徑，也是外接球的半徑.故解設(shè)矩形對(duì)角線的交點(diǎn)為O ，則由矩形對(duì)角線互相平分，可知OAOBOCOD .點(diǎn) O 到四面體的四個(gè)頂點(diǎn) A、B、C、D 的距離相等，即點(diǎn)O 為四面體的外接球的球心，外接球的R OA5V 球4R3125半徑2 .故36 .選 C.【例題】：已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，且，,求球的體積。解：且，,因?yàn)閂 球43 .所以知所以所五 .確定球心位置法例 11.在矩形 ABCD 中，AB4, BC3 ，沿 AC 將矩形