1、題目一：多項(xiàng)式插值某氣象觀測站在8:00(AM)開始每隔10分鐘對天氣作如下觀測，用三次多項(xiàng)式插值函數(shù)(Newton)逼近如下曲線，插值節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)如上表，并求出9點(diǎn)30分該地區(qū)的溫度(x=10)。X12345678y、數(shù)學(xué)原理假設(shè)有n+1個不同的節(jié)點(diǎn)及函數(shù)在節(jié)點(diǎn)上的值(xg,y0),(Xn,yn),插值多項(xiàng)式有如下形式:Pn（X）0i（X-X0）2（X-X0）（XXi）n（X-X0）（XX）（XXn）（1）其中系數(shù)i（i=0,1,2n）為特定系數(shù)，可由插值樣條Pn（Xi）yi（i=0,1,2n）確定。根據(jù)均差的定義，把x看成a,b上的一點(diǎn)，可得f（X）=f（X0）+fX0,X1（X-X0）fX,

2、X0=fX°,Xj+fX,X0,X1（X-X1）fX,X0,Xn-1=fX,X0,Xn+fX,X°,Xn（X-Xn）綜合以上式子，把后一式代入前一式，可得到：f（X）=fX0+fX0,X1（X-X0）+fX0,X1,X2（X-X0）（X-X1）+fX,X。，-Xn（X-X0）-（X-Xn-1）+fX,X。，Xn,Xn1（X）=Nn（X）+Rn（X）其中Nn（X）=fX0+fX0,X1（X-X0）+fX0,X1,X2（X-X0）（X-X1）+fX,X0,Xn（X-X0）（X-Xn-1）Rn(x)=f(x)-Nn(xfx,Xo,xnl(x)（3）nl(x)=(x-xo)-(x-

3、xn)Newton插值的系數(shù)i(i=0,1,2n)可以用差商表示。一般有kfx0,xxk(k=0,1,2,n)（4）把(4)代入(1)得到滿足插值條件Nn(x)f(x)(i=0,1,2,n)的n次Newton插值多項(xiàng)式Nn(x)=f(x°)+fx0,x1(x-x)+fx0,x，x2(x-x)(x-x2)+fx0,xxn(x-x1)(x-x2)(x-xn-1).其中插值余項(xiàng)為：fn1(),、Rn(x)f(x)-N(x)n1(x)n(n1)!n1介于x0,xxk之間。三、程序設(shè)計(jì)functiony,A,C,L=newdscg(X,Y,x,M)%y為對應(yīng)x的值，A為差商表，C為多項(xiàng)式系數(shù)，

4、L為多項(xiàng)式%X為給定節(jié)點(diǎn)，Y為節(jié)點(diǎn)值,x為待求節(jié)點(diǎn)n=length(X);m=length(x);%n為X的長度fort=1:mz=x(t);A=zeros(n,n);A(:,1)=Y's=;p=;q1=;c1=;forj=2:nfori=j:nA(i,j)=(A(i,j-1)-A(i-1,j-1)/(X(i)-X(i-j+1);endq1=abs(q1*(z-X(j-1);c1=c1*j;endC=A(n,n);q1=abs(q1*(z-X(n);fork=(n-1):-1:1C=conv(C,poly(X(k);d=length(C);C(d)=C(d)+A(k,k);endy(k

5、)=polyval(C,z);%俞出y值endL(k,:)=poly2sym(C);%輸出多項(xiàng)式>>symsM,X=1,3,5,7;Y=,;x=10;>>y,A,C,L=newdscg(X,Y,x,M)y=A=000000C=-xA3/480-(19*xA2)/160+(697*x)/480+3387160四、結(jié)果分析和討論對于不超過三次的插值多項(xiàng)式，x如果選取1,3,5,7這三個點(diǎn)能夠得到較好的三次插值多項(xiàng)式L=aa2+。當(dāng)x=10時，也即9點(diǎn)30分時的溫度為度，結(jié)果分析知此值應(yīng)是偏小的。對于選取不同的插值節(jié)點(diǎn)，能夠得到不同的插值多項(xiàng)式，誤差也不盡相同。五、完成題目的體會與收獲對于牛頓插值法