1、九年級數(shù)學(xué)初中數(shù)學(xué)旋轉(zhuǎn)的專項培優(yōu)練習(xí)題及答案解析一、旋轉(zhuǎn)1.閱讀材料：小胖同學(xué)發(fā)現(xiàn)這樣一個規(guī)律：兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點，并把它們的底角頂點連接起來則形成一組旋轉(zhuǎn)全等的三角形.小胖把具有這個規(guī)律的圖形稱為手拉手”圖形.如圖1,在手拉手”圖形中，小胖發(fā)現(xiàn)若/BAJ/DAE,AB=AC,AD=AE,則BD=CE在圖1中證明小胖的發(fā)現(xiàn)；借助小胖同學(xué)總結(jié)規(guī)律，構(gòu)造手拉手”圖形來解答下面的問題：（2）如圖2,AB=BC,/ABC=/BDC=60°,求證：AD+CD=BD；如圖3,在ABC中，AB=AC,ZBAC=m°,點E為ABC外一點，點D為BC中點,/E

2、BC=/ACFED±FD,求/EAF的度數(shù)（用含有m的式子表示）.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）/EAF=1m0.2【解析】分析：（1）如圖1中，欲證明BD=EC只要證明DAB0EAC即可；（2）如圖2中，延長DC到E,使得DB=DE.首先證明4BDE是等邊三角形，再證明ABD04CBE即可解決問題；（3）如圖3中，將AE繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)m°得到AG,連接CGEGEF、FG,延長ED到1。M,使得DM=DE,連接FM、CM.想辦法證明AFEAFG可得/EAF=ZFAG-m.2詳（1）證明：如圖1中，ZBAC=ZDAE,ZDAB=ZEAC,在ADAB和EA

3、C中,AD=AEDAB=EAC,AB=ACDABZEAC,，BD=EC(2)證明：如圖2中，延長DC至ijE,使得DB=DE DB=DE,/BDC=60,° .BDE是等邊三角形， /BD=BE,/DBE=ZABC=60:/ABD=ZCBE, .AB=BC, .ABDACBE,.AD=EC,BD=DE=DC+CE=DC+AD .AD+CD=BD.(3)如圖3中，將AE繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)m。得到AG,連接CGEGEF、FG,延長ED到M,使得DM=DE,連接FM、CM.由(1)可知EAgAGAC,.1./1=/2,BE=CG3 BD=DC,/BDE=/CDM,DE=DM,4 .EDBAM

4、DC,EM=CM=CG,/EBC=ZMCD,5 /EBC玄ACF,/MCD=/ACF,/FCM=ZACB=/ABC,/1=3=/2,/FCG=/ACB=ZMCF,.CF=CFCG=CM,.-.CFGACFM,6 .FG=FM,7 .ED=DM,DF±EM,.FE=FM=FG8 .AE=AG,AF=AF,9 .AFEAAFG,/J。/EAF=ZFAGm.2點睛：本題考查幾何變換綜合題、旋轉(zhuǎn)變換、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用半拉手”圖形中的全等三角形解決問題，學(xué)會構(gòu)造半拉手”模型，解決實際問題，屬于中考壓軸題.2 .在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形AOB

5、C是矩形，點O(0,0),點A(5,0),點B(0,3 ).以點A為中心，順時針旋轉(zhuǎn)矩形AOBC得到矩形ADEF,點O,B,C的對應(yīng)點分別為D,E,F.(1)如圖，當(dāng)點D落在BC邊上時，求點D的坐標(biāo)；(2)如圖，當(dāng)點D落在線段BE上時，AD與BC交于點H.求證ADB0AOB;求點H的坐標(biāo).(3)記K為矩形AOBC對角線的交點，S為4KDE的面積，求S的取值范圍(直接寫出結(jié)果即可).圖圖17【答案】(1)D(1,3);(2)詳見解析；H(，3);(3)5303、34%3033444(1)如圖，在RtACD中求出CD即可解決問題；(2)根據(jù)HL證明即可；,設(shè)AH=BH=m,貝UHC=BC-BH=5

6、-m在RtAHC中，根據(jù)AH2=HC2+AC2，構(gòu)建方程求出m即可解決問題；(3)如圖中，當(dāng)點D在線段BK上時，4DEK的面積最小，當(dāng)點D在BA的延長線上時，E'的:面積最大，求出面積的最小值以及最大值即可解決問題；【詳解】圖.A(5,0),B(0,3),.OA=5,OB=3,四邊形AOBC是矩形，.AC=OB=3,OA=BC=5,/OBC=/C=90；矩形ADEF是由矩形AOBC旋轉(zhuǎn)得到，.AD=AO=5,在RtAADC中，CD=JAD2AC2=4,BD=BC-CD=1,.D(1,3).(2)如圖中，圉由四邊形ADEF是矩形，得到/ADE=90°,點D在線段BE上，/ADB

7、=90;由(1)可知，AD=AO,又AB=AB,ZAOB=90°,RtAADBZRtAAOB(HL).如圖中，由ADB0AOB,得到/BAD=/BAO,又在矩形AOBC中，OA/BC,/CBA=/OAB,/BAD=ZCBA,2,，BH=AH,設(shè)AH=BH=m,貝UHC=BC-BH=5-m,在RtAAHC中，AH2=HC2+AC2，1.m2=32+(5-m)17m=,517BH=，5(3)如圖中,當(dāng)點D在線段BK上時，4DEK的面積最小，最小值=一?DE?DK=X3X(5-J4)=3023.34430圖尸入、£rKD，1x3X21當(dāng)點D在BA的延長線上時，ADEK的面積最大，

8、最大面積=-XDE(5+3)2綜上所述,2_303.34.4303.341303x34忘w【點睛】本題考查四邊形綜合題、矩形的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題.3.(1)發(fā)現(xiàn)：如圖1,點A為線段BC外一動點，且BLa,AB=b.填空：當(dāng)點A位于時，線段AC的長取得最大值，且最大值為(用含a,b的式子表示)(2)應(yīng)用：點A為線段BC外一動點，且BC4,AB=1,如圖2所示，分別以AB,AC為邊，作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE,連接CD,BE.請找出圖中與BE相等的線段，并說明理由；直接寫出線

9、段BE長的最大值.拓展：如圖3,在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為(2,0),點B的坐標(biāo)為(6,0),點P為線段AB外一動點，且PA=2,PM=PB,/BPM=90。，請直接寫出線段AM長的最大值5；滿足條件的點P坐標(biāo)(2-J2,板)或(2-J2,-J2),AM的最大值為2J2+4.【解析】【分析】(1)根據(jù)點A位于CB的延長線上時，線段AC的長取得最大值，即可得到結(jié)論；(2)根據(jù)已知條件易證CA*EAB,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得CD=BE；由于線段BE長的最大值=線段CD的最大值，根據(jù)(1)中的結(jié)論即可得到結(jié)果；(3)連接BM,將4APM繞著點P順時針旋轉(zhuǎn)90°得至iJPBN,連接

10、AN,得到4APN是等腰直角三角形，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到PN=PA=2,BN=AM,根據(jù)當(dāng)N在線段BA的延長線時，線段BN取得最大值，即可得到最大值為2J2+4;如圖2,過P作PE±x軸于E,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可求得點P的坐標(biāo).如圖3中，根據(jù)對稱性可知當(dāng)點P在第四象限時也滿足條件，由此求得符合條件的點P另一個的坐標(biāo).【詳解】(1);點A為線段BC外一動點，且BC=a,AB=b,當(dāng)點A位于CB的延長線上時，線段AC的長取得最大值，且最大值為BC+AB=a+b,故答案為CB的延長線上，a+b；(2)CD=BE,理由：ABD與ACE是等邊三角形， .AD=AB,AC=AE,ZB

11、AD=ZCAE=60； /BAD+ZBAC=/CAEZBAC,即/CAD=/EAB,ADAB在ACAD與EAB中,CADEAB,ACAE .CA*4EARSAS,.CD=BE；二線段BE長的最大值=線段CD的最大值，由(1)知，當(dāng)線段CD的長取得最大值時，點D在CB的延長線上, .最大值為BD+BC=AB+BC=5；(3)如圖1,?;圖1將4APM繞著點P順時針旋轉(zhuǎn)90得到PBN,連接AN,則4APN是等腰直角三角形，,-.PN=PA=2,BN=AM,.A的坐標(biāo)為（2,0）,點B的坐標(biāo)為（6,0）,.OA=2,OB=6,.AB=4, 線段AM長的最大值=線段BN長的最大值， 當(dāng)N在線段BA的延

12、長線時，線段BN取得最大值，最大值=AB+AN, .AN=72AP=2V2，最大值為2J2+4;如圖2,了小V0EAB|卻過P作P已x軸于E, APN是等腰直角三角形， .PE=AE=72，.OE=BO-AB-AE=6-4-&=2-&,p(2-72,72).如圖3中，S3根據(jù)對稱性可知當(dāng)點P在第四象限時，P(2-J2,-豆)時，也滿足條件.綜上所述，滿足條件的點p坐標(biāo)(2-后,J2)或(2-J2,42)am的最大值為272+4.【點睛】本題綜合考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，最大值問題，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.4.已知正方形A

13、BCD中，E為對角線BD上一點，過E點作EF，BD交BC于F,連接DF,G為DF中點，連接EG,CG.(1)請問EG與CG存在怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)將圖中4BEF繞B點逆時針旋轉(zhuǎn)45°,如圖所示，取DF中點G,連接EG,CG.問(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由.(3)將圖中4BEF繞B點旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖所示，再連接相應(yīng)的線段，問(1)中的結(jié)論是否仍然成立？(請直接寫出結(jié)果，不必寫出理由)【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)結(jié)論仍然成立【分析】(1)利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可證出CG=EG.(2)結(jié)論仍然

14、成立，連接AG,過G點作MN，AD于M,與EF的延長線交于N點；再證明DAG24DCG,得出AG=CG;再證出DMGFNG,得到MG=NG;再證明AMGAENG,得出AG=EG；最后證出CG=EG.(3)結(jié)論依然成立.【詳解】(1) CG=EG.理由如下：四邊形ABCD是正方形，/DCF=90：在RtFCD中，G為DF的中點，CG=-FD,2同理.在RtDEF中，EG=1FD,.CG=EG.2(2) (1)中結(jié)論仍然成立，即EG=CG.證法一：連接AG,過G點作MNLAD于M,與EF的延長線交于N點.在4DAG與4DCG中，AD=CD,ZADG=ZCDG,DG=DG,.1.ADAGADCG(S

15、A0, .AG=CG;在4DMG與4FNG中，/ZDGM=ZFGN,FG=DG,ZMDG=ZNFG,.1.DMGAFNG(ASA),MG=NG. ZEAM=ZAEN=ZAMN=90；，四邊形AENM是矩形，在矩形AENM中，AM=EN.在AMG與4ENG中，/AM=EN,ZAMG=ZENG,MG=NG,.1.AAMGAENG(SAS?),.AG=EG,EG=CG.證法二：延長CG至M,使MG=CG,連接MF,ME,EC.在ADCG與AFMG中， .FG=DG,/MGF=/CGDMG=CG,.DC®"MG,.MF=CD,/FMG=/DCG,.MF/CD/AB,EF±

16、MF.在RtMFE與RtCBE中，/MF=CB,ZMFE=ZEBC=90°,EF=BE,.1.AMFEACBEZMEF=ZCEB,ZMEC=ZMEF+ZFEC=ZCE3/CEF=90；.MEC為直角三角形. .MG=CG,EG=-MC,.EG=CG.2(3) (1)中的結(jié)論仍然成立.理由如下：過F作CD的平行線并延長CG交于M點，連接EM、EC過F作FN垂直于AB于N.由于G為FD中點，易證CD84MFG,得到CD=FM,又因為BE=EF,易證/EFM=/EBC,貝UEFM0EBCZFEM=ZBECEM=EC/FEG/BEC=90；ZFEC+ZFEM=90；即/MEC=90；.MEC

17、是等腰直角三角形.圖（一】圖（二）圖由【點睛】本題是四邊形的綜合題.G為CM中點，EG=CG,EG±CG1）關(guān)鍵是利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解答;（2）關(guān)鍵是利用了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)解答.5.請認(rèn)真閱讀下面的數(shù)學(xué)小探究系列，完成所提出的問題:1探究1：如圖1,在等腰直角三角形ABC中，ACB90°,BCa,將邊AB繞點B1 2順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD,連接CD.求證：VBCD的面積為a2.（提示：過點D作BC2邊上的高DE,可證VABCVBDE）2探究2：如圖2,在一般的RtVABC中，ACB90&

18、#176;,BCa,將邊AB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD,連接CD.請用含a的式子表示VBCD的面積，并說明理由.3探究3：如圖3,在等腰三角形ABC中，ABAC,BCa,將邊AB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD,連接CD.試探究用含a的式子表示VBCD的面積，要有探究過程.12【答案】（1）詳見解析；（2）VBCD的面積為一a,理由詳見解析；（3）VBCD的面2積為a2.4【解析】【分析】1如圖1,過點D作BC的垂線，與BC的延長線交于點E,由垂直的性質(zhì)就可以得出VABCVBDE,就有DEBCa.進而由三角形的面積公式得出結(jié)論；2如圖2,過點D作BC的垂線，與BC

19、的延長線交于點E,由垂直的性質(zhì)就可以得出VABCVBDE,就有DEBCa.進而由三角形的面積公式得出結(jié)論；3如圖3,過點A作AFBC與F,過點D作DEBC的延長線于點E,由等腰三角形1 一的性質(zhì)可以得出BF-BC,由條件可以得出VAFB且VBED就可以得出BFDE,由2三角形的面積公式就可以得出結(jié)論.【詳解】1如圖1,過點D作DECB交CB的延長線于E,BEDACB90o，由旋轉(zhuǎn)知，ABAD,ABD900,ABCDBE900,QAABC900,ADBE,在VABC和VBDE中，ACBBEDADBE,ABBDVABCVBDEAASBCDEa,QSVBCDSVBCD1a2;2122VBCD的面積為

20、一a,2E,理由：如圖2,過點D作BC的垂線，與BC的延長線交于點BEDACB900,Q線段AB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)900得到線段BE,ABBD,ABD90°，ABCDBE900，QAABC900,ADBE,在VABC和VBDE中，ACBBEDADBEABBDVABCVBDEAAS,BCDEa,1QSvbcdBCDE,2SVBCD3如圖3,過點A作AFBC與F,過點D作DEBC的延長線于點E,11AFBE90,BF-BC-a,22FABABF90°，QABD900,ABFDBE900,FABEBD,Q線段BD是由線段AB旋轉(zhuǎn)得到的,ABBD,在VAFB和VBED中,AFBEFA

21、BEBD,ABBDVAFBVBEDAAS,1BFDE-a,2QSvBCD1-BCDE212VBCD的面積為一a.4本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的面積等，綜合性較強，有一定的難度，正確添加輔助線、熟練掌握和靈活運用相關(guān)的性質(zhì)與定理是解題的關(guān)鍵6.已知正方形ABCD中，E為對角線BD上一點，過E點作EF，BD交BC于F,連接DF,G為DF中點，連接EGCG(1)求證：EG=CG;(2)將圖中4BEF繞B點逆時針旋轉(zhuǎn)45°,如圖所示，取DF中點G連接EGCG問中的結(jié)論是否仍然成立*成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；(3)將圖

22、中4BEF繞B點旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖所示，再連接相應(yīng)的線段，問(1)中的結(jié)論是否仍然成立？通過觀察你還能彳#出什么結(jié)論(均不要求證明).【答案】解：(1)CG=EG(2) (1)中結(jié)論沒有發(fā)生變化，即EG=CG證明：連接AG,過G點作MNXAD于M,與EF的延長線交于N點.圖2在DAG與4DCG中， AD=CD,/ADG=/CDG,DG=DG,DAGDCGAG=CG在4DMG與4FNG中， /DGM=/FGN,FG=DG/MDG=/NFG,ADMGAFNG.MG=NG在矩形AENM中，AM=EN.在RtAAMG與RtENG中， AM=EN,MG=NG,AAMGAENG.AG=EGEG=CG(3)

23、 (1)中的結(jié)論仍然成立.圖3【解析】試題分析：(1)利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可證出CG=EG(2)結(jié)論仍然成立，連接AG,過G點作MNLAD于M,與EF的延長線交于N點；再證明DAG24DCG,得出AG=CG再證出DMGFNG,得到MG=NG;再證明AMGAENG,得出AG=EG最后證出CG=EG(3)結(jié)論依然成立.還知道EG±CG;試題解析：解：(1)證明：在RtAFCD中，.G為DF的中點，：.CG-FD,2同理，在RtDEF中，£G=-FD,2.CG=EG(2) (1)中結(jié)論仍然成立，即EG=CG連接AG,過G點作MNLAD于M,與EF的延長線交于

24、N點，如圖所示：在4DAG與4DCG中，1 .AD=CD,/ADG=/CDG,DC=DC.DAGADCG,2 .AG=CG,在4DMG與4FNG中，3 /DGM=ZFGN,DG=FG/MDG=ZNFG,4 .DMGAFNG,.MG=NG,在矩形AENM中，AM=EN.,在RtAAMG與RtENG中，5 .AM=EN,MG=NG,6 .AMGAENG,.AG=EG,EG=CG(3) (1)中的結(jié)論仍然成立，即EG=CG且EG±CG過F作CD的平行線并延長CG交于M點，連接EM、EC,過F作FN垂直于AB于N,如圖所示：由于G為FD中點，易證CDGWMFG,得到CD=FM,又因為BE=E

25、F易證/EFM=/EBC,貝UEFMEBC/FEM=/BECEM=EC /FEEBEC=90,° /FEEFEM=90；即/MEC=90； .AMEC是等腰直角三角形， .G為CM中點，EG=CGEG±CG?！军c睛】本題解題關(guān)鍵是作出輔助線，且利用了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，難度較大。7.(12分)如圖1,在等邊4ABC中，點D,E分別在邊AB,AC上，AD=AE,連接BE,CD,點M、N、P分別是BE、CDBC的中點.(1)觀察猜想：圖1中，4PMN的形狀是；(2)探究證明：把4ADE繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，PMN的形狀

26、是否發(fā)生改變？并說明理由；(3)拓展延伸：把4ADE繞點A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AD=1,AB=3,請直接寫出4PMN的周長的最大值.AABPCBPC圖圄2【答案】（1）等邊三角形；（2）4PMN的形狀不發(fā)生改變，仍然為等邊三角形，理由見解析；（3）6【解析】分析：（1）如圖1,先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AB=AC,ZABC=ZACB=60°,則BD=C1再根據(jù)三角形中位線性質(zhì)得PM/C匕PM=2C匕PN/AD,PN=-BD,從而得到22PM=PN,/MPN=60°,從而可判斷4PMN為等邊三角形；（2）連接CEBD,如圖2,先利用旋轉(zhuǎn)的定義，把4ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。

27、可得到CAE,貝UBD=CE,/ABD=/ACE與（1）一樣可得PM=PN,/BPM=/BCE,/CPN=/CBD,則計算出/BPM+/CPN=120從而得至ij/MPN=60；于是可判斷PMN為等邊三角形.（3）利用AB-AD由D系B+AD（當(dāng)且僅當(dāng)點B、A、D共線時取等號）得到BD的最大值為4,則PN的最大值為2,然后可確定4PMN的周長的最大值.詳解：（1）如圖1.4ABC為等邊三角形，AB=AC,ZABC=ZACB=60°. AD=AE,.1.BD=CE 點M、N、P分別是BE、CDBC的中點， .PM/CE,PM=1CE)PN/AD,PN=1BD,22.PM=PN,/BPM

28、=/BCA=60；ZCPN=ZCBA=60；/MPN=60；APMN為等邊三角形；故答案為等邊三角形；(2) APMN的形狀不發(fā)生改變，仍然為等邊三角形.理由如下：連接CEBD,如圖2.AB=AC,AE=AD,ZBAC=ZDAE=60°,.把ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60可得到ACAE,.BD=CE,/ABD=/ACE與(1)一樣可得PMCCE.PM=1CE,PN/AD,PN=1BD,22.PM=PN,/BPM=/BCE,ZCPN=ZCBD,/BPM+ZCPN=ZCBD+ZCBD=ZABC-/ABD+ZACBZACE=60+60=120；/MPN=60；APMN為等邊三角形.(3) .P

29、N=1bD),當(dāng)BD的值最大時，PN的值最大.,AB-ADBDqB+AD(當(dāng)且僅當(dāng)點B、A、D共線時取等號).BD的最大值為1+3=4,，PN的最大值為2,.PMN的周長的最大值為6.點睛：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)和三角形中位線性質(zhì).8.在平面直角坐標(biāo)中，邊長為2的正方形OABC的兩頂點A、C分別在y軸、X軸的正半軸上，點O在原點.現(xiàn)將正方形OABC繞。點順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)A點一次落在直線yx上時停止旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，AB邊交直線yx于點m,BC邊交x軸于點N(如圖).(1)求邊

30、OA在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積；(2)旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)MN和AC平行時，求正方形OABC旋轉(zhuǎn)的度數(shù)；(3)設(shè)MBN的周長為p,在旋轉(zhuǎn)正方形OABC的過程中，p值是否有變化？請證明你的結(jié)論.【答案】(1)兀2(2)22.5。(3)周長不會變化，證明見解析【解析】試題分析：(1)根據(jù)扇形的面積公式來求得邊OA在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積；(2)解決本題需利用全等，根據(jù)正方形一個內(nèi)角的度數(shù)求出/AOM的度數(shù)；(3)利用全等把4MBN的各邊整理到成與正方形的邊長有關(guān)的式子.試題解析：(1);A點第一次落在直線y=x上時停止旋轉(zhuǎn)，直線y=x與y軸的夾角是45°,.OA旋轉(zhuǎn)了45°.OA在旋轉(zhuǎn)

31、過程中所掃過的面積為4522360(2) MN/AC,/BMN=ZBAC=45,°/BNM=ZBCA=45.°./BMN=/BNM.BM=BN.y.-BA=BC,AM=CN.又,.OA=OC,/OAM=/OCN,.OAMOCN./AOM=/CON=1(/AOC-/MON)=1(90-45°)=22.5.22，旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)MN和AC平行時，正方形OABC旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為45-22.5=22.5.(3)在旋轉(zhuǎn)正方形OABC的過程中，p值無變化.證明：延長BA交y軸于E點，貝U/AOE=45-/AOM,/CON=90-45-ZAOM=45-/AOM,/AOE=ZCON.又

32、OA=OC,/OAE=180-90=90°=/OCN. .OAEAOCN.OE=ON,AE=CN又/MOE=ZMON=45,OM=OM, .OMEAOMN.MN=ME=AM+AE.MN=AM+CN, p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4.，在旋轉(zhuǎn)正方形OABC的過程中，p值無變化.考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).9.如圖1,4ABC中，CA=CB,ZACB=90°,直線l經(jīng)過點C,AFL于點F,BEXl于點E.(1)求證：4AC陣CBE；(2)將直線旋轉(zhuǎn)到如圖2所示位置，點D是AB的中點，連接DE.若AB=4J2,/CBE=30:求DE的長.【答案】(1)答案見解

33、析；(2)拒強【解析】試題分析：(1)根據(jù)垂直的定義得到/BEC=/ACB=90°,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到/EBO/CAF,即可得到結(jié)論；(2)連接CD,DF,證得BCEACF,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BE=CF,CEAF,證得DEF是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到EF=J2DE,EF=C&BE,進而得至ijDE的長.試題解析：解：(1).BEXCE,ZBEC=ZACB=90°,/EBG/BCE=/BC&/ACF=90；./EBO/CAF.-.AFXl于點F,./AFC=90：AFCBEC90在ABCE與AACF中，EBCACF,/.AACF

34、ACBE(AAS)；BCAC(2)如圖2,連接CD,DF.BEXCE,./BEC=/ACB=90°,/EBG/BCE=/BCEnZACF=90；./EBO/CAF.-.AFXl于點F,./AFC=90：AFCBEC90在ABCE與ACAF中，EBCACF,ABCEACAF(AAS);BCACBE=CF.D是AB的中點，CD=BD,ZCDB=90；./CBD=/ACD=45；而BECF/EBO/CAF,./EBD=/DCF.在BDE與CDF中，EBDFCD,BDCF.,.BDEACDF(SAS,，/EDB=/FDC,DE=DF./ZBDE+ZCDE=90；/FDG/CDE=90；即/E

35、DF=90；EDF是等腰直角三角形，EF=72DE,EF=CE+CF=CE+BE./CA=CB,/ACB=90；AB=4亞，.BC=4.又一/CBE=30°,.CE=1bC=2,BE=T3cE=2T3,EF=CE+BE=2+2,/3,DE=|=23=72+76.點睛：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，證得BCEACF是解題的關(guān)鍵.10.已知:在ABC中，BC=a,AC=b,以AB為邊作等邊三角形ABD.探究下列問題：(1)如圖1,當(dāng)點D與點C位于直線AB的兩側(cè)時，a=b=3,且/ACB=60,則CD；(2)如圖2,當(dāng)點D與點C

36、位于直線AB的同側(cè)時，a=b=6,且/ACB=90,則CD;(3)如圖3,當(dāng)/ACB變化，且點D與點C位于直線AB的兩側(cè)時，求CD的最大值及相應(yīng)的/ACB的度數(shù).【答案】(1)%(2)八，昭-力巴(3)當(dāng)/ACB=120時，CD有最大值是a+b.【解析】【分析】(1) a=b=3,且/ACB=60,AABC是等邊三角形，且CD是等邊三角形的高線的2倍，據(jù)此即可求解；(2) a=b=6,且/ACB=90,AABC是等腰直角三角形，且CD是邊長是6的等邊三角形的高長與等腰直角三角形的斜邊上的高的差；(3)以點D為中心，將4DBC逆時針旋轉(zhuǎn)60。，則點B落在點A,點C落在點E.連接AE,CE,當(dāng)點E

37、、A、C在一條直線上時，CD有最大值，CD=CE=a+b【詳解】(1) ,.a=b=3,且/ACB=60,.ABC是等邊三角形,a/.OC=2, .CD=#;小戶-人工(3)以點D為中心，將4DBC逆時針旋轉(zhuǎn)60。,CE.CD=ED,/CDE=60,°AE=CB=a .CDE為等邊三角形， .CE=CD當(dāng)點E、A、C不在一條直線上時,有CD=CE<AE+AC=a+b當(dāng)點E、A、C在一條直線上時，CD有最大值，CD=CE=a+b只有當(dāng)/ACB=120時，/CAE=180,即A、CE在一條直線上，此時AE最大ACB=120,°因此當(dāng)/ACB=120時，CD有最大值是a+b

38、.D本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，以及軸對稱的性質(zhì)，正確理解CD有最大值的條件，是解題的關(guān)鍵.11.如圖1,在正方形ABCD中，點E、F分別在邊BC,CD上，且BE=DF點P是AF的中點，點Q是直線AC與EF的交點，連接PQ,PD.（1）求證：AC垂直平分EF;（2）試判斷4PDQ的形狀，并加以證明；（3）如圖2,若將4CEF繞著點C旋轉(zhuǎn)180°,其余條件不變，則（2）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）4PDQ是等腰直角三角形；理由見解析（3）成立；理由見解析.【解析】試題分析：（1）由正方形的性質(zhì)得出AB=BC=CD=AD

39、/B=/ADF=90,/BCA=/DCA=45；由BE=DF得出CE=CFCEF是等腰直角三角形，即可得出結(jié)論；111II（2）由直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)得出PD=AF,PQ=AF,得出PD=PQ再證明/DPQ=90；即可得出結(jié)論；II11(3)由直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)得出PD5AF,PQ與AF,得出PD=PQ再證明點A、F、Q、P四點共圓，由圓周角定理得出ZDPQ=2ZDAQ=90°,即可得出結(jié)論.試題解析：(1)證明：二四邊形ABCD是正方形，.AB=BC=CD=AQZB=ZADF=90,ZBCA=ZDCA=45,.BE=DR.CE=CEAC垂直平分EF;(2)解：AP

40、DCi是等腰直角三角形；理由如下：,點P是AF的中點，ZADF=90,°11iaPD=2AF=PA.ZDAP=ZADP,AC垂直平分EF,ZAQF=90,11IsaPQ=2AF=PAZPAQ=/AQP,PD=PQ,ZDPF=ZPAD+ZADP,ZQPF=ZPAQ+ZAQP,ZDPQ=2ZPAD+2ZPAQ=2(ZPAD+ZPAQ=2x490,.PDQ是等腰直角三角形；(3)成立；理由如下：.點P是AF的中點，ZADF=90,°11pHaf=paBE=DRBC=CQZFCQ叱ACD=45,ZECQ土ACB=45,.CE=CEzFCQ=ZECQCQXEF,ZAQF=90,11P

41、Q='AF=AP=PRPD=PQ=AP=PF點A、RQ、P四點共圓，ZDPQ=2ZDAQ=90,.PDQ是等腰直角三角形.考點：四邊形綜合題.12.思維啟迪：(1)如圖1,A,B兩點分別位于一個池塘的兩端，小亮想用繩子測量A,B間的距離，但繩子不夠長，聰明的小亮想出一個辦法：先在地上取一個可以直接到達B點的點C,連接BC,取BC的中點P(點P可以直接到達A點)，利用工具過點C作CD/AB交AP的延長線于點D,此時測得CD=200米，那么A,B間的距離是米.圖1圖2S3鬲用圖思維探索：(2)在4ABC和4ADE中，AC=BC,AE=DE,且AEvAC,ZACB=ZAED=90°

42、,將AADE繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)，把點E在AC邊上時ADE的位置作為起始位置(此時點B和點D位于AC的兩側(cè))，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為%連接BD,點P是線段BD的中點，連接PC,PE.如圖2,當(dāng)4ADE在起始位置時，猜想：PC與PE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別是; 如圖3,當(dāng)5=90。時，點D落在AB邊上，請判斷PC與PE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論； 當(dāng)“=150°時，若BC=3,DE=l,請直接寫出PC2的值.【答案】(1)200;(2)PC=PE,PCXPE;PC與PE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別是PC=PE,PCXPE,見解析；PC2=10.【解析】【分析】(1)由CD/AB,可得/C=/

43、B,根據(jù)/APB=/DPC即可證明ABPDCP,即可得AB=CD,即可解題.(2)延長EP交BC于F,易證4FB國4EDP(SAS可得EFC是等腰直角三角形，即可證明PC=PE,PCXPE. 作BF/DE,交EP延長線于點F,連接CECF,易證FBEDP(SAS,結(jié)合已知得BF=DE=AE,再證明FBCEAC(SAS,可得EFC是等腰直角三角形，即可證明PC=PE,PCXPE. 作BF/DE,交EP延長線于點F,連接CECF,過E點作EHI±AC交CA延長線于H點，由旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)可知，ZCAE=150°,DE與BC所成夾角的銳角為30°,得/FBC=/EAC,同可證可

44、得PC=PE,PCXPE,再由已知解三角形得.EG=CH2+HE2=103班,即可212103.3求出PC2EC222【詳解】(1)解：CD/AB,，/C=/B,在4ABP和4DCP中，BPCPAPBDPC,BC.ABFADCP>(SAS,.DC=AB.1.AB=200米.CD=200米，故答案為：200.(2)PC與PE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別是PC=PE,PCXPE.理由如下：如解圖1,延長EP交BC于F,同(1)理，可知AFBPAEDP(SAS,.PF=PE,BF=DE,X/AC=BC,AE=DE,FC=EC,又ZACB=90°,.EFC是等腰直角三角形，EP=FP,PC

45、=PE,PCXPE.PC與PE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別是PC=PE,PCXPE.理由如下：如解圖2,作BF/DE,交EP延長線于點F,連接CECF,同理，可知AFBPAEDP(SAS,一1LLBF=DE,PE=PF=EF,21 .DE=AE,.BF=AE,2 .當(dāng)a=90時，/EAC=90；3 .ED/AC,EA/BC.FB/AC,/FBC=90,/CBF=/CAE在FBC和EAC中，BFAECBECAE,BCAC.,.FBCAEAC(SAS,.CF=CE,/FCB=/ECA4 /ACB=90；/FCE=90;.FCE是等腰直角三角形，EP=FP,1L.CP，EP,CP=EP=EF.2如解圖3

46、,作BF/DE,交EP延長線于點F,連接CECF,過E點作EHI±AC交CA延長線于H點，當(dāng)“=150°時，由旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)可知，ZCAE=150°,DE與BC所成夾角的銳角為30°,/FBC=/EAC=a=150°同可得4FB國AEDP(SAS),同4FCE是等腰直角三角形，CP±EP,CP=EP=IcE,2在RtAHE中，ZEAH=30°,AE=DE=1,.HE=1,AH=走，又AC=AB=3,.-.CH=3+3,2.-.EC2=CH2+HE2=103第,，PC2=1Ec2103322【點睛】本題考查幾何變換綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)

47、的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)、勾股定理和30。直角三角形性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于壓軸題.13.已知4ABC是等腰三角形，AB=AC.(1)特殊情形：如圖1,當(dāng)DE/BC時，有DB_EC(填4"，之"或“二)'(2)發(fā)現(xiàn)探究：若將圖1中的4ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)a(0。<a<180。)到圖2位置，則(1)中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由.(3)拓展運用：如圖3,P是等腰直角三角形ABC內(nèi)一點，/ACB=90,且PB=1,PC=2,PA=3,求/BPC的度數(shù).【答案】(1)=;(

48、2)成立，證明見解析；(3)135°.【解析】【分析】試題(1)由DE/BC,得至U叫EC,結(jié)合AB=AC,得至UDB=ECABAC(2)由旋轉(zhuǎn)得到的結(jié)論判斷出DAB04EAC,得到DB=CE(3)由旋轉(zhuǎn)構(gòu)造出CPg4CEA再用勾股定理計算出PE,然后用勾股定理逆定理判斷出PEA是直角三角形，在簡單計算即可.【詳解】(1) DE/BC,DBECABAC.AB=AC,.DB=EC故答案為二,(2)成立.證明：由易知ad=ae,由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知/DAB=ZEAC,y.'AD=AE,AB=ACDAB0EAC,DB=CE(3)如圖,將CPB繞點C旋轉(zhuǎn)90°得ACEA連接PE.

49、,.CPBACEA.CE=CP=2AE=BP=1,/PCE=90,°/CEP4CPE=45,°在RtPCE中，由勾股定理可得，PE=2&,在4PEA中，PE2=(2點)2=8,AE2=12=1,PA2=32=9,.PE2+AE2=AP2,PEA是直角三角形/PEA=90,°/CEA=135,°又.ACPBACEA/BPC=ZCEA=135.°【點睛】考點：幾何變換綜合題；平行線平行線分線段成比例.14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點，點kE/4頂點B,C在第一象限，tan/AOC、，將菱形繞點A的坐標(biāo)為(5,0),菱形OABC的A按順時針方向旋轉(zhuǎn)角”F),EF與OC交于點G,連結(jié)AG.>(0°舊AOC)得到菱形FADE(,嵐O的對應(yīng)點為點(1)(2)(3)(4