1、運用兩個基本原理例1 n 個人參加某項資格考試，能否通過，有多少種可能的結(jié)果？例 2同室四人各寫了一張賀年卡，先集中起來，然后每人從中拿一張別人的賀年卡，則四張賀年卡不同的分配方式有（）（ A） 6種 （ B） 9種 （ C） 11 種 （ D） 23種解決排列組合問題的基本規(guī)律，即：分類相加，分步相乘，排組分清，加乘明確；有序排列，無序組合；正難則反，間接排除等。其次， 我們在抓住問題的本質(zhì)特征和規(guī)律，靈活運用基本原理和公式進行分析解答的同時，還要注意講究一些解題策略和方法技巧，使一些看似復(fù)雜的問題迎刃而解。下面介紹幾種常用的解題方法和策略。一特殊元素（位置）的“優(yōu)先安排法”： 對于特殊元素

2、（位置）的排列組合問題，一般先考慮特殊，再考慮其他。例1用 0 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ，五個數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有（）。A24 個 B.30 個 C.40 個D.60 個30。例 2（1995 年上海 ） 1 名老師和4 名獲獎學(xué)生排成一排照像留念，若老師不排在兩端，則共有不同的排法（）種72例 3 （ 2000 年全國）乒乓球隊的10 名隊員中有3 名主力隊員，派5 名隊員參加比賽，3 名主力隊員要安排在第一、三、五位置，其余7 名隊員選2 名安排在第二、四位置，那么不同的出場安排共有（）種 .A33 - A72 = 252例4.從0, 1,9這10個數(shù)字中選

3、取數(shù)字組成偶數(shù)，一共可以得到不含相同數(shù)字的五位偶數(shù)多少個？例5 8 人站成兩排，每排4 人，甲在前排，乙不在后排的邊上，一共有多少種排法？特殊優(yōu)先，一般在后對于問題中的特殊元素、特殊位置要優(yōu)先安排。在操作時，針對實際問題，有時“元素優(yōu)先 ”，有時 “位置優(yōu)先 ”。練習(xí) 1 （ 89 年全國）由數(shù)字1 、 2、 3、 4、 5 組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中小于50000 的偶數(shù)共有個（用數(shù)字作答）。363 合理分類與準確分步含有約束條件的排列組合問題， 按元素的性質(zhì)進行分類，按事情發(fā)生的連續(xù)過程分步，做到分類標準明確，分步層次清楚，不重不漏。4 相鄰問題用捆綁法：在解決對于某幾個元素要求相鄰的

4、問題時，先整體考慮，將相鄰的元素“捆綁 ”起來，看作一 “大 ”元素與其余元素排列，然后再考慮大元素內(nèi)部各元素間順序的解題策略就是捆綁法例7 有 8 本不同的書；其中數(shù)學(xué)書3 本， 外語書 2 本， 其它學(xué)科書3 本 若將這些書排成一列放在書架上，讓數(shù)學(xué)書排在一起，外語書也恰好排在一起的排法共有 （ ）種（結(jié)果用數(shù)值表示）A55 A33 A22=1440（ 種 ）.例 8 7 名學(xué)生站成一排，甲、乙必須站在一起有多少不同排法？解：兩個元素排在一起的問題可用“捆綁 ”法解決，先將甲乙二人看作一個元素與其他五人進行排列，并考慮甲乙二人的順序，所以共有種。例 9 8 人排成一排，甲、乙必須分別緊靠站

5、在丙的兩旁，有多少種排法？例 105個男生 3 個女生排成一列，要求女生排一起，共有幾種排法？練習(xí) 3 四對兄妹站一排，每對兄妹都相鄰的站法有多少種？答案：A44 24=3845 不相鄰問題用“插空法 ”： 不相鄰問題是指要求某些元素不能相鄰，由其它元素將它們隔開解決此類問題可以先將其它元素排好，再將所指定的不相鄰的元素插入到它們的間隙及兩端位置，故稱插空法例 11 用 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8 組成沒有重復(fù)數(shù)字的八位數(shù)，要求1與 2 相鄰， 2 與 4 相鄰， 5 與 6 相鄰，而7 與 8 不相鄰。這樣的八位數(shù)共有（ ）個（用數(shù)字作答）例 127 名學(xué)生站成一排，甲乙互

6、不相鄰有多少不同排法？解：甲、乙二人不相鄰的排法一般應(yīng)用“插空 ”法，所以甲、乙二人不相鄰的排法總數(shù)應(yīng)為：種 .例 13 排一張有8 個節(jié)目的演出表，其中有 3 個小品， 既不能排在第一個，也不能有兩個小品排在一起，有幾種排法？例 145 個男生 3 個女生排成一列，要求女生不相鄰且不可排兩頭，共有幾種排法？練習(xí)44 男 4 女站成一行，男女相間的站法有多少種？答案：2A44 A44例15.馬路上有編號為1、2、3、9的9盞路燈，現(xiàn)要關(guān)掉其中的三盞， 但不能同時關(guān)掉相鄰的兩盞或三盞，也不能關(guān)兩端的路燈，則滿足要求的關(guān)燈方法有幾種？練習(xí)5從1、2、10這十個數(shù)中任選三個互不相鄰的自然數(shù)，有幾種不

7、同的取法？答案： C83。6 順序固定用“除法 ”： 對于某幾個元素按一定的順序排列問題，可先把這幾個元素與其他元素一同進行全排列，然后用總的排列數(shù)除于這幾個元素的全排列數(shù)。例 16 6 個人排隊，甲、乙、丙三人按“甲 -乙 -丙 ”順序排的排隊方法有多少種？例 17 4個男生和3 個女生，高矮不相等，現(xiàn)在將他們排成一行，要求從左到右女生從矮到高排列，有多少種排法。A74 種排法元素定序，先排后除或選位不排或先定后插對于某些元素的順序固定的排列問題，可先全排，再除以定序元素的全排，或先在總位置中選出定序元素的位置而不參加排列，然后對其它元素進行排列。也可先放好定序的元素，再一一插入其它元素。例

8、 18 5 人參加百米跑，若無同時到達終點的情況，則甲比乙先到有幾種情況？練習(xí)6要編制一張演出節(jié)目單，6個舞蹈節(jié)目已排定順序，要插入 5個歌 唱節(jié)目，則共有幾種插入方法？七.分排問題用 直排法”：把幾個元素排成若干排的問題， 可采用統(tǒng)一排成 一排的排法來處理。例19. 7個人坐兩排座位，第一排3個人，第二排坐4個人，則不同的坐 法有多少種？A77八.逐個試驗法：題中附加條件增多，直接解決困難時，用試驗逐步尋找規(guī)例20.將數(shù)字1, 2, 3, 4填入標號為1, 2, 3, 4的方格中，每方格填1 個，方格標號與所填數(shù)字均不相同的填法種數(shù)有（）A. 6B.9C.11D.23B九、構(gòu)造模型隔板法”對

9、于較復(fù)雜的排列問題，可通過設(shè)計另一情景，構(gòu)造一個隔板模型來解決問 題。例21 .方程a+b+c+d=12有多少組正整數(shù)解？例10.把10本相同的書發(fā)給編號為1、2、3的三個學(xué)生閱覽室，每個閱 覽室分得的書的本數(shù)不小于其編號數(shù)，試求不同分法的種數(shù)。請用盡可能多的方 法求解，并思考這些方法是否適合更一般的情況？15例22. 20個相同的球分給3個人，允許有人可以不取，但必須分完，有多 少種分法？C21 =210相同元素進盒，用檔板分隔例23. 10張參觀公園的門票分給5個班，每班至少1張，有幾種選法？C94注：檔板分隔模型專門用來解答同種元素的分配問題。練習(xí)9 從全校10個班中選12人組成排球隊，

10、每班至少一人，有多少種 選法？C119十.正難則反一一排除法對于含至多”或至少”的排列組合問題，若直接解答多需進行復(fù)雜討論，可 以考慮總體去雜”，即將總體中不符合條件的排列或組合刪除掉，從而計算出符 合條件的排列組合數(shù)的方法.例24.從4臺甲型和5臺乙型電視機中任意取出3臺，其中至少要甲型與 乙型電視機各一臺，則不同的取法共有（）種.A. 140 種B. 80 種 C. 70 種D. 35 種C.注：這種方法適用于反面的情況明確且易于計算的習(xí)題.例25.求以一個長方體的頂點為頂點的四面體的個數(shù)。C84 -12 =58個。例26.100件產(chǎn)品中有3件是次品，其余都是正品?，F(xiàn)在從中取出5件產(chǎn)品，

11、其中含有次品，有多少種取法？C500 C；5 =17347001 種。例27. 8個人站成一排，其中A與B、A與C都不能站在一起，一共有多 少種排法？P88 -2 P2 P77 + P2 P66=21600 種排法。十二. 一一對應(yīng)法：例29.在100名選手之間進行單循環(huán)淘汰賽（即一場失敗要退出比賽）最 后產(chǎn)生一名冠軍，要比賽幾場？99場。十三、多元問題分類討論法對于元素多，選取情況多，可按要求進行分類討論，最后總計。例30.（2003年北京春招）某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單， 開演前又增加了兩個新節(jié)目.如果將這兩個節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法 的種數(shù)為（A ）A. 42B.

12、30C. 20D. 12Ao例31. （2003年全國高考試題）如圖， 一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現(xiàn) 給地圖著色，要求相鄰地區(qū)不得使用同一顏色， 現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同 的著色方法共有多少種？（以數(shù)字作答）72.多類元素組合，分類取出例32. 車間有11名工人，其中4名車工，5名鉗工，AB二人能兼做車 鉗工。今需調(diào)4名車工和4名鉗工完成某一任務(wù)，問有多少種不同調(diào)法？十四、混合問題 先選后排法對于排列組合的混合應(yīng)用題，可采取先選取元素，后進行排列的策略.例33. （2002年北京高考）12名同學(xué)分別到三個不同的路口進行車流量的 調(diào)查，若每個路口 4人，則不同的分配方案共有（）A.種B.種

13、C.種D.種例34. （2003年北京圖考試題）從黃瓜、白菜、油菜、扁豆 4種蔬菜品種 中選出3種，分別種在不同土質(zhì)的三塊土地上， 其中黃瓜必須種植，不同的種植 方法共有（）A. 24 種B. 18 種C. 12 種D. 6 種排列與組合配合練習(xí)一.填空題:（用直接填空法解下列排列組合問題）1.7個人并排站成一排（1）如果甲必須站在中間，有種排法.（2）如果甲、乙兩人必須站在兩端，有種排法.2 .用0,1,2,3,4,5可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)個.用集團法 若千元素要相鄰時,或要按順序3 .四男三女排成一排,(1)三個女的要相鄰,有 種排法 ;(2)女同學(xué)必須按從高到矮的順序(可不相鄰)

14、有 種 .用插空位的方法若千元素互不相鄰時.4 .四男三女排成一排,(1)女同學(xué)互不相鄰,有 種排法 .(2)男同學(xué)互不相鄰,女同學(xué)也互不相鄰,有 種排法 .用間接法 .5 .8人排成一排,其中甲、乙兩人不排在一起,有 種排法.6 .平面內(nèi)有8 個點,其中有4個點共線,另外還有三點共線,此外再無三點共線.則 (1)過這 8個點中的任何兩點可和條直線.(2)由這8 個點可以組成個不同的三角形 .分組分配問題:7 .18名同學(xué),(1)平均分成三組,有 種分法.(2)平均分給數(shù)、理、 化小 組有 種分法.(3)分配給化學(xué)小組7 人 ,物理小組6 人 ,數(shù)學(xué)小組5人 ,有 種分法.(4)分給數(shù)、理、

15、化小組,其中一個組為5 人 ,一個組為6人 , 一 個組為 7 人 ,有 種分法 .二 .填空題(用多種方法解)1 .某班上午要上語文、數(shù)學(xué)、體育和英語,又體育教師因故不能上第一節(jié)和第四節(jié), 則不同的排課方案有種 .2 .從 5 位女同學(xué),6 位男同學(xué)中選出3 位女同學(xué)和2 位男同學(xué)擔任五種不同的職務(wù),有 種選法 .3 .從甲、乙 ,等6 人中選出4名代表,那么(1)甲一定當選,共有 種選法.(2)甲一定不入選,共有 種選法 .(3)甲、乙二人至少有一人當選,共有 種選法 .4 .將 5 本不同的數(shù)學(xué)書,4本不同的物理,3本不同的化學(xué)書排成一排,(1)各類書必須排成一起,問有 種排法.(2)化學(xué)書不全排在一起,問有 種排法.(3)化學(xué)書每兩本都不相鄰,問有 種排法 .5 .有男女售票員各4 人 ,被分配在四輛公共汽車上,要求每輛車上男、女各1人 ,則有種分法 .6 .四個男孩和三個女孩站成一列,男孩甲前面至少有一個女孩站著,并且站在這 個 男 孩 前 面 的 女 孩 個 數(shù) 必 少 于 站 在 他 后 面 的 男 孩 的 個 數(shù) ,則 有 種站法 .配合練習(xí) 解答一 .填空題 :1. (1). P66=720(2). P22P55=2402. 156 個 3. (1) 720(2) 8404. (1) P44P35=1440 (2) 1445.