1、立體圖形之長方體與正方體一、一個長方體至少可以有兩個面是正方形，最多可以有6個面是正方形，但不會存在3個、4個、5個面是正方形！二、經(jīng)過折疊可以組合成正方體：中間4個一連串，兩邊各一隨便放(1-4-1 )二三緊連錯一個,三相連一隨便。(2-3-1 )兩兩相連各錯一°(2-2-2 )三個兩排一對齊。（3-3）要找兩個相對面，切記相隔一個面。三、經(jīng)過折疊可以組合成長方體:練習(xí):F列三個圖形中，能拼成正方體的是（）四、長方體或正方體的切割組合對棱長的影響1. 切割將長方體橫向切割成兩個長方體后，棱長將比原來一個長方體時增加 4條長和4 條寬；（棱長增加的最長）將長方體豎向切割成兩個長方體后

2、，棱長將比原來一個長方體時增加 4條寬和4 條高；（棱長增加的最短）將正方體沿?zé)o論沿那個方向切割成兩個長方體后，棱長將比原來增加4條棱。2. 組合將兩個完全相同的長方體沿上下面組合后, 條長和4條寬；（棱長減少的最多）將兩個完全相同的長方體沿前后面組合后, 條長和4條高；將兩個完全相同的長方體沿左右面組合后, 條寬和4條高；（棱長減少的最少）將兩個完全相同的正方體沿上下面組合后, 條棱；棱長比原來兩個長方體時減少4棱長比原來兩個長方體時減少4棱長比原來兩個長方體時減少4棱長比原來兩個正方體時減少 8依次類推將三個完全相同的正方體沿上下面組合后， 棱長比原來三個正方體 時減少16條棱，四個組合減

3、少24條棱，五個組合減少32條（公式：8X （N例如：將五個完全相同的正方體組合成一個長方體后，棱長和為140厘米,原來每個正方體的棱長和是多少？分析：五個正方體棱長共有12X 5=60條；將五個完全相同正方體組合后棱長比原來減少 32條，還剩60-32=28條； 即這28條棱的長度和即為新長方體的棱長和，所以正方體一條棱的長度為： 140* 28=5cm所以一個正方體的棱長和為：5X 12=60cm五、小正方體拼大正方體的規(guī)律由于正方體，每條棱的長度相等，所以要用小的正方體拼出大的正方體每條 棱上擺放的小正方的個數(shù)應(yīng)該是相等的，因此要拼出最小的正方體至少需要 2X 2X2=23=8個（也就是

4、說每條棱上放2個小正方體），接著再往大了拼正方體， 就是每條棱上放3個小正方體即3X 3X 3=33=27個，依次類推接下來是4X 4X 4=43=64 個; 5X 5X 5=53=125 個從中我們可以發(fā)現(xiàn)要用小的正方體拼出大的正方體所需要的小正方體的個數(shù)應(yīng)該是-23=8個數(shù)的立方。這就要求我們能夠熟記一些數(shù)的立方3=1253=274=64563=21673=3438=51293=729103=1000小正方體拼大長方體的規(guī)律規(guī)律同正方體，首先觀察大長方體各棱長分別是小正方體棱長的幾倍， 女口，長方 體長是小正方體棱長的a倍，寬是小正方體棱長的b倍，高是小正方體棱長的c 倍，貝大長方體就是由

5、aX bXc個小正方體組成的。練習(xí)：1）用棱長為3厘米的小正方體拼棱長為9厘米的大正方體需要（）個小正方體。A 、8 個 B 、27 個 C 、26 個 D 、64 個（2）一個長方體的長寬高分別是18、12、9,如果用棱長為3的小正方拼一個這樣的長方體，一共需要（）塊這樣的小正方體。（3）個長方體的盒子里面長5分米，寬4分米，深3分米，放棱長為5厘米的正方體小木塊共可以放（）塊。長方體與正方體的表面積六、長方體表面求法的變形： 貼商標(biāo)類型：只求四周面積。例如：一個長方體包裝盒，長寬高分別為 8,4,5，需要在包裝盒四周貼上商標(biāo)， 需要商標(biāo)紙的面積是多少？ 游泳池類型：只求四周和底面。例如：一

6、座游泳池，長寬高分別為 10m 4m，1.5m，需要在池內(nèi)貼上邊長為1dm 的瓷磚，大約需要多少塊瓷磚？ 抽紙盒類型：六個面面積減去缺口面積。例如：一款抽紙盒，長寬高分別是 20cm 12cm 5cm 上面有長14cm 寬3cm 的抽紙口，做這款抽紙盒需要多少硬紙片？ 占地面積問題：只求底面面積。例如：一個長方體蓄水池，長 12m寬8m深3m這個水池占地面積多少平方 米？1. 一塊長方形鐵皮長60厘米，寬40厘米，如 圖，從四個角上剪去邊長 是10厘米的正方形，然后做成盒子，這個盒子的表面積是多少平方厘米？2. 一個無蓋正方體鐵桶內(nèi)外進行涂漆，涂漆的是（）個面。七、棱長變化對表面積的影響1.

7、正方體。正方體的棱長擴大2倍，其棱長和也擴大2倍，表面積擴大4倍，體積擴大 8倍；正方體的棱長擴大3倍，其棱長和也擴大3倍，表面積擴大9倍，體積擴大 27倍;正方體的棱長擴大n倍，其棱長和也擴大n倍，表面積擴大n2倍，體積擴 大n3倍。2. 長方體。長方體的長寬高同時擴大2倍，其棱長和也擴大2倍，表面積擴大4倍，體 積擴大8倍；長方體的長寬高同時擴大3倍，其棱長和也擴大3倍，表面積擴大9倍，體 積擴大27倍；長方體的長寬高同時擴大n倍，其棱長和也擴大n倍，表面積擴大n2倍， 體積擴大n3倍。長方體的長擴大a倍，寬擴大b倍，高擴大c倍，棱長和變化無規(guī)律，表面 積變化也無規(guī)律，體積擴大ax bx

8、c倍。長方體的長擴大a倍，寬擴大b倍，棱長和變化無規(guī)律，表面積變化無規(guī)律， 體積擴大ax b倍。長方體的寬擴大b倍，高擴大c倍，棱長和變化無規(guī)律，表面積變化無規(guī)律， 體積擴大bx c倍。長方體的長擴大a倍，高擴大c倍，棱長和變化無規(guī)律，表面積變化無規(guī)律， 體積擴大ax c倍。練習(xí)：（1）大正方體的棱長是小正方體的棱長的 2倍，那么大正方體的表面積是小正方體表面積的（）倍。（2）正方體的棱長縮小5倍，它的體積就縮?。ǎ┍?（3） 個長方體的長、寬、高都擴大 4倍，它的表面積就（）。（4）正方體的棱長擴大6倍，表面積擴大（）倍。（5）個正方體的棱長為4厘米，擴大為2倍后，其棱長和為（）厘米，表面積

9、為（）平方厘米，比原來擴大了（）。（6）個長方體長擴大2倍，高擴大4倍，體積擴大（）倍。（7）大正方體的表面積是小正方體的 4倍，那么大正方體的棱長是小正方體的）;大正方體棱長之和是小正方體的（）A.2 倍 B.4 倍 C.6 倍 D.8 倍（8）把一個正方體切成大小相等的 8個小正方體，8個小正方體的表面積之和 （）。A.等于大正方體的表面積B.等于大正方體表面積的2倍C.等于大正方體表面積的3倍（9）判斷:一個長方體的長擴大2倍，寬擴大3倍，高擴大4倍，這個長方體的表面積 擴大24倍。（）正方體的棱長擴大1.2倍，它的棱長和也擴大1.2倍，它的表面積就擴大 14.4 倍。（）有棱長為1厘米

10、的正方體拼成較大的正方體，其表面積比原來一個正方體時 擴大了 4倍。（）棱長為16厘米的正方體，將棱長縮小2倍后，其棱長為4厘米，其表面積 也縮小了 4倍。（）八、立體圖形的切割：（切割會使表面積增加，因此存在表面積增加最多或最少 的問題）長方體沿與原來長方體最大面平行的方向切割，其表面積比原來增加的最多。沿與原來長方體最小面平行的方向切割，其表面積比原來增加的最少。而且每切一刀增加兩個完全相同的面，切兩刀增加四個完全相同的面，依次類推。 正方體無論沿那個面平行的方向切，都將增加兩個正方形的面，增加的面積均為2a2不存在增加最多最少的問題。例如：兩盒磁帶有三種不同的包裝方式，你說哪一種最省包裝

11、紙？要求最省包裝紙，即表面積最小，也就是表面積比原來單獨包裝時減少的表面積 最多，根據(jù)規(guī)律應(yīng)該選擇第一種包裝方式。練習(xí)：(1) 把一個棱長為6米的正方體分成兩個大小、形狀相同的長方體，每個長方體的表面積是()卅。(2) 用兩個長4厘米、寬4厘米、高1厘米的長方體拼成一個大長方體，這個長方體的表面積最大是()平方厘米，最小是()平方厘米。(3) 把一根長80厘米，寬5厘米，高3厘米的長方體木料鋸成長都是 40厘米 的兩段，表面積比原來增加了()平方厘米。(4) 用兩個長、寬、高分別是3厘米，2厘米，1厘米的長方體拼成一個大長方體，這個大長方體的表面積最小是()平方厘米。(5) 棱長是a的兩個立方

12、體拼成長方體，長方體的表面積比正方體的表面積和減少()。(6) 根長方體木料，長1.5米，寬和厚都是2分米，把它鋸成4段，表面積最少增加()平方分米.(7) 個長5厘米，寬4厘米，高3厘米的長方體，截成兩個形狀，大小完全 一樣的長方體，表面積最多能增加多少平方厘米？(8) 把一根長2米的方木(底面是正方形)鋸成三段，表面積增加5.76平方分 米，原來這根方木的底面積是多少平方分米？(9) 一根1.8m長的木材，鋸成三個完全相同的 正方體后，表面積比原來增加多 少平方厘米？(10) 一個長方體長為1.5分米，寬為0.5分米，高位1分米，鋸三刀之后可以 鋸成6個完全相同的正方體，每個正方體的表面積

13、是多少？這時表面積之和比原 來增加多少？長方體與正方體的表面積和體積九、從一個長方體中切出一個最大的正方體問題應(yīng)該以長方體中最短的棱作為切出正方體的棱長， 這樣的正方體將是能切出的最 大正方體，否則切出的將不是正方體。例如：在一個長是4厘米，寬為3厘米，高為2厘米的長方體中切出一個最大的 正方體，該正方體的棱長和是多少？剩余部分的表面積是多少？=>4Zk厘米r 區(qū)厘米4厘米十、立體圖形的組合（組合只會使表面積減少，因此存在減少最多或最少的 問題）長方體將原來長方體的最大面組合在一起，其表面積比原來減少的最多。 將原來長方體的最小面組合在一起，其表面積比原來減少的最少。而且兩個組合將減少兩

14、個完全相同的面， 三個組合減少四個完全相同的面，依次 類推。正方體無論沿那個面組合，都將減少兩個正方形的面，減少的面積均為2a2不存在增加最多最少的問題。練習(xí)：（3） 用27個體積是1立方厘米的小正方體粘合成一個大正方體，粘合后的大正方體的表面積是（）（4） 把三個完全相等的正方體拼成一個長方體，這個長方體的表面積是350平 方米。這個正方體的表面積是多少平方米？5） 個長方體的長8厘米，寬6厘米，高5.5厘米。將兩個這樣的長方體拼 成一個大長方體，表面積最大是多少？體積是多少？8）有三個大小相等的正方體，將他們拼成長方體，表面積減少32平方厘米。求所拼長方體的表面積。10）用兩個長6厘米，寬

15、3厘米，高1厘米的長方體一起包裝，至少需要包裝 紙多少？12）用兩個同樣的長、寬、高分別為 4厘米、3厘米和2厘米的小長方體，拼 成一個表面積最大的長方體，這個大長方體的表面積是多少平方厘米？小正方體拼成的大正方體表面涂漆問題大正方體長、寬、高上有幾個小正方體，則將長、寬、高上的正方體數(shù)相乘就是大正方體所含小正方體的總數(shù)；在頂點位置的小正方體露在外面的面有3個；在棱上（不包含頂點位置）的小正方體露在外面的面有2個；在面上（不包含棱上）的小正方體露在外面得面有1個；例如:在該正方體表面涂上漆，有三個面涂上漆的小正方體有幾個?有兩個面圖上漆的小正方體有幾個？有一個面涂上漆的小正方體有幾個？沒有涂上

16、漆的小正方體有幾個？圖一中，長方體共有（）個小正方體；其中兩個面露在外面的小正方體共有（）個；沒有露在外面的小正方體共有（）個。圖二中三個圖一次有（）、（）、（）小正方體組成。第二個長方體中有三個面在外面的正方體有（）個，兩個面在外面的正方體有（）個，一個面在外面的有（）個，沒有露在外面的小正方體（）。用總數(shù)一3個面的一2個面的一1個面得=沒有露在外面的小正方體的 個數(shù)。十二、小正方體拼成的大正方體在取走一部分后表面積的變化挖去的小正方體在 頂點位置，則大正方體的表面積不變， 因為原來在頂點位置小正方體露在外面的面為 3個，挖去后露 出來的面也是3個，所以表面積不變。挖去的小正方體在棱的位置，

17、則大正方體的表面積增加， 因為原來在棱上的小正方體露在外面的面有 2個，挖去后會露 出4個面，所以表面積會增大。挖去的小正方體在面上，則大正方體的表面積也會增加，因為原來在面上的小正方體只有1個面露在外面，挖去后會露 出5個面，所以表面積會增大。十二、等積變形的題，常用鍛造、熔鑄等詞1、把一個棱長為6分米的正方體鋼坯，鍛造成一個長3分米、寬2分米的長 方體鋼條，這個鋼條長多少米？2、將一塊長4.5分米，寬4分米，高2分米的長方體鋼塊，熔鑄成一根橫截 面的邊長是2分米的方鋼，這根方鋼的長是多少分米？3、一個棱長是40厘米的正方體鐵塊，現(xiàn)在要把它熔鑄成一個底面為200平方厘米的長方體鐵塊，這個長方體鐵塊的高是多少厘米？十三、用排水法解題（求不規(guī)則物體的體積轉(zhuǎn)化成規(guī)則的物體的體積，即： 放入物體后水的體積一放入物體前水的體積 =物體的體積），或利用放入水中物 體的體積等于水面上升的那部分水的體積。1、一個長方體容器長25厘米，寬18厘米，里面水深6厘米。將一個西瓜放 入其中（西瓜完全淹沒），水上升了 4厘米。這個西瓜的體積是多少？2、一個底面長和寬都是2分米的長方體玻璃容器，里面裝有5.6升水，再將 一個蘋果浸沒在水中，這時量得容器內(nèi)的水深1.5分米。這個蘋果的體積是多少 立方