1、向量法解立體幾何引言立體幾何的計算和證明常常涉及到二大問題：一是位置關系，它主要包括線線垂直，線面垂直，線線平行，線面平行；二是度量問題，它主要包括點到線、點到面的距離，線線、線面所成角，面面所成角等。教材上講的比較多的主要是用向量證明線線、線面垂直及計算線線角，而如何用向量證明線面平行，計算點到平面的距離、線面角及面面角的例題不多，給老師對這部分內(nèi)容的教學及學生解有關這部分內(nèi)容的題目造成一定的困難，下面主要就這幾方面問題談一下自己的想法，起到一個拋磚引玉的作用?；舅悸放c方法一、基本工具1.數(shù)量積： 2.射影公式：向量在上的射影為3.直線的法向量為 ，方向向量為 4.平面的法向量（略）二、用

2、向量法解空間位置關系1.平行關系線線平行兩線的方向向量平行線面平行線的方向向量與面的法向量垂直面面平行兩面的法向量平行2.垂直關系線線垂直（共面與異面）兩線的方向向量垂直線面垂直線與面的法向量平行面面垂直兩面的法向量垂直三、用向量法解空間距離1.點點距離點與的距離為2.點線距離求點到直線的距離：方法：在直線上取一點，則向量在法向量上的射影= 即為點到的距離.3.點面距離 求點到平面的距離：方法：在平面上去一點，得向量，計算平面的法向量，計算在上的射影，即為點到面的距離.四、用向量法解空間角1.線線夾角（共面與異面）線線夾角兩線的方向向量的夾角或夾角的補角2.線面夾角求線面夾角的步驟： 先求線的

3、方向向量與面的法向量的夾角，若為銳角角即可，若為鈍角，則取其補角；再求其余角，即是線面的夾角.3.面面夾角（二面角）若兩面的法向量一進一出，則二面角等于兩法向量的夾角；法向量同進同出，則二面角等于法向量的夾角的補角.實例分析一、運用法向量求空間角nA向量法求空間兩條異面直線a, b所成角，只要在兩條異面直線a, b上各任取一個向量，則角<>=或-，因為是銳角，所以cos=, 不需要用法向量。1、運用法向量求直線和平面所成角設平面的法向量為=（x, y, 1)，則直線AB和平面所成的角的正弦值為sin= cos(-) = |cos<, >| = 2、運用法向量求二面角設二

4、面角的兩個面的法向量為，則<>或-<>是所求角。這時要借助圖形來判斷所求角為銳角還是鈍角，來決定<>是所求，還是-<>是所求角。二、運用法向量求空間距離1、求兩條異面直線間的距離 設異面直線a、b的公共法向量為，在a、b上任取一點A、B，則異面直線a、b的距離d =AB·cosBAA=略證：如圖，EF為a、b的公垂線段，a為過F與a平行的直線，在a、b上任取一點A、B，過A作AAEF，交a于A，則，所以BAA=<>（或其補角）異面直線a、b的距離d =AB·cosBAA= *其中，的坐標可利用a、b上的任一向量（或

5、圖中的），及的定義得 解方程組可得。2、求點到面的距離求A點到平面的距離，設平面的法向量法為，在內(nèi)任取一點B，則A點到平面的距離為d =，的坐標由與平面內(nèi)的兩個不共線向量的垂直關系，得到方程組（類似于前面所述, 若方程組無解，則法向量與XOY平面平行，此時可改設，下同）。3、求直線到與直線平行的平面的距離求直線a到平面的距離，設平面的法向量法為，在直線a上任取一點A，在平面內(nèi)任取一點B，則直線a到平面的距離d = 4、求兩平行平面的距離設兩個平行設平面、的公共法向量法為，在平面、內(nèi)各任取一點A、B，則平面到平面的距離d = 三、證明線面、面面的平行、垂直關系設平面外的直線a和平面、，兩個面、的

6、法向量為，則 四、應用舉例：例1：如右下圖,在長方體ABCDA1B1C1D1中,已知AB= 4, AD =3, AA1= 2. E、F分別是線段AB、BC上的點，且EB= FB=1.(1) 求二面角CDEC1的正切值;(2) 求直線EC1與FD1所成的余弦值. 解：（I）以A為原點，分別為x軸，y軸,z軸的正向建立空間直角坐標系，則D(0,3,0)、D1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C1(4,3,2)于是，設法向量與平面C1DE垂直，則有（II）設EC1與FD1所成角為，則例2：如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD是菱形，DAB=600，PD平面ABCD，PD=AD

7、，點E為AB中點，點F為PD中點。（1）證明平面PED平面PAB； （2）求二面角P-AB-F的平面角的余弦值證明：（1）面ABCD是菱形，DAB=600，ABD是等邊三角形，又E是AB中點，連結(jié)BD EDB=300，BDC=600，EDC=900， 如圖建立坐標系D-ECP，設AD=AB=1，則PF=FD=，ED=， P（0，0，1），E（，0，0），B（，0） =（，-1），= （，0，-1），平面PED的一個法向量為=（0，1，0） ，設平面PAB的法向量為=（x, y, 1)由 =（, 0, 1)·=0 即 平面PED平面PAB（2）解：由（1）知：平面PAB的法向量為=（,

8、 0, 1), 設平面FAB的法向量為1=（x, y, -1)，由（1）知：F（0，0，），=（，-）， = （，0，-），由 1=（-, 0, -1)二面角P-AB-F的平面角的余弦值cos= |cos<, 1>| = 例3：在棱長為4的正方體ABCD-A1B1C1D1中，O是正方形A1B1C1D1的中心，點P在棱CC1上，且CC1=4CP.()求直線AP與平面BCC1B1所成的角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）；()設O點在平面D1AP上的射影是H，求證：D1HAP；()求點P到平面ABD1的距離.解: ()如圖建立坐標系D-ACD1, 棱長為4 A（4，0，0），B（4，4，

9、0），P（0，4，1） = (-4, 4, 1) , 顯然=（0，4，0）為平面BCC1B1的一個法向量 直線AP與平面BCC1B1所成的角的正弦值sin= |cos<, >|= 為銳角，直線AP與平面BCC1B1所成的角為arcsin () 設平面ABD1的法向量為=（x, y, 1)，=（0，4，0），=（-4，0，4） 由， 得 =（1, 0, 1)， 點P到平面ABD1的距離 d = 例4：在長、寬、高分別為2，2，3的長方體ABCD-A1B1C1D1中，O是底面中心，求A1O與B1C的距離。解：如圖，建立坐標系D-ACD1，則O（1，1，0），A1（2，2，3），C（0，

10、2，0） 設A1O與B1C的公共法向量為，則 A1O與B1C的距離為d =例5：在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是B1C1、C1D1的中點，求A1到面BDFE的距離。解：如圖，建立坐標系D-ACD1，則B（1，1，0），A1（1，0，1），E（，1，1） 設面BDFE的法向量為，則 A1到面BDFE的距離為d =五、課后練習: 1、如圖,已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1, AB=1,AA1=2,點E為CC1中點,點F為BD1中點. （1） 證明EF為BD1與CC1的公垂線; （2）求點D1到面BDE的距離.2、已知正方形ABCD，邊長為1，過D作PD平面ABCD，且PD=1，E、F分別是AB和BC的中點，（1）求D到平面PEF的距離；（2）求直線AC到平面PEF的距離3、在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2（如圖） （1