1、填空題共5小題，每題4分，共計(jì)20分1lim(ex x產(chǎn)1. x o'丿.2.12005 xxx 1 x e e dx13設(shè)函數(shù)y y(x)由方程y t2e dt x確定，那么dy dx 那么f x 為f x可導(dǎo)，且5微分方程y 4y.4.設(shè)xtf (t)dt f (x) f(0) 14y 0的通解二選擇題共 4小題，每題4分，共計(jì)16分1 設(shè)常數(shù)k 0 ,那么函數(shù)f (x) ln x - e個(gè)；(A) 3 程y 4yAk在(°,)內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(B) 2 個(gè)；3cos2x的特解形式為Acos2x.(C).(D) 0個(gè).2.微分方Axcos2x.C是Ax cos2 x Bxs

2、i n2x.DAsin2x.3 .以下結(jié)論不一定成立的A丨假設(shè)bc,da, b ,那么必有f x dxba f x dx； B假設(shè) f (x)0 在 a，b 上x dxdx°；C假設(shè)f x是周期為dx;D假設(shè)可積函數(shù)f x1ex2 3ex，那么 x 0是 f(x)的(A) 連續(xù)點(diǎn)；T的連續(xù)函數(shù)，那么對(duì)任意常數(shù)a都有為奇函數(shù)xtf,那么0t dt也為奇函數(shù).4.(B)可去間斷點(diǎn)；(C)本頁總分值12 分 本 頁 得 分題跳躍間斷點(diǎn)；(D)無窮間斷點(diǎn).三.計(jì)算共5小題，每題6分,共計(jì)30分2. 2計(jì)算不定積分1.計(jì)算定積分xsin x5 dx cos x"dxx a(t sin

3、 t),t 求擺線y a(1 cost)，在2處的切線的方程.X 2設(shè) F(X)0 C0S(X 呃，求 F(x).XnF 弘3)m 求 limXn5.設(shè)n，求n四應(yīng)用題共3小題，每題9分，共計(jì)27分1求由曲線y X 2與該曲線過 坐標(biāo)原點(diǎn)的切線及 X軸所圍圖形的面積.2 22 設(shè)平面圖形D由X y 2x與y X所確定，試求D繞直線X 2旋轉(zhuǎn)一周所生 成的旋轉(zhuǎn)體的體積設(shè)a 1, f(t) at at在(，)內(nèi)的駐點(diǎn)為t(a) 問a為何值時(shí)t(a)最小？并求 最小值.五證明題7分設(shè)函數(shù)f(x)在O,1】上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)且f(0)=f(1)10,f(-)1試證明至少存在一點(diǎn)(0,1)，使得

4、f ( )=1.填空題每題4題共20分：ym0( eX1 -2 x)X1e22005 xxx e e dx.2.e . 3 設(shè)函數(shù)yy(X)由方程yet2dtX確定，那么dydx1.4.設(shè)f x可導(dǎo)，且X1tf(t)dt f(x)f(0)題每題1 2Xe2.5.微分方程4y 4y0的通解為(C1 C2x)e2x選擇4分，4題共16分1 設(shè)常數(shù)k0,那么函數(shù)f(x)ln x在(0,內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為B .(A) 3 個(gè)；(B)程y 4y 3cos2x的特解形式為Acos2x ；2個(gè);(C) 1(D)2 .微分方ayByAx cos2x ；cy是 AAx cos2x Bxsin2x ；DyAsin2x

5、3 .以下結(jié)論不一定成立的(A)(A)假設(shè)c，d(B)(B)假設(shè)f(x(C)(C)假設(shè)ff xdxTf x dxa T0x0在a,b上可積，那么(D)(D)11 ex3ex(A) 連續(xù)點(diǎn)(B)三.計(jì)算題每題解:設(shè)x2a, b ,那么必有dxbf x dxax dx 0是周期為T的連續(xù)函數(shù)，那么對(duì)任意常數(shù)a都有假設(shè)可積函數(shù)f x為奇函數(shù)，那么，那么x 0是f (x)的可去間斷點(diǎn)；(C)跳躍間斷點(diǎn)；xtf t dt0(D)6分，5題共30分：1 .計(jì)算定積分t，那么0x2dx0討dt也為奇函數(shù)4 設(shè)無窮間斷點(diǎn)2e x dx1 2tde2 0te2e tdt0xsin x ,5 dx cos xxd

6、(14 COSx)x4cos x-22 計(jì)算不定積分dx4 cos xx4cos4 xxsin x ,dx cos x 解:x4cos4 x4丄tan12(ta n2 x1)d tan x1 tanx C433 .求擺線a(t sin t), a(1 cost),在t 2處的切線的方程.解:切點(diǎn)為(a(21)，a)k dy dxasinta(1 cost)切線方程為a(21)x (2 -)a4.設(shè) F(x)x,0cos(xt)dt，那么F (x)2 22xcosx (2x 1) cos(x x) 5 設(shè)xnn.；(n 1)( n 2)(n3)(2n)，求 nimXn. 1 ln Xnniln(

7、1 -)解:ni 1nni 1limln Xn limln(1 -)-nni1n ni°ln (1 x)dxxln(11xdx 2l n2 10 1 x2222ln2 1lim Xnen=由曲線y四.應(yīng)用題每題9分，3題共27分1求x軸所圍圖形的面積解:x 2與該曲線過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線及設(shè)切點(diǎn)為x0，y0，那么過原點(diǎn)的切線方程為y 2xo2xs面積o2(y2l2/22l2y)dy = 32 1 xdx02 22(2；x x 2)dx 2 2由于點(diǎn)Xo, yo在切線上，帶入切線方程，解得切點(diǎn)為X。 4, yoX過原點(diǎn)和點(diǎn)4, 2的切線方程為 y 2 232旋轉(zhuǎn)一周所2 2 -2.設(shè)平面圖

8、形D由x y 2x與y x所確定，試求D繞直線X 生成的旋轉(zhuǎn)體的體積1o2 *解:法一：V V1 V22 (1,1 y1 °、1 y(y2)dy10(2y)2dy-l(y431)3法二:2V=1(201)2 dy(2x)(, 2xx) 2x x2dxx2 x)dx120(2x x2)dx10(22x) 2x2 2x xdx|(2xx23)23.1, f(t)at在()內(nèi)的駐點(diǎn)為t(a).問a為何值時(shí)t(a)最由f?。坎⑶笞钚≈到猓?t)at ln a0 得 t(a) 1In In aIn a又由t(a)囁即0得唯一駐點(diǎn)當(dāng)aeeB,t (a)0;當(dāng)a ,t (a)0,于是a e%t(a)的極小值點(diǎn)._2a e%t(a)的最小值點(diǎn)，最小值為t(ee) 1 互 1 1 故e e五證明題7分設(shè)函數(shù)f(x)在0,1上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)且1f(0)=f(1)°,f(1)1 試證明至少存在一點(diǎn)(0,1)，使得 f ()=證明：設(shè)F(x) f(x) x，F(xiàn)(x)在°,1上連續(xù)在(0,1)可導(dǎo),因 f(0)=f(1)=0,有 F(°)f(0)00,F(1)1f()=1又由 2，知理，f(1) 11,21 1 1 1 1 1F( )=f( )- =1-