1、高等院校非數(shù)學(xué)類(lèi)本科數(shù)學(xué)課程腳本編寫(xiě)：教案制作：微分方程的基本概念上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè) 設(shè)所求曲線的方程為yy(x). 例例1. . 一曲線通過(guò)點(diǎn)(1, 2), 且在該曲線上任一點(diǎn)M(x, y)處的切線的斜率為2x, 求這曲線的方程. 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義, 可知未知函數(shù)yy(x)應(yīng)滿足 解解: 此外, 未知函數(shù)yy(x)還應(yīng)滿足下列條件: 由(1)式得，其中C是任意常數(shù). xdxy2, xdxdy2. (1)x1時(shí), y2. (2) 把條件“x1時(shí), y2”代入(3)式, 得 212C, C1.把C1代入(3)式, 得所求曲線方程: yx21. (3), 即Cxy2, 下頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回

2、首頁(yè)微分方程 常微分方程與偏微分方程 未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程, 叫常微分方程. 未知函數(shù)是多元函數(shù)的微分方程, 叫偏微分方程. 下頁(yè)凡含有凡含有未知函數(shù)未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程叫的導(dǎo)數(shù)或微分的方程叫微分方程微分方程. .例例,xyy ,e32xyyy , yxxz , 0dd)(2 xxyxy.)(dd2xyxxy 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè) 例例2. . 列車(chē)在平直線路上以20m/s的速度行駛; 當(dāng)制動(dòng)時(shí)列車(chē)獲得加速度0.4m/s2. 問(wèn)開(kāi)始制動(dòng)后多少時(shí)間列車(chē)才能停住, 以及列車(chē)在這段時(shí)間里行駛了多少路程? 解解: 設(shè)列車(chē)制動(dòng)后t秒所行駛的距離為s(t)米. 根據(jù)題意未知函數(shù)ss(t)應(yīng)

3、滿足: s0.4. (1) s|t00, s|t020. (2)由(1)式，積分一次, 得 s0.4tC1; (3)再積分一次, 得 s0.2t2 C1tC2, (4)這里C1, C2都是任意常數(shù). 把條件s|t020代入(3)式得 20C1; 把條件s|t00代入(4)式得 0C2. 把C1, C2的值代入(3)及(4)式得 v0.4t20, (5) s0.2t220t. (6) 在(5)式中令v0, 得t50(s). 再把t50代入(6), 得 s0.25022050500(m). 下頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)提示:微分方程 常微分方程與偏微分方程 未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程, 叫常微分方

4、程. 未知函數(shù)是多元函數(shù)的微分方程, 叫偏微分方程. 它們都是微分方程xdxdy2. 例1中所列的關(guān)系式為s0.4. 例2中所列的關(guān)系式為下頁(yè)凡含有凡含有未知函數(shù)未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程叫的導(dǎo)數(shù)或微分的方程叫微分方程微分方程. .例例,xyy ,e32xyyy , yxxz 2()dd0,yxyx x .)(dd2xyxxy 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)微分方程的階 微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù), 叫微分方程的階. 提示:xdxdy2. 例1中所列的關(guān)系式為s0.4. 例2中所列的關(guān)系式為這是一階微分方程這是二階微分方程v幾個(gè)基本概念 下頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)v幾個(gè)基本概念 提示

5、:微分方程的解 滿足微分方程的函數(shù)叫做該微分方程的解. 在例1中, 微分方程y2x的解有yx2C和yx21. 在例2中, 微分方程s0.4的解有 s0.2t2 C1tC2, s0.2t2 20tC2和s0.2t220t. 下頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)求所給函數(shù)的導(dǎo)數(shù): 解解: :這表明函數(shù) 滿足所給方程, 因此所給函數(shù)是所給方程的解. 下頁(yè)0 yy是方程是方程驗(yàn)證函數(shù)驗(yàn)證函數(shù)xxycos3sin2 例例2 2.的解的解,sin3cos2xxy ,cos3sin2xxy 由上式得: 0 yyxxycos3sin2 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)下頁(yè)若一個(gè)函數(shù)中出現(xiàn)的兩個(gè)常數(shù)不能通過(guò)運(yùn)算合并為一個(gè)常數(shù)，那么

6、這兩個(gè)常數(shù)是獨(dú)立的，12xyCC e中的12,C C是獨(dú)立的， 而12xyCCe中的12,C C可以合并為一個(gè)常數(shù)，所以這里的 不獨(dú)立例如12,C Cv常數(shù)互相獨(dú)立 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)v幾個(gè)基本概念 提示:微分方程的解 滿足微分方程的函數(shù)叫做該微分方程的解. 通解 如果微分方程的解中含有相互獨(dú)立的任意常數(shù), 且任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同, 這樣的解叫做微分方程的通解. 特解 確定了通解中的任意常數(shù)以后, 就得到微分方程的特解. 即不含任意常數(shù)的解叫特解. 在例1中, 微分方程y2x的解有yx2C和yx21. 在例2中, 微分方程s0.4的解有 s0.2t2 C1tC2, s0.2t

7、2 20tC2和s0.2t220t. 通解通解通解特解什解什么解?下頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)解通解特解其它共同點(diǎn)：不同點(diǎn)：上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)v幾個(gè)基本概念 提示:初始條件 用于確定通解中任意常數(shù)的條件, 稱(chēng)為初始條件. 對(duì)于一階微分方程, 通常用于確定任意常數(shù)的條件是 對(duì)于二階微分方程, 通常用于確定任意常數(shù)的條件是當(dāng)0 xx時(shí),0yy, 或?qū)懗僧?dāng)0 xx時(shí), 0yy, 0yy, 或?qū)懗?yy, 或?qū)懗?0yyxx. 0yy, 或?qū)懗?0yyxx, 00yyxx. 例1是求微分方程滿足初始條件y|x12的解. 例2是求微分方程s0.4滿足初始條件s|t00, s|t020的解. 下頁(yè)y2x

8、上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)v幾個(gè)基本概念 初始條件 用于確定通解中任意常數(shù)的條件, 稱(chēng)為初始條件. 初值問(wèn)題 求微分方程滿足初始條件的解的問(wèn)題稱(chēng)為初值問(wèn)題. 求一階微分方程 yf(x, y)滿足初始條件00yyxx的解的 問(wèn)題, 記為 00),(yyyxfyxx. 提示:例1是求微分方程滿足初始條件y|x12的解. 例2是求微分方程s0.4滿足初始條件s|t00, s|t020的解. 下頁(yè)y2x上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè) 例解解處上任意一點(diǎn)的平面曲線設(shè)通過(guò)點(diǎn) ),( )2 , 1 ( 0yxMLM . 2 的方程，求此曲線的切線的斜率為L(zhǎng)x，則有設(shè)曲線的方程為)( xyy .2ddxxy應(yīng)滿足條件此外

9、，函數(shù) )(xyy ， 2)(1xxy) 1 (積分，得式兩邊關(guān)于將 ) 1 (xCxxxy2d2)2()3(，得代入將)3()2(, 1C 故所求的曲線方程為12 xy微分方程微分方程初始條件初始條件通解通解特解特解高等院校非數(shù)學(xué)類(lèi)本科數(shù)學(xué)課程腳本編寫(xiě)：教案制作：可分離變量的微分方程上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束返回首頁(yè)鈴9.2 可分離變量的微分方程上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)第二節(jié)第二節(jié) 可分離變量的一階微分方程可分離變量的一階微分方程xxfyygd)(d)( xxfyygd)(d)(設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(yG和和)(xF是依次為是依次為)(yg和和)(xf的某個(gè)原函數(shù)的某個(gè)原函數(shù), CxFyG )()(為微分方程的通

10、解為微分方程的通解.兩邊積分兩邊積分,為為可分離變量的方程可分離變量的方程. . 稱(chēng)稱(chēng)則則 f xdydxg y上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)下頁(yè)221xyyxdxdy 例例2. . 求微分方程 的通解. )1)(1 (2yxdxdy, 方程可化為 解解: :dxxdyy)1 (112, 分離變量得 兩邊積分得 dxxdyy)1 (112, )21tan(2Cxxy. 于是原方程的通解為 dxxdyy)1 (112, 即Cxxy221arctan. 求求方方程程xyxy2dd 的的通通解解. . 解解分分離離變變量量, , xxyyd2d , , 或解或解分分離離變變量量, , xxyyd2d , ,

11、 例例2 222xCxCyeee 22,xCxCyeee 2,Cxyee ( C1為任意常數(shù) )上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)例例1. 求微分方程yxxy23dd的通解.解解: 分離變量得2d3dyxxy兩邊積分xxyyd3d2得31ln yxC即13Cxey 31xCee 3xeCy 1CCe 令( C 為任意常數(shù) )說(shuō)明說(shuō)明: 在求解過(guò)程中每一步不一定是同解變形, 因此可能增、減解.( 此式含分離變量時(shí)丟失的解 y0 )上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)作業(yè)P1721. (1)(2)(3)(4) 3. (1)2. (1)(2)(5)高等院校非數(shù)學(xué)類(lèi)本科數(shù)學(xué)課程腳本編寫(xiě)：教案制作：一階線性微分方程上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束返

12、回首頁(yè)鈴一、線性方程9.3 一階線性微分方程上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)4.14.1一階線性微分方程一階線性微分方程)()(ddxQyxPxy 一階一階線性線性微分方程微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式的標(biāo)準(zhǔn)形式:, 0)( xQ當(dāng)當(dāng)上方程稱(chēng)為上方程稱(chēng)為齊次的齊次的.上方程稱(chēng)為上方程稱(chēng)為非齊次的非齊次的., 0)( xQ當(dāng)當(dāng)例如例如,dd2xyxy ,sindd4xyxxy , 32 xyyy, 1cos yy線性的線性的;非線性的非線性的. 0)(dd yxPxy,d)(dxxPyy ,d)(d xxPyy,lnd)(lnCxxPy 齊次方程的通解為齊次方程的通解為.ed)( xxPCy1. 線性齊次方程線性齊次

13、方程一階線性微分方程的一階線性微分方程的解法解法:使用分離使用分離變量法變量法這這里里記記號(hào)號(hào) xxPd)(表表示示)(xP的的某某個(gè)個(gè)確確定定的的原原函函數(shù)數(shù). . ,lnd)(CxxPeey 2.2. 線性非齊次方程線性非齊次方程).()(ddxQyxPxy 常數(shù)變易法常數(shù)變易法把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法. .實(shí)質(zhì)實(shí)質(zhì): : 未知函數(shù)的變量代換未知函數(shù)的變量代換.作變換作變換 xxPxuyd)(e )(,e)()(e )(d)(d)( xxPxxPxPxuxuy代代入入原原方方程程得得和和將將yy ),(e )(d)(xQxuxxP

14、 ,de)()(d)(CxxQxuxxP 積分得積分得所以一階線性非齊次微分方程的通解為所以一階線性非齊次微分方程的通解為:de)(ed)(d)(CxxQyxxPxxP xxQCxxPxxPxxPde)(eed)(d)(d)( 對(duì)應(yīng)齊次方對(duì)應(yīng)齊次方程的通解程的通解非齊次方程特解非齊次方程特解,e )()(d)( xxPxQxu代代入入原原方方程程得得和和將將yy ),(e )(d)(xQxuxxP xxPxuyd)(e )(.sin1的的通通解解求求方方程程xxyxy ,1)(xxP ,sin)(xxxQ Cxxxyxxxxdesined1d1 Cxxxxxdesinelnln)dsin(1

15、Cxxx. )cos(1Cxx 解解de)(ed)(d)(CxxQyxxPxxP 例例1 1上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)例例7 7 求方程3(1)2(1)xdyxyexdx 解解 將方程改寫(xiě)為 的通解. 22(1) .1xdyyexdxx 先求齊次方程的通解. 201dyydxx 分離變量, 得 2.1dydxyx 兩端積分并整理, 得齊次方程的通解 2(1) .yc x用常數(shù)變易法求非齊次線性方程的通解， 2( )(1) ,yc xx令2( )(1)( )2(1)ycxxc xx兩端求導(dǎo), 得 ( ).xc xec故原方程的通解為：y = (ex + c) (x+1)2 將 y與y代入非齊次方程,

16、 并整理, 得( ).xcxe 兩端積分, 得上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)例1求方程11dyydxx 的通解.解: 對(duì)應(yīng)的齊次方程為:10.dyydxx分離變量得11.dydxyxlnln,yxC即,Cyxe或所以齊次方程的通解為:.yCx用常數(shù)變易法求非齊次線性方程的通解， ( ),yC xx令代入方程11dyydxx 得 1,CxxC xC x 即 1,Cxx 所以 1ln.C xdxxCx 因此非齊次方程的通解為:ln.yx Cx上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)1dydxxy,dxxydy,xy dydx求方程的通解.將 與 互換,得方程xy,dyyxdx齊次方程0,dyydx分離變量得1.dydxy所

17、以齊次方程的通解為:.xyCe用常數(shù)變易法求非齊次線性方程 的通解， ( ),xyC x e 令dyyxdx得 ,xCx ex .xxxxxC xxdexee dxxeeC 的通解為: dyyxdx .xxxyxeeC e 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)1dydxxy,dxxydy,xy dydx求方程的通解.將 與 互換,得方程xy的通解為: dyyxdx.xxxyxeeC e 將 與 換回,得方程xydxxydy的通解為: .yyyxyeeC e 上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束返回首頁(yè)鈴一、二階線性微分方程舉例二、線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)4.3.2 二階線性微分方程上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)一、二階

18、線性微分方程舉例v二階線性微分方程 二階線性微分方程的一般形式為若方程右端f(x)0時(shí), 方程稱(chēng)為齊次的, 否則稱(chēng)為非齊次的. )()()(22xfyxQdxdyxPdxyd, 或 yP(x)yQ(x)yf(x). 下頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)354.2.3可降階二階微分方程 ),(yxfy 二、二、 型的微分方程型的微分方程 一、一、 型的微分方程型的微分方程 ),(yyfy 三、三、 型的微分方程型的微分方程 ( )yf x 一、一、 型的微分方程型的微分方程 ( )yf x 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)36再積一次可得再積一次可得依次通過(guò)依次通過(guò) 2次積分次積分, 可得含可得含 2 個(gè)任意常數(shù)的

19、通解個(gè)任意常數(shù)的通解 .（純（純 x 型）型）一、一、 型的微分方程型的微分方程 ( )yf x 1yfx dxC 12yfx dxC dxC 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)37例例1. .cos2xeyx 求解解解: 12cosCxdxeyx 12sin21Cxexxey241xey2811121CC此處xsin21xC32CxCxcos21CxC上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)38),(yxfy 型的微分方程型的微分方程 設(shè)設(shè), )(xpy ,py 則原方程化為一階方程原方程化為一階方程),(pxfp 設(shè)其通解為設(shè)其通解為),(1Cxp則得則得),(1Cxy再一次積分再一次積分, 得原方程的通解得原方程的通

20、解21d),(CxCxy二、二、（缺（缺 y 型）型）上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)39例例2. 求解求解yxyx 2)1(2,10 xy3 0 xy解解: ),(xpy 設(shè),py 則代入方程得代入方程得pxpx2)1(2分離變量分離變量)1(d2d2xxxpp積分得積分得)1(lnln21xCp)1(21xCp即,3 0 xy利用利用, 31C得于是有于是有)1(32xy兩端再積分得兩端再積分得233Cxxy利用利用,10 xy, 12C得133xxy因此所求特解為因此所求特解為上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)40例例3：求滿足求滿足 022 yyx的積分曲線，使其在的積分曲線，使其在點(diǎn)（點(diǎn)（1，0）處有切線

21、）處有切線1 xy解：解：由題意可知此為缺由題意可知此為缺 y 型，且型，且1011xxyy令令 xpy 代入原方程得代入原方程得022ppx分離變量得分離變量得111Cpx111xxpy1110Cpxxy 222xyC21102xyC 所得積分曲線為：所得積分曲線為：2122xy上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)41三、三、),(yyfy 型的微分方程型的微分方程 令令),(ypy xpydd 則xyypddddyppdd故方程化為故方程化為),(ddpyfypp設(shè)其通解為設(shè)其通解為),(1Cyp即得即得1( ,)dyyy Cdx 分離變量后積分分離變量后積分, 得原方程的通解得原方程的通解21),(d

22、CxCyy（缺（缺 x 型）型）上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)42例例4. 求解求解.02 yyy代入方程得代入方程得,0dd2 pyppyyyppdd即兩端積分得兩端積分得,lnln1yCp ,1yCp 即yCy1故所求通解為故所求通解為xCeCy12解解:),(ypy 設(shè)xpydd 則xyypddddyppdd上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)43例例5. 解初值問(wèn)題解初值問(wèn)題解解: 令令02 yey,00 xy10 xy),(ypy ,ddyppy 則代入方程得代入方程得yeppydd2積分得積分得1221221Cepy利用初始條件利用初始條件, 0100 xyyp, 01C得根據(jù)根據(jù)yepxydd積分得積

23、分得,2Cxey, 00 xy再由12C得故所求特解為故所求特解為xey1得得122Cepy上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)44內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)可降階微分方程的解法可降階微分方程的解法 降階法降階法)(. 1)(xfyn逐次積分逐次積分),(. 2yxfy 令令, )(xpy xpydd 則),(. 3yyfy 令令, )(ypy yppydd 則上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)二、線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)C1y1C2y2P(x)C1y1C2y2Q(x)C1y1C2y2000.C1y1P(x)y1Q(x)y1C2y2P(x)y2Q(x)y2 方程yP(x)yQ(x)y0的任意兩個(gè)解y1(x)與y2(x)的線性組合C

24、1y1(x)C2y2(x)也是它的解, 其中C1、C2是任意常數(shù). 簡(jiǎn)要證明: 這是因?yàn)関定理1(齊次方程的解的疊加原理)下頁(yè)舉例：舉例： 已知cos x與sin x都是方程yy0的解. 方程的通解為 yC1cos xC2sin x. 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)rxey 將其代入方程將其代入方程, 0)(2 rxeqprr, 0 rxe故有故有20rprq2422, 1qppr 特征根特征根0 qyypy二階二階設(shè)解設(shè)解得得特征方程特征方程二階常系數(shù)齊次線性微分方程二階常系數(shù)齊次線性微分方程常系數(shù)常系數(shù)齊次齊次線性方程線性方程(characteristic equation)(characteri

25、stic root)二、二階二、二階常系數(shù)齊次常系數(shù)齊次線性方程解法線性方程解法其中其中r為待定常數(shù)為待定常數(shù). 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè),2421qppr ,2422qppr ,11xrey ,22xrey 兩個(gè)兩個(gè) 特解特解y (0) 二階常系數(shù)齊次線性微分方程二階常系數(shù)齊次線性微分方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根有兩個(gè)不相等的實(shí)根20rprq特征方程特征方程1r xe2C2r xe1C得齊次方程的通解為得齊次方程的通解為rxey 設(shè)設(shè)解解其中其中r為待定常數(shù)為待定常數(shù). 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)有兩個(gè)相等的實(shí)根有兩個(gè)相等的實(shí)根,11xrey ,221prr (0) 一特解為一特解為112()r xeC

26、C x代代入入到到，將將222yyy , 0)()2(1211 uqprrupru, 0 u( ),u xx,12xrxey 2y. 0 qyypy化簡(jiǎn)得化簡(jiǎn)得.)(為為待待定定函函數(shù)數(shù)其其中中xu0 0 二階常系數(shù)齊次線性微分方程二階常系數(shù)齊次線性微分方程設(shè)設(shè))(xu,1xre取取則則知知y 1r xe1r xxe1C2C得齊次方程的通解為得齊次方程的通解為rxey 其中其中r為待定常數(shù)為待定常數(shù). 設(shè)設(shè)解解20rprq特征方程特征方程242ppqr有一對(duì)共軛復(fù)根有一對(duì)共軛復(fù)根,1 ir ,2 ir ,)(xie xrey22 (0) )sincos(21xCxCeyx 0,21 qyypy

27、yy為為方方程程為了得到實(shí)數(shù)形式的解為了得到實(shí)數(shù)形式的解,重新組合重新組合二階常系數(shù)齊次線性微分方程二階常系數(shù)齊次線性微分方程的兩個(gè)的兩個(gè)復(fù)數(shù)形式復(fù)數(shù)形式的解的解.rxey 其中其中r為待定常數(shù)為待定常數(shù). xrey11 xie)( 得齊次方程的通解為得齊次方程的通解為用歐拉用歐拉(Euler)公式公式:xixeixsincos 設(shè)設(shè)解解242ppqr20rprq特征方程特征方程由由歐歐拉拉公公式式知知 由由疊疊加加原原理理, , xiyyyxyyyxx sine2/ )(cose2/ )(212211 )sin(cose)sin(cose21xixyxixyxx 02 qprr0 qyypy

28、小結(jié)小結(jié) 特征根的情況特征根的情況通解的表達(dá)式通解的表達(dá)式 21rr 21rr ir 2, 1實(shí)根實(shí)根實(shí)根實(shí)根復(fù)根復(fù)根xrxrCCy21ee21 )(e211xCCyxr )sincos(e21xCxCyx 0 qyypy的通解的不同形式的通解的不同形式.特征根特征根r的不同情況決定了方程的不同情況決定了方程上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè) 例解解 032 的通解。的通解。求方程求方程 yyy2 230 rr特征方程，12 1 3 rr 特征根 ， 321。所求通解為所求通解為xxeCeCy特特 征征 根根通通 解解 形形 式式)( 21實(shí)根實(shí)根1212r xr xyC eC e)( 21實(shí)重根實(shí)重根1

29、12()r xyeCC x)( i2, 1共軛復(fù)根共軛復(fù)根)sincos(21xCxCeyx12rr12rr1,2r上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè) 例解解 052 的通解。的通解。求方程求方程 yyy2 250 rr特征方程，12 12i 1 2i rr 特征根， )2sin2cos( 21。所求通解為所求通解為xCxCeyx特特 征征 根根通通 解解 形形 式式)( 21實(shí)根實(shí)根1212r xr xyC eC e)( 21實(shí)重根實(shí)重根112()r xyeCC x)( i2, 1共軛復(fù)根共軛復(fù)根)sincos(21xCxCeyx12rr12rr1,2r上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)稱(chēng)為稱(chēng)為.044的通解的通解

30、求方程求方程 yyy解解 特征方程特征方程0442 rr221 rr故所求通解為故所求通解為 y例例由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根確定其通解的方法確定其通解的方法二階常系數(shù)齊次線性微分方程二階常系數(shù)齊次線性微分方程特征方程法特征方程法. .特征根特征根xexCC221)( )( 21實(shí)重根實(shí)重根112()r xyeCC x12rr上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)250.yyy求方程的通解解解 特征方程特征方程0522 rr故所求通解為故所求通解為 y例例二階常系數(shù)齊次線性微分方程二階常系數(shù)齊次線性微分方程特征根特征根)2sin2cos(21xCxCex 1 212

31、.ri ，特特 征征 根根通通 解解 形形 式式)( 21實(shí)根實(shí)根1212r xr xyC eC e)( 21實(shí)重根實(shí)重根112()r xyeCC x)( i2, 1共軛復(fù)根共軛復(fù)根)sincos(21xCxCeyx12rr12rr1,2r上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)例例 解初值問(wèn)題解初值問(wèn)題 . 2, 4, 09241600 xxyyyyy解解 特征方程特征方程0924162 rr特征根特征根43 r所以方程的通解為所以方程的通解為41 CxexCy432)4( xexCCy4322433 二階常系數(shù)齊次線性微分方程二階常系數(shù)齊次線性微分方程4(二重根二重根)00 12 C特解特解.)4(43xe

32、xy 0023412()xCC x ey 二、二階常系數(shù)非齊次線性方程解的性質(zhì)及求解法二、二階常系數(shù)非齊次線性方程解的性質(zhì)及求解法回顧回顧)()(ddxQyxPxy 一階線性微分方程一階線性微分方程de)(ed)(d)(CxxQyxxPxxP xxQCxxPxxPxxPde)(eed)(d)(d)( 對(duì)應(yīng)齊次方對(duì)應(yīng)齊次方程的通解程的通解非齊次方程特解非齊次方程特解(1)(xfqyypy 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)提示: 我們把方程yP(x)yQ(x)y0叫做與非齊次方程 yP(x)yQ(x)yf(x)對(duì)應(yīng)的齊次方程. 設(shè)y*(x)是二階非齊次線性方程yP(x)yQ(x)yf(x)的一個(gè)特解, Y(

33、x)是對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解, 那么 yY(x)y*(x)是二階非齊次線性微分方程yP(x)yQ(x)yf(x)的通解. v定理3(非齊次方程的通解的結(jié)構(gòu))舉例: 已知YC1cos xC2sin x是齊次方程yy0的通解, y*x22是非齊次方程yyx2的一個(gè)特解, 因此 yC1cos xC2sin xx22是非齊次方程yyx2的通解. 下頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)證明提示: Y(x)y*(x)P(x)Y(x)y*(x)Q(x)Y(x)y*(x) Y P(x)YQ(x)Yy*P(x)y*Q(x)y* 0f(x)f(x). 設(shè)y*(x)是二階非齊次線性方程yP(x)yQ(x)yf(x)的一個(gè)特解,

34、Y(x)是對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解, 那么 yY(x)y*(x)是二階非齊次線性微分方程yP(x)yQ(x)yf(x)的通解. v定理3(非齊次方程的通解的結(jié)構(gòu))下頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè))(xfyqypy ),(為常數(shù)qp二階常系數(shù)線性非齊次微分方程 :根據(jù)解的結(jié)構(gòu)定理 , 其通解為Yy *y非齊次方程特解齊次方程通解求特解的方法：根據(jù) f (x) 的特殊形式 ,*y給出特解的待定形式, 待定系數(shù)法待定系數(shù)法三角函數(shù)三角函數(shù)多項(xiàng)式多項(xiàng)式指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù))2( )( xfyqypy ) 1 ( 0 。 yqypy1. ( )( ) xnf xeP x的情形 )( 1110。其中其中nnnnnaxa

35、xaxaxP方程方程 (2) 對(duì)應(yīng)的齊次方程對(duì)應(yīng)的齊次方程 (1) 的特征方程及特征根為的特征方程及特征根為2 0 rprq特征方程；12 .rr特征根，單根單根二重根二重根一對(duì)共軛復(fù)根一對(duì)共軛復(fù)根為常數(shù) 方程方程( ) xnypyqyeP x有下列形式的特解：有下列形式的特解：( ) xye Q x，上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)假設(shè)方程假設(shè)方程( ) (2)xnypyqyeP x有下列形式的特解：有下列形式的特解：( ) xye Q x，則則 xxye Q xe Qx， 22 xxxye Q xe Qxe Qx，代入方程代入方程 (2) ，得，得 2(2)()( ) xxneQxp Qxpq Q

36、xeP x，即即情情形形2 2 若若 是是特特征征方方程程的的單單根根, , 即即02 qp , , 即即 而而02 p , , 則則令令 情情形形3 3 若若 是是特特征征方方程程的的二二重重根根, , 即即02 qp , , 即即 且且02 p , , 則則令令 情情形形1 1 若若 不不是是特特征征根根, , 即即 242ppq綜上討論可知綜上討論可知 )(xQ不是特征根不是特征根 )(exPqyypynx 設(shè)特解為設(shè)特解為，)(xQn是單特征根是單特征根 ，)(xxQn是二重特征根是二重特征根 ，xxQy e)( 其中其中，)(2xQxn代入原方程代入原方程, ,來(lái)確定來(lái)確定Q(x).

37、 .*( ) kxnyx e Q x上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè) 例例2. . 求微分方程y5y6yxe2x的通解. 這里Pm(x)x, 2. 與所給方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為y5y6y0, 它的特征方程為r25r 60. 特征方程有兩實(shí)根r12, r23.于是齊次方程的通解為YC1e2xC2e3x. 由于2是特征方程的單根, 所以特解應(yīng)設(shè)為y*x(b0 xb1)e2x. 解解: :把 代入所給方程, 得 2b0 x2b0b1x. 比較兩端x同次冪的系數(shù), 得2b01, 2b0b10. 由此求得210b, b11. 于是求得所給方程的一個(gè)特解為 xexxy2) 121(*. 從而所給方程的通解為 xxxe

38、xxeCeCy223221)2(21. 首頁(yè)*( ) kxnyx e Q x2201xyb xb x e解解對(duì)應(yīng)齊次方程通解對(duì)應(yīng)齊次方程通解特征方程特征方程, 0962 rr特征根特征根，32, 1 r.e )(321xxCCY 求求微微分分方方程程xxyyy3e96 的的通通解解. . 因因?yàn)闉? 是是二二重重特特征征根根, , xbax 26, , 解解得得 0,61 ba, , 所所以以特特解解 xxy33e61 , , 即即原原方方程程的的通通解解為為 xxxxCCy33321e61e )( . . 代入原方程代入原方程得得例例6 6*( ) kxnyx e Q x上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首

39、頁(yè)解解 2。的通解的通解求方程求方程xxyy 2( ) 0 2 ( ( )( ) ) xnf xxxnf xeP x，。對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程為對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程為210 r ，特征根為特征根為1,2i .r 對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為 sincos21。xCxCy 0 ，原方程有特解，原方程有特解不是特征根，故取不是特征根，故取由于由于k *2120，bxbxby將它代入原方程，得將它代入原方程，得 2221200，xxbxbxbb*( ) kxnyx e Q x上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)比較兩邊同類(lèi)項(xiàng)的系數(shù)，得比較兩邊同類(lèi)項(xiàng)的系數(shù)，得 10，b 11，b 0220，b

40、b 10，b 11，b 2 2，b故原方程有一特解為故原方程有一特解為 2*2。xxy綜上所述，原方程的通解為綜上所述，原方程的通解為 2sincos*221。xxxCxCyyy 2221200，xxbxbxbb解解 *2120，bxbxby 2。的通解的通解求方程求方程xxyy 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)解解 32 。的通解的通解求方程求方程xeyyy ( ) 1 0 ( ( )( ) ) xxnf xenf xeP x ，。對(duì)應(yīng)的齊方程的特征方程為對(duì)應(yīng)的齊方程的特征方程為2230 rr，特征根為特征根為123 1.rr ，對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為 231。xxeCeCy 1 ，原方程有特解，原