1、二次函數(shù)與冪函數(shù)【考綱要求】1.理解常數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)。2.冪函數(shù)(1)了解冪函數(shù)的概念(2)結(jié)合函數(shù)的圖象，了解它們的圖象的變化情況【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】基 本 初 等 函 數(shù)圖象與性質(zhì)一次函數(shù)二次函數(shù)冪函數(shù)常數(shù)函數(shù)【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、初中學(xué)過(guò)的函數(shù)（一）函數(shù)的圖象與性質(zhì)常 函 數(shù)一次函數(shù)反比例函數(shù)二次函數(shù)表達(dá)式（）（）（） （）式子中字母的含義及范圍限定圖象、及其與坐標(biāo)軸的關(guān)系單 調(diào) 性要點(diǎn)詮釋：1.過(guò)原點(diǎn)的直線的方程,圖象,性質(zhì)；2.函數(shù)的最高次項(xiàng)的系數(shù)能否為零。（二）二次函數(shù)的最值1.二次函數(shù)有以下三種解析式：一般式：（），頂點(diǎn)式：（），其中頂點(diǎn)為，對(duì)稱軸

2、為直線，零點(diǎn)式：（），其中是方程的根2. 二次函數(shù)（）在區(qū)間上的最值：二次函數(shù)（）在區(qū)間上的最大值為M，最小值為m，令. （1） （2） （3） （4）（1）若，則，；（2）若，則，；（3）若，則，；（4）若，則，.要點(diǎn)詮釋：1二次函數(shù)的最值只可能在三處取得：兩個(gè)區(qū)間端點(diǎn)以及頂點(diǎn)的函數(shù)值；2. 求二次函數(shù)的最值一般要數(shù)形結(jié)合?？键c(diǎn)二、冪的運(yùn)算 (1)，；(2)，。考點(diǎn)三、冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.冪函數(shù)在第一象限的圖象特征2.冪函數(shù)性質(zhì)： （1），圖象過(guò)（0，0）、（1，1），下凸遞增，如；（2），圖象過(guò)（0，0）、（1，1），上凸遞增，如；（3），圖象過(guò)（1，1），單調(diào)遞減，且以兩坐標(biāo)軸為漸近線

3、，如要點(diǎn)詮釋：冪函數(shù)在第四象限沒(méi)有圖象，其它象限的圖象可以由奇偶性確定?！镜湫屠}】類型一：基本函數(shù)的解析式例1已知二次函數(shù)滿足，且圖像在軸上截距為1，在軸截得的線段長(zhǎng)為，求的解析式.【解析】【方法一】設(shè)（），則，且對(duì)稱軸，即， ， 【方法二】，二次函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸為，可設(shè)所求函數(shù)為（），截軸上的弦長(zhǎng)為， 的圖像過(guò)點(diǎn)和，即 （1）又的圖像過(guò)點(diǎn)， （2）（1）（2）聯(lián)立，解得，即.【方法三】的圖象對(duì)稱軸， 又,與軸的交點(diǎn)為和，故可設(shè)（），由可得 . ，即.【總結(jié)升華】二次函數(shù)的形式有以下三種：（1）一般形式：（），（2）頂點(diǎn)式（或稱配方式）（），（3）零點(diǎn)式（或稱雙根式）（），（前提：有根）對(duì)

4、一個(gè)具體二次函數(shù)，三種形式的系數(shù)都具有具體的意義，在分析具體問(wèn)題時(shí)，要充分挖掘題目的隱含條件及充分利用圖形的直觀性去簡(jiǎn)化運(yùn)算，簡(jiǎn)捷處理問(wèn)題。舉一反三：【變式】已知二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，截軸上的弦長(zhǎng)為，且過(guò)點(diǎn)，求函數(shù)的解析式【答案】二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，可設(shè)所求函數(shù)為，又截軸上的弦長(zhǎng)為，過(guò)點(diǎn)和，又過(guò)點(diǎn)，解得，即.類型二：函數(shù)的圖象和性質(zhì)例2. 下圖是指數(shù)函數(shù)（1），（2），（3），（4）的圖象，則、與1的大小關(guān)系是（ ）A.B. C.D.【解析】可先分兩類，即（3）（4）的底數(shù)一定大于1，（1）（2）的底數(shù)小于1，然后再?gòu)模?）（4）中比較、的大小，從（1）（2）中比較、的大小.【答案】B【總結(jié)升華

5、】可以依據(jù)函數(shù)系的性質(zhì)和圖象變化解答，但作為選擇題更多地利用特殊點(diǎn)解決.舉一反三：【變式】（1）下圖的曲線是對(duì)數(shù)函數(shù)圖象，已知的取值為10，2，0.6，0.25，則曲線對(duì)應(yīng)的的值依次為 ；（2）如圖是冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象，已知取，則曲線對(duì)應(yīng)的的值依次為 ； 【答案】（1）依據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象中的特殊點(diǎn)，如圖，令，由圖知點(diǎn)、的左右位置關(guān)系，有，相對(duì)應(yīng)的曲線的值依次為2、10、0.25、0.6.（2）依據(jù)冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象特征，如圖，令，由圖知點(diǎn)、的上下位置關(guān)系，有，相對(duì)于曲線的依次為、.類型三：比較大小例3. 比較 ， ，這三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系【解析】比較式子的結(jié)構(gòu)，依據(jù)其異同點(diǎn)選用不同的函

6、數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性或數(shù)形結(jié)合比較大小?！痉椒ㄒ弧靠疾旌瘮?shù)，由于該函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù)，故 考察函數(shù)，由于該函數(shù)在第一象限是單調(diào)遞增函數(shù)，故 ， ，這三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系是： 【方法一】考察函數(shù)，由于該函數(shù)是單調(diào)減函數(shù)，故考察函數(shù)與函數(shù)，根據(jù)指數(shù)函數(shù)圖象的分布規(guī)律知，在第一象限時(shí)的圖象位于的圖象的上方，從而當(dāng)自變量都取時(shí)，。 ， ，這三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系是： 【總結(jié)升華】大小比較是此處常見的一類考題。通常都是構(gòu)想函數(shù)運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)來(lái)解決，通常兩個(gè)同指的冪式比較就構(gòu)想冪函數(shù)，同底的就構(gòu)想指數(shù)函數(shù)，若混合比較即插入對(duì)數(shù)式或底指皆不同的冪式就用搭橋的辦法，常用搭橋的思路有選0或選1或根據(jù)具體情況構(gòu)作。舉一反三：

7、【變式】（1）設(shè)，且（，），則與的大小關(guān)系是（ ） A. B. C. D. (2) 若，則，從小到大依次為 ；【答案】（1）取，知選。 (2) ； 【方法一】由得，故.【方法二】令，可得，故.類型四：最值問(wèn)題例4.求函數(shù)（)的最值.【解析】令, 則,開口向上，對(duì)稱軸 , , 即，時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，.【總結(jié)升華】1. 基本函數(shù)的最值問(wèn)題一般都利用函數(shù)的單調(diào)性，并數(shù)形結(jié)合解決之；2. 形如(,且)的函數(shù)，可以轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，但應(yīng)注意的取值范圍.舉一反三：【變式】已知，求的最值?！敬鸢浮坑梢阎?，即，對(duì)稱軸，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，取得最小值；當(dāng)時(shí)，取得最大值16.【鞏固練習(xí)】1（

8、）. A、 B、 C、 D、2下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是（ ）A. B. C. D.3若函數(shù)在上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）。 A、 B、 C、 D、4三個(gè)數(shù)的大小順序是（ ）A、 B、C、 D、5若,，且，則（ ）。 A、 B、2或-2 C、-2 D、26.函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，則的表達(dá)式為 ；7函數(shù)的定義域 ；8.已知定義域?yàn)镽的偶函數(shù)f（x）在0，)上是增函數(shù)且，則不等式f（log4x）0的解集是_.9已知, 判斷、之間的大小關(guān)系 .10.已知函數(shù)，對(duì)任意都有,試判斷、 、的大小順序。11.求函數(shù)的值域。12已知函數(shù)，求其定義域，并判斷其奇偶性、

9、單調(diào)性.13若函數(shù)是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.14 設(shè)，請(qǐng)判斷f（x）的單調(diào)性.15. 已知9x10·3x+90，求函數(shù)的最大值和最小值.【參考答案與解析】1.C； 2.A； 3.C； 4.D； 5.D6.【答案】；7.【答案】解析：.即.8. 【答案】x|x2或9. 【答案】 ；10.【答案】 ；11.【答案】 ；12解析：由題意知，解得xR，定義域?yàn)镽；又是奇函數(shù)；奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同，我們只需研究R+上的單調(diào)性.任取x1、x2R+且x1x2，則，即有所以，即f（x1）f（x2）成立f（x）在R+上為減函數(shù)，又f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，故f（x）在R上也為減函數(shù)f（x）在R上為減函數(shù)。13解析：令u=x+1，則可見u是增函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)同增異減的單調(diào)性可知是減函數(shù)，所以0a211，解得。14 解析