1、1非線性有限元非線性有限元第第4 4章章 LagrangianLagrangian網(wǎng)格網(wǎng)格 計(jì)算固體力學(xué)計(jì)算固體力學(xué)2第第4 4章章 LagrangianLagrangian網(wǎng)格網(wǎng)格 引言引言ULUL控制方程，弱形式控制方程，弱形式ULUL有限元離散有限元離散編制程序編制程序旋轉(zhuǎn)公式旋轉(zhuǎn)公式TLTL格式，弱形式，格式，弱形式，有限元半離散化有限元半離散化31 1 引言引言 在在LagrangianLagrangian網(wǎng)格中，節(jié)點(diǎn)和單元隨著材料移動(dòng)，網(wǎng)格中，節(jié)點(diǎn)和單元隨著材料移動(dòng)，邊界和接觸面與單元邊緣保持一致，處理較為簡(jiǎn)單。邊界和接觸面與單元邊緣保持一致，處理較為簡(jiǎn)單。積分點(diǎn)也隨著材料移動(dòng)，本

2、構(gòu)方程總是在相同材料點(diǎn)積分點(diǎn)也隨著材料移動(dòng)，本構(gòu)方程總是在相同材料點(diǎn)處賦值，這對(duì)于歷史相關(guān)材料是有利的。基于這些原處賦值，這對(duì)于歷史相關(guān)材料是有利的。基于這些原因，在固體力學(xué)中廣泛地應(yīng)用因，在固體力學(xué)中廣泛地應(yīng)用LagrangianLagrangian網(wǎng)格。網(wǎng)格。 UL UL格式，格式，EulerianEulerian（空間）坐標(biāo)和（空間）坐標(biāo)和CauchyCauchy應(yīng)力應(yīng)力； TL TL格式，名義應(yīng)力，格式，名義應(yīng)力，PK2PK2應(yīng)力，應(yīng)力，GreenGreen應(yīng)變張量應(yīng)變張量。42 UL控制方程控制方程 弱形式弱形式 考慮一個(gè)物體，占有域考慮一個(gè)物體，占有域，邊界為，邊界為。連續(xù)體力學(xué)行

3、為的控制方程是：連續(xù)體力學(xué)行為的控制方程是：1 1 質(zhì)量（或物質(zhì)）守恒，標(biāo)量方程；質(zhì)量（或物質(zhì)）守恒，標(biāo)量方程；2 2 線動(dòng)量和角動(dòng)量守恒，張量方程，包含線動(dòng)量和角動(dòng)量守恒，張量方程，包含n n個(gè)偏微分方程（個(gè)偏微分方程（n n維數(shù)）；維數(shù)）；3 3 能量守恒，通常稱作熱力學(xué)第一定律，標(biāo)量方程；能量守恒，通常稱作熱力學(xué)第一定律，標(biāo)量方程；4 4 本構(gòu)方程，應(yīng)力應(yīng)變或應(yīng)變率的關(guān)系，對(duì)稱張量；本構(gòu)方程，應(yīng)力應(yīng)變或應(yīng)變率的關(guān)系，對(duì)稱張量；5 5 應(yīng)變位移方程。應(yīng)變位移方程。52 UL2 UL控制方程控制方程 弱形式弱形式6 邊界條件：在二維問(wèn)題中，面力或速度的每個(gè)分量都必須預(yù)先邊界條件：在二維問(wèn)題中

4、，面力或速度的每個(gè)分量都必須預(yù)先指定在整個(gè)邊界上；但是，面力和速度的同一個(gè)分量不能指定在邊界指定在整個(gè)邊界上；但是，面力和速度的同一個(gè)分量不能指定在邊界上同一點(diǎn)處。其分量可以指定在不同于總體坐標(biāo)系的局部坐標(biāo)系上。上同一點(diǎn)處。其分量可以指定在不同于總體坐標(biāo)系的局部坐標(biāo)系上。 速度邊界條件等價(jià)于位移邊界條件：如果給定了位移，可以通速度邊界條件等價(jià)于位移邊界條件：如果給定了位移，可以通過(guò)時(shí)間微分得到速度；給定了速度，可以通過(guò)時(shí)間積分得到位移。過(guò)時(shí)間微分得到速度；給定了速度，可以通過(guò)時(shí)間積分得到位移。2 UL控制方程控制方程 弱形式弱形式 初始條件：可以是初始條件：可以是速度和應(yīng)力速度和應(yīng)力，或者是位

5、移和速度。第一組初，或者是位移和速度。第一組初始條件更適合于大多數(shù)工程問(wèn)題，因?yàn)榇_定一個(gè)物體的初始位移通始條件更適合于大多數(shù)工程問(wèn)題，因?yàn)榇_定一個(gè)物體的初始位移通常是很困難的。初始應(yīng)力通常為已知的殘余應(yīng)力，有時(shí)候可以測(cè)量常是很困難的。初始應(yīng)力通常為已知的殘余應(yīng)力，有時(shí)候可以測(cè)量或者通過(guò)平衡解答估算。例如，當(dāng)一個(gè)鋼件經(jīng)過(guò)鑄錠成型后確定其或者通過(guò)平衡解答估算。例如，當(dāng)一個(gè)鋼件經(jīng)過(guò)鑄錠成型后確定其位移幾乎是不可能的。對(duì)于在工程部件中的殘余應(yīng)力場(chǎng)，經(jīng)常能夠位移幾乎是不可能的。對(duì)于在工程部件中的殘余應(yīng)力場(chǎng)，經(jīng)常能夠給出較準(zhǔn)確的估計(jì)。類似地，在埋置管道中，靠近管道周圍的土壤給出較準(zhǔn)確的估計(jì)。類似地，在埋置

6、管道中，靠近管道周圍的土壤或巖石的初始位移的概念是毫無(wú)意義的，而初始應(yīng)力場(chǎng)可以通過(guò)平或巖石的初始位移的概念是毫無(wú)意義的，而初始應(yīng)力場(chǎng)可以通過(guò)平衡分析估計(jì)出來(lái)。因此，以應(yīng)力形式的初始條件更加實(shí)用。衡分析估計(jì)出來(lái)。因此，以應(yīng)力形式的初始條件更加實(shí)用。 7 虛功率原理是動(dòng)量方程，面力邊界條件和內(nèi)部力連續(xù)性條件的弱虛功率原理是動(dòng)量方程，面力邊界條件和內(nèi)部力連續(xù)性條件的弱形式。形式。微分方程的積分形式一般稱為弱形式。微分方程的積分形式一般稱為弱形式。 強(qiáng)形式或廣義動(dòng)量平衡，包括動(dòng)量方程，力邊界條件和力連續(xù)性強(qiáng)形式或廣義動(dòng)量平衡，包括動(dòng)量方程，力邊界條件和力連續(xù)性條件。條件。微分方程一般稱為強(qiáng)形式微分方程

7、一般稱為強(qiáng)形式 。2 UL控制方程控制方程 弱形式弱形式83 UL有限元離散有限元離散有限元近似有限元近似 在有限元方法中，運(yùn)動(dòng)在有限元方法中，運(yùn)動(dòng)t ,Xx近似地表示為近似地表示為 txNtxiIIiXX,當(dāng)前構(gòu)形中的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)當(dāng)前構(gòu)形中的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo) 小寫的下標(biāo)表示分量，如三維小寫的下標(biāo)表示分量，如三維大寫的下標(biāo)表示節(jié)點(diǎn)值大寫的下標(biāo)表示節(jié)點(diǎn)值 NnI1IIIiIzyxx, 默認(rèn)對(duì)重復(fù)的指標(biāo)求和；在小寫指標(biāo)的情況下，對(duì)空默認(rèn)對(duì)重復(fù)的指標(biāo)求和；在小寫指標(biāo)的情況下，對(duì)空間的維數(shù)進(jìn)行求和，而在大寫指標(biāo)的情況下，對(duì)節(jié)點(diǎn)的編間的維數(shù)進(jìn)行求和，而在大寫指標(biāo)的情況下，對(duì)節(jié)點(diǎn)的編號(hào)進(jìn)行求和。號(hào)進(jìn)行求和。 在求和中

8、的節(jié)點(diǎn)數(shù)目取決于所考慮的域：當(dāng)考慮整個(gè)在求和中的節(jié)點(diǎn)數(shù)目取決于所考慮的域：當(dāng)考慮整個(gè)域時(shí)，對(duì)整個(gè)域中的所有節(jié)點(diǎn)求和；當(dāng)考慮一個(gè)單元時(shí)，域時(shí)，對(duì)整個(gè)域中的所有節(jié)點(diǎn)求和；當(dāng)考慮一個(gè)單元時(shí)，對(duì)這個(gè)單元的所有節(jié)點(diǎn)求和。對(duì)這個(gè)單元的所有節(jié)點(diǎn)求和。93 UL有限元離散有限元離散有限元近似有限元近似 當(dāng)一個(gè)節(jié)點(diǎn)具有初始位置當(dāng)一個(gè)節(jié)點(diǎn)具有初始位置JX有有 ttNttJJIIJIIJxxXxXx,JIJINX節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)J總是對(duì)應(yīng)于相同的材料點(diǎn)總是對(duì)應(yīng)于相同的材料點(diǎn)XJ ，在，在L網(wǎng)格中，節(jié)點(diǎn)總是和材料點(diǎn)保持一致網(wǎng)格中，節(jié)點(diǎn)總是和材料點(diǎn)保持一致定義節(jié)點(diǎn)位移：定義節(jié)點(diǎn)位移： iIiIiIXtxtu XXXIiIiii

9、NtuXtxtu,位移場(chǎng)：位移場(chǎng)： 取位移的材料時(shí)間導(dǎo)數(shù)得到速度：取位移的材料時(shí)間導(dǎo)數(shù)得到速度： XXXXIiIIiIiiNtvNtuttutv, 速度是位移的材料速度是位移的材料時(shí)間導(dǎo)數(shù)，即當(dāng)材料坐時(shí)間導(dǎo)數(shù)，即當(dāng)材料坐標(biāo)固定，對(duì)時(shí)間求偏導(dǎo)標(biāo)固定，對(duì)時(shí)間求偏導(dǎo)數(shù)。數(shù)。由于形狀函數(shù)不隨由于形狀函數(shù)不隨時(shí)間改變，因此速度是時(shí)間改變，因此速度是由相同形狀函數(shù)給出的。由相同形狀函數(shù)給出的。節(jié)點(diǎn)位移上面的點(diǎn)表示節(jié)點(diǎn)位移上面的點(diǎn)表示普通導(dǎo)數(shù)，因?yàn)樗鼉H是普通導(dǎo)數(shù)，因?yàn)樗鼉H是時(shí)間的函數(shù)。時(shí)間的函數(shù)。103 UL有限元離散有限元離散有限元近似有限元近似 加速度是速度的材料時(shí)間導(dǎo)數(shù)加速度是速度的材料時(shí)間導(dǎo)數(shù) XX

10、IiIiNtutu ,速度梯度為速度梯度為 jIiIjIiIjiijNvxNvvL, XXXXIiIIiIiiNtvNtuttutv,變形率給出為變形率給出為 iIjIjIiIjiijijNvNvLLD,2121變分函數(shù)或變量不是時(shí)間的函數(shù)，因此將變分函數(shù)近似為變分函數(shù)或變量不是時(shí)間的函數(shù)，因此將變分函數(shù)近似為 XXIiIiNvv虛擬節(jié)點(diǎn)速度虛擬節(jié)點(diǎn)速度 113 UL有限元離散有限元離散有限元近似有限元近似 作為構(gòu)造離散有限元方程的第一步，將變分函數(shù)代入虛功率原理中，得到作為構(gòu)造離散有限元方程的第一步，將變分函數(shù)代入虛功率原理中，得到 01dvNvdtNvdbNvdxNviIiIniitiIi

11、IiIiIjijIiISD利用除利用除iv以外的節(jié)點(diǎn)上虛節(jié)點(diǎn)速度的任意性，則動(dòng)量方程的弱形式為以外的節(jié)點(diǎn)上虛節(jié)點(diǎn)速度的任意性，則動(dòng)量方程的弱形式為 iviIniitiIiIjijIi I,dvNdtNdbNdxNSD 01在任何指定速度的地方，虛速度必須為零。在任何指定速度的地方，虛速度必須為零。 ivextiIiIjJJijIi , IffvM int離散運(yùn)動(dòng)（動(dòng)量）方程為離散運(yùn)動(dòng)（動(dòng)量）方程為12ivextiIiIjJJijIi , IffvM int3 UL有限元離散有限元離散離散運(yùn)動(dòng)（動(dòng)量）方程離散運(yùn)動(dòng)（動(dòng)量）方程dxNfjijIiIint內(nèi)部節(jié)點(diǎn)力內(nèi)部節(jié)點(diǎn)力 外部節(jié)點(diǎn)力外部節(jié)點(diǎn)力 i

12、tiIiIextiIdtNdbNf慣性節(jié)點(diǎn)力慣性節(jié)點(diǎn)力 jJJijIkiniIvMfdvNfiIkiniIiJJIkiniIvdNNfdNNMJIijJijI內(nèi)部節(jié)點(diǎn)力代表著內(nèi)部節(jié)點(diǎn)力代表著物體的應(yīng)力物體的應(yīng)力。這些表達(dá)式既可以應(yīng)用于整體網(wǎng)格，也可以。這些表達(dá)式既可以應(yīng)用于整體網(wǎng)格，也可以應(yīng)用于任意單元或單元集。這些表達(dá)式包含形狀函數(shù)對(duì)應(yīng)于空間坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)應(yīng)用于任意單元或單元集。這些表達(dá)式包含形狀函數(shù)對(duì)應(yīng)于空間坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)和在當(dāng)前構(gòu)形上的積分。在非線性有限元方法中，對(duì)于更新的和在當(dāng)前構(gòu)形上的積分。在非線性有限元方法中，對(duì)于更新的Lagrangian網(wǎng)網(wǎng)格，這是一個(gè)關(guān)鍵的方程；它也應(yīng)用于格，這是一個(gè)

13、關(guān)鍵的方程；它也應(yīng)用于Eulerian和和ALE網(wǎng)格。網(wǎng)格。離散方程離散方程 133 UL有限元離散有限元離散是關(guān)于節(jié)點(diǎn)速度的是關(guān)于節(jié)點(diǎn)速度的個(gè)常微分方程系統(tǒng)。個(gè)常微分方程系統(tǒng)。 半離散運(yùn)動(dòng)（動(dòng)量）方程半離散運(yùn)動(dòng)（動(dòng)量）方程extiIiIjJJijIffvMint是不受約束的節(jié)點(diǎn)速度分量的數(shù)目是不受約束的節(jié)點(diǎn)速度分量的數(shù)目, DOFnDOFn稱作自由度的數(shù)目。稱作自由度的數(shù)目。 為了完成這個(gè)方程系統(tǒng)，要附加上單元積分點(diǎn)處的本構(gòu)方程為了完成這個(gè)方程系統(tǒng)，要附加上單元積分點(diǎn)處的本構(gòu)方程和以節(jié)點(diǎn)速度形式表示的變形率。和以節(jié)點(diǎn)速度形式表示的變形率。 txNtxIQIQX積分點(diǎn)與材料點(diǎn)是一致的。積分點(diǎn)與

14、材料點(diǎn)是一致的。Qnn離散方程離散方程 在網(wǎng)格中在網(wǎng)格中nQ個(gè)積分點(diǎn)表示為個(gè)積分點(diǎn)表示為n為應(yīng)力張量的獨(dú)立分量數(shù)目，為應(yīng)力張量的獨(dú)立分量數(shù)目，在二維平面應(yīng)力問(wèn)題中，由于應(yīng)力張量對(duì)稱，在二維平面應(yīng)力問(wèn)題中，由于應(yīng)力張量對(duì)稱， ;3n在三維問(wèn)題中，在三維問(wèn)題中， 。6n143 UL有限元離散有限元離散通過(guò)任何常微分方程的積分方法，如通過(guò)任何常微分方程的積分方法，如RungeRungeKuttaKutta法或中心差分法或中心差分法，可以對(duì)這個(gè)常微分方程系統(tǒng)進(jìn)行時(shí)間積分；見(jiàn)第法，可以對(duì)這個(gè)常微分方程系統(tǒng)進(jìn)行時(shí)間積分；見(jiàn)第6 6章。章。離散方程離散方程 QQklijQijetcDX XX.,iIQjIi

15、jjiijQijvNLLLDX X,21式中式中這是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的初值問(wèn)題，包括含有速度這是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的初值問(wèn)題，包括含有速度 tviI和應(yīng)力和應(yīng)力tQij,X的一階常微分方程。消去變形率，所有未知量的個(gè)數(shù)就變?yōu)榈囊浑A常微分方程。消去變形率，所有未知量的個(gè)數(shù)就變?yōu)镼DOFnnn半離散運(yùn)動(dòng)（動(dòng)量）方程半離散運(yùn)動(dòng)（動(dòng)量）方程為關(guān)于時(shí)間的常微分方程為關(guān)于時(shí)間的常微分方程ivextiIiIjJJijIi , IffvM int153 UL有限元離散有限元離散對(duì)于平衡問(wèn)題，加速度為零，控制方程成為對(duì)于平衡問(wèn)題，加速度為零，控制方程成為 extiIiIffint 這是真正意義的這是真正意義的離散平衡方程離散平衡

16、方程。如果本構(gòu)方程是率無(wú)關(guān)。如果本構(gòu)方程是率無(wú)關(guān)的，那么離散平衡方程是關(guān)于應(yīng)力和節(jié)點(diǎn)位移的非線性代數(shù)的，那么離散平衡方程是關(guān)于應(yīng)力和節(jié)點(diǎn)位移的非線性代數(shù)方程組。對(duì)于率相關(guān)材料，為了獲得非線性代數(shù)方程組，任方程組。對(duì)于率相關(guān)材料，為了獲得非線性代數(shù)方程組，任何率形式都必須在時(shí)間上離散。何率形式都必須在時(shí)間上離散。QQklijQijetcDX XX.,iIQjIijjiijQijvNLLLDX X,21 對(duì)于線性問(wèn)題，控制方程也可以寫成對(duì)于線性問(wèn)題，控制方程也可以寫成 KUKUF F 矩陣位移矩陣位移法的剛度方程形式法的剛度方程形式。離散方程離散方程 ivi , I163 UL有限元離散有限元離散

17、單元坐標(biāo)單元坐標(biāo) 通常建立有限元是采用以母單元坐標(biāo)形式表示形狀函數(shù)，通常建立有限元是采用以母單元坐標(biāo)形式表示形狀函數(shù)，簡(jiǎn)稱為單元坐標(biāo)。單元坐標(biāo)的例子有三角形坐標(biāo)和等參坐標(biāo)。簡(jiǎn)稱為單元坐標(biāo)。單元坐標(biāo)的例子有三角形坐標(biāo)和等參坐標(biāo)。 下面說(shuō)明以單元坐標(biāo)形式表示形狀函數(shù)的用法。證明在下面說(shuō)明以單元坐標(biāo)形式表示形狀函數(shù)的用法。證明在L L網(wǎng)格中，單元坐標(biāo)可以考慮為材料坐標(biāo)的另一種形式。這樣，網(wǎng)格中，單元坐標(biāo)可以考慮為材料坐標(biāo)的另一種形式。這樣，在在L L網(wǎng)格中將形狀函數(shù)表示為單元坐標(biāo)的形式，在本質(zhì)上等價(jià)網(wǎng)格中將形狀函數(shù)表示為單元坐標(biāo)的形式，在本質(zhì)上等價(jià)于把它們表示為材料坐標(biāo)的形式。于把它們表示為材料坐標(biāo)

18、的形式。 一個(gè)單元的三個(gè)域：一個(gè)單元的三個(gè)域： 母單元域母單元域 1. 當(dāng)前單元域當(dāng)前單元域 tee3. 初始（參考）單元域初始（參考）單元域e0173 UL有限元離散有限元離散單元坐標(biāo)單元坐標(biāo) 相關(guān)的映射相關(guān)的映射 通過(guò)映射的合成描述每一單元的運(yùn)動(dòng)通過(guò)映射的合成描述每一單元的運(yùn)動(dòng) tt,XxXxxe183 UL有限元離散有限元離散單元坐標(biāo)單元坐標(biāo) IiIiNtxtx,運(yùn)動(dòng)近似給出為運(yùn)動(dòng)近似給出為 形狀函數(shù)僅是母單元坐標(biāo)的函數(shù)；運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相關(guān)性完全反映在節(jié)點(diǎn)形狀函數(shù)僅是母單元坐標(biāo)的函數(shù)；運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相關(guān)性完全反映在節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)上。上式代表了在單元的母域和當(dāng)前構(gòu)形之間的一個(gè)時(shí)間相關(guān)映射。坐標(biāo)上。上式代

19、表了在單元的母域和當(dāng)前構(gòu)形之間的一個(gè)時(shí)間相關(guān)映射。在在t0時(shí)寫出這個(gè)映射，得到時(shí)寫出這個(gè)映射，得到 IiIIiIiiNXNxxX00 , 在一個(gè)在一個(gè)L單元中，材料坐標(biāo)和單元坐標(biāo)之間的映射是時(shí)間不變的。如果單元中，材料坐標(biāo)和單元坐標(biāo)之間的映射是時(shí)間不變的。如果這個(gè)映射是一對(duì)一的，則在這個(gè)映射是一對(duì)一的，則在L網(wǎng)格中可以將單元坐標(biāo)看作是材料坐標(biāo)的代用網(wǎng)格中可以將單元坐標(biāo)看作是材料坐標(biāo)的代用品，因?yàn)樵谝粋€(gè)單元中的每一材料點(diǎn)具有唯一的單元坐標(biāo)編號(hào)。為了在品，因?yàn)樵谝粋€(gè)單元中的每一材料點(diǎn)具有唯一的單元坐標(biāo)編號(hào)。為了在0中在單元坐標(biāo)和材料坐標(biāo)之間建立唯一的對(duì)應(yīng)關(guān)系，單元數(shù)目必須成為編中在單元坐標(biāo)和材料坐

20、標(biāo)之間建立唯一的對(duì)應(yīng)關(guān)系，單元數(shù)目必須成為編號(hào)的一部分。如果單元坐標(biāo)不能代替材料坐標(biāo)，則網(wǎng)格不是號(hào)的一部分。如果單元坐標(biāo)不能代替材料坐標(biāo)，則網(wǎng)格不是L格式格式( (見(jiàn)第見(jiàn)第7章章) )。事實(shí)上，應(yīng)用初始坐標(biāo)。事實(shí)上，應(yīng)用初始坐標(biāo)X作為材料坐標(biāo)主要源于解析過(guò)程；在有限元作為材料坐標(biāo)主要源于解析過(guò)程；在有限元方法中，應(yīng)用單元坐標(biāo)作為材料編號(hào)是更自然的。方法中，應(yīng)用單元坐標(biāo)作為材料編號(hào)是更自然的。193 UL有限元離散有限元離散單元坐標(biāo)單元坐標(biāo) 單元坐標(biāo)是時(shí)間不變的，可以將位移、速度和加速度表示單元坐標(biāo)是時(shí)間不變的，可以將位移、速度和加速度表示為形狀函數(shù)的形式：為形狀函數(shù)的形式： uu IIIiIi

21、NttNtutu, vvu IIIiIiiNtttNtvtvtu, vv IIIiIiNttNtvtv,204 編制程序編制程序 在有限元方程的程序編制中，通常采用兩種方法：在有限元方程的程序編制中，通常采用兩種方法： 1將指標(biāo)表示直接處理為矩陣方程。將指標(biāo)表示直接處理為矩陣方程。 2. 2. 使用使用Voigt標(biāo)記，將矩形應(yīng)力和應(yīng)變矩陣轉(zhuǎn)換為列矩陣。標(biāo)記，將矩形應(yīng)力和應(yīng)變矩陣轉(zhuǎn)換為列矩陣。 每種方法都有其優(yōu)點(diǎn)。在框每種方法都有其優(yōu)點(diǎn)。在框4.3中總結(jié)了兩種形式的離散方程。中總結(jié)了兩種形式的離散方程。 從指標(biāo)表示到矩陣形式的轉(zhuǎn)換是比較任意的，并取決于個(gè)人從指標(biāo)表示到矩陣形式的轉(zhuǎn)換是比較任意的，

22、并取決于個(gè)人的偏愛(ài)。在大多數(shù)情況下，將的偏愛(ài)。在大多數(shù)情況下，將單指標(biāo)的變量解釋為列矩陣單指標(biāo)的變量解釋為列矩陣；當(dāng)；當(dāng)解釋為行矩陣時(shí)，其過(guò)程就會(huì)有所不同。解釋為行矩陣時(shí)，其過(guò)程就會(huì)有所不同。 在在 Voigt 標(biāo)記中，將應(yīng)力和變形率表示為列向量的形式。標(biāo)記中，將應(yīng)力和變形率表示為列向量的形式。 214 編制程序編制程序224 編制程序編制程序數(shù)值積分?jǐn)?shù)值積分 111QnQQQfwdf 節(jié)點(diǎn)力、質(zhì)量矩陣和其它單元矩陣的積分不是由解析計(jì)算的，節(jié)點(diǎn)力、質(zhì)量矩陣和其它單元矩陣的積分不是由解析計(jì)算的，而是應(yīng)用數(shù)值解答，稱為數(shù)值積分。最廣泛應(yīng)用的是而是應(yīng)用數(shù)值解答，稱為數(shù)值積分。最廣泛應(yīng)用的是Gauss

23、積分積分 式中式中nQ個(gè)積分點(diǎn)的權(quán)重個(gè)積分點(diǎn)的權(quán)重wQ和坐標(biāo)值和坐標(biāo)值Q有表可查；見(jiàn)附錄有表可查；見(jiàn)附錄3。指定方程在母單元域上進(jìn)行積分，其積分區(qū)間為指定方程在母單元域上進(jìn)行積分，其積分區(qū)間為 1 1，11。 一個(gè)二維單元的一個(gè)二維單元的GaussGauss積分為積分為 11111111222121,QnQQnQQQQQfwwddfdf23 在非線性分析中，采用積分點(diǎn)數(shù)的規(guī)則一般基于在線性分析中的在非線性分析中，采用積分點(diǎn)數(shù)的規(guī)則一般基于在線性分析中的相同規(guī)則；對(duì)于一個(gè)規(guī)則的單元，積分點(diǎn)數(shù)目的選擇是能恰好積分內(nèi)相同規(guī)則；對(duì)于一個(gè)規(guī)則的單元，積分點(diǎn)數(shù)目的選擇是能恰好積分內(nèi)部節(jié)點(diǎn)力。一個(gè)單元的規(guī)則

24、形式，是指僅通過(guò)母單元的拉伸而不是剪部節(jié)點(diǎn)力。一個(gè)單元的規(guī)則形式，是指僅通過(guò)母單元的拉伸而不是剪切能得到的形式；例如，二維等參單元的一個(gè)矩形。切能得到的形式；例如，二維等參單元的一個(gè)矩形。 對(duì)于一個(gè)對(duì)于一個(gè)4 4節(jié)點(diǎn)四邊形單元，節(jié)點(diǎn)四邊形單元，如何選擇內(nèi)部節(jié)點(diǎn)力的積分點(diǎn)數(shù)目？如何選擇內(nèi)部節(jié)點(diǎn)力的積分點(diǎn)數(shù)目？ 由于速度是雙線性的，單元中的變形率和由于速度是雙線性的，單元中的變形率和B B矩陣是線性的。如果應(yīng)矩陣是線性的。如果應(yīng)力是與變形率線性相關(guān)，那么它將在單元內(nèi)線性變化。內(nèi)部節(jié)點(diǎn)力的力是與變形率線性相關(guān)，那么它將在單元內(nèi)線性變化。內(nèi)部節(jié)點(diǎn)力的被積函數(shù)是近似為二次的，因?yàn)樗潜环e函數(shù)是近似為二次

25、的，因?yàn)樗荁 B矩陣和應(yīng)力的乘積。矩陣和應(yīng)力的乘積。在在GaussGauss積積分中，對(duì)于一個(gè)二次函數(shù)的精確求解在每一方向上需要兩個(gè)積分點(diǎn)分中，對(duì)于一個(gè)二次函數(shù)的精確求解在每一方向上需要兩個(gè)積分點(diǎn)，所以對(duì)于線性材料，需要所以對(duì)于線性材料，需要2 22 2個(gè)點(diǎn)的積分得到內(nèi)部節(jié)點(diǎn)力的精確解。個(gè)點(diǎn)的積分得到內(nèi)部節(jié)點(diǎn)力的精確解。 對(duì)于線性本構(gòu)方程的積分，幾乎得到內(nèi)部節(jié)點(diǎn)力精確解的積分公對(duì)于線性本構(gòu)方程的積分，幾乎得到內(nèi)部節(jié)點(diǎn)力精確解的積分公式，稱為式，稱為完全積分完全積分。4 編制程序編制程序完全積分完全積分 244 編制程序編制程序局部減縮積分局部減縮積分 對(duì)于完全不可壓縮或接近不可壓縮的材料，對(duì)

26、于完全不可壓縮或接近不可壓縮的材料，運(yùn)動(dòng)必須是等體積的運(yùn)動(dòng)必須是等體積的 iixvJJJDtDJvdiv0J = 1edevijdevijiiduKW2,212int式中式中K是體積模量，是體積模量， 是剪切模量。在任意的等體積運(yùn)動(dòng)中，單元的整個(gè)是剪切模量。在任意的等體積運(yùn)動(dòng)中，單元的整個(gè)體積將保持常數(shù)，即在整個(gè)單元中的運(yùn)動(dòng)必須是等體積的，體積將保持常數(shù)，即在整個(gè)單元中的運(yùn)動(dòng)必須是等體積的，否則，當(dāng)否則，當(dāng)K是一個(gè)非常大的數(shù)時(shí)是一個(gè)非常大的數(shù)時(shí)(一個(gè)接近于不可壓縮材料一個(gè)接近于不可壓縮材料)，任何非零體，任何非零體積應(yīng)變將吸收幾乎全部的能量。積應(yīng)變將吸收幾乎全部的能量。 內(nèi)部節(jié)點(diǎn)力的完全積分可

27、能引起單元的自鎖，即出現(xiàn)很小的位移而內(nèi)部節(jié)點(diǎn)力的完全積分可能引起單元的自鎖，即出現(xiàn)很小的位移而不收斂或收斂得非常慢。不收斂或收斂得非常慢?？紤]一種線性材料，如果將線性彈性應(yīng)變能分考慮一種線性材料，如果將線性彈性應(yīng)變能分解為靜水和偏量部分，可以寫為解為靜水和偏量部分，可以寫為 0,0viiv div或254 編制程序編制程序局部減縮積分局部減縮積分 為了克服這個(gè)困難，最容易的方法是使用局部減縮積分。在為了克服這個(gè)困難，最容易的方法是使用局部減縮積分。在局部減縮積分中，壓力為不完全積分，而應(yīng)力矩陣的其余部分為局部減縮積分中，壓力為不完全積分，而應(yīng)力矩陣的其余部分為完全積分。為此，將應(yīng)力張量分解為完

28、全積分。為此，將應(yīng)力張量分解為偏斜偏斜部分和部分和靜水靜水部分部分ijhyddevijij 體積自鎖源于單元沒(méi)有能力準(zhǔn)確地表示一個(gè)等體積運(yùn)動(dòng)體積自鎖源于單元沒(méi)有能力準(zhǔn)確地表示一個(gè)等體積運(yùn)動(dòng)。為。為了消除自鎖，必須設(shè)計(jì)應(yīng)變場(chǎng)，這樣在假設(shè)的應(yīng)變場(chǎng)中整個(gè)單元了消除自鎖，必須設(shè)計(jì)應(yīng)變場(chǎng)，這樣在假設(shè)的應(yīng)變場(chǎng)中整個(gè)單元的膨脹為零：的膨脹為零：為了避免自鎖，對(duì)于任意保持單元體積的速度場(chǎng)，為了避免自鎖，對(duì)于任意保持單元體積的速度場(chǎng)，整個(gè)單元的應(yīng)變場(chǎng)必須是等體積的整個(gè)單元的應(yīng)變場(chǎng)必須是等體積的。對(duì)于等體積運(yùn)動(dòng)的四邊形單。對(duì)于等體積運(yùn)動(dòng)的四邊形單元，為了克服沙漏模式，在整個(gè)單元中膨脹必須為零。元，為了克服沙漏模式

29、，在整個(gè)單元中膨脹必須為零。 pkkhyd31ijhydijdevijijkkijdevijDDD31ijkkvolijDD31264 編制程序編制程序局部減縮積分局部減縮積分 在局部減縮積分中，壓力為不完全積分，以此確定與外力平衡在局部減縮積分中，壓力為不完全積分，以此確定與外力平衡的應(yīng)力場(chǎng)。如雜交單元的應(yīng)力場(chǎng)。如雜交單元274 編制程序編制程序局部減縮積分局部減縮積分 注意到膨脹部分和偏斜部分是彼此正交的，因此內(nèi)部虛功率為注意到膨脹部分和偏斜部分是彼此正交的，因此內(nèi)部虛功率為dDpdDdDpdevijdevijiiijijint將變形率表示為形狀函數(shù)的形式，膨脹和偏斜部分的被積函數(shù)分別為將

30、變形率表示為形狀函數(shù)的形式，膨脹和偏斜部分的被積函數(shù)分別為pNvpDiIiIii,devjijIiIdevjidevijNvD, 局部減縮積分包含在偏斜功率上的局部減縮積分包含在偏斜功率上的完全積分完全積分和在膨脹功率上和在膨脹功率上的的減縮積分減縮積分。對(duì)于一個(gè)。對(duì)于一個(gè)4節(jié)點(diǎn)四邊形單元的局部減縮積分為節(jié)點(diǎn)四邊形單元的局部減縮積分為 41int,QQdevjiQjIQQiIiINJwpNJvp000 41intint,QQdevjiQjIQQiIi ITiINJwpNJff000關(guān)于內(nèi)力的局部減縮積分表達(dá)式為關(guān)于內(nèi)力的局部減縮積分表達(dá)式為284 編制程序編制程序局部減縮積分局部減縮積分 只有

31、四邊形和六面體單元才能采用減縮積分；而所有楔只有四邊形和六面體單元才能采用減縮積分；而所有楔形、四面體和三角形實(shí)體單元采用完全積分。形、四面體和三角形實(shí)體單元采用完全積分。 關(guān)于減縮積分的單個(gè)積分點(diǎn)是母單元的質(zhì)心。偏斜部分是關(guān)于減縮積分的單個(gè)積分點(diǎn)是母單元的質(zhì)心。偏斜部分是通過(guò)完全積分方式積分的。通過(guò)完全積分方式積分的。這種方法類似于應(yīng)用于不可壓縮材這種方法類似于應(yīng)用于不可壓縮材料線性分析的算法。關(guān)于其它單元的局部減縮積分算法，可以料線性分析的算法。關(guān)于其它單元的局部減縮積分算法，可以采取對(duì)于線性有限元類似的修正方法建立起來(lái)。采取對(duì)于線性有限元類似的修正方法建立起來(lái)。單元力和矩陣轉(zhuǎn)換單元力和矩

32、陣轉(zhuǎn)換 例題：三角形例題：三角形3節(jié)點(diǎn)單元節(jié)點(diǎn)單元 294 編制程序編制程序例題例題四邊形單元和其它二維等參單元四邊形單元和其它二維等參單元 建立二維等參單元的變形梯度、變形率、節(jié)點(diǎn)力和質(zhì)量矩建立二維等參單元的變形梯度、變形率、節(jié)點(diǎn)力和質(zhì)量矩陣的表達(dá)式。對(duì)于陣的表達(dá)式。對(duì)于4節(jié)點(diǎn)四邊形單元給出詳細(xì)的表達(dá)式。以矩陣節(jié)點(diǎn)四邊形單元給出詳細(xì)的表達(dá)式。以矩陣形式給出內(nèi)部節(jié)點(diǎn)力的表達(dá)式。形式給出內(nèi)部節(jié)點(diǎn)力的表達(dá)式。 NIII,114141I ,II是母單元的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)是母單元的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo) 形狀函數(shù)和節(jié)點(diǎn)變量形狀函數(shù)和節(jié)點(diǎn)變量 節(jié)點(diǎn)速度節(jié)點(diǎn)速度 IIINYXYX節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo) ,IyIxIyxNtvtvtv

33、tv30變形率和內(nèi)部節(jié)點(diǎn)力變形率和內(nèi)部節(jié)點(diǎn)力 4 編制程序編制程序?qū)τ谛螤詈瘮?shù)公式，映射到空間坐標(biāo)不是可逆的。對(duì)于形狀函數(shù)公式，映射到空間坐標(biāo)不是可逆的。不能直接將不能直接將i表達(dá)成表達(dá)成 x 和和 y 的形式，所以形狀函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是通過(guò)隱式微分計(jì)算出來(lái)的形式，所以形狀函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是通過(guò)隱式微分計(jì)算出來(lái) 11,yyxxNNxNNNNIITIyIxIxTI當(dāng)前構(gòu)形相對(duì)于單元坐標(biāo)的當(dāng)前構(gòu)形相對(duì)于單元坐標(biāo)的Jacobian矩陣給出為矩陣給出為,/,IIIIIIIIIIIIjIiINyNyNxNxNNyxNxyyxxx對(duì)于對(duì)于4節(jié)點(diǎn)四邊形單元，上式成為節(jié)點(diǎn)四邊形單元，上式成為 41111141,IIIII

34、IIIIIIIItytytxtxx314 編制程序編制程序Jacobian矩陣矩陣考慮平衡方程考慮平衡方程 extiIiIffint定義殘差定義殘差 extiIiIffrint通過(guò)通過(guò)Newton迭代求解和線性化迭代求解和線性化 dfdfdrextiIiIint內(nèi)力內(nèi)力Jacobian切線剛度切線剛度dfKiIintint外力外力Jacobian載荷剛度載荷剛度dfKiIextext整體整體Jacobian為二者之差為二者之差drKKAextintABAQUS的的UMAT就是求內(nèi)力的就是求內(nèi)力的Jacobian矩陣切線剛度矩陣切線剛度32Jacobian矩陣是時(shí)間的函數(shù)，矩陣是時(shí)間的函數(shù)，,

35、x的逆給出為的逆給出為 4 編制程序編制程序,1,1yxyxJxyxyJ x4節(jié)點(diǎn)四邊形單元采用單元坐標(biāo)表示的形狀函數(shù)的梯度為節(jié)點(diǎn)四邊形單元采用單元坐標(biāo)表示的形狀函數(shù)的梯度為 4444333322221111443322111111111141/,NNNNNNNNNiITN采用空間坐標(biāo)表示的形狀函數(shù)的梯度為采用空間坐標(biāo)表示的形狀函數(shù)的梯度為 ,11111111141,44443333222211111xyxyJNNTITIIxBx出現(xiàn)在分母中出現(xiàn)在分母中334 編制程序編制程序速度梯度給出為速度梯度給出為 xvBvL,TIITIIN內(nèi)部節(jié)點(diǎn)力內(nèi)部節(jié)點(diǎn)力 daJNNffyyxyxyxxyIxIy

36、IxITI,intintf上式適用于任意的二維等參單元。因?yàn)樯鲜竭m用于任意的二維等參單元。因?yàn)镴是關(guān)于單元坐標(biāo)的有理函數(shù)，所以不能對(duì)上式進(jìn)行解析積分，是關(guān)于單元坐標(biāo)的有理函數(shù)，所以不能對(duì)上式進(jìn)行解析積分，通常使用數(shù)值積分。通常使用數(shù)值積分。 對(duì)于對(duì)于4 4節(jié)點(diǎn)四邊形單元，節(jié)點(diǎn)四邊形單元，2 22 Gauss2 Gauss積分為完全積分。但積分為完全積分。但是在是在平面應(yīng)變平面應(yīng)變問(wèn)題中，對(duì)于不可壓縮或幾乎不可壓縮的材料，問(wèn)題中，對(duì)于不可壓縮或幾乎不可壓縮的材料，完全積分會(huì)出現(xiàn)單元自鎖，因此必須應(yīng)用局部減縮積分。完全積分會(huì)出現(xiàn)單元自鎖，因此必須應(yīng)用局部減縮積分。 對(duì)于對(duì)于4 4節(jié)點(diǎn)四邊形單元，沿

37、著每條邊的位移是線性的。所節(jié)點(diǎn)四邊形單元，沿著每條邊的位移是線性的。所以，其外部節(jié)點(diǎn)力與以，其外部節(jié)點(diǎn)力與3 3節(jié)點(diǎn)三角形單元外部節(jié)點(diǎn)力是一致的。節(jié)點(diǎn)三角形單元外部節(jié)點(diǎn)力是一致的。出現(xiàn)在分母中，被積函數(shù)出現(xiàn)在分母中，被積函數(shù)34 111100024432342322241312121,ddJaNNNNsymNNNNNNNNNNNNM4 編制程序編制程序一致質(zhì)量矩陣一致質(zhì)量矩陣 根據(jù)根據(jù)Lobatto積分，使積分點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)重合，或者將單元積分，使積分點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)重合，或者將單元的整個(gè)質(zhì)量平均分配到的整個(gè)質(zhì)量平均分配到4 4個(gè)節(jié)點(diǎn)上可以得到一個(gè)集中的對(duì)角個(gè)節(jié)點(diǎn)上可以得到一個(gè)集中的對(duì)角質(zhì)量矩陣，分配到質(zhì)量

38、矩陣，分配到4 4個(gè)節(jié)點(diǎn)上給出個(gè)節(jié)點(diǎn)上給出400041IMaA集中質(zhì)量矩陣集中質(zhì)量矩陣 35例題例題主從連接線主從連接線 4 編制程序編制程序 連接線經(jīng)常用于連接采用不同單元尺度的網(wǎng)格部分，因連接線經(jīng)常用于連接采用不同單元尺度的網(wǎng)格部分，因?yàn)樗鼈儽仁褂萌切位蛩拿骟w單元連接不同尺度的單元更方為它們比使用三角形或四面體單元連接不同尺度的單元更方便。通過(guò)約束從屬節(jié)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，使其與連接主控節(jié)點(diǎn)的附近便。通過(guò)約束從屬節(jié)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，使其與連接主控節(jié)點(diǎn)的附近邊界的場(chǎng)一致，保證跨過(guò)連接線的運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性。邊界的場(chǎng)一致，保證跨過(guò)連接線的運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性。 根據(jù)轉(zhuǎn)換規(guī)則，導(dǎo)出節(jié)點(diǎn)力和質(zhì)量矩陣。根據(jù)轉(zhuǎn)換規(guī)則，導(dǎo)出節(jié)點(diǎn)力和

39、質(zhì)量矩陣。36例題例題主從連接線主從連接線 4 編制程序編制程序 通過(guò)運(yùn)動(dòng)約束給出從屬節(jié)點(diǎn)的速度，使沿連接線兩側(cè)的速度保持協(xié)調(diào)，通過(guò)運(yùn)動(dòng)約束給出從屬節(jié)點(diǎn)的速度，使沿連接線兩側(cè)的速度保持協(xié)調(diào)，即即C0。這個(gè)約束可以表達(dá)為節(jié)點(diǎn)速度的一個(gè)線性關(guān)系，可以寫成為。這個(gè)約束可以表達(dá)為節(jié)點(diǎn)速度的一個(gè)線性關(guān)系，可以寫成為AIT vAIvv所以MSM連接后模型的節(jié)點(diǎn)力為連接后模型的節(jié)點(diǎn)力為 SMTSMTMffAIffTf矩陣矩陣A是從線性約束得到的，是從線性約束得到的，“”表示在兩側(cè)連接到一起之前的分離模型的速度表示在兩側(cè)連接到一起之前的分離模型的速度 主控節(jié)點(diǎn)力是分離模型的主控節(jié)點(diǎn)力和轉(zhuǎn)換的從屬節(jié)點(diǎn)力的和。這

40、些公主控節(jié)點(diǎn)力是分離模型的主控節(jié)點(diǎn)力和轉(zhuǎn)換的從屬節(jié)點(diǎn)力的和。這些公式對(duì)于外部和內(nèi)部節(jié)點(diǎn)力都適用式對(duì)于外部和內(nèi)部節(jié)點(diǎn)力都適用 一致質(zhì)量矩陣為一致質(zhì)量矩陣為 AMAMAIMMAITMTMSTMSMTT00374 編制程序編制程序 4節(jié)點(diǎn)四邊形單元，沿任何邊界上的速度是線性的。從屬節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)四邊形單元，沿任何邊界上的速度是線性的。從屬節(jié)點(diǎn)3和和5與與主控節(jié)點(diǎn)主控節(jié)點(diǎn)1和和2重合，而從屬節(jié)點(diǎn)重合，而從屬節(jié)點(diǎn)4與節(jié)點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)1的距離為的距離為l 12xx l12425131 , ,vvvvvvv21543211vvI0II0II00Ivvvvv節(jié)點(diǎn)速度可以寫成為節(jié)點(diǎn)速度可以寫成為節(jié)點(diǎn)力則給出為節(jié)點(diǎn)力則給出為

41、54321211fffffII0I00II0Iff主控節(jié)點(diǎn)主控節(jié)點(diǎn)1的力是的力是43111ffff節(jié)點(diǎn)力兩個(gè)分量的轉(zhuǎn)換是一致的；這種轉(zhuǎn)換對(duì)于內(nèi)部和外部節(jié)點(diǎn)力都適用。節(jié)點(diǎn)力兩個(gè)分量的轉(zhuǎn)換是一致的；這種轉(zhuǎn)換對(duì)于內(nèi)部和外部節(jié)點(diǎn)力都適用。如果兩條邊只是在法向相連接，則需要在節(jié)點(diǎn)上建立局部坐標(biāo)系。通過(guò)公如果兩條邊只是在法向相連接，則需要在節(jié)點(diǎn)上建立局部坐標(biāo)系。通過(guò)公式，聯(lián)系節(jié)點(diǎn)力的法向分量，而切向分量保持各自獨(dú)立。式，聯(lián)系節(jié)點(diǎn)力的法向分量，而切向分量保持各自獨(dú)立。 例題例題主從連接線主從連接線 385 旋轉(zhuǎn)公式旋轉(zhuǎn)公式 在結(jié)構(gòu)單元中，如桿、梁和殼，處理固定坐標(biāo)系是很棘手的。例如，在結(jié)構(gòu)單元中，如桿、梁和

42、殼，處理固定坐標(biāo)系是很棘手的。例如，考慮一個(gè)旋轉(zhuǎn)桿件。最初，唯一的非零應(yīng)力是考慮一個(gè)旋轉(zhuǎn)桿件。最初，唯一的非零應(yīng)力是x，而，而y等于零。當(dāng)桿件旋等于零。當(dāng)桿件旋轉(zhuǎn)時(shí)，以應(yīng)力張量整體分量的形式表示單軸應(yīng)力的狀態(tài)就麻煩了?？朔@轉(zhuǎn)時(shí)，以應(yīng)力張量整體分量的形式表示單軸應(yīng)力的狀態(tài)就麻煩了?？朔@種困難的一般途徑是在桿中嵌入一個(gè)隨桿旋轉(zhuǎn)的坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系種困難的一般途徑是在桿中嵌入一個(gè)隨桿旋轉(zhuǎn)的坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系 考慮一個(gè)坐標(biāo)系考慮一個(gè)坐標(biāo)系yx , xx 始終連接著節(jié)點(diǎn)始終連接著節(jié)點(diǎn)1和和2，在單軸應(yīng)力狀態(tài)下，在單軸應(yīng)力狀態(tài)下 0 xyy0 x桿的變形率類似地應(yīng)用分量桿的變形率類似地應(yīng)用分量xD描述描述

43、 39在旋轉(zhuǎn)格式中考慮的關(guān)鍵問(wèn)題是材料旋轉(zhuǎn)的定義，有兩種方法：在旋轉(zhuǎn)格式中考慮的關(guān)鍵問(wèn)題是材料旋轉(zhuǎn)的定義，有兩種方法：1 1 在每一個(gè)積分點(diǎn)嵌入一個(gè)坐標(biāo)系，在某種意義上它隨著材料旋轉(zhuǎn)。在每一個(gè)積分點(diǎn)嵌入一個(gè)坐標(biāo)系，在某種意義上它隨著材料旋轉(zhuǎn)。對(duì)于任意大的應(yīng)變和旋轉(zhuǎn)都有效。在大多數(shù)情況下，應(yīng)用極分解原理定對(duì)于任意大的應(yīng)變和旋轉(zhuǎn)都有效。在大多數(shù)情況下，應(yīng)用極分解原理定義旋轉(zhuǎn)。然而，當(dāng)材料的指定方向有一個(gè)較大的剛度并需要準(zhǔn)確地表現(xiàn)義旋轉(zhuǎn)。然而，當(dāng)材料的指定方向有一個(gè)較大的剛度并需要準(zhǔn)確地表現(xiàn)出來(lái)時(shí)，由極分解提供的旋轉(zhuǎn)在出來(lái)時(shí)，由極分解提供的旋轉(zhuǎn)在CartesianCartesian坐標(biāo)系下未必能提供

44、最好的坐標(biāo)系下未必能提供最好的旋轉(zhuǎn)；見(jiàn)第旋轉(zhuǎn)；見(jiàn)第9 9章。章。5 旋轉(zhuǎn)公式旋轉(zhuǎn)公式 對(duì)于一些單元，如桿或常應(yīng)變?nèi)切螁卧?，整個(gè)單元的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)是相同對(duì)于一些單元，如桿或常應(yīng)變?nèi)切螁卧?，整個(gè)單元的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)是相同的，那么在單元中嵌入一個(gè)單一坐標(biāo)系就足夠了。對(duì)于高階單元，如果應(yīng)變的，那么在單元中嵌入一個(gè)單一坐標(biāo)系就足夠了。對(duì)于高階單元，如果應(yīng)變比較小，不需要坐標(biāo)系準(zhǔn)確地隨材料旋轉(zhuǎn)。例如定義旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系，使它與單比較小，不需要坐標(biāo)系準(zhǔn)確地隨材料旋轉(zhuǎn)。例如定義旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系，使它與單元的一邊重合。如果與嵌入坐標(biāo)系相關(guān)的旋轉(zhuǎn)為元的一邊重合。如果與嵌入坐標(biāo)系相關(guān)的旋轉(zhuǎn)為階，則在應(yīng)變中的誤差具階，則在應(yīng)變中的誤差

45、具有有2階。這樣，只要階。這樣，只要2與應(yīng)變相比很小，單個(gè)嵌入坐標(biāo)系是合適的。與應(yīng)變相比很小，單個(gè)嵌入坐標(biāo)系是合適的。稱作小稱作小應(yīng)變、大轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題應(yīng)變、大轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題。2 2 在一個(gè)單元中嵌入一個(gè)坐標(biāo)系并隨著單元旋轉(zhuǎn)。在一個(gè)單元中嵌入一個(gè)坐標(biāo)系并隨著單元旋轉(zhuǎn)。 21211cos242Ox405 旋轉(zhuǎn)公式旋轉(zhuǎn)公式在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下，矢量在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下，矢量v的分量與整體分量之間的關(guān)系為的分量與整體分量之間的關(guān)系為vRv vRv TjjiivRv或?qū)τ谒俣葓?chǎng)，有限元近似的旋轉(zhuǎn)分量可以寫成為對(duì)于速度場(chǎng)，有限元近似的旋轉(zhuǎn)分量可以寫成為 tvNtviIIi,速度梯度張量的旋轉(zhuǎn)分量給出為速度梯度張量的旋轉(zhuǎn)分量給出

46、為 TIITIIIIiIjIiIjIjiijBNNvBtvxNxvL,vvxvL x或jIjIxNB旋轉(zhuǎn)變形率張量給出為旋轉(zhuǎn)變形率張量給出為 ijjijiijijxvxvLLD2121旋轉(zhuǎn)公式僅用來(lái)計(jì)算內(nèi)部節(jié)點(diǎn)力。外部節(jié)點(diǎn)力和質(zhì)量矩陣常常在整旋轉(zhuǎn)公式僅用來(lái)計(jì)算內(nèi)部節(jié)點(diǎn)力。外部節(jié)點(diǎn)力和質(zhì)量矩陣常常在整體坐標(biāo)系下計(jì)算。運(yùn)動(dòng)的半離散方程以整體分量的形式進(jìn)行處理。體坐標(biāo)系下計(jì)算。運(yùn)動(dòng)的半離散方程以整體分量的形式進(jìn)行處理。415 旋轉(zhuǎn)公式旋轉(zhuǎn)公式dNdxNfTITIjijIiIf x,intint或以旋轉(zhuǎn)分量的形式建立以旋轉(zhuǎn)分量的形式建立intIf的表達(dá)式。內(nèi)部節(jié)點(diǎn)力的標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式為的表達(dá)式。內(nèi)部節(jié)點(diǎn)力的

47、標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式為 根據(jù)鏈規(guī)則根據(jù)鏈規(guī)則 xxR ,IIjkkIjkkIjINNRxNxxxNxN或從從CauchyCauchy應(yīng)力變成為旋轉(zhuǎn)應(yīng)力的轉(zhuǎn)換應(yīng)力變成為旋轉(zhuǎn)應(yīng)力的轉(zhuǎn)換 dNTTTITIRRRf x,intdRxNffdNTkijkjIi ITiITTITI,intintint Rfx或應(yīng)用應(yīng)用R的正交性的正交性 ddTTTTTITIRfRf,intintB BjIjIxNB表達(dá)式可以轉(zhuǎn)化為矩陣形式表達(dá)式可以轉(zhuǎn)化為矩陣形式 TRR425 旋轉(zhuǎn)公式旋轉(zhuǎn)公式 旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)CauchyCauchy應(yīng)力率是客觀的應(yīng)力率是客觀的( (框架不變性框架不變性) )，因此，以旋轉(zhuǎn)，因此，以旋轉(zhuǎn)CauchyCau

48、chy應(yīng)力率和旋轉(zhuǎn)變形率之間的關(guān)系直接表示本構(gòu)方程應(yīng)力率和旋轉(zhuǎn)變形率之間的關(guān)系直接表示本構(gòu)方程.,etcSDtDDD對(duì)于次彈性材料對(duì)于次彈性材料 klijklijDCDtDDtD: DC或者 這里的彈性響應(yīng)矩陣也表達(dá)為旋轉(zhuǎn)分量的形式。上式中一個(gè)這里的彈性響應(yīng)矩陣也表達(dá)為旋轉(zhuǎn)分量的形式。上式中一個(gè)令人感興趣的特征就是對(duì)于各向異性材料，不需要改變令人感興趣的特征就是對(duì)于各向異性材料，不需要改變C矩陣而能夠反映轉(zhuǎn)動(dòng)。矩陣而能夠反映轉(zhuǎn)動(dòng)。 另一方面，如果另一方面，如果C矩陣的分量是在固定坐標(biāo)系中表達(dá)的，對(duì)于矩陣的分量是在固定坐標(biāo)系中表達(dá)的，對(duì)于各向異性材料，當(dāng)材料轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)各向異性材料，當(dāng)材料轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)C矩陣

49、隨之變化。矩陣隨之變化。435 旋轉(zhuǎn)公式旋轉(zhuǎn)公式 應(yīng)用旋轉(zhuǎn)方法建立應(yīng)用旋轉(zhuǎn)方法建立3節(jié)點(diǎn)三角形單元的速度應(yīng)變和內(nèi)部節(jié)點(diǎn)力的表達(dá)式。節(jié)點(diǎn)三角形單元的速度應(yīng)變和內(nèi)部節(jié)點(diǎn)力的表達(dá)式。 單元的初始和當(dāng)前構(gòu)形如圖。在初始時(shí)旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系與整體坐標(biāo)系之間有單元的初始和當(dāng)前構(gòu)形如圖。在初始時(shí)旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系與整體坐標(biāo)系之間有一個(gè)角度一個(gè)角度0；通常選擇；通常選擇0為零，但是對(duì)于各向異性材料，將初始為零，但是對(duì)于各向異性材料，將初始x 軸定位在各向異性的一個(gè)方向可能是理想的；例如，在復(fù)合材料中，將軸定位在各向異性的一個(gè)方向可能是理想的；例如，在復(fù)合材料中，將x 定位在纖維方向可能是有用的。旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的當(dāng)前角度是定位在纖維方向可能是有用的。旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的當(dāng)前角度是。例題例題三角形單元三角形單元 445 旋轉(zhuǎn)公式旋轉(zhuǎn)公式例題例題三角形單元三角形單元 運(yùn)動(dòng)可以表示為三角形面積坐標(biāo)的形式運(yùn)動(dòng)可以表示為三角形面積坐標(biāo)的形式 321321321yyyxxxyx yxyxyxjIjIN,332211在單元中的位移和速度場(chǎng)則給出為在單元中的位移和速度場(chǎng)則給出為321321321yyy