1、一、知識點(diǎn)：1簡單多面體： 考慮一個多面體，例如正六面體， 假定它的面是用橡膠薄膜做成的，如果充以氣體，那么它就會連續(xù)（不破裂）變形，最后可變?yōu)橐粋€球面 如圖：象這樣，表面經(jīng)過連續(xù)變形可變?yōu)榍蛎娴亩嗝骟w，叫做 簡單多面體 棱柱、棱錐、正多面體等一切凸多面體都是簡單多面體2五種正多面體的頂點(diǎn)數(shù)、面數(shù)及棱數(shù)：正多面體頂點(diǎn)數(shù) V面數(shù) F棱數(shù) E正四面體446正六面體8612正八面體6812正十二面體201230正二十面體1220303歐拉定理 （歐拉公式） ：簡單多面體的頂點(diǎn)數(shù)V 、面數(shù) F 及棱數(shù) E 有關(guān)系式： VF E2 4歐拉示性數(shù)： 在歐拉公式中令 f ( p)V FE ， f ( p)

2、叫歐拉示性數(shù)（ 1）簡單多面體的歐拉示性數(shù)f ( p)2 （ 2）帶一個洞的多面體的歐拉示性數(shù)f ( p)0（ 3）多面體所有面的內(nèi)角總和公式：( E F )360 或 (V 2)360 0A5 球的概念： 與定點(diǎn)距離等于或小于定長的點(diǎn)的集合，叫做球體，簡稱球定點(diǎn)叫ROC球心，定長叫球的半徑 與定點(diǎn)距離等于定長的點(diǎn)的集合叫做球面一個球或球面用表示它的球心的字母表示，例如球O B6 球的截面： 用一平面去截一個球 O ，設(shè) OO 是平面的垂線段， O 為垂足，且OOd ，所得的截面是以球心在截面內(nèi)的射影為圓心，以rR2d 2 為半徑的一個圓，截面是一個圓面 球面被經(jīng)過球心的平面截得的圓叫做大圓

3、，被不經(jīng)過球心的平面截得的圓叫做 小圓7 經(jīng)線：球面上從北極到南極的半個大圓；緯線：與赤道平面平行的平面截ORdrO'P球面所得的小圓；經(jīng)度：某地的經(jīng)度就是經(jīng)過這點(diǎn)的經(jīng)線與地軸確定的半平面與0 經(jīng)線及軸確定的半平面所成的二面角的度數(shù)；緯度：某地的緯度就是指過這點(diǎn)的球半徑與赤道平面所成角的度數(shù)8兩點(diǎn)的球面距離： 球面上兩點(diǎn)之間的最短距離，就是經(jīng)過兩點(diǎn)的大圓在這兩B點(diǎn)間的一段劣弧的長度，我們把這個弧長叫做兩點(diǎn)的球面距離AR9 兩點(diǎn)的球面距離公式：ABR （其中 R為球半徑，為 A,B 所對應(yīng)的球R O心角的弧度數(shù)）10 半球的底面： 已知半徑為 R 的球 O ，用過球心的平面去截球O ，球

4、被截面分成大小相等的兩個半球，截面圓O （包含它內(nèi)部的點(diǎn)） ，叫做所得 半球的底面11球的體積公式 ： V4 R3312球的表面積：S4R2O二、練習(xí)：1 一個 n 面體共有 8 條棱， 5 個頂點(diǎn)，求 n2 一個正 n 面體共有 8 個頂點(diǎn)，每個頂點(diǎn)處共有三條棱，求n3 一個簡單多面體的各面都是三角形，證明它的頂點(diǎn)數(shù)V和面數(shù) F 有下面的關(guān)系： F 2V 44 有沒有棱數(shù)是 7 的簡單多面體？說明理由5 是否存在這樣的多面體，它有奇數(shù)個面，且每一個面都有奇數(shù)條邊6 過球面上任意兩點(diǎn)，作球的大圓的個數(shù)是球半徑為 25cm ，球心到截面距離為24cm ，則截面面積為1已知球的兩個平行截面的面積分

5、別是5和8，它們位于球心同一側(cè)， 且相距，則球半徑是球 O 直徑為 4 ， A, B 為球面上的兩點(diǎn)且AB23 ，則 A, B 兩點(diǎn)的球面距離為北緯 60 圈上 M , N 兩地，它們在緯度圈上的弧長是R （ R 為地球半徑） ，則這兩地間的球面距2離為7北緯 45圈上有 A, B 兩地， A 在東徑 120， B 在西徑 150，設(shè)地球半徑為R， A, B兩地球面距離為；8 一個球夾在 120 二面角內(nèi)，兩切點(diǎn)在球面上最短距離為cm ，則球半徑為；9. 設(shè)地球的半徑為 R，在北緯 45°圈上有 A、 B 兩點(diǎn)，它們的經(jīng)度相差 90°，那么這兩點(diǎn)間的緯線的長為 _，兩點(diǎn)間的

6、球面距離是 _10球的大圓面積增大為原來的4 倍，則體積增大為原來的倍；11三個球的半徑之比為 1: 2:3，那么最大的球的體積是其余兩個球的體積和的倍；12.若球的大圓面積擴(kuò)大為原來的4 倍，則球的體積比原來增加倍；13.把半徑分別為3，4， 5 的三個鐵球，熔成一個大球，則大球半徑是；14.正方體全面積是24 ，它的外接球的體積是，內(nèi)切球的體積是15球 O、 O 分別與正方體的各面、各條棱相切，正方體的各頂點(diǎn)都在球O 的表面上，求三個球的123表面積之比16 表面積為 324 的球，其內(nèi)接正四棱柱的高是14，求這個正四棱柱的表面積17 正四面體 ABCD的棱長為 a，球 O是內(nèi)切球，球O是

7、與正四面體的三個1面和球 O都相切的一個小球，求球O1 的體積練習(xí)參考答案：1 一個 n 面體共有 8 條棱， 5 個頂點(diǎn)，求 n解： VF E2，F(xiàn)E2V5 ，即 n5 2 一個正 n 面體共有8 個頂點(diǎn)，每個頂點(diǎn)處共有三條棱，求n解： V8 ， E83 12， FE2V6 ，即 n623一個簡單多面體的各面都是三角形，證明它的頂點(diǎn)數(shù)V和面數(shù) F 有下面的關(guān)系： F2V 4證明： E 3F，VFE2 VF3F2F2V4224有沒有棱數(shù)是7 的簡單多面體？說明理由解：若 E 7， VF E 2 ， VF 7 2 9 ，多面體的頂點(diǎn)數(shù) V 4，面數(shù) F 4只有兩種情況 V4， F 5 或 V 5

8、， F 4，但是有4 個頂點(diǎn)的多面體只有四個面，不可能是5 個面，有四個面的多面體是四面體，也只有四個頂點(diǎn)，不可能有5 個頂點(diǎn)，沒有棱數(shù)是7 的多面體5是否存在這樣的多面體，它有奇數(shù)個面，且每一個面都有奇數(shù)條邊解： 設(shè)有一個多面體，有 F（奇數(shù)）個面，并且每個面的邊數(shù)n1, n2 nF 也都是奇數(shù)，則n1 n2nF2E ，但是上式左端是奇數(shù)個“奇數(shù)相加”，結(jié)果仍為奇數(shù)，可右端是偶數(shù)，這是不可能的不存在這樣的多面體6 過球面上任意兩點(diǎn)，作球的大圓的個數(shù)是球半徑為 25cm ，球心到截面距離為24cm ，則截面面積為已知球的兩個平行截面的面積分別是5和81，它們位于球心同一側(cè)， 且相距 ，則球半徑

9、是球 O 直徑為 4 ， A, B 為球面上的兩點(diǎn)且AB23 ，則 A, B 兩點(diǎn)的球面距離為北緯 60 圈上 M , N 兩地，它們在緯度圈上的弧長是R （ R 為地球半徑） ，則這兩地間的球面距離為2答案：一個或無數(shù)個 49m2 34337北緯 45離為答案：R3圈上有 A, B 兩地， A 在東徑 120 ， B 在西徑 150 ，設(shè)地球半徑為R ， A, B 兩地球面距；8一個球夾在120 二面角內(nèi)，兩切點(diǎn)在球面上最短距離為cm ，則球半徑為；答案： 3cm9. 設(shè)地球的半徑為 R，在北緯 45°圈上有 A、 B 兩點(diǎn)，它們的經(jīng)度相差 90°，那么這兩點(diǎn)間的緯線的長

10、為 _，兩點(diǎn)間的球面距離是_分析：求 A、 B兩點(diǎn)間的球面距離，就是求過球心和點(diǎn)A、B的大圓的劣弧長，因而應(yīng)先求出弦AB的長，所以要先求出A、 B 兩點(diǎn)所在緯度圈的半徑解：連結(jié)AB設(shè)地球球心為O，北緯 45°圈中心為O1，則O1O O1A， O1O O1BO1 AOO1 BOAOC45 1112RO A OB OO OA cos 45 2兩點(diǎn)間的緯線的長為：2 R2 R 224 A 、 B兩點(diǎn)的經(jīng)度相差 90°， AO1B 90 在 Rt AO1 B 中， AB2 AO1R ，OA AB OB，AOB3兩點(diǎn)間的球面距離是：R 34 倍，則體積增大為原來的10球的大圓面積增大

11、為原來的倍；答案： 811三個球的半徑之比為1: 2:3 ，那么最大的球的體積是其余兩個球的體積和的倍；答案： 312.若球的大圓面積擴(kuò)大為原來的4 倍，則球的體積比原來增加倍；答案： 713.把半徑分別為3， 4， 5 的三個鐵球，熔成一個大球，則大球半徑是；答案： 614.正方體全面積是24 ，它的外接球的體積是，內(nèi)切球的體積是答案：43，4315球 O1、 O2 分別與正方體的各面、各條棱相切，正方體的各頂點(diǎn)都在球O3 的表面上，求三個球的表面積之比分析：球的表面積之比事實上就是半徑之比的平方，故只需找到球半徑之間的關(guān)系即可解： 設(shè)正方體棱長為 a，則三個球的半徑依次為a 、2 a ，3

12、 a222 三個球的表面積之比是S1:S2 :S31:2:316 表面積為 324的球，其內(nèi)接正四棱柱的高是14 ，求這個正四棱柱的表面積解：設(shè)球半徑為 R ，正四棱柱底面邊長為a ，則作軸截面如圖，AA 14， AC2a ，又 4R2324， R9， ACAC 2CC 282 ， a8 ， S表6423214576 17 正四面體的棱長為，球O是內(nèi)切球，球O是與正四面體的三個面和球O都相切的一個ABCDa1小球，求球 O1 的體積分析：正四面體的內(nèi)切球與各面的切點(diǎn)是面的中心，球心到各面的距離相等解：如圖，設(shè)球O半徑為，球1 的半徑為r，E為中點(diǎn)，球O與平面、切于點(diǎn)、 ，球ROCDACD BCDF GO1 與平面 ACD