1、微積分初步一、填空題20分)L函數(shù)f(x)(每小題4分，本題共L函數(shù)f,Y、1的定義域T(x)ln(x2)是(2,3)(3,)-2727ln31的定義域是-5_x2.函數(shù)y(-°q5)1'limxsinxx3.已知f(x)=2x，則f(x)=2x(ln2)2-4若f(x)dxf(2x3)dxF(x)c，則1_F(2x3)c-25.微分方程4xy(y)sinx是3.L函數(shù)f(x)點是X2x2x3的間斷x11.f(3)7.已知f(x)lnx，則1f(x)/ex書的階數(shù)(2,1)2肺些=2-x0x4-de=dx=edx-5.微分方程y為y=ex.的定義域是ln(x-2)(1,)y,

2、y(0)1的特解x22x,則3.曲線f(x)%反1在(0,1)點的斜率是.24.右f(x)dxcos2x(x)=-4cos2x.(y)3f5.微分方程xy數(shù)是2.L函數(shù)f(x1)2x22xc，則0的階L函數(shù)f(x1)f(x)x2-1.3.曲線y=vx在點(1,1)處的切線方程是v1x1.yx22f(x)x-1.4. 2.函數(shù)xsin2f(x)x2,x=0處連續(xù)，141(3x35x5.微分方程xy的階數(shù)是3函數(shù)f(x"的定義域是函數(shù)f(x則f(x)5. 函數(shù)k,x0在則k=2.42)dx3(y)2.1ln(x2)(2,1)siny04x2(1,24若f(x)dxsin2xc，則f(x)

3、1)x2x262xf(x)二4sin2x.5.微分方程3(5)(y)4xy為5L函數(shù)“、f(x)y7cosx的階數(shù)12.：4x的定義域是f(0)6.函數(shù)f(x)7.函數(shù)(2,2)-4若sinxdxcosxC.6.函數(shù)f(xf(x)7.若函數(shù).、f(x)2)x24xx2-2.xsin-1,xk,在x=0處連續(xù)，則k8.曲線y線斜率是2，則0,&在點(1,1)處的切1.29.1(sinxcos2x1.x2)dx310.微分方程/3.(y)4xy5.6.函數(shù)f(xf(x)y6sinx的階數(shù)為1)x2+1x22x9.(sinx)dxsinx+c若f(x)xex,則f(0)-2函數(shù)y3(x1)2

4、的單調(diào)增加區(qū)間是1,)函數(shù)f(x)ax21(0,)內(nèi)單調(diào)增加，則足a0微分方程y3y0的通解為yce3x微分方程(y)34xy(4)y7sinx1 的階數(shù)為4階二、單項選擇題(每小題4分,本題共20分)在區(qū)間a應(yīng)滿.若f(x)的個原函數(shù)為則f(x)xlnx22xc.若f(x)的一個原函數(shù)為-x,則f(x)4exf(x)dxxexc，則1xex3.f(x)4.5.6.7.f(x)dxsin2x若f(x)=2cos2xf(x)dxxlnx(x)1xf(x)dxcos2xf(x)4cos2xdedx=e"dxc,(sinx)dxsinxc8.exx09.若f(x)dxF(x)c，則x22x

5、,則f(2x3)dxIf2x23c10.若f(x)dxF(x)c，則c2x3的間斷點xf(1x2)dx1F12x2c22f(x1)21.23x0,則12、，(smxcos2xx)dxx212xyx19.若|im笠坐=2,則kx0sinkx10若limsin3xx0kx=2,則k2.上(x54x"2cosx)dx3.已知曲線yL設(shè)函數(shù)yxxee,則該函2).數(shù)是(BA.奇函數(shù)非奇非偶函數(shù)既奇又偶函數(shù)xei2).B.偶函數(shù)L設(shè)函數(shù)yB.偶函數(shù)xe，則該函數(shù)是(AA.奇函數(shù)C. 非奇非偶函數(shù)D. 既奇又偶函數(shù)3.下列結(jié)論中(C)正確.A-f(x)在xx0處連續(xù)，則一定在x0處可微.B.函數(shù)

6、的極值點一定發(fā)生在其駐點上.Cf(x)在xx0處不連續(xù),則一定在x°處不可導(dǎo).D.函數(shù)的極值點一定發(fā)生在不可導(dǎo)點上.4.如果等式則f(x)A.1xC.1x1f(x)e%x(DB.D.12x12x3.下列函數(shù)在指定區(qū)間(，上單調(diào)減少的是(D).X-eD.3xa.sinxCV2CxL設(shè)函數(shù)y=xsinx,則該函數(shù)Jx1在(1,2)1f(1)-2x1.曲線f(x)點的斜率是kk2.曲線f(x)e在(0,1)點的切線方程是yx1_1曲線y=x2在點(1,1)處的切線方程是_1,小y1*x1)f(x)在任意點x處切線的斜率為jx，且曲線過(4,5)，則該曲線的方程3是21Ey-x23341/.

7、1右J5x33x2)dx-4-是(B).A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.非奇非偶函數(shù)D.既奇又偶函數(shù)3.下列函數(shù)在指定區(qū)間(,)上單調(diào)減少的是(B).2cxxD.2c，則c3.4.5.5.由定積分的幾何意義知,aa2-x2dxJra2-4即：x2y30(2"2、1ln22x27ln22x若y=x(x1)(x2)(x3),則y(0)=已知f(x)x33x，則-66.7.8._d_dx0：ln(x21)dx0e2xdx=12微分方程yy,y(0)的特解為yexA.cosxB.5-xC.設(shè)lnx貝f(x)dxxf(x)=(C).B.蛭4.A.C.lnlnx1-lnx2xD.xln25.下列微分方程

8、中，線性微分方程.A.ysinxyeylnxyyxy2exyxyey2yxlny=yf(x)=0的點一定是的(C)。最值點間斷點+1的通解D.3.滿足方程函數(shù)f(x)1A.極值點B.C.駐點D.5.微分方程y是A.=y(B)Cx1y二e-C.門dxD.5,下列微分方程中為一階線性微分方程的是(B)A.y'=ex*B.y'+siny=xC.yy2.設(shè)函數(shù)=sinxdx.x11.當(dāng)k=(D)“、ex+2,f(x)=<k,時，函數(shù)x#0在x=0一定在x0處可微.B. f(x)匡x=x0處不連續(xù),x0處不可導(dǎo).則一定在'可導(dǎo)函數(shù)的極值點一定發(fā)生處連續(xù).y=Cex_1；D.

9、y=lx2C2-.的f(x)=-5nln(x_2)定義域是(D).A.(2,+QBC. (2,3)U(3,D. (2,3)U(3,3.下列函數(shù)在指定區(qū)間(°°)上單調(diào)減少的是(A.sinxL函數(shù)，/、f(x)C.y=x4C，L函數(shù)B.數(shù)是(y=x2sinx,則該函A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.非奇非偶函數(shù)A.0B.12函數(shù)f(x)點是(A)A.x=1,x=2c.2x3D.3的間斷.(2,5)5-CO.5D.既奇又偶函數(shù)3.函數(shù)fgx2：4的圖形D.若f(x)在【a,b內(nèi)恒有f7x)0，則在a,b內(nèi)函數(shù)是單調(diào)下降的.10.若函數(shù)f(x)在點xo處可導(dǎo),+B).2B.3C.xD.x的

10、定義域=ln(x2).+8)B.(-1,+00)_是(CA.(-2,C.(-2,-1)U(-1,+8是關(guān)于(D)對稱.a.y=xc.y軸D.(-1,0)U(0,+oo)5.下列微分方程中為可分離變量方程的是(CA.下列函數(shù)中為奇函數(shù)是(C)a.xsinxC.ln(x十寸1+x2)函數(shù)y=1b.lnx2D.xx+ln(x+5)的定x4C.2、A.八書；dx半也y'dx)B.D.四=x(yx)dxdydx若函數(shù)f(x)(A).2x貝Ulimf(x)x0'.義域為(D).xA5B.x#4xA-5且x,0x一5且x#4W!義域C.d.6.函數(shù)“、f(x)ln(x-1)、B.0C.12D

11、.不存在(1,TB.(0,1)一.(1,.二)4.下列無窮積分收斂的是(B)A.C.sinxdx一1dx1x5.微分方程y=yH的通解是(D)B.y=x2cC.idx1xD.(0,2)_.(2,(1,2)一.(2,二)2=x7.設(shè)f(x+1)(C)_1,則f(x)=A.y=1x2c2C.y=exc1.函數(shù)yxUA.x(x1)C.x(x2)-2B.xD.(x+2)(x1)x=1,x=2,x=3D.無間斷點函數(shù)y=(x+1)2在區(qū)間(-2,2)是(A.單調(diào)增加C.先增后減C.1.D)B,單調(diào)減少D,先減后增滿足方程f'(x)=0的點一定是函數(shù)y(C).A.極值點C.駐點若f(x)=f(x)

12、的B.最值點A.函數(shù)B-Ijmif(x)在點x0處有定義f(x)=aHA=f(x。)D.間斷點-xcosx,則f'(0)=(C).A.2B.1C.-1D.-24.設(shè)y=lg2x,則dy=(B).A.1dxB2xxln10C.ln10D-】dxdxxxdx函數(shù)f(x)在點x0處連續(xù)函數(shù)f(x)在點x0處可微11.下列函數(shù)在指定區(qū)間(皿電上單調(diào)增加的是(B).D.y=cex-1的定義域x-3x2(D).A.x=2B.c.x#2且x=0D.x。2且x孝12.若函藪8.下列各函數(shù)對中，(D)中的設(shè)y=f(x)是可微函數(shù)，Idf(cos2x)=(D)a.2f'(cos2x)dxB. f(

13、cos2x)sin2xd2xC. 2f(cos2x)sin2xdx-f(cos2x)sin2xd2x曲線y=e切線的斜率是A.sinx2C.x212.下列結(jié)論正確的有(A).A. x0是f(x)的極值點，且f(x0)存在，則必有f(x°)=0x0是f(x)的極值點，則x0必是f(x)的駐點若f，x°)=0，則x0必是f(x)的極值點使f'(x)不存在的點定是f(x)的極值點D.3-xxo,一1.下列等式成立的是(A).f(x)dx=f(x)dxB.C.x=1兩個函數(shù)相等.f(x)=(&)2,g(x)=xg(x)=xg(x)=2lnxg(x)=3lnxC.f(

14、x)=Jx2，2f(x)=lnx，f(x)=lnx3,-4a.e-2b.ec.2e4D.27.若f(x)=xcosx,則f(x)=(C).十1在x=2處c).A.cosxxsinxD.2.若(C)f(x)dx=f(x)d!f(x)dx=f(x)df(x)=f(x)/f(x)dx=x2e2x+c,則f(x)=(AA.2xe2x(1x)2xc.2xeB.2x2e2x2xd.xe1.f(x)二xsinxlimf(x)二xJ.9.當(dāng)xT0時,下列變量中為1C.12y=x2+4x+7在區(qū)間(-5,5)是(C)A.單調(diào)增加B.單調(diào)減少C.先減后增D,先增后減4.下列無窮積分收斂的是(A二1.13-dx1x

15、3.函數(shù)A.D.不存在無窮小量的是(A.1B.xC.ln(1，x)10.當(dāng)k=x21,f(x)=<C)sinxxD._x_2x(B)時，函數(shù)x古，在x=0處連x=0B.cosxxsinxc-2sinx-xcosxd.2sinxxcosx8.若f(x)=sinx+a3，其中是常數(shù)，則f”(x)=(C).A.cosx3a2B.sinx6aC.-sinxD.cosx9.下列結(jié)論中(B)不正確.A.f(x)在x=x0處連續(xù)，則D.3.若f(x)=x.f(x)dx=A.x-xrx2xc3232x_x212.2x:23C.+Jx(xA0)，則(A).B._3x?c4.以下計算正確的是(A)3、dxl

16、n331131_x(sinx)_x2cosx2tanxC.dxdx.=dxxcos-d(-)xx.1sincx5.A.B.C.D.6.A.C.d(1x2)lnxdxxf(x)dxxf(x)d(1)x(A)f(x)cxf(x)c12-xf(x)c2(x1)f(x)c2xa2xB.2xdxdx=(C).2x2aD.lnadx2x.dxc6.下列無窮積分收斂的是二xkedx(B).exdxC.11dxxD.1T7dx7,下列無窮積分收斂的是C.8.sinxdxe2xdx1dxxdx1x7.如果等式1xdxf(x)e1e"f(x)A.1xB.)12x1C.-xD.13.&x2tanx

17、)dx3.計算不定積分(1_2x)9dx14.計算定積分dy解:exlnxdx1e解：xlnxdx=下列微分方程中,性微分方程.2yxA.B.C.D.(D)是線lny2xyxyyysinx9.微分方程y(CC.10.yCxyCyxeeyyexylnx0的通解為下列微分方程中為可分離變)(A).A.y=x2+3B.y=x2+4dxC.箜xydxsinxD.dxdy/x(ydxx)2C.yx2D.ysinxytanx2D.yx12若0(2x+k)dx=2，則k=(A).三、計算題(本題共44分，題11分)2.設(shè)ye-xx/x，求dy1每小.A.1B.-1C.0D.1解：y2e"x3x2a

18、.dyx22x的積分曲線1,4)的曲線為1.在切線斜率為族中，通過點2量方程的是(B;B.dy3,下列定積分中積分值為的是dy2x(2e-A.3,計算不定積分B.C.D.xxe-edx2.xx1ee,dx12二，3、，(xcosx)dx:2.、，_(xsinx)dx解：sinx=dx.xjl-f2sin.xd/x4.計算定積分4.設(shè)積分f(x)是連續(xù)的奇函數(shù),)則定1.解：02xedx1022xexA.C.af(x)dx=-a02-af(x)dxa0f(x)dx象sinxdx=2，(x)dxL計算極限解:2xlimx3limx2.設(shè)解：3:x2)dx2sinx_,dxx2cosx1,02xe1

19、0e成2.xlimx3>dx2e2e2x2x2x15x29(x5)(x3)43lncosx，求dy.3(x3)(x3)xx112_x2e1xdx1212e3x13xlim?x1x2捉22e222xlnX；1)_9(1_2x)dx=1(12x)203x2.x6(1-2x)9d(12x)L計算極限2.x四rX-2x3x22解.!xlim2x2xx6，-(x1)(x2)limx2(x2)(x3)x1limx2x3101.2.設(shè)解:2.設(shè)解:dy計算極限2xlim_x13x22.sinx(2xln2sin5x5cos5x5cos5x3,計算不定積分解：(1x)2x2(1x)2d(14.計算定積分

20、x3x尋1r2l"1)(x2)1(x1)(x1)lncosx,x2limx1x1122x，求dy.1_2xln22,xsinx)dx2.xcos3x,求y.3cos2x(sinx)2x3sinxcos(1x)2:dxxdxx)2一33(1x)3：x_._-sinxdx02:x解：sinxdx3.3-x23；-x22計算不定積分(sinx)cosxtanxxedx5ex51.exdxex計算極限2.xlim2x1xx2(x2)(x4)limx2(xd(5ex)dx25e5ex.x26x8limx1x2x26x82)(x1)limx:(x4)i2(x1)2.設(shè)y解cos5x.3lnx,求

21、y3nx5sirtxx.冗025.計算定積分1xcosx2"花osxdxsinx02022兀其02兀2-11.計算極限limx2x15解2xcosxdx02sinxdx0x292xcosxdx032,y(co5)(ln方sirtx5>)3ln><ln>)xsinx亍.2解rx2x15lim5x_3,x9(x3)(x5)limx3(x3)(x3)x5limx3x3L計算極限2.xlimx2cos23x2x24解:2.設(shè)y解:dy12.3x2(3、x2設(shè)yln解：1y-xxJxcos3x，求dy3x_i2cos3x,3sin3x，3sin3x)dx11cos-()

22、xx1dy=ydx(x13.計算不定積分1初cos-解：xHdxx11cos-x11、，2xlimx-2x24lim(x1)(x2)x2(x2)(x2)3x22xx1limx2x22.計算極限5x6lim、，2x15x62xcos)dxxx1cosdxx2解：lim2x_1x1(x1)(x6)lim玉61(x1)(x1)x1xx29limx3x22x3x29limx3x22x3lim(x3)(x3)x3(x1)(x4.計算極限limx3.解:Jx3lim3)x3x1x26x8lim2x4x5x42xlimx4x5x46x8(x_2)(x_4)x_22-Jim、八'-limx4(x)(x

23、_4)x4x_12x2x6x85.計算極限6x85x62解：limx2x5x6lim(x2)(x4)x2(x2)(x3)2xdx2ydy(ydxxdy)02ydyxdyydx2xdx.y2xdydx2yx111sind()cosxxx代入4.解:xsin2xdxxsin2xdxy(i)1,1412一(一x-xx42代入得c=1。c)，即：特x4limx2x36.設(shè)yy(x)是由方程1確定的隱函數(shù),6.計算極限lim1x1X022xy2xy求dy.解：兩邊對121-xcos2x2xdcos2x1-(xcos2xcos2xdx)1y-x7.求微分方程解為1x42xy1求1-sin2x4的通解。12

24、x2yxi)2xsin2x解：lim1x1x0x(1x'1)(1一x1)忡0導(dǎo),得:5.xe'dxx(、1x1)limx0x(11)7.計算極限lim1；11x1腿limx0sin4xlim(TT1)(、C1)0sin4x(.1x1)x11lim_lim.x0sin4x(1x1)4x0sin4x<:-。8.計算極限limsin4xx0x42解：|imsin4xx0x42sin4x(.x42)(x42)(.x42)lisin4x(.x42)sim4x,7lim。14lim(Jx411設(shè)y=xex,求y.2)解:1y2xex12不xex12xex(2x11)ex2x(xydy

25、7.設(shè)xe2.設(shè)ysin4x3cosx解:y4cos4x3.設(shè)y162yy2(y解：y4.設(shè)y1e2x1xxln3cos2xsinx1,求x廠1(osx，求y.解：y3Jx2sinxcosx3Jxtanx2yyy)y1xy(xxy)00,y)，解:xedxdxydxy=y(x)是由方程xeyx24確定的隱函數(shù)，求dy.解：兩邊微分，得：exdxeydxxeydy2xdxxeydy(exey2x)dxexey2x.dxxey8.設(shè)cos(x解：兩邊對y)eycos(xy)ey得：(1y)sin(xy)sin(xy)eyysin(x解:ln20(12.解:1求導(dǎo),yeyy)yeydy解:y)yy)

26、5.設(shè)y22xy求dy.解：兩邊微分:y(x)是由方程xy4確定的隱函數(shù),sin(xsin(xeysin(xy),sin(xydxesin(xy)y)dxsin(xy)33.xxsinx,dxx3x3xsinx,dx-dxx23lnx-x32.sinxdx32cosx(2x-1)10dx解:(2x-1)10dx11)210112111(2x1)1122(2x1)10d(2x1(2x1)'c3.解:.1sin一Tdxx1sin一-dxxxdex(xexln2xAe(10'ln2x,0e(1+e)dxln2xdx)xeex)2dx解：通解為-p(x)dx1,q(x)=2xsin2x

27、,x'p(x)q(x)ep(x)dxdxc代入得通解為yx(cos2xc)e1(13.解:ex)2d(1ex)(1ex)33e15lnx,dx1xe13lnx,1dx1x15lnx)dlnx-512(15lnx)22xexdx01xexdx09；191xdex04.e1(1e5lnx)d(15lnx)1)四、應(yīng)用題(本題16分)1、用鋼板焊接一個容積為4m3的底為正方形的無蓋水箱，已知鋼板每平方米10元，焊接費40元，問水箱的尺寸如何選擇，可使總費最低？最低總費是多少？解：設(shè)邊長x,高h(yuǎn),表面積S,且h_4h2xS(x)x24xh16_x11_xxeedxe00-xsindx02解：7

28、：x.xsindx02xx2xsind(-)022(e1)16令S(x)2xvx0,得xx2,h.最低總費40160(元)S(x)所以，當(dāng)面積最小S(2)102,1時水箱的5.oxdcx2(xcos-2xcosdx)2x.cosdx23、欲做一個底為正方形，容積為108立方米的長方體開口容器，怎樣做法用料最??？解：設(shè)長方體底邊的邊長為x,高為h,用材料為y,由已知x2h108,hcos-d024sin-224xhx,1084x-x108Tx2432xx2xsinxdx0兀2xsinxdx02xdcosx0(xcosxsinx|216,求微分方程2cosxdx0x所以即當(dāng)432Tx6是唯一駐點,x2x6是函數(shù)的極小值點，6,h您3時用料36足初始條件y(1)解：通解為ye-p(x)dxq(x)ep(x)-，q(x)xP(x)dxdxc最省.5.欲做一個底為正方形，容積為32立方米的長方體開口容器，樣做法用料最??？解：設(shè)底