1、1第五章 參數(shù)估計(jì)n第一節(jié) 點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)n第二節(jié) 抽樣分布n第三節(jié) 總體參數(shù)估計(jì)n第四節(jié) 抽樣設(shè)計(jì)2統(tǒng)計(jì)推斷：利用樣本統(tǒng)計(jì)量對(duì)總體某些性質(zhì)或數(shù)量特征進(jìn)行推斷。n兩類(lèi)問(wèn)題：參數(shù)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)n基本特點(diǎn)：（1）以隨機(jī)樣本為基礎(chǔ)；（2）以分布理論為依據(jù)；（3）推斷的只是一種可能的結(jié)果；（4）是歸納推理和演繹推理的結(jié)合。3參數(shù)估計(jì)在統(tǒng)計(jì)方法中的地位假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)方法統(tǒng)計(jì)方法描述統(tǒng)計(jì)描述統(tǒng)計(jì)推斷統(tǒng)計(jì)推斷統(tǒng)計(jì)參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì)4第一節(jié) 點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)n本節(jié)主要內(nèi)容：總體參數(shù)估計(jì)概述總體參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)參數(shù)區(qū)間估計(jì)樣本容量的確定5一、總體參數(shù)估計(jì)概述n設(shè)待估計(jì)的總體參數(shù)是，用以估計(jì)該參數(shù)的統(tǒng)計(jì)量是 ，

2、抽樣估計(jì)的極限誤差是，即：6n極限誤差是根據(jù)研究對(duì)象的變異程度和分析任務(wù)的性質(zhì)來(lái)確定的在一定概率下的允許誤差范圍。n參數(shù)估計(jì)的兩個(gè)要求：精度：估計(jì)誤差的最大范圍，通過(guò)極限誤差來(lái)反映。顯然，越小，估計(jì)的精度要求越高，越大，估計(jì)的精度要求越低。極限誤差的確定要以實(shí)際需要為基本標(biāo)準(zhǔn)?？煽啃裕汗烙?jì)正確性的一個(gè)概率保證，通常稱(chēng)為估計(jì)的置信度。7二、總體參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)n點(diǎn)估計(jì)的含義：直接以樣本統(tǒng)計(jì)量作為相應(yīng)總體參數(shù)的估計(jì)量。1222nXXsPpX8優(yōu)良估計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)n優(yōu)良估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)：無(wú)偏性：要求樣本統(tǒng)計(jì)量的平均數(shù)等于被估計(jì)的總體參數(shù)本身。一致性：當(dāng)樣本容量充分大時(shí)，樣本統(tǒng)計(jì)量充分靠近總體參數(shù)本身。有效性：的樣本統(tǒng)

3、計(jì)量。是估計(jì)是總體參數(shù)，若即滿(mǎn)足無(wú)偏性。,)(E1)(limPn()為任意小的正數(shù)更有效。則稱(chēng)的無(wú)偏估計(jì)量，而都是和若12221,219X經(jīng)經(jīng)數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)證證明明， 是是 的的無(wú)無(wú)偏偏、一一致致且且有有效效的的估估計(jì)計(jì)量量。總體方差的無(wú)偏估計(jì)量為樣本方差22()1xxSn點(diǎn)估計(jì)完全正確的概率通常為點(diǎn)估計(jì)完全正確的概率通常為0。因此，我。因此，我們更多的是考慮用樣本統(tǒng)計(jì)量去估計(jì)總體參們更多的是考慮用樣本統(tǒng)計(jì)量去估計(jì)總體參數(shù)的范圍數(shù)的范圍 區(qū)間估計(jì)。區(qū)間估計(jì)。 10三、參數(shù)區(qū)間估計(jì)n（一）區(qū)間估計(jì)的含義估計(jì)總體參數(shù)的區(qū)間范圍，并給出區(qū)間估計(jì)成立的概率值。n其中： 1-(01)稱(chēng)為置信度；是區(qū)間估計(jì)的顯

4、著性水平，其取值大小由實(shí)際問(wèn)題確定，經(jīng)常取1%、5%和10%。12()1p11區(qū)間估計(jì)的基本要求1.置信度。隨機(jī)區(qū)間 包含 的概率（即可靠程度）1-越大越好。),(UL2.精確度。隨機(jī)區(qū)間 的平均長(zhǎng)度E 越短越好。),(UL),(UL12（二）平均數(shù)的區(qū)間估計(jì) n對(duì)總體平均數(shù)或成數(shù)的區(qū)間估計(jì)時(shí)，使用下面的式子(式中是極限誤差)n有兩種模式：1、根據(jù)置信度1-，求出極限誤差，并指出總體平均數(shù)的估計(jì)區(qū)間。2、給定極限誤差，求置信度。()1pX 131 正態(tài)總體方差已知n則總體均值的置信區(qū)間上、下限值為：nzX2例：某公司成批生產(chǎn)金屬棒，其長(zhǎng)度服從正態(tài)分布，標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差為0.06cm，隨機(jī)抽取25根進(jìn)行

5、測(cè)量，平均長(zhǎng)度為7.48cm，試求這批金屬棒平均長(zhǎng)度的置信度為95%的置信區(qū)間。14解：因?yàn)榭傮w服從正態(tài)分布，且方差已知，置信度1-=0.95，=0.05，查表查表 所以的95%的置信區(qū)間下限值為： 456. 72506. 0*96. 148. 7025. 0nzx504. 72506. 0*96. 148. 7025. 0nzx96. 1025. 0Z上限值為：即有95%的把握這批金屬棒的平均長(zhǎng)度在7.45670504之間152 正態(tài)總體方差未知,12nSXtnn則總體均值的置信區(qū)間上、下限值為：例：某時(shí)裝專(zhuān)賣(mài)店想估計(jì)顧客的平均年齡，隨機(jī)抽取16名顧客進(jìn)行調(diào)查，得知平均年齡為32歲，標(biāo)準(zhǔn)差為

6、8歲，假定顧客年齡近似服從正態(tài)分布，試求顧客平均年齡置信度為95%的置信區(qū)間。16解：因?yàn)榭傮w近似服從正態(tài)分布，且方差未知，總體均值置信度95%的置信區(qū)間下限值為：263.36168*1315. 232025. 0nstx上限值為：737.27168*1315. 232025. 0nstx即該店顧客平均年齡的置信度95%的置信區(qū)間為（27.737，36.263）173 非正態(tài)總體n不能假定總體服從正態(tài)分布或近似服從正態(tài)分布。根據(jù)中心極限定理，只要樣本容量足夠大，樣本均值的抽樣分布就近似服從正態(tài)分布。若方差已知，則總體均值的置信區(qū)間上、下限值為：nzX212NnNnzXn若方差未知，用樣本S 代

7、替總體方差18n例：某公司負(fù)責(zé)人想估計(jì)6000包材料的平均重量。隨機(jī)抽取350包組成樣本，測(cè)得樣本的均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為32公斤和7公斤。試求總體均值的置信度95%的置信區(qū)間。71.3271. 0321025. 0Nnnszx解：因?yàn)椴恢揽傮w是否服從正態(tài)分布，方差未知，且由于抽樣比n/N=350/6000大于5%，校正系數(shù)不能忽略，故總體均值置信度95%的置信區(qū)間下、下限值為：29.3171. 03260003501*3507*96. 1321025. 0Nnnszx19參數(shù)的區(qū)間估計(jì)參數(shù)的區(qū)間估計(jì)待估計(jì)參數(shù)待估計(jì)參數(shù)已知條件已知條件置信區(qū)間置信區(qū)間正態(tài)總體，正態(tài)總體，2已知已知正態(tài)總體，正態(tài)

8、總體，2未知未知非正態(tài)總體，非正態(tài)總體，n30有限總體，有限總體，n30（不放回抽樣）（不放回抽樣）總體均值總體均值 （）nZX/2nZX/2nStXn/)1(212NnNnZX未知時(shí)，用未知時(shí)，用S未知時(shí)，用未知時(shí)，用S222121221)(nnZXX)(21XX 21)2(21121nnStpnn222121221)(nnZXX兩個(gè)正態(tài)總體兩個(gè)正態(tài)總體2221,已知已知兩個(gè)正態(tài)總體兩個(gè)正態(tài)總體2221,未知但相等未知但相等兩個(gè)非正態(tài)總體兩個(gè)非正態(tài)總體,n1，n230兩個(gè)總體兩個(gè)總體均值之差均值之差1-220成數(shù)的區(qū)間估計(jì)n由于總體的分布是（0，1）分布，只有在大樣本的情況下，才服從正態(tài)分布

9、。總體成數(shù)可以看成是一種特殊的平均數(shù)，類(lèi)似于總體平均數(shù)的區(qū)間估計(jì)，總體成數(shù)的區(qū)間估計(jì)的上下限是：n注在實(shí)踐中，由于總體成數(shù)常常未知，這時(shí)，抽樣平均誤差公式中的總體成數(shù)用樣本成數(shù)代替。 n大樣本的條件：np5且n(1-p) 5，由于總體成數(shù)p通常未知，可以用樣本成數(shù)來(lái)近似判斷。2PPz1Pppn11PppNnnN21設(shè)該廠(chǎng)的產(chǎn)品質(zhì)量檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定，元件耐用時(shí)數(shù)達(dá)到1000小時(shí)以上為合格品。要求估計(jì)該批電子元件的合格率，置信水平95%。例：對(duì)某型號(hào)的電子元件進(jìn)行耐用性能檢查，抽查資料分組如下表。22解：9191%100P(1)(,)(1)2.86%PppnPPn總體成數(shù)未知 用樣本成數(shù)代替96. 1

10、%,95)(zzF1.96 2.86% 5.61%Pz 91% 5.6% 85.4%P91% 5.6% 96.6%P。間，可靠性為合格率在%95%6 .96%4 .8523總體成數(shù)估計(jì)區(qū)間估計(jì)總結(jié)n總體成數(shù)估計(jì)區(qū)間的上下限只考慮大樣本情況（請(qǐng)記住大樣本條件）PPPzn21PPNnPznN21124對(duì)總量指標(biāo)的區(qū)間估計(jì)n在對(duì)總體平均數(shù)進(jìn)行區(qū)間估計(jì)的基礎(chǔ)上，可進(jìn)一步推斷相應(yīng)的總量指標(biāo)，即用總體單位總數(shù)N分別乘以總體平均數(shù)的區(qū)間下限和區(qū)間上限，便得到相應(yīng)總量（N）的區(qū)間范圍。()()xxxxXXNXNNX 25例：某廠(chǎng)對(duì)一批產(chǎn)品的質(zhì)量進(jìn)行抽樣檢驗(yàn)，采用重復(fù)抽樣抽取樣品200只，樣本優(yōu)質(zhì)率為85%，試

11、計(jì)算當(dāng)把握程度為90%時(shí)優(yōu)質(zhì)品率的區(qū)間范圍。26.%,.%,即2000 80 852000 89 151617 1783 若這批產(chǎn)品共有2000只，則可進(jìn)一步推算出這批產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品總數(shù)Np的置信區(qū)間為27例：某商場(chǎng)從一批食品（共800袋）中隨機(jī)抽取40袋（假設(shè)用重復(fù)抽樣），測(cè)得每袋平均重量為791.1克，標(biāo)準(zhǔn)差為17.136克，要求以95%的把握程度，估計(jì)這批食品的平均每袋重量以及這批食品總重量的區(qū)間范圍。28三、樣本容量確定三、樣本容量確定n什么是樣本容量確定問(wèn)題？n當(dāng)抽樣平均誤差保持不變時(shí)，極限誤差當(dāng)抽樣平均誤差保持不變時(shí)，極限誤差（體現(xiàn)（體現(xiàn)估計(jì)精度）與概率度估計(jì)精度）與概率度z（體現(xiàn)可

12、靠性）兩者同向（體現(xiàn)可靠性）兩者同向變化。因此，抽樣估計(jì)的精度與可靠性之間存在變化。因此，抽樣估計(jì)的精度與可靠性之間存在矛盾。為了調(diào)和這一矛盾的，可以適當(dāng)降低抽樣矛盾。為了調(diào)和這一矛盾的，可以適當(dāng)降低抽樣平均誤差。而要降低，則必須增加樣本容量平均誤差。而要降低，則必須增加樣本容量n。樣本容量樣本容量n究竟取多大合適？究竟取多大合適？ ( )1XXzzF z ()1XXXp29確定樣本容量確定樣本容量n在設(shè)計(jì)抽樣時(shí)，先確定允許的誤差范圍和必要的概率保證程度，然后根據(jù)歷史資料或試點(diǎn)資料確定總體的標(biāo)準(zhǔn)差，最后來(lái)確定樣本容量。30估計(jì)總體均值時(shí)樣本容量的確定重復(fù)抽樣 不重復(fù)抽樣 估計(jì)成數(shù)時(shí)樣本容量的確

13、定重復(fù)抽樣 不重復(fù)抽樣 xzn2xzn2222xNznNz2222222xnzNn 21pzppn2221pNzppnNzpp222221131確定樣本容量應(yīng)注意的問(wèn)題n1.計(jì)算樣本容量時(shí)，一般總體的方差與成數(shù)都是未知的，可用有關(guān)資料替代：一是用歷史資料已有的方差與成數(shù)代替；二是在進(jìn)行正式抽樣調(diào)查前進(jìn)行幾次試驗(yàn)性調(diào)查，用試驗(yàn)中方差的最大值代替總體方差；三是成數(shù)方差在完全缺乏資料的情況下，就用成數(shù)方差的最大值0.25代替。32確定樣本容量應(yīng)注意的問(wèn)題n2.如果進(jìn)行一次抽樣調(diào)查，同時(shí)估計(jì)總體均值與成數(shù)，用上面的公式同時(shí)計(jì)算出兩個(gè)樣本容量，可取一個(gè)最大的結(jié)果，同時(shí)滿(mǎn)足兩方面的需要。n3.上面的公式計(jì)

14、算結(jié)果如果帶小數(shù)，這時(shí)樣本容量不按四舍五入法則取整數(shù)，取比這個(gè)數(shù)大的最小整數(shù)代替。例如計(jì)算得到：n=56.03，那么，樣本容量取57，而不是56。 33例：對(duì)某批木材進(jìn)行檢驗(yàn)，根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，木材長(zhǎng)度的標(biāo)準(zhǔn)差為0.4米，而合格率為90%?，F(xiàn)采用重復(fù)抽樣方式，要求在95.45%的概率保證程度下，木材平均長(zhǎng)度的極限誤差不超過(guò)0.08米，抽樣合格率的極限誤差不超過(guò)5%，問(wèn)必要的樣本單位數(shù)應(yīng)該是多少？樣本平均數(shù)的單位數(shù).().xzn22222220 41000 08棵樣本成數(shù)的單位數(shù).()().pz ppn222220 9 0 111440 05棵.0 4%p90( ).%F z 95 45.x0 8%

15、p 534抽樣估計(jì)效果的衡量n抽樣估計(jì)效果好壞，關(guān)鍵是抽樣平均誤差的控制。抽樣平均誤差小，抽樣效果從整體上看就是好的；否則，抽樣效果就不理想。35n抽樣平均誤差受以下幾方面的因素影響：一是總體的變異性，即總體的標(biāo)準(zhǔn)差大小有關(guān)二是樣本容量三是抽樣方法。四是抽樣的組織形式n抽樣的組織形式有如下幾種：簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、類(lèi)型抽樣、等距抽樣、整群抽樣、階段抽樣 36n1.假定樣本容量增加50%。則重復(fù)抽樣平均誤差：（甲）為原來(lái)的一半；（乙）為原來(lái)的81.6%。在重復(fù)抽樣時(shí)，為使誤差減少50%，則樣本容量：（丙）應(yīng)增加三倍；（丁）應(yīng)增加四倍。 A.甲丙 B.甲丁 C.乙丙 D.乙丁n2.抽樣估計(jì)中的抽樣誤差（

16、 ） A.是不可避免的 B.可以通過(guò)改進(jìn)調(diào)查方法避免的 C.是可以運(yùn)用數(shù)學(xué)公式計(jì)算的 D.誤差大小是可以加以控制的 E. 包含了登記性誤差n3.抽樣平均誤差指標(biāo)說(shuō)明（ ） A.樣本平均數(shù)的代表性 B.抽樣指標(biāo)的代表性 C.估計(jì)值與實(shí)際值的平均誤差 D.樣本指標(biāo)相對(duì)于總體指標(biāo)離差的平均水平 E.抽樣誤差的大小37n4.從一個(gè)全及總體中可以抽取一系列樣本，所以（ ） A.樣本指標(biāo)的數(shù)值不是唯一確定的 B.樣本指標(biāo)是樣本變量的函數(shù) C.總體指標(biāo)是隨機(jī)變量 D.樣本指標(biāo)是隨機(jī)變量 E.樣本指標(biāo)數(shù)值隨著樣本的不同而不同n5.影響抽樣數(shù)目（樣本容量）的因素有（ ） A.允許誤差范圍 B.抽樣指標(biāo)的大小 C.抽樣方 D.總體標(biāo)志變異程度 E.概率保證程度38n