1、1太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院第第5章章 連續(xù)體的一維振動連續(xù)體的一維振動1、桿的縱向振動、桿的縱向振動（1）均質(zhì)等直桿的縱向自由振動方程）均質(zhì)等直桿的縱向自由振動方程22222uuatx桿主振動的一般形式為：桿主振動的一般形式為： ,sinu x tUx bt相應(yīng)于相應(yīng)于 的剛體運動的剛體運動, u x tc atb02太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院第第5章章 連續(xù)體的一維振動連續(xù)體的一維振動簡單邊界條件簡單邊界條件(端點自由或固定端點自由或固定)(a) 兩端固定兩端固定(b) 一端固定一端自由一端固定一端自由(c) 兩端自由兩端自由 00 0UU l

2、00 0UUl 00 0UU l12,sincossin u x tBxBx btaa3太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院第第5章章 連續(xù)體的一維振動連續(xù)體的一維振動(a) 兩端固定兩端固定210 sin0BBlasin0la頻率方程頻率方程固有頻率固有頻率 1,2,ii ail主振型主振型 sin 1,2,iiiU xBxil 12sincosUxBxBxaa 00 0UU l（2）主振型或振型函數(shù)）主振型或振型函數(shù)U(x) 和和固有頻率固有頻率 4太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院第第5章章 連續(xù)體的一維振動連續(xù)體的一維振動(b) 一端固定一端自由一端固定一端自

3、由210 co s0BBlaacos0la頻率方程頻率方程 12sincosU xBxBxaa 00 0UUl21 1,2,2iiail固有頻率固有頻率 21sin 1,2,2iiiU xBxil主振型主振型5太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院第第5章章 連續(xù)體的一維振動連續(xù)體的一維振動(c) 兩端自由兩端自由120 sin0BBlaa 0,1,2,ii ail固有頻率固有頻率 cos 0,1,2,iiiU xBxil主振型主振型sin0laa頻率方程頻率方程 12sincosU xBxBxaa 00 0UUl6太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院第第5章章 連續(xù)體的

4、一維振動連續(xù)體的一維振動式式 a 即桿的即桿的主振型關(guān)于質(zhì)量的正交性主振型關(guān)于質(zhì)量的正交性.式式 b 和和 c 即即桿的主振型關(guān)于剛度的正交性桿的主振型關(guān)于剛度的正交性.0d0 (a)lijAU Uxij0d0 (b)lijEAU Uxij0d0 (c)ljiUEAUxij200ddllijjijEAU UxAU Ux 由由得得200 dd lljiiijUEAUxAU Ux 由得7太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院第第5章章 連續(xù)體的一維振動連續(xù)體的一維振動當(dāng)當(dāng) i = j 時時Mi、Ki第第 i 階主質(zhì)量、主剛度階主質(zhì)量、主剛度主質(zhì)量歸一化主質(zhì)量歸一化此時的主振型稱為正則振型

5、此時的主振型稱為正則振型20dliiAUxM200 ddlliiiiEAUxUEAUxK 2iiiKM20d 1 1,2,liiAUxMi8太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院第第5章章 連續(xù)體的一維振動連續(xù)體的一維振動（3）端點帶有集中質(zhì)量或彈簧的桿）端點帶有集中質(zhì)量或彈簧的桿桿端帶有彈簧桿端帶有彈簧邊界條件邊界條件0lxk桿端帶有集中質(zhì)量桿端帶有集中質(zhì)量 200 UEAU lMU l0lxm邊界條件邊界條件 00 UEAUlkUl 9太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院第第5章章 連續(xù)體的一維振動連續(xù)體的一維振動2、梁的橫向振動梁的橫向振動（1）梁橫向自由振動方程）

6、梁橫向自由振動方程2222220yyEJAxxt設(shè)梁的主振動為設(shè)梁的主振動為 ,siny x tY x bt 1234cossinshY xCxCxC ch xCx10太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院第第5章章 連續(xù)體的一維振動連續(xù)體的一維振動簡單邊界條件簡單邊界條件(1) 固定端固定端(2) 簡支端簡支端(3) 自由端自由端 0 0 0Y xYxxl 或 0 0 0Y xEJYxxl 或 0 0 0EJYxEJYxxl或11太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院第第5章章 連續(xù)體的一維振動連續(xù)體的一維振動 確定兩端簡支等截面梁的固有頻率和主振型。確定兩端簡支等截面梁

7、的固有頻率和主振型。解：解： 00 00YY 0 0Y lYl邊界條件邊界條件 1234cossincoshsinh Y xCxCxCxCx將將代入代入上上式式,得得yxl（2）固有頻率和主振型）固有頻率和主振型12太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院第第5章章 連續(xù)體的一維振動連續(xù)體的一維振動固有頻率固有頻率2224 1,2,iiEJaiiAl主振型主振型 =sinsin 1,2,iiiiiYxCxCxil1313242400sinsinh0sinsinh0CCCCClClClCl1340sin0 1,2,iCCCliil頻率方程頻率方程13太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院太原科技大學(xué)應(yīng)

8、用科學(xué)學(xué)院第第5章章 連續(xù)體的一維振動連續(xù)體的一維振動求圖示梁的固有頻率和求圖示梁的固有頻率和 主振型。主振型。 00 00 ( )YYa 0 0 ( )YlYlby 1234cossincoshs inhY xCx Cx Cx Cx將將代入代入(a)式，得式，得解：解： 邊界條件邊界條件xlO14太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院第第5章章 連續(xù)體的一維振動連續(xù)體的一維振動12sinsinhcoscosh0ll Cll Ccoscosh sinsinh0sinsinh coscoshllllllllcoscosh1ll 12341.876 4.696 7.855 10.996l

9、lll12coscoshsinsinh0ll Cll C132400CCCC3142CCCC 1234cossincoshsinh Y xCxCxCxCx將將代入代入(b)式，得式，得15太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院第第5章章 連續(xù)體的一維振動連續(xù)體的一維振動在求出在求出i和和Yi(x)后后0,siniiiyx tYxbt143.515E JA l12coscoshsinsinh sinsinhcoscoshiiiiiiiiiillllCrCllll 令令 coscoshsinsinh 1,2iiiiiiiYxCllrlli13 3,42iilii時，224 1, 2iii

10、EJaliAl16太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院第第5章章 連續(xù)體的一維振動連續(xù)體的一維振動上兩式即梁的主振型關(guān)于剛度的正交性上兩式即梁的主振型關(guān)于剛度的正交性0 d0 lijEJY Yxij0 d0 ljiYEJYxij0d0 ljiAY Y xij上式上式即梁的主振型關(guān)于質(zhì)量的正交性即梁的主振型關(guān)于質(zhì)量的正交性17太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院第第5章章 連續(xù)體的一維振動連續(xù)體的一維振動（3）轉(zhuǎn)動慣量、剪切變形和軸向力對固有頻率的影響）轉(zhuǎn)動慣量、剪切變形和軸向力對固有頻率的影響（a）轉(zhuǎn)動慣量、剪切變形對固有頻率的影響）轉(zhuǎn)動慣量、剪切變形對固有頻率的影響簡

11、支梁的固有頻率簡支梁的固有頻率22021(1)2iiJEl Ak G式中式中 為不計為不計剪切變形和轉(zhuǎn)動慣量時剪切變形和轉(zhuǎn)動慣量時簡支梁的固簡支梁的固有頻率有頻率20()iEJlA424442224()0yyEJyIyEJAIxtk Gxtk Gt第三、四項表達(dá)了轉(zhuǎn)動慣量和剪切變形的單獨影響第三、四項表達(dá)了轉(zhuǎn)動慣量和剪切變形的單獨影響,第五項表第五項表示剪切變形和轉(zhuǎn)動慣量的共同影響。示剪切變形和轉(zhuǎn)動慣量的共同影響。18太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院第第5章章 連續(xù)體的一維振動連續(xù)體的一維振動 剪切變形和轉(zhuǎn)動慣量使系統(tǒng)的有效質(zhì)量提高、有效剛度降剪切變形和轉(zhuǎn)動慣量使系統(tǒng)的有效質(zhì)量

12、提高、有效剛度降低，從而引起固有頻率降低。低，從而引起固有頻率降低。只考慮只考慮轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量的影響時，的影響時，220212iiIlA只考慮剪切變形的影響時，只考慮剪切變形的影響時，220212iiEJl k GA2(1), ,EIJGkk因因 當(dāng)梁為矩形截面時當(dāng)梁為矩形截面時( k=0.833 ),取取=0.333.2EJEGk IGk剪切變形的影響是轉(zhuǎn)動慣量的影響的剪切變形的影響是轉(zhuǎn)動慣量的影響的3.2倍。倍。19太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院第第5章章 連續(xù)體的一維振動連續(xù)體的一維振動(4)軸向力對梁振動的影響軸向力對梁振動的影響22222222()0yyyEJFAxxxt2222()1 1,2,3,i