1、v點的軌跡v三種位置關系v垂徑定理v圓心角定理v圓周角定理v弦切角定理v圓的內接四邊形定理v切線的性質與判定定理切線長定理相交弦定理兩圓公共弦定理圓的公切線圓內正多邊形弧長、扇形面積公式側面展開圖圓：圓： 圓可以看作是到定點的距離等于定長的圓可以看作是到定點的距離等于定長的 點的集合；點的集合；圓的外部：圓的外部： 可以看作是到定點的距離大于定長的點可以看作是到定點的距離大于定長的點的集合；的集合；圓的內部：圓的內部： 可以看作是到定點的距離小于定長的點可以看作是到定點的距離小于定長的點的集合的集合集集 合：合： 1、到定點的距離等于定長的點的軌跡是：以、到定點的距離等于定長的點的軌跡是：以定

2、點為圓心，定長為半徑的圓；定點為圓心，定長為半徑的圓； 2、到線段兩端點距離相等的點的軌跡是：線、到線段兩端點距離相等的點的軌跡是：線段的中垂線；段的中垂線； 3、到角兩邊距離相等的點的軌跡是：角的平、到角兩邊距離相等的點的軌跡是：角的平分線；分線； 4、到直線的距離相等的點的軌跡是：平行于、到直線的距離相等的點的軌跡是：平行于這條直線且到這條直線的距離等于定長的兩條這條直線且到這條直線的距離等于定長的兩條直線；直線； 5、到兩條平行線距離相等的點的軌跡是：平、到兩條平行線距離相等的點的軌跡是：平行于這兩條平行線且到兩條直線距離都相等的行于這兩條平行線且到兩條直線距離都相等的一條直線一條直線軌

3、軌 跡：跡：點與圓點與圓直線與圓直線與圓圓與圓圓與圓點在圓內點在圓內 dr 點點A在圓外在圓外 r d d C B A Ov直線與圓相離直線與圓相離 dr 無交點無交點 v直線與圓相切直線與圓相切 d=r 有一個交點有一個交點 v直線與圓相交直線與圓相交 dR+r外切（圖外切（圖2）: 有一個交點有一個交點 d=R+r相交（圖相交（圖3）: 有兩個交點有兩個交點 R-rdR+r 圖1 r R d 圖2 r R d 圖3 r R d內切（圖內切（圖4）: 有一個交點有一個交點 d=R-r內含（圖內含（圖5）: 無交點無交點 dR-r 圖4 r R d 圖5 r R d垂徑定理：垂徑定理：垂直于弦

4、的直徑平分弦且垂直于弦的直徑平分弦且 平分弦所對的弧平分弦所對的弧推論推論1：（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條??；于弦，并且平分弦所對的兩條??；（2）弦的垂直平分線經過圓心，并且）弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條?。黄椒窒宜鶎Φ膬蓷l??；（3）平分弦所對的一條弧的直徑，垂）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧條弧 以上共以上共4個定理，簡稱個定理，簡稱2推推3定理：此定理中定理：此定理中共共5個結論中，只要知道其中個結論中，只要知道其中2個即可推個即可推出其它出其它3個結

5、論，即：個結論，即：AB是直徑是直徑 ABCD CE=DE 或或 或或 O E D C B ABCBDACAD推論推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。 即：在即：在 O中，中，ABCD ACBD O C D A Bv圓心角定理：圓心角定理：同圓或等圓中，相等的圓心角所同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相等，所對的弧相等，弦心距相等對的弦相等，所對的弧相等，弦心距相等 此定理也稱此定理也稱1推推3定理，即上述四個結論中，定理，即上述四個結論中，只要知道其中的只要知道其中的1個相等，則可以推出其它的個相等，則可以推出其它的3個結論個結論. 也即：也即：AOB=DOE

6、AB=DE OC=OF 或或 BAED F E D C B A O圓周角定理：同一條弧所對的圓周圓周角定理：同一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心的角的一半角等于它所對的圓心的角的一半即：即：AOB和和ACB是是 所對所對的圓心角和圓周角的圓心角和圓周角 AOB=2ACB圓周角定理的推論：圓周角定理的推論：推論推論1：同弧或等弧所對的圓周角：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧是等弧角所對的弧是等弧即：在即：在 O中，中，C、D都是所都是所對的圓周角對的圓周角C=DAB C B A O D C B A O推論推論2：半圓或直徑所對的圓周角是

7、：半圓或直徑所對的圓周角是直角；圓周角是直角所對的弧是半圓，直角；圓周角是直角所對的弧是半圓，所對的弦是直徑所對的弦是直徑即：在即：在 O中，中，AB是直徑是直徑 或或C=90C=90 AB是直徑是直徑推論推論3：三角形一邊上的中線等：三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形是直角三角形即：在即：在ABC中，中，OC=OA=OB ABC是直角三角形或是直角三角形或C=90AB C B A O C B A O注：此推論實注：此推論實是初二年級幾是初二年級幾何中矩形的推何中矩形的推論：在直角三論：在直角三角形中斜邊上角形中斜邊上的中線等于斜的中線等于

8、斜邊的一半的逆邊的一半的逆定理。定理。弦切角定理：弦切角定理：弦切角等于所夾弧所對的圓周角弦切角等于所夾弧所對的圓周角推論：推論：如果兩個弦切角所夾的弧相等，那么這兩如果兩個弦切角所夾的弧相等，那么這兩個弦切角也相等。個弦切角也相等。即：即：MN是切線，是切線，AB是弦是弦 BAM=BCA O C B N M A圓的內接四邊形定理：圓的內接四邊形定理：圓的內接四邊形的對角圓的內接四邊形的對角互補，外角等于它的內對角。互補，外角等于它的內對角。即：在即：在 O中，中，四邊形四邊形ABCD是內接四邊形是內接四邊形C+BAD=180 B+D=180 DAE=C E D C B A（1）判定定理：過半

9、徑外端且垂直于半徑的直線是切線判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線 兩個條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可兩個條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可 即：即：MNOA且且MN過半徑過半徑OA外端外端 MN是是 O的切線的切線（2）性質定理：切線垂直于過切點的半徑（如上圖）性質定理：切線垂直于過切點的半徑（如上圖） 推論推論1：過圓心垂直于切線的直線必過切點：過圓心垂直于切線的直線必過切點 推論推論2：過切點垂直于切線的直線必過圓心：過切點垂直于切線的直線必過圓心以上三個定理及推論也稱二推一定理：以上三個定理及推論也稱二推一定理：即：過圓心即：過圓心、過切點過切點、垂直垂直切線中

10、知道其中兩個條件切線中知道其中兩個條件推出最后一個條件推出最后一個條件 MN是切線是切線 MNOA N M A O切線長定理：切線長定理： 從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。相等，這點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。即：即：PA、PB是的兩條切線是的兩條切線 PA=PB PO平分平分BPA P B A O圓內相交弦定理及其推論：圓內相交弦定理及其推論：相交弦定理：相交弦定理：圓內兩弦相交，交圓內兩弦相交，交點分得的兩條線段的乘積相等點分得的兩條線段的乘積相等即：在即：在 O中，中， 弦弦AB、CD相交于點相交于

11、點P PAPB=PCPD推論：推論：如果弦與直徑垂直相交，如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項。兩條線段的比例中項。即：在即：在 O中，中， 直徑直徑ABCD P O D C B A O E D C B A22CEDEEA EB切割線定理：切割線定理：從圓外一點引圓的從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例線與圓交點的兩條線段長的比例中項中項即：在即：在 O中，中， PA是切線，是切線，PB是割線是割線 割線定理：割線定理：從圓外一點引圓的兩從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到

12、每條割線與圓條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等的交點的兩條線段長的積相等（如上圖）（如上圖）即：在即：在 O中，中， PB、PE是割線是割線 PC PBPD PE D E C B P A O2PAPC PB圓公共弦定理：連心線垂直平分公共弦圓公共弦定理：連心線垂直平分公共弦 即：即： O1、 O2相交于相交于A、B兩點兩點 O1O2垂直平分垂直平分AB B A O1 O2兩圓公切線長的計算公式：兩圓公切線長的計算公式：（1）公切線長：在）公切線長：在RtO1O2C中，中，（2）外公切線長：）外公切線長：CO2是半徑之差；是半徑之差； 內公切線長：內公切線長：CO2是半徑之和是半徑之和 22221122ABCOO OCO C O2 O1 B A圓內正多邊形的計算（1）正三角形）正三角形 在在 O中中 ABC是正三角形，有關是正三角形，有關計算在計算在RtBOD中進行，中進行，OD:BD:OB=（2）正四邊形）正四邊形同理，四邊形的有關計算在同理，四邊形的有關計算在RtOAE中進行，中進行，OE :AE:OA=（3）正六邊形）正六邊形同理，六邊形的有關計算在同理，六邊形的有關計算在RtOAB中進行，中進行，AB:OB:OA=1:3:21: