1、1.1.3 1.1.3 三個正數(shù)的算術(shù)三個正數(shù)的算術(shù)- -幾幾何平均不等式何平均不等式耒陽二中耒陽二中 劉子泉劉子泉復(fù)習(xí)回顧復(fù)習(xí)回顧定理定理 1_,22baRba則如果當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)_時，等號成立。時，等號成立。_2,baRba則如果當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)_時，等號成立。時，等號成立。2aba=ba=bab定理定理 2兩個正數(shù)的算術(shù)平均兩個正數(shù)的算術(shù)平均不小于不小于它的幾何平均。它的幾何平均。強調(diào)強調(diào)作用作用：實現(xiàn)兩個正數(shù)的和與積的互化：實現(xiàn)兩個正數(shù)的和與積的互化、求最值求最值求最值條件：求最值條件：一一正正、二、二定定、三、三相等相等；思考思考情境引入情境引入分析分析 耒陽前進小學(xué)今年耒陽前進小

2、學(xué)今年4 4月中旬，要舉辦第一屆月中旬，要舉辦第一屆“我是小小制造家我是小小制造家”的文化藝術(shù)節(jié)，王鵬同學(xué)打的文化藝術(shù)節(jié)，王鵬同學(xué)打算制作一個體積為算制作一個體積為1 1立方分米的長方體模型的燈籠立方分米的長方體模型的燈籠布置展廳，燈籠的框架用鐵絲制作，怎樣設(shè)計框布置展廳，燈籠的框架用鐵絲制作，怎樣設(shè)計框架的長，寬，高，才能使所用的鐵絲最短。他百架的長，寬，高，才能使所用的鐵絲最短。他百思不得其解，大家能幫幫他嗎？思不得其解，大家能幫幫他嗎？abc 已知：已知：a0,b0,c0,abc=1, 求：求：4（a+b+c)的最小值。的最小值。猜想猜想思考思考怎樣證明這個不等式呢？怎樣證明這個不等式呢

3、？類比定理類比定理2 2的證明過程，可以先證明：的證明過程，可以先證明：等號成立.等號成立.c時,c時,b b當(dāng)且僅當(dāng)a當(dāng)且僅當(dāng)a3abc,3abc,c cb b則a則a, ,R Rc cb,b,a,a,3 33 33 3已知已知即可即可三個正數(shù)的算術(shù)平均不小于它的幾何平均。三個正數(shù)的算術(shù)平均不小于它的幾何平均。33abccba即即提問提問哪些公式中有立方？哪些公式中有立方？立方和公式立方和公式3 32 22 23 33 3y y3 3x xy yy y3 3x xx xy y) )( (x x) )y yx xy yy y) )( (x x( (x xy yx x2 22 23 33 3和的

4、立方公式和的立方公式等等號號成成立立. .c c時時, ,b b當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)a a3 3a ab bc c, ,c cb b則則a a, ,R Rc cb b, ,若若a a, ,: :證證3 33 33 3求求 3 32 22 23 33 3y y3 3x xy yy y3 3x xx xy y) )( (x x1 1 ) )y yx xy yy y) )( (x x( (x xy yx x2 22 22 23 33 3.,3333時等號成立當(dāng)且僅當(dāng)所以，cbaabccba33333233332222222222223()333()333() ()()3()()23()()1() ()(

5、) ()0,2abcabcaba babcabcabca bababcabcabab ccab abcabcaabbacbccababc abcabbccaabcabbcca證明：證明：因為23 3a ab bc c, ,3 3c cb ba a那那么么, ,R Rc cb b, ,如如果果a a, ,語言表述：語言表述：三個正數(shù)的算術(shù)平均不小于它們的幾何平均三個正數(shù)的算術(shù)平均不小于它們的幾何平均.算術(shù)平均算術(shù)平均幾何平均幾何平均講授新課講授新課定理定理 3當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時，等號成立。時，等號成立。 ：求函數(shù)的最?。呵蠛瘮?shù)的最小值下面三位同學(xué)的解法是否正確？值下面三位同學(xué)的解法是否

6、正確？)0(322 xxxy甲同學(xué)：由甲同學(xué)：由 知知 ，則，則 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)0 x03, 022 xxxxxxxy623223222 33min321822362,2332 yxxx時時即即（錯）（錯）錯因：沒有取定值錯因：沒有取定值例例1典例講解典例講解乙同學(xué)：乙同學(xué)：02, 01, 02, 02xxxxxxxxxy2123222332432123yxxx3min43 y（錯）（錯）錯因：不能同時取等號錯因：不能同時取等號丙同學(xué)：丙同學(xué)：0 x, 023, 022xxxxxxxy232323222時，上式取等號即當(dāng)且僅當(dāng)3243232xxx33min3623293y3322932323

7、23yxxx （對）（對）滿足了一正二定三相等。滿足了一正二定三相等。 1. 運用三個正實數(shù)的基本不等式求最值運用三個正實數(shù)的基本不等式求最值時必須滿足的條件：時必須滿足的條件：拆項，拆項時常拆成拆項，拆項時常拆成兩個相同項兩個相同項。一一正正、小結(jié)小結(jié)2.保證二定和三相等的技巧：保證二定和三相等的技巧：二二定定、三三相等相等；的的最最小小值值是是、函函數(shù)數(shù))0(122xxxy1A、2B、 C、3 D、 （）變式：變式：C3131123222xxxxxxxxy解析：21xx 當(dāng)且僅當(dāng)時上式取等號即3x3min y2233_) 1() 1(422的的最最小小值值是是、函函數(shù)數(shù)xxxy2)1()1

8、(42xxxy解解析析：1)1(4)1(2xx時時上上式式取取等等號號時時，即即當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)1) 1(412xxx2miny1)1(421212xxx21) 1(42121332xxx 如下圖，把一塊邊長是如下圖，把一塊邊長是a a的正方形鐵片的各角的正方形鐵片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的邊沿著虛線折轉(zhuǎn)切去大小相同的小正方形，再把它的邊沿著虛線折轉(zhuǎn)成一個無蓋方底的盒子成一個無蓋方底的盒子, ,問切去的正方形邊長是多少時，問切去的正方形邊長是多少時，才能使盒子的容積最大？才能使盒子的容積最大？ax例例2則盒子的容積為無蓋方底長為解：設(shè)切去的正方形邊,VxxxaV2)2( ）（20a

9、x 解：xxaV2)2( xxaxa4)2)(2(413342)2(41xxaxa）（2723a.2726,4223aVaxxxaxa取最大值此時時，不等式取等號，即當(dāng)且僅當(dāng)長是原來即當(dāng)切去的小正方形邊.61時，盒子的容積最大正方形邊長的）（20ax Rcba、33cbaabc,Rcba例：已知二、用基本不等式證明不等式二、用基本不等式證明不等式,Rcba證明：cba1113abc3339cbacba1119111cbacba求證：033abccba011131113cbacba例例3多次運用基本不等式求最值，多次運用基本不等式求最值，必須保持每次必須保持每次“=”=”的一致的一致性。性。注意

10、注意這節(jié)課我們學(xué)到了：這節(jié)課我們學(xué)到了：一、運用三個正數(shù)的均值不等式求最值一、運用三個正數(shù)的均值不等式求最值1、必須滿足條件：、必須滿足條件：一正二定三相等一正二定三相等本堂小結(jié)本堂小結(jié)2 、二不定三不相等時，注意拆，且拆分成兩個相同項。、二不定三不相等時，注意拆，且拆分成兩個相同項。二、運用三個正數(shù)的均值不等式證明不等式二、運用三個正數(shù)的均值不等式證明不等式注意：和，立方和，乘積之間的相互轉(zhuǎn)化注意：和，立方和，乘積之間的相互轉(zhuǎn)化n個正數(shù)的算術(shù)個正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式：幾何平均不等式：.,321321321321等等號號成成立立時時當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)則則若若nnnnnaaaaaaaanaaaaRaaaa 推廣推廣隨堂練習(xí)：隨堂練習(xí)：8)3)(2(1, 3, 21bababa則、若_的最小值為_4,22的最小值是則、若yxxyRyxA、4B、3 C、6D、5B3223223yyxyyxyx解析：時，上式取等號且當(dāng)且僅當(dāng)422xyyx的最大值是、函數(shù))20)(2(324xxxyA、0B、1C、D、（）（）27162732D)2(24xxy解析：322