1、-1-第3課時(shí)用向量方法求空間中的角目標(biāo)導(dǎo)航1.理解直線(xiàn)與平面所成角的概念.2.能用向量方法解決線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面夾角的問(wèn)題.3.了解向量方法在研究幾何問(wèn)題中的作用.知識(shí)梳理知識(shí)梳理【做一做1】 假設(shè)異面直線(xiàn)l1的方向向量與l2的方向向量的夾角為150,那么l1與l2所成的角等于()或150D.以上均錯(cuò)解析:由異面直線(xiàn)夾角定義知,異面直線(xiàn)夾角范圍是(0,90.答案:A知識(shí)梳理【做一做2】 假設(shè)直線(xiàn)l的方向向量與平面的法向量的夾角等于120,那么直線(xiàn)l與平面所成的角等于()解析:因?yàn)橹本€(xiàn)l的方向向量與平面的法向量的夾角等于120,所以它們所在直線(xiàn)的夾角為60,那么直線(xiàn)l與平面所成的角等于90-60

2、=30.答案:D【做一做3】 假設(shè)平面的一個(gè)法向量為n1=(1,0,1),平面的一個(gè)法向量是n2=(-3,1,3),那么平面與所成的角等于()解析:因?yàn)閚1n2=0,所以,即平面與所成的角等于90.答案:D重難聚焦重難聚焦重難聚焦典例透析題型一題型二題型三題型四求異面直線(xiàn)所成的角【例1】 在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,DA=DC=4,DD1=3,求異面直線(xiàn)A1B與B1C所成角的余弦值.典例透析題型一題型二題型三題型四反思建立空間直角坐標(biāo)系,要充分利用題目中的垂直關(guān)系.利用向量法求兩異面直線(xiàn)所成角的計(jì)算思路簡(jiǎn)便,但是要注意角的范圍.典例透析題型一題型二題型三題型四典例透析題型一題型二題型

3、三題型四典例透析題型一題型二題型三題型四求直線(xiàn)與平面所成的角【例2】 在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,在側(cè)棱CC1上求一點(diǎn)P,使得直線(xiàn)AP與平面BDD1B1所成的角的正切值為3 .解:如圖,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以DA,DC,DD1所在直線(xiàn)為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.典例透析題型一題型二題型三題型四典例透析題型一題型二題型三題型四典例透析題型一題型二題型三題型四【變式訓(xùn)練2】 在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,PD平面ABCD,PD=DC,E是PC的中點(diǎn),求EB與平面ABCD夾角的余弦值.典例透析題型一題型二題型三題型四求二面角【例3】 如圖,四棱錐P-AB

4、CD的底面ABCD是菱形,PA平面ABCD,ABC=60,E,F分別是BC,PC的中點(diǎn).(1)求證:AEPD;(2)假設(shè)PA=AB=2,求二面角E-AF-C的余弦值.典例透析題型一題型二題型三題型四(1)證明:由四邊形ABCD為菱形,ABC=60,可得ABC為正三角形.因?yàn)镋為BC的中點(diǎn),所以AEBC.又BCAD,因此AEAD.因?yàn)镻A平面ABCD,AE平面ABCD,所以PAAE.而PA平面PAD,AD平面PAD,且PAAD=A,所以AE平面PAD.又PD平面PAD,所以AEPD.典例透析題型一題型二題型三題型四典例透析題型一題型二題型三題型四典例透析題型一題型二題型三題型四反思用幾何法求二面

5、角,往往需要作出其平面角,這是幾何中的難點(diǎn)之一;而用向量法求解二面角無(wú)須作出二面角的平面角,只需求出平面的法向量,經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單運(yùn)算即可.典例透析題型一題型二題型三題型四【變式訓(xùn)練3】 如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1C1C是邊長(zhǎng)為4的正方形,平面ABC平面AA1C1C,AB=3,BC=5.(1)求證:AA1平面ABC;(2)求二面角A1-BC1-B1的余弦值;典例透析題型一題型二題型三題型四典例透析題型一題型二題型三題型四典例透析題型一題型二題型三題型四易錯(cuò)辨析易錯(cuò)點(diǎn)對(duì)向量法求線(xiàn)面角的原理不理解而致錯(cuò) 【例4】 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ACB=90,AC=2BC,A1BB1C,求B1C與側(cè)面A1ABB1所成