1、精品文檔 1.2 正弦定理和余弦定理應(yīng)用舉例（學(xué)生版） 【知識(shí)梳理】 1）正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等. 1 1 證明：過點(diǎn) C C 作 CD CD 丄 AB AB 于 D D,此時(shí)有 CD bsi nA , S ABC -c CD - bcsi nA , 2 2 2 2.正弦定理和余弦定理的應(yīng)用 考點(diǎn) 1 1:三角形面積公式的應(yīng)用 【例 1】在厶 ABC 中，已知 A= 30 a= 8, b =唧 3,求厶 ABC 的面積. 練習(xí) 1.已知 ABC 的面積為 3,且 b = 2, c= ；3,則( ) A . A= 30 B . A= 60 C. A= 30或 15

2、0 D . A= 60或 120 2. 在 ABC 中，AB= 2, BC= 5,A ABC 的面積為 4,貝 U cos/ ABC 等于( ) 3 3 3 2 A5 B. 5 C 5 D. 5 3. 在 ABC 中，已知 b=1, c=3, A=60, 則 SABCF o 4. 在KBCKBC 中，若a 7,b 3,c 8，則其面積等于( ) A A. 12 B B. 21 C. 28 D D. 6 3 2 考點(diǎn) 2 2 :判斷三角形的形狀 【例 2】(1)已知 ABC 的三邊的長度分別為 5、7、8,試判斷 ABC 的形狀. （2 2）余弦定理： 三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減

3、去這兩邊與匕們夾角的余弦 即: a b sin A sin B 2R，其中R為該三角形外接圓的半徑 sin C 的積的兩倍. 即： c c2 a a2 b b2 2abcosC 2abcosC , a a2 b b2 C 2bccosA 2bccosA , b b2 a a2 c c2 2accosC 2accosC . 、 1 1 1 1 (3)面積公式： S ABC ah absinC acsin B bcsin A. 2 2 2 2 同理可得 S ABC 1 absin C 2 1 1 acsin B bcsin A . 2 2 精品文檔 (2)已知(a+ b+ c)(a+ b c) =

4、 3ab 且 2cosAsinB = sinC,試判斷此三角形 的形狀.精品文檔 4設(shè) 2a+ 1, a,2a 1 為鈍角三角形的三邊長, 【反思】 本題實(shí)質(zhì)上是求 2a + 1, a,2a 1 能構(gòu)成鈍角三角形的充要條件， 除了要保證三邊長均為正數(shù)外，還應(yīng)滿足 “兩邊之和大于第三邊”. 5.在 ABC 中，角 A, B, C 的對(duì)邊分別為 a, b, c,已知 bcosC= (2a c)cosB. (1)求角 B 的大??；若 b2 = ac,試確定 ABC 的形狀. 考點(diǎn) 3:測(cè)量距離 類型 1 1:設(shè) A A、B B 兩點(diǎn)在河的兩岸，要測(cè)量兩點(diǎn)之間的距離。 【例 3 3】測(cè)量者在 A A

5、的同測(cè)，在所在的河岸邊選定一點(diǎn) 4545, / ACBACB= 7575,求 A A、B B 兩點(diǎn)間的距離.練習(xí) 1 1.在 ABC 中，bcosA acosB，貝U ABC 是( ) A A.直角三角形 B B 銳角三角形 C C 等腰三角形 D D 等邊三角 2.在 ABC 中, 則角 B 的值為( n A.6 角 A, B, C 的對(duì)邊分別為 a、b、c,若(a2 + c2 b2)tanB=：3ac, ) n B.n n 2 n D3或3 3 3在 ABC中，a,b,c分別為角A, B,C的對(duì)邊，若 2acosB c，貝U ABC 的形狀( A.A.直角三角形 B. B. 等邊三角形 C

6、.C. 等腰三角形 D.D. 等腰直角三角形 求實(shí)數(shù) a 的取值范圍. C C,測(cè)出 ACAC 的距離是10-. 3，/ BACBAC= 精品文檔 類型 2 2: A A、B B 兩點(diǎn)都在河的對(duì)岸(不可到達(dá))，設(shè)計(jì)一種測(cè)量兩點(diǎn)間的距離的方法。 【例 4】 如圖， 為了測(cè)量河對(duì)岸 A，B 兩點(diǎn)間的距離， 在岸邊定一基線 CD,現(xiàn)已 測(cè)出 CD = a 和/ACD = 60 / BCD= 30 / BDC = 105 / ADC= 60 試求 AB 的長. 考點(diǎn) 4：測(cè)量高度 【例 5 5】如圖，在山頂鐵塔上 B B 處測(cè)得地面上一點(diǎn) A A 的俯角 處測(cè)得 A A 處的俯角 4545. .已知鐵

7、塔 BCBC 部分的高為 10 10 m m，求出山高 CDCD練習(xí) 1.1.隔河可以看到對(duì)岸兩目標(biāo) A、B, ,但不能測(cè)得 ACB 75， BCD 45o， ADC 30， ADB 45 ( A、B、C、D 在同一 平面內(nèi))，求兩目標(biāo)A、B間的距離. . 練習(xí) 2.2.為了測(cè)量該河段的寬度， 在河段的一岸邊選取兩點(diǎn) A、 B，觀察對(duì)岸的點(diǎn)C，測(cè)得 CAB 75， CBA 45, ,且 AB 100 米. (1(1)求sin75 ； (2 2)求該河段的寬度. 6060，在塔底 C Ji C C 精品文檔 練習(xí) 1 如圖，為了測(cè)量河對(duì)岸的塔高 AB,有不同的方案，其中之一是選取與塔 底 B 在

8、同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn) C 和 D，測(cè)得 CD= 200 米，在 C 點(diǎn)和 D 點(diǎn)測(cè)得 練習(xí) 2如圖，為了測(cè)量河對(duì)岸電視塔 CD 的高度，小王在點(diǎn) A 處測(cè)得塔頂 D 仰 角為30 ，塔底 C 與 A 的連線同河岸成 15 角，小王向前走了 1200m 到達(dá) M 處， 測(cè)得塔底C 與 M 的連線同河岸成 60角，則電視塔 CD 的高度 為 _ 3.在地面上一點(diǎn) D 測(cè)得一電視塔尖的仰角為 45，再向塔底方向前進(jìn) 100 m,又 測(cè)得塔尖的仰角為 60，則此電視塔高約為（） A. 237 m B . 227 m C . 247 m D . 257 m 4.4.為測(cè)某塔 ABAB 的高度，在一幢與

9、塔 ABAB 相距 20m20m 的樓的樓頂處測(cè)得塔頂 A A 的仰角為 3030， 測(cè)得塔基 B B 的俯角為 45 45 ，則塔 ABAB 的高度為多少 m m? 考點(diǎn) 5:測(cè)量角度 【例 6 6】如圖，漁船甲位于島嶼 A的南偏西60o方向的B處，且與島嶼 A相距 1212 海里，漁船 乙以 1010 海里/ /小時(shí)的速度從島嶼 A出發(fā)沿正北方向航行，若漁船甲同時(shí)從的方向追趕漁船乙，剛好用 2 2 小時(shí)追上. 塔頂 A 的仰角分別是 45 和 30且/ CBD = 30求塔高 AB. D B處出發(fā)沿北偏東 精品文檔 求角 B 的大??； 若 b_ . 13, a+ c_4,求厶 ABC 的面

10、積.(1(1)求漁船甲的速度；(2 2)求sin 的值. 考點(diǎn) 6 6 三角形中的恒等式證明問題 【例 7】在厶 ABC 中，角 A,B,C 所對(duì)的邊分別為 a,b,c,證明: a2 b2 si nA B c2 sinC 練習(xí) 1.在 ABC 中，求證: a c cosB sinB b c cosA si nA 2.在 ABC 中, a、 b、c 分別是角 A、B、C 的對(duì)邊，且 cos B _ b cos C _ 2a+ c. 精品文檔 3.在 ABC 中，求證：c(acosB bcosA) a b2. 4.在厶 ABC 中，求證：a bcosC ccosB,b ccosA acosC, c

11、 acosB bcosA. 1 1在200m高的山頂上，測(cè)得山下一塔頂與塔底的俯角分別為 30o和60o，則塔高為（ 人 200石 400/3 A A . m B B . m 3 3 400 m 3 200 m 3 2. 如果等腰三角形的周長是底邊長的 5 倍， 則它的頂角的余弦值為（ ） 7 m 7 8 8 A . - 8 % C.- 7 D.7 3. 如圖，在一幢 20 m 高的樓頂測(cè)得對(duì)面一塔頂部的仰角為 60塔基的俯角為 45 則這座塔的高度是（） A. 20 1+ 33 D . 20（ 6+ 2） m B. 20(1 + ,3) m C. 10(;6 + 2) m 精品文檔 4海上有

12、 A, B 兩個(gè)小島相距 10 n mile，從 A 島望 C 島和 B 島成 60勺視角，從 B 島望 C 島和 A 島成 75的視角，貝 U B，C 之間的距離為（ ） A. 10 邁 n mile B.06 n mile C. 5/2 n mile D. 56 n mile 5. 如圖，要測(cè)量湖中一燈塔的高 CD（水上部分），可在岸邊一建筑物 AB 上進(jìn)行有 n n 關(guān)的測(cè)量.已知 AB = 20 米，且測(cè)出/ CAD = 3，/ ACB= 4,則燈塔 CD 的高度為 （） A .20（3 3）米 B .20（ ,6i 2）米 C. 10,2 米 D . 20（.3 + .2） 米 6.

13、 艘輪船從 A 出發(fā)，沿南偏東 70的方向航行 40 海里后到達(dá)海島 B,然后從 B 出發(fā)，沿北偏東 35的方向航行了 40 2 海里到達(dá)海島 C.如果下次航行直接從 A 出 發(fā)到C，此船航行的方向和路程（海里）分別為（ ） A .北偏東 80 20（6 +迄） B .北偏東 65 20&3 + 2） C.北偏東 65 20（ 6+ 2） D .北偏東 80 20（ 3+ 2） 7. 貨輪航行到 M 處， 測(cè)得燈塔 S 在貨輪的北偏東 15 方向上， 與燈塔 S 相距20 n mile，隨后貨輪按北偏西 30的方向航行 3 h 后，又測(cè)得燈塔在貨輪的東北方向, 13某海島周圍 38 海里有暗礁

14、，一輪船由西向東航行，初測(cè)此島在北偏東 向，航行 30海里后，測(cè)得此島在東北方向，若不改變航向，則此船 _ 的危險(xiǎn).(填“有”或“沒有”) 14. _ 已知 ABC 的三個(gè)內(nèi)角 A，B，C 滿足 2B = A+ C,且 AB= 1，BC = 4,則 BC 邊上的中線 AD 的長為 . 則貨輪的速度為（ A. 10 ,6+ ;2 3 10 ,6+ ；3 C. 3 ) n mile/h n B.8 9 10 11 122 D. 10 .6 ；3 3 n mile/h n mile/h D .等 60。方 觸礁 精品文檔 15. 如圖，為了解某海域海底構(gòu)造，對(duì)海平面內(nèi)一條直線上的 A，B，C 三點(diǎn)進(jìn)

15、行 測(cè)量.已知 AB= 50 m, BC= 120 m，于 A 處測(cè)得水深 AD = 80 m，于 B 處測(cè)得水 深 BE = 200 m,于 C 處測(cè)得水深 CF= 110 m,求/ DEF 的余弦值. 16. 一只船以 20 海里/時(shí)的速度向正東航行，它在 A 點(diǎn)時(shí)測(cè)得燈塔 P 在船的北偏 東 60方向，2 小時(shí)后船到達(dá) B 點(diǎn)時(shí)測(cè)得燈塔 P 在船的北偏東 45 方向，求： (1)船在 B 點(diǎn)時(shí)與燈塔 P 的距離； 已知以 P 點(diǎn)為圓心，55 海里為半徑的圓形水域內(nèi)有暗礁，那么此船繼續(xù)向 正東航行，有無觸礁的危險(xiǎn)？jt 50 B 12QC 精品文檔 18. 在 ABC 中，內(nèi)角 A，B，C

16、 的對(duì)邊分別為 a，b，c,且 bsinA= .；3acosB. B 的大小; b = 3，sinC = 2sinA，求 a，c 的值. 1919.如以觀察到點(diǎn) A A，B B;找到一個(gè)點(diǎn) D,D,從 D D 點(diǎn)可以觀察到點(diǎn) 以觀察到點(diǎn) B B，C.C.并測(cè)量得到圖中的一些數(shù)據(jù)， CDA CEB CDA CEB 60 60 . . (1(1)求 ABCABC 的面積； 2 2)求 A A、B B 兩點(diǎn)之間的距離. . 17. 某貨船在索馬里海域航行中遭海盜襲擊，發(fā)出呼叫信號(hào)，如圖，我海軍護(hù)航 艦在 A處獲悉后，立即測(cè)出該貨船在方位角為 45距離為 10 海里的 C 處，并測(cè) 得貨船正沿方位角為

17、 105 的方向，以 10 海里/小時(shí)的速度向前行駛，我海軍護(hù)航艦 立即以 10 3 海里/小時(shí)的速度前去營救，求護(hù)航艦的航向和靠近貨船所需的時(shí)間. A A，C C;找到一個(gè)點(diǎn) E,E,從 E E 點(diǎn)可 此外， 精品文檔精品文檔 1.2 正弦定理和余弦定理應(yīng)用舉例(教師版) 【知識(shí)梳理】 (1)正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等. 1 C C 作 CDCD 丄 ABAB 于 D D,此時(shí)有 CD bsinA , s ABC c 2 111 同理可得 s ABC abs in C acs in B bcsi nA . 2 A. A= 30 2.在 ABC 中，AB= 2, B

18、C= 5,A ABC 的面積為 4,貝 U cos/ ABC 等于（B ） A3 A.5 解析：由 s= c 2R，其中R(2 2)余弦定理： 的積的兩倍. 即: c c* 1 2 即： sin A sin B sin C 三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦 (3(3)面積公式: 2 2 2 2 2 2 b 2abcosC b 2abcosC , a b c 2bccosA a b c 2bccosA , b ab a 1 1 1 1 S ABC ah absinC acsin B bcsin A. 2 2 2 2 2 c 2accosC c 2accosC .

19、 證明：過點(diǎn) CD -bcsin A , 2 精品文檔 4 4.在ABC ABC 中，若 a 7,b 3,c 8，則其面積等于（ A A. 12 21 B B. 2 考點(diǎn) 2 2 :判斷三角形的形狀 【例 2】(1)已知 ABC 的三邊的長度分別為 5、7、8,試判斷 ABC 的形狀. (2)已知(a+ b+ c)(a+ b c) = 3ab 且 2cosAsinB = sinC,試判斷此三角形 的形狀. 解析：(1)長度為 8 的邊對(duì)應(yīng)的角度最大，由52 7 2 82 1 0 0,所以最大 角為銳角，故 ABC 為銳角三角形。 sinC c (2)解析：解法一：(利用邊的關(guān)系判斷)由正弦定理

20、，得 SinB=b t 2cosAsinB si nC c b2 + c2 a2 b2+ c2 a2 c =sinC,. cosA= 2sinB = 2b.V cosA= 2bc ，二 2bc = 2b，：吐 b.V (a + b+ c)(a + b c) 3ab， (a+ b)2 c2 3ab. 又：a b，： 4b2 c2 3b2，： b2 c2，： b c，：A ABC 為等邊三角形. 解法二：(利用角的關(guān)系判斷 A+ B+ C 180 , sinC sin(A+ B). / 2cosAsinB sinC，： 2cosAsinB sin(A+ B) sinAcosB+ cosAsinB，

21、 sinAcosB cosAsinB 0，： sin(A B) 0. t 0 A180 ，0 B180 ，180 A B0, 1 【正解】 ：2a+ 1, a,2a-1 為三角形的三邊長，二 a0, 解得 a2, 2a 10, 此時(shí) 2a + 1 最大. 2a + 1, a,2a 1 表示三角形的三邊長，還需 a+ (2a 1)2a+ 1,解得 a2. 、 a2 + 2a 1 2 2a+1 2 a a 8 1 設(shè)最長邊所對(duì)角為 0,貝 U cosA 2a 2a 1 = 2a 2a 1 ,解得 2a8. a 的取值范圍是 2a8. 【反思】 本題實(shí)質(zhì)上是求 2a + 1, a,2a 1 能構(gòu)成鈍

22、角三角形的充要條件， 除了要保證三邊長均為正數(shù)外，還應(yīng)滿足 “兩邊之和大于第三邊”. 5.在 ABC 中，角 A, B, C 的對(duì)邊分別為 a, b, c,已知 bcosC= (2a c)cosB. (1)求角 B 的大小；若 b2 = ac,試確定 ABC 的形狀. 解析：(1)由已知及正弦定理，得 sinBcosC= (2sinA sinC)cosB，即 sinBcosC + cosBs inC = 2sinAcosB, si n(B+ C) = 2si nAcosB. 1 si n(B+ C) = sinAM 0,二 2cosB= 1,即卩 cosB =；，又： B/3.二 CD = 2

23、0/3 + 20 = 20 需 + 1）.答 案: B 4.海上有 A, B 兩個(gè)小島相距 10 n mile，從 A 島望 C 島和 B 島成 60勺視角，從 B 島望 C 島和 A 島成 75的視角，貝 U B, C 之間的距離為（ ） A. 10 謔 n mile B.06 n mile C. 5/2 n mile n mile _B BC AB sinA 解析：心ABC 中，A= 60 75 C = 45 TSAC 二喬 ABC=-B = 10X字 ：2 =5 6. 2 答案：D 5.如圖，要測(cè)量湖中一燈塔的高 CD（水上部分），可在岸邊一建筑物 AB 上進(jìn)行有 n n 關(guān)的測(cè)量.已知

24、 AB = 20 米，且測(cè)出/ CAD = 3，/ ACB= 4,則燈塔 CD 的高度為 AB BC () A . 20(3 - .3)米 +米 解析：在 RtA ABC 中，AC = AB = 20.2(米). Sin/ ACB CD AC “ 十 AC sin/ CAD 在 ACD 中,由正弦疋理可知 sin/ CAD = sin/ ADC，從而 CD = sin/ ADC . 又/ ADC = n/ CAD / ACD = n 3 4 = 12，sin/ ADC= sin = sin 4+ 石 、；6+ 2 =4 ， B . 20( 6 - .2)米 C. 10.2 米 D. 20( .

25、3 所以 CD = 20 .2X 23 &+込=20(3V3)(米).答案：A 4 6.艘輪船從 A 出發(fā)，沿南偏東 70的方向航行 40 海里后到達(dá)海島 B,然后從 B 出發(fā)，沿北偏東 35的方向航行了 40.2 海里到達(dá)海島 C.如果下次航行直接從 A 出 發(fā)到 C,此船航行的方向和路程（海里）分別為（ ） A .北偏東 80 20（76 + 72） B .北偏東 65 20&3 + V2） 精品文檔 C. 北偏東 65 20(心+眾) D .北偏東 80 20(、/3 +羽) 解析：由題可知/ ABC= 105 在厶 ABC 中，AB= 40, BC = 40 .2, 所以 AC2= A

26、B2 + BC2 2AB BC cos/ ABC = 402 +(40 2)2-2X 40X 40 2 cos(60 + 45 = 3 200+ 1 600 3，所以 AC = 20( 6+ 2). BC AC AC sinABC 2 S/BAC = sABC? Sin/ BAC= BC 七，所以/ BAC 二45 所以下 次航行直接從 A 出發(fā)到 C,航向?yàn)楸逼珫| 65故選 C. 答案：C 7.貨輪航行到 M 處， 測(cè)得燈塔 S 在貨輪的北偏東 15 方向上， 與燈塔 S 相距 20 n mile，隨后貨輪按北偏西 30的方向航行 3 h 后，又測(cè)得燈塔在貨輪的東北方向， 則貨輪的速度為（

27、8.在 ABC 中，若：OsB= b =ABC 是（） A .直角三角形 B .等腰三角形 C.等腰或直角三角形 D .等 腰直角三角形 解析：根據(jù)正弦定理 b= sTnB= COsA，因此 sinBcosB= sinAcosA，即 sin2B = a sinA cosB b 4 n sin2A，所以 B = A 或 2B+ 2A= n,由于 3，所以 2B+ 2A= nA. 106 +丄 2 3 C. 106+ ,-3 3 n mile/h n B 106-靈 B. 3 n mile/h D. 10 ,6- ；3 3 n mile/h 解析：如圖，在 MNS 中, MS= 20，/ NMS=

28、 45 / SNM= 105 / MSN =30 . MN 20s in30 sin 105 貨輪的速度為10迥-碇碇 n mile/h. 答案：B 9. ABC 中，AB = _.：3, A. j B. 43 式倉10砸-何 4 MN sin/ MSN. 精品文檔 成立，即 B + A=?. 答案：A AC= 1,/ B= 30 ,則厶 ABC 的面積等于 C.23或 3 D. 23或 4精品文檔 解析：sin30 尸 sinC，A si心 / C = 60 時(shí)，/ A= 90 BC= 2.此時(shí) SABC = .答案: 1111.已知 ABC的三邊長分別為 3,5,73,5,7，則該三角形的

29、外接圓半徑等于 12.12. 如圖，為測(cè)量山高 MN，選擇 A 和另一座山的山頂 C 為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn).從 A 點(diǎn) 測(cè)得 M點(diǎn)的仰角/ MAN = 60，C 點(diǎn)的仰角/ CAB= 45以及/ MAC = 75; 從 C 點(diǎn)測(cè)得/ MCA = 60 .已知山高 BC= 100 m,則山高 MN = _ m. 解析：利用三角函數(shù)的定義及正弦定理求解.根據(jù)圖示， AC= 100 2 m. AC AM 在厶 MAC 中，/ CMA = 180 75 60 = 45 .由正弦定理得 尸 ? sin 45 sin60 AM = 100 3 m. 在厶 AMN 中，MN = sin60 ； MN = 10/31

30、50(m).答案：150 13.13. _ 某海島周圍 38 海里有暗礁，一輪船由西向東航行，初測(cè)此島在北偏東 60方 向，航行 30海里后，測(cè)得此島在東北方向，若不改變航向，則此船 _ 觸礁 的危險(xiǎn).(填“有”或“沒有”) 解析：如圖，在 ABC 中，AB = 30,/ BAC = 30,/ ABC= 135 ,二/ ACB =15 爭 v 0 Z C38. 所以沒有觸礁的危險(xiǎn). 答案：沒有 14.14. _ 已知 ABC 的三個(gè)內(nèi)角 A, B, C 滿足 2B = A+ C,且 AB= 1, BC = 4,則 BC 邊上的中線 AD 的長為 . 解析：T2B = A+ C,二 A+ B+

31、C = 3B= 180 ,二 B= 60 , ； BC= 4, A BD = 2, ABD 中，AD= . AB2 + BD2 2AB BDcos60= ：12+ 22- 2X 1X 2cos60= 3. 答案：.3 15.15. 如圖，為了解某海域海底構(gòu)造，對(duì)海平面內(nèi)一條直線上的 A, B, C 三點(diǎn)進(jìn)行 測(cè)量.已知 AB= 50 m, BC= 120 m,于 A 處測(cè)得水深 AD = 80 m,于 B 處測(cè)得水 深 BE = 200 m,于 C 處測(cè)得水深 CF= 110 m,求Z DEF 的余弦值. 解：作 DM / AC 交 BE 于點(diǎn) N,交 CF 于點(diǎn) M，作 FH / AC 交

32、BE 于點(diǎn) H. 由題中所給數(shù)據(jù)，得 DF = ,MF2+ DM2= .3&+ 17&= 10.298, DE = ,DN2+ EN2= .502 + 12&= 130, EF =、EH2+ FH2= 902 + 1202= 150. 在厶 DEF 中，由余弦定理，得 cosZ DEF = 1302+ 1502 1&X 298_ 16 2X 130X 150 = 65. 16.16. 一只船以 20 海里/時(shí)的速度向正東航行，它在 A 點(diǎn)時(shí)測(cè)得燈塔 P 在船的北偏 東 60由正弦定理，得 DE2+ EF2 DF2 2X DE XEF j 50 B no e 精品文檔 方向，2 小時(shí)后船到達(dá) B

33、 點(diǎn)時(shí)測(cè)得燈塔 P 在船的北偏東 45 方向，求： (1)船在 B 點(diǎn)時(shí)與燈塔 P 的距離； 已知以 P 點(diǎn)為圓心，55 海里為半徑的圓形水域內(nèi)有暗礁，那么此船繼續(xù)向 正東航行，有無觸礁的危險(xiǎn)？ 解：精品文檔 如圖，在厶 ABP 中，依題意，知 AB = 20X 2 = 40, / FAB = 30 / ABP= 135 BP AB 所以/ APB= 15 .由正弦定理得 siBf 而 5，解得 BP= 206+2). (2)過 P 點(diǎn)作 PD 丄 AB, D 為垂足，在 RtA BPD 中，PD *BP2 巒+ 2055. 故船在 B 點(diǎn)時(shí)與燈塔相距 20(6+寸 2)海里，繼續(xù)航行有觸礁的

34、危險(xiǎn). 17.17. 某貨船在索馬里海域航行中遭海盜襲擊，發(fā)出呼叫信號(hào)，如圖，我海軍護(hù)航 艦在 A處獲悉后，立即測(cè)出該貨船在方位角為 45距離為 10 海里的 C 處，并測(cè) 得貨船正沿方位角為 105 的方向，以 10 海里/小時(shí)的速度向前行駛，我海軍護(hù)航艦 立即以 10海里/小時(shí)的速度前去營救，求護(hù)航艦的航向和靠近貨船所需的時(shí)間. 解：設(shè)所需時(shí)間為 t 小時(shí)， 貝 U AB= 1 曾 t, CB= 10t，Z ACB= 120, 在厶 ABC 中，根據(jù)余弦定理，則有 AB2= AC2 + BC2 2AC BCcos120 , 可得(10 邊護(hù) 1 儼+ (10t)2 2X 10X 10tco

35、s120 1 整理得 2t2t 1= 0,解得 t= 1 或 t =刃舍去). 艦艇需 1 小時(shí)靠近貨船. 此時(shí) AB= 10 衍，BC= 10,又 AC 10,所以/CAB 30所以護(hù)航艦航行的 方位角為 75 . 18.18. 在 ABC 中，內(nèi)角 A, B, C 的對(duì)邊分別為 a, b, c,且 bsinA 3acosB. (1)求角 B的大??；(2)若 b = 3, sinC2sinA，求 a, c 的值. 解：(1)由 bsinA acosB 及正弦定理孟島，得 si nB=V3cosB, 所以 tanB p3，所以 B = 3 a c 由 sinC 2sinA 及衆(zhòng)拄，得c加 由

36、b = 3 及余弦定理 b2= a2 + c2 2accosB，得 9= a2 + c2 ac, 所以 a J3, c= 2A/3. 19.19. 如圖，在樹叢中為了測(cè)量河對(duì)岸 A A、B B 兩點(diǎn)之間的距離，觀察者找到一個(gè)點(diǎn) C C,從 C C 點(diǎn)可 以觀察到點(diǎn) A A, B B;找到一個(gè)點(diǎn) D,D,從 D D 點(diǎn)可以觀察到點(diǎn) A A, C C;找到一個(gè)點(diǎn) E,E,從 E E 點(diǎn)可 以觀察到點(diǎn) B B , C.C.并測(cè)量得到圖中的一些數(shù)據(jù)，此外， 精品文檔 CDA CEB CDA CEB 60 60 . . (1) 求 ABCABC 的面積； (2) 求 A A、B B 兩點(diǎn)之間的距離. .精品文檔 1919解：(1 1) Rt ARt ACD CD 中， AC 16gtan60AC 16gtan60 16 3.16 3. Rt BCE Rt BCE 中