1、第1 1頁(yè)共 1919 頁(yè)2019 屆甘肅省、青海省、寧夏回族自治區(qū)高三5 月聯(lián)考數(shù)學(xué)(理)試題一、單選題1 1.已知集合A = x x? v2，貝y CRA=()A A.x|2蘭x蘭2B B.XX蘭一2或xK2C C .x -42 x 4?D.D. xx豈或xX近【答案】D【解析】先化簡(jiǎn)集合A，即可求出其補(bǔ)集【詳解】因?yàn)锳=xx? c2 = x -V? x V?，所以CRA =0)的準(zhǔn)線I與圓M : (x1 ) +(y 2 ) =16相切,則P =()A A 6 6B B. 8 8C C 3 3D D 4 4【答案】D D【解析】 先由拋物線方程得到準(zhǔn)線方程，再由準(zhǔn)線與圓相切，即可得出結(jié)果第

2、3 3頁(yè)共 1919 頁(yè)【詳解】因?yàn)閽佄锞€C : x2=2py的準(zhǔn)線為y = - R,2又準(zhǔn)線I與圓M :(x1f+(y 2$ =16相切，【答案】A A第 3 3 頁(yè)共 1919 頁(yè)A A . 3.143.141919B B. 3.14173.1417C C. 3.14153.1415D D . 3.14133.1413所以2 =4，則p =4. .2故選 D D【點(diǎn)睛】本題考查拋物線與圓的幾何性質(zhì)，熟記拋物線與圓的性質(zhì)即可，屬于?？碱}型Sn,若丄丄丄=2,32=2，則S3=()B B. 7 7【答案】A A結(jié)合題中數(shù)據(jù)，即可得出結(jié)果【詳解】故選 A A【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，熟記等

3、比數(shù)列的性質(zhì)即可，屬于?？碱}型6 6.割圓術(shù)”是劉徽最突出的數(shù)學(xué)成就之一，他在九章算術(shù)注中提出割圓術(shù)，并作 為計(jì)算圓的周長(zhǎng)，面積以及圓周率的基礎(chǔ)， 劉徽把圓內(nèi)接正多邊形的面積一直算到了正30723072 邊形，并由此而求得了圓周率為3.14153.1415 和 3.14163.1416 這兩個(gè)近似數(shù)值，這個(gè)結(jié)果是當(dāng)時(shí)世界上圓周率計(jì)算的最精確數(shù)據(jù). .如圖，當(dāng)分割到圓內(nèi)接正六邊形時(shí)，某同學(xué)利用計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬法向圓內(nèi)隨機(jī)投擲點(diǎn)，計(jì)算得出該點(diǎn)落在正六邊形內(nèi)的頻率為0.82690.8269，那5 5.已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為313233【解析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，得到丄丄丄二電上丄二323?83332

4、322,32因?yàn)榈缺葦?shù)列、3n1的前n項(xiàng)和為Sn，且丄丄丄=2,3i323332二2則丄.丄丄旦丄二3i32333i333233?33S3-ST2,則一.232么通過(guò)該實(shí)驗(yàn)計(jì)算出來(lái)的圓周率近似值為（參考數(shù)據(jù):0.8269:2.0946)第5 5頁(yè)共 1919 頁(yè)【解析】 先設(shè)圓的半徑為r，表示出圓的面積和正六邊形的面積，再由題中所給概率,即可得出結(jié)果 【詳解】故選 A A【點(diǎn)睛】7 7 .已知函數(shù)f x = COS X亠洽八A 0的最小正周期為 二，且對(duì)x R,【答案】B Bf兀）【解析】 先由最小正周期，求出,再由對(duì)x R,f x _f 恒成立，得到13丿2k；kZ，進(jìn)而可得 f f x x

5、 二 coscos 2x2x ，求出其單調(diào)遞減區(qū)間，即可得出結(jié)3 3. .3 3果 【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)f x =cos:的最小正周期為二，所以2,兀又對(duì)任意的x，都使得f x - f一 ,13丿即2k二,k Z,設(shè)圓的半徑為r，則圓的面積為2，正六邊形的面積為3舅2因而所求該實(shí)驗(yàn)的概率為2r2二r乙3=0.8269，則3. 320.826:3.1419. .本題主要考查與面積有關(guān)的幾何概型,熟記概率計(jì)算公式即可，屬于?？碱}型3恒成立，若函數(shù)y = f x在l.0,a 1上單調(diào)遞減,則a的最大值是（B B.Ji3所以函數(shù)f x在x二一上取得最小值，則332廠kZ,第6 6頁(yè)共 1919 頁(yè)3（兀）

6、所以 f f x x 二 coscos 2x2x 第7 7頁(yè)共 1919 頁(yè)I I3 3 丿 則函數(shù) y y = = f f x x 在0,上單調(diào)遞減，故a的最大值是二. .-L 33故選 B B【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的圖象及其性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力 則m,n, p的大小關(guān)系為()A A.m p nB.pnmC.pm：nD D.n p m【答案】C【解析】 先由函數(shù)奇偶性的概念判斷函數(shù)f x的奇偶性，再得到其單調(diào)性，確定1 log2 -,7-1,Ioq25的范圍，即可得出結(jié)果. .3【詳解】因?yàn)閒 x =2Hx2，所以f -x =2 (-x)2=2xx2二f (x),因此f x= 2ix-

7、x2為偶函數(shù)，且易知函數(shù)f X在0,；上單調(diào)遞增，1o i又log?-=Iog23(1,2 ), 7飛(0,1), Iog425 = log25(2,3 ),310 1所以Iog425 A Iog2 7,因此p m n. .故選 C C【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的應(yīng)用，熟記函數(shù)性質(zhì)即可，屬于常考題型9 9在四棱錐P - ABCD中，所有側(cè)棱都為 牛.2，底面是邊長(zhǎng)為2、6的正方形，0是P在平面ABCD內(nèi)的射影，M是PC的中點(diǎn)，則異面直線OP與BM所成角為()A.30B B.45C C.60D D.90【答案】C C【解析】先取N為OC的中點(diǎn)，得到OPLMN，則BMN是異面直線OP

8、與BM所JI令生仏w2心，解得JIk二-x 6Jik：，k Z,38 8 .已知函數(shù)xx2，設(shè)m二f log 2 ,p二f log425,第8 8頁(yè)共 1919 頁(yè)成的角，根據(jù)題意，求出 MNMN= .5,BM =2. 5，解三角形，即可得出結(jié)果 第9 9頁(yè)共 1919 頁(yè)【詳解】 由題可知0是正方形ABCD的中心，取N為0C的中點(diǎn)，所以 OPLMNOPLMN , 則.BMN是異面直線0P與BM所成的角因?yàn)?P_平面ABCD，所以MN_平面ABCD， 因?yàn)樵谒睦忮FP-ABCD中，所有側(cè)棱都為42，底面是邊長(zhǎng)為2.6的正方形,所以0C =2.3，所以0P二、32匚12 = 2；5，因此 MNMN

9、 =5 5，所以即BM =2、_5，所以cos BMN二空二丄MB 2 則異面直線OP與BM所成的角為60. .故選 C C本題主要考查異面直線所成的角，熟記幾何法作出異面直線所成的角，再求解即可，屬 于?？碱}型 2 2X y1010 .已知雙曲線 2a 0,b 0的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2，過(guò)F2且斜率又在PBC中,cos BPC =PB2PCJBC232 32一242PB PC2 32BM2二PB2PM -2PB *PM cos. BPC = 328-2 4 22、2二20【點(diǎn)第1010頁(yè)共 1919 頁(yè)a b為24的直線與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為A，若0 0,則此雙曲線的(F F?F

10、Ft+ + F F?A A)?F/?F/第1111頁(yè)共 1919 頁(yè)標(biāo)準(zhǔn)方程可能為(出結(jié)果 【詳解】 由(F F2F F1+ + F F2A)?F1A0 0,可知 旺=F2A=2C,24247又AF2的斜率為一，所以易得cos/AFzR =725在 AFiF2中，由余弦定理得AFi=16c,516由雙曲線的定義得- 2c = 2a,5c5所以e =-=-，則a:b=3:4,a 32 2所以此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可能為-y1. .916故選D【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，熟記雙曲線的幾何性質(zhì)與標(biāo)準(zhǔn)方程即可，屬于常考題型1111數(shù)列為 1,11,1, 2,12,1 , 1 1, 2,3,1,12,

11、3,1,1, 2,1,1,2,3,42,1,1,2,3,4，首先給出印=1，接著復(fù)制該項(xiàng)后，再添加其后繼數(shù)2 2，于是32=1,32，然后再?gòu)?fù)制前面所有的項(xiàng)1,1,21,1,2，再添加2 2 的后繼數(shù) 3 3，于是34 1,35 1,36 = 2,1,1,2,1,1,2,31,1,2,1,1,2,3，再添加 4 4，, ,如此繼續(xù)，則32019二()A A . 1 1B B. 2 2C C. 3 3D D . 4 4【答案】A A【解析】 先根據(jù)數(shù)列的構(gòu)成，結(jié)合歸納推理的方法，得到【詳解】由數(shù)列Sn的構(gòu)造方法可知31=1,33=2,37=3,a15=4，可得32nJ=n，即22xyA A.B

12、B.2 2C.16922x y D D.【答案】D D【解析】先由(F F2F F1+ +F2A)?FIA0 0 得到2424根據(jù)AF2的斜率為，求出cos AF2F25，結(jié)合余弦定理，與雙曲線的定義，得到c，求出專，進(jìn)而可得a?=3=3，接下來(lái)再?gòu)?fù)制前面所有的項(xiàng)32nj- n，進(jìn)而可得出結(jié)果第1212頁(yè)共 1919 頁(yè)抵丄k k二 1 1- -k k：2 2 _ _1 1,故選 A A【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的綜合問(wèn)題，考查運(yùn)算求解和推理論證能力，屬于?？碱}型二、填空題x一2 _01212.設(shè)x,y滿足約束條件y+2 K0，則z = x + y的最小值是 _.I Ix 2y -6 _ 0【答案】

13、0 0【解析】由約束條件作出可行域，再由目標(biāo)函數(shù)可化為y = -X z，當(dāng)直線y二-X z在y軸截距最小時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取最小值，結(jié)合圖像即可得出結(jié)果【詳解】x -2 _0由約束條件y 2 _ 0作出可行域如下:x 2y - 6 _ 0因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)y可化為y = -x z,所以，當(dāng)直線y二-x z在y軸截距最小時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取最小值，由圖像可得，當(dāng)直線z過(guò)點(diǎn)A時(shí)，截距最小，即 z z 最小;故a2019 = a996=a485 = a230=ai03 = a4o = a? = a2 = 1.第1313頁(yè)共 1919 頁(yè)易知A(2, -2),所以為廿2-2 = 0. .故答案為 0 0第1414頁(yè)共

14、1919 頁(yè)【點(diǎn)睛】本題主要考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，只需由約束條件作出可行域，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義即可求解，屬于?？碱}型1313 某公司對(duì) 20192019 年1月份的獲利情況進(jìn)行了數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，如下表所示:月份x1 12 23 34 4利潤(rùn)y/萬(wàn)元5 56 66.56.58 8利用線性回歸分析思想，預(yù)測(cè)出回歸方程為_(kāi) 【答案】y = 0.95x 4. .【解析】 先由題中數(shù)據(jù)求出x,y，結(jié)合題意，列出方程組，求出b與召，即可得出結(jié)果. .【詳解】551設(shè)線性回歸方程為y = bx y，因?yàn)閤,y =51,28由題意可得28，解得by=0.95，召=4,81?+? = 11.6-即y 0.95x 4

15、. .故答案為y =0.95x 4【點(diǎn)睛】本題主要考查線性回歸方程，熟記回歸方程的特征即可，屬于?？碱}型. .1414 若一個(gè)圓柱的軸截面是面積為4 4 的正方形，則該圓柱的外接球的表面積為【答案】8二.【解析】作出圓柱與其外接球的軸截面，結(jié)合題中數(shù)據(jù)，求出外接球半徑，再由球的表 面積公式，即可得出結(jié)果. .【詳解】作出圓柱與其外接球的軸截面如下：2020 佃年 8 8 月份的利潤(rùn)為 11.611.6 萬(wàn)元，則y關(guān)于x的線性第1515頁(yè)共 1919 頁(yè)所以球的表面積為S =4二、2 i；=8二.故答案為8二【點(diǎn)睛】【詳解】且方程的根是 f f x x 的異號(hào)零點(diǎn)，在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y二ex

16、和y =2ax的圖象,如圖所示,設(shè)圓柱的底面圓半徑為r，則BC =2r，所以軸截面的面積為S正方形ABCD因此，該圓柱的外接球的半徑BD . 2222遷,本題主要考查屬于?？碱}型_x21515.若函數(shù)f x =e -ax有極值點(diǎn),則a的取值范圍是【答：,o U -，12【解先將函數(shù)有極值點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為方程ex-2ax =0有根，且方程的根是fx x 的異結(jié)合圖像，以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義, 即可求出結(jié)果由題可知，函數(shù)f x的定義域?yàn)镽,f x=ex-2ax，則方程ex-2ax = 0有根,D第1616頁(yè)共 1919 頁(yè)第1717頁(yè)共 1919 頁(yè)當(dāng)直線y =2ax和曲線y =ex相切時(shí),2eX0ve設(shè)切

17、點(diǎn)為P Xo,yo，則yo ex，解得a匕,yo=2axg(e)由圖可知, ：. .2fe、故答案為( (- -, , u,u, - -， 【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)與極值問(wèn)題，以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查化歸與轉(zhuǎn)化，函數(shù)與方程的思想以及運(yùn)算求解能力和推理論證能力 三、解答題1616 在ABC中，角 A,B,CA,B,C 所對(duì)的邊分別為a,b,c,(1(1)求 A A 的大小;(2)先求出sinC，再由正弦定理求出b，根據(jù)三角形面積公式，即可得出結(jié)果【詳解】即b2c2a2二、2bc，bsin BcsinCHnBsinC+si nA sin A(2(2)若Lna2,B=3，求ABC的面積. .【答A=4.

18、( (2) )SABC3 .34【解(1(1)先由正弦定理，將bsin B csinC二a層減麗-麗化為 sinAb2c2=abcaa， 結(jié)合余弦定(1(1)因?yàn)閎sinB csinC二afV2sinBsinCti si nAsinA,由正弦定理可得：b2cabcaa第1818頁(yè)共 1919 頁(yè)再由余弦定理可得2bc 8S A =、2bc，即 coscos A A =子, , 所以A=】；4（2）因?yàn)锽 = 3，所以sinC = sin A B2，ab由正弦定理而二而，可得b3SABCJabsincF3：24【點(diǎn)睛】 本題主要考查解三角形，熟記正弦定理、余弦定理即可，屬于?？碱}型 1717 如

19、圖，在直四棱柱ABCD-ABQP中，底面ABCD是矩形，AD與交于點(diǎn)E,AA|= AD = 2AB = 4. .(1) 證明：AE_平面ECD;(2) 求直線AC與平面EAC所成角的正弦值. .【答案】見(jiàn)解析.應(yīng).9 9【解析】(1 1)根據(jù)線面垂直的判定定理， 先證明CD_平面AA1D1D,得到CD _ AE, 進(jìn)而可證明結(jié)論成立；(2 2)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，求出直線AiC的方向向量、平面EAC的一個(gè)法向量，求兩向量夾角的余弦值，即可得出結(jié)果【詳解】(1 1)證明：因?yàn)樗睦庵鵄BCD - A1BQD1是直四棱柱，所以AA _平面ABCD，則AA1- CD. .又CD

20、 AD,AAPl AD二A,所以CD平面AAiDQ，所以CD _ AE. .第1919頁(yè)共 1919 頁(yè)因?yàn)锳A _AD,AA=：AD，所以AAlDiD是正方形，所以AE _ ED 又CD一ED = D，所以AE_平面ECD. .(2 2)因?yàn)樗睦庵鵄BCD-AB1C1D1是直四棱柱，底面ABCD是矩形，所以以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ) xyz，貝yA 0,0,0 ,A 0,0,4, ,C 2,4,0 ,E 0,2,2，訖二2,4,0, ,設(shè)平面EAC的法向量為n = x, y, z由n _AC，n _AE，可得2x4y=0,2 y公=o，令z=i，則n二2,-i,i，設(shè)直線A

21、C與平面EAC所成的角為:，所以直線AC與平面EAC所成角的正弦值為6. .9 9【點(diǎn)睛】本題主要考查線面垂直的判定、以及求線面角的問(wèn)題，熟記線面垂直的判定定理、靈活運(yùn)用空間向量的方法求空間角即可，屬于?？碱}型1818 .某工廠預(yù)購(gòu)軟件服務(wù)，有如下兩種方案：方案一：軟件服務(wù)公司每日收取工廠6060 元，對(duì)于提供的軟件服務(wù)每次1010 元；二2,4,-4則sin：AiCn15,xw N（2 2）設(shè)方案一種的日收費(fèi)為X，由條形圖可得X的分布列為X190190200200210210220220230230P0.10.10.40.40.10.10.20.20.20.2所以E X =190 0.1 2

22、00 0.4 210 0.1 220 0.2 230 0.2 =210（元）方案二中的日收費(fèi)為丫，由條形圖可得丫的分布列為丫200200220220240240【答案】方案一中：y = 10 x 60, x N方案200,x_15,x N20 x -100,x 15,x N第2222頁(yè)共 1919 頁(yè)P(yáng)0.60.60.20.20.20.2第2323頁(yè)共 1919 頁(yè)E Y ;=200 0.6 220 0.2 240 0.2 = 212(元)所以從節(jié)約成本的角度考慮，選擇方案一【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的應(yīng)用，以及離散型隨機(jī)變量的分布列與期望，熟記相關(guān)概念即可,屬于?？碱}型 2 2佃已知橢圓C :

23、篤爲(wèi)a b(1)求C的方程；1(2)若斜率為 的直線I與橢圓C交于P,Q兩點(diǎn)(點(diǎn)P,Q均在第一象限)，O為坐2標(biāo)原點(diǎn)，證明：直線OP,PQ,OQ的斜率依次成等比數(shù)列. .2【答案】(1)(1) - -y2=1.(2).(2)見(jiàn)解析. .4【解析】(1 1)根據(jù)題中條件，得到a 2，再由 b b2二 a a2_c_c2，求解，即可得出結(jié)2c二2 3果；1(2 2)先設(shè)直線I的方程為yn-x,P x,%,Q X2，y2, ,聯(lián)立直線與橢圓方程，yy22kopkoQ，只需和kPQ相等，即可證明結(jié)論成X1X2【詳解】c3a 22c = 2432所以橢圓方程為Xy2= 1. .4=1 a b 0的離心率

24、為 ，焦距為2、3. .結(jié)合判別式、韋達(dá)定理等，表示出(1(1)由題意可得，解得又b222=a -c1(2(2)證明：設(shè)直線1的方程為廠寧円,P x1,y1,Q x2,y2, ,第2424頁(yè)共 1919 頁(yè)2 21 = 4 2 -m , 0，且x1x2= 2m0,f 1也丫2= |一一+m I一x2+m l=x,x2一mf%+x2+m12 JI 22J 422J1 12X1X2m1X1 X2 j亠m .k k _y“2_41 22 I12)1_k2OP f OQPQXjX2x1x24即直線OP,PQ,OQ的斜率依次成等比數(shù)列. .【點(diǎn)睛】本題主要考查求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及橢圓的應(yīng)用，熟記橢圓的

25、標(biāo)準(zhǔn)方程以及橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)即可，屬于?？碱}型. .2020.已知函數(shù)f x =1 nx, g x =x1,. .(1) 當(dāng)k為何值時(shí)，直線y = g x是曲線y=kf x的切線；(2) 若不等式g , x _af x在1,e 1上恒成立，求a的取值范圍. .(11【答案】k=1.(2).(2)-：,. .I 2【解析】(1)先令n x =kf x = klnx，求其導(dǎo)數(shù)，設(shè)切點(diǎn)為X0,y，由直線y = g x11是曲線y =kf x的切線，得到Ink1，用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)F x；=ln x 的kx單調(diào)性，即可求出結(jié)果；(2 2)先令h x i；= af x ?-g、.x =a ln x -

26、x 1,對(duì)其求導(dǎo)，分別討論a豈0和a 0兩種情況，結(jié)合題意，即可得到結(jié)果 【詳解】k(1 1)令nx二kf x二kl nx,nx：x，/ i k ,1設(shè)切點(diǎn)為X0,y0，貝U1,x-1二kl nx。，則ln k 1. .X0k1”11 x _1令Fx=l nx,F x22，則函數(shù)y =F x在0,1上單調(diào)遞減，XXX X1y x m22 x_y2.1.42 2消去y，得x -2mx 2 m -1 = 0:=4m28 m22m2一12第2525頁(yè)共 1919 頁(yè)在 1,1,；上單調(diào)遞增，且F 1 =1，所以k =1. .(2 2)令h(x )=af (x ) g(仮)=al n x仮+1，貝yh

27、(x = -=2a_依x 2X2x1當(dāng)a乞0時(shí)，h x：0 0,所以函數(shù)h x在1,e1上單調(diào)遞減，所以 h h x x hh 1 1 .0.0，所以a0滿足題意 2當(dāng)a 0時(shí)，令h I x =0，得 x=4ax=4a2，22所以當(dāng)X三0,4a時(shí)，h x 0，當(dāng)xE i4a ,：時(shí)，h x 0. .22所以函數(shù)h x在0,4a上單調(diào)遞增，在4a ,：上單調(diào)遞減. .所以h x 2a 1 = 2a In 2a ?-2a 10. .設(shè)m(x)=2xIn(2x)_2x+1匕x角I22丿”1)m x m 2=0，不滿足題意. .(說(shuō))當(dāng)0：4a2乞1，即 0 0：a -1時(shí)，h x在1,e 1上單調(diào)遞

28、減,2 2所以 h h x x h h 1 1，所以 0 0 :a a _丄滿足題意 2 2綜上所述：a的取值范圍為【點(diǎn)睛】本題主要考查由切線方程求參數(shù)，以及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，熟記導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性、極值等，靈活運(yùn)用分類討論的思想求解即可，屬于?？碱}型(i)當(dāng)4a2亠h x在1,el上單調(diào)遞增,，則mx=2ln所以m(x旌(丄,角122丿上單調(diào)遞增，第2626頁(yè)共 1919 頁(yè)2121 選修 4-44-4 :坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)0為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系,直線I的極坐標(biāo)為：、cos一二=，曲線C的極坐標(biāo)方程為 - 6cos v - 0. .I 4丿2（1 1）寫出直線I和曲線C的直角坐標(biāo)方程；2 2（2 2）已知點(diǎn)M（1,0 ），若直線I與曲線C交于P,Q兩點(diǎn)，求MP| +|MQ|的