1、第1 1頁共 2222 頁2019 屆海南省華僑中學高三第四次月考數(shù)學（理）試題、單選題1 1 .計算 sinsin600600 的值是（）（）A A .0.5B B.0.5C.遼遼D D.蘭22 2【答案】D D【解析】【考點】 運用誘導公式化簡求值.分析：把原式的角度 600600變形為 2 2X360360-120-120 然后利用誘導公式化簡，再把120120變?yōu)?80180。-6060 ；禾 U U 用誘導公式及特殊角的三角函數(shù)值即可求出值.解：sinsin600600 sinsin （2 2X360360-120-120 =-sin120=-sin120 =-sin=-sin(18

2、0180 -60-60 =-s=-s in60in60 = = 故選 D Dz 12 2 .若復(fù)數(shù)z a i,a R，且為純虛數(shù)，則 z z 在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于 （i1A A .第一象限B B.第二象限C C .第三象限D(zhuǎn) D .第四象限【答案】B B【解析】 根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運算以及純虛數(shù)的理解，可得結(jié)果【詳解】z 1 ai 11ai 1a i 11 -i 1 i 1i1i1“ z1aaz 1為純虛數(shù)即-1 -i,又i122i 1所以a2, ,z2i, ,其對應(yīng)的點為2,1，在第二象限故選 B.B.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的運算和分類，以及復(fù)數(shù)與之所對應(yīng)的點，識記概念，簡單計算，屬基礎(chǔ)題 3

3、 3.已知函數(shù)f(x) sinx x R,40的最小正周期為， 為了得到函數(shù)第2 2頁共 2222 頁g X cos x的圖象，只要將y f x的圖象( () )cos 2x cos2(x ),8因此它的圖象向左平移 一個單位可得到 g(x)g(x) COS2XCOS2X 的圖象故選 A A .8【考點】函數(shù)f(x) Asin( x)的圖象與性質(zhì).【名師點睛】4 4函數(shù)y |2x11在區(qū)間(k 1,k1)內(nèi)不單調(diào)，則實數(shù)k的取值范圍()A A .( 1,)B B.(,1)C C.( 1,1)D D.(0,2)【答案】C C【解析】由于函數(shù) y=|2y=|2x-1|-1|在(-(-m,0,0 內(nèi)

4、單調(diào)遞減，在(0,+(0,+ 內(nèi)單調(diào)遞增，而函數(shù)在區(qū)間A A .向左平移個單位長度8B B.向右平移個單位長度8C C .向左平移一個單位長度4D D .向右平移一個單位長度4【答案】A A【解析】【詳解】由 f f (x)(x)的最小正周期是，得2，即f (x)sin(2x -)cos 22x三角函數(shù)圖象變換方法:第3 3頁共 2222 頁（k-1,k+1k-1,k+1）內(nèi)不單調(diào)，所以有 k-10k+1,k-10k+1,解得-1k1.-1k1.5 5.函數(shù)f x1xe2sin xcosx在區(qū)間%上的值域為（)1A A .,2le22A AB B.1 1,-e22 2C C.1,e2D D.1

5、,e2【解析】試題分析：在區(qū)間0,上，21X1xXf xexsin x cosx + excosx sin xeXcosx 0,所以f x單調(diào)遞2211 -21 1了增，f 0, fe所以值域為，一e.22 22 2【考點】函數(shù)導數(shù)求值域.6 6.在ABC中，已知a b c ab c 3ab，且2cos As in BsinC,貝U ABC必是（）A A .等腰三角形B B.直角三角形C C .等腰或直角三角形D D .等邊三角形【答案】D D【解析】化簡式子可得a2b2c2ab，根據(jù)余弦定理可得C ，然后對32cosAsinB sinC使用兩角和的正弦公式，可得A B，最后可得結(jié)果【詳解】在

6、ABC中，C = -(B + C)則2cosAsinB sinC sin A B, , 2cosAsinB sinAcosB sin BcosA, ,二sin AcosB sin BcosA 0, , sin A B 0, ,AB, ,/a b c a b c 3ab, ,2 2- a b c 3ab, ,即a2b2c2ab, ,2第4 4頁共 2222 頁由余弦定理可得cosC 0 c n, A B C -3故ABC為等邊三角形，故選 D.D.【點睛】本題考查利用余弦定理判斷三角形形狀, 熟練余弦定理、正弦定理的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題7 7 .已知等比數(shù)列an的前n項和為Sn,若a4，4S2，a5成

7、等差數(shù)列，則公比q的值為（ ）B B. 2 2【答案】C C【解析】分情況討論q根據(jù)等比數(shù)列的前n項和公式以及通項公式,結(jié)合等差數(shù)列等差中項的應(yīng)用, 可得結(jié)果【詳解】1時, ,a4ai, ,4 S28ai, ,a5ai不為等差數(shù)列；1時, ,a4a1q3, ,4S24a12,a5= a4, ,則a1q48a11 q21 q8 q210, ,故選:【點睛】本題考查等比數(shù)列通項公式與前n項和公式，還考查等差數(shù)列等差中項的應(yīng)用,熟練公式以及等差、等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題8 8 .已知0,cos23cos2，則下列選項正確的是（A A.tantan 2tanC C.tan2tantan1tan2

8、1 +tan【答案】【解析】通過轉(zhuǎn)換，根據(jù)兩角和與差的余弦公2第5 5頁共 2222 頁第6 6頁共 2222 頁式，并結(jié)合商的關(guān)系，將弦轉(zhuǎn)化為切，可得結(jié)果【詳解】由,2貝y coscos即coscoscos sinsincos2則cos2coscossinsin由cos3cos2所以2coscos4si nsinsinsin1口口1所以一，即tantancoscos22故選：B B【點睛】 本題主要考查兩角和與差的余弦公式，熟練公式，細心計算，屬基礎(chǔ)題小小3 n 1 an*9 9 已知數(shù)列an滿足印3,an,-nN，若n N,使得nan3k 4n0成立，則實數(shù)k的取值范圍是（）2764【答案

9、】D Dn3【解析】化簡式子根據(jù)等比數(shù)列定義可得an,然后分離參數(shù)并構(gòu)造新數(shù)列n -4n記r n3，利用cn 1,cn比較，判斷數(shù)列的單調(diào)性， 并得最值，通過最值與k比較,4可得結(jié)果. .【詳解】3 n 1 anan inNn記 b bna anB B.,0.an1第7 7頁共 2222 頁則bn是以bi 3, ,q 3的等比數(shù)列- bnon3， ann 3n, ,N, ,ann3k 40, ,等價于,3k，即3kmaxn3n _4則Cnicnn 13n 1n4- n3時, ,Cn 1Cn；n 4時, ,Cn qC2c3qC5C6L, ,n381nC3c4. .464- k27max實數(shù)k的取

10、值范圍為64，故選：D D1【點睛】令cn本題考查根據(jù)遞推關(guān)系得到等比數(shù)列,分離參數(shù)求參的方法，考查分析能力,1010 .等腰梯形ABCD中，已知uuurADuuuuuurPB PCuuu0，設(shè)APB B.【答案】【解析】2764還考查使用分離參數(shù)的方法求解參數(shù)范圍，掌握屬中檔題AB/CD，且AB 2CD,A 60，若動點P滿足uuuAB，則采用數(shù)形結(jié)合并建系，根據(jù)uuuPBuuuPC的最大值為(0，可知P在以BC為直徑的圓上，利用圓的參數(shù)方程假設(shè)點P坐標，然后計算，結(jié)合輔助角公式，可得結(jié)果【詳解】以A為坐標原點，AB為x軸正方向建系，如圖6第8 8頁共 2222 頁B 2,0, ,Cuuur

11、 uuu由PB PC0, ,則P在以BC為直徑的圓上2則點P的軌跡方程：x -1 cos21 .sin2uuu則APuuurADuuuAB74.31 cos21 .sin2化簡可得1 cos41 .sin4.3當sin故選:【點睛】13sin1 cos41sin21時,2inmax本題考查建系的方法解決幾何問題,難點在于P的軌跡以及坐標表示,通過建系將幾何【答案】C C第 8 8 頁共 2222 頁問題代數(shù)化，同時熟悉輔助角公式的使用，屬中檔題31111.設(shè)函數(shù)f X x,若0時，f mcos f 1 m 0恒成立，則實數(shù)m2的取值范圍是（）1A A .,1B B.，C.,0D D.0,12【

12、答案】A A【解析】 根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，將不等式轉(zhuǎn)化為mcos m 1 0，在0恒成立，通過構(gòu)建函數(shù)g t mt m 1,t cos，結(jié)合一次函數(shù)的圖像，2可得結(jié)果【詳解】3f X X為奇函數(shù)且在R上為單調(diào)增函數(shù) f mcosf 1m0f mcos f m 1mcosm1m cosm10恒成立，令g cosmcosm 1, ,第1010頁共 2222 頁又0又令t則有：故選：【點睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)性求解不等式考驗分析能力以及觀察能力，屬中檔題1212 設(shè)函數(shù)f數(shù)為（A A . 8 8難點在于得到mcos m 10,，則函數(shù)g x x f x 1的零點的個C C. 6

13、6D D . 5 5第1111頁共 2222 頁1【解析】 通過等價轉(zhuǎn)化的思想，可得函數(shù)y f x ,y-圖像交點的個數(shù)，根據(jù)x11x 2,，f x - f x 2，可得f 2n 0, f 2n 1 f n N，作圖22n 1可得結(jié)果 【詳解】由題意：函數(shù)g x x f x 1的零點的個數(shù)1等價于函數(shù)y f x , y圖像交點的個數(shù)由f X 1所以ff x 2 ,x2,20, ,f 10f 21, ,f 12f 3 12 2當x2,時，f 41f 20, ,f 61f40, ,22易得f4f 6f 8f 2n0, ,又f 31f 11- -，同理f 51f 312224f 7!f5128如圖故

14、選：C C【點睛】本題考查函數(shù)零點個數(shù)問題，常常會利用等價轉(zhuǎn)化的思想，函數(shù)零點個數(shù)等價于相應(yīng)方程根的個數(shù)等價于函數(shù)圖像交點個數(shù)，屬中檔題x1 x 1 ,x ,2顯然零點共 6 6 個，其中左邊 1 1 個，右邊 5 5 個. .第1212頁共 2222 頁、填空題第1313頁共 2222 頁1313.ABC中，已知a ,2, b 2,B45，則A為_【答案】30oab【解析】在ABC中，由正弦定理得，所以sin Asi nA si nB1，又a b，因此A 45，所以A 30。答案：3030。231414 設(shè)函數(shù)f(x) ax2b(a 0)，若f (x)dx 3f(x。)，x。0，則0X。_【

15、答案】.3.332【解析】f x ax b, ,f x dx 3 f x0，0則 9a+3b=3a9a+3b=3ax2+3b+3b, x=3,=3,解得：x0= =3, 故答案為,3.,3.r rr/ r rr3r1515 .已知向量a,b滿足a y3,b4,a在b上的投影為一.若向量c滿足2c 2a c b 0，則c a的取值范圍是_. .【答案】1,3r rr uuu r umr r uuur【解析】計算a與b夾角，記a OA,b OB,c OC,然后采用建系，可得點C滿足 的方程x 2蟲y 121，然后計算d AM，根據(jù)c a d r,d r,可得結(jié)果. .【詳解】r3由題可知：a co

16、s cos2所以-.以。為坐標原點建系如圖a sin Bb一2 sin 45232axb dx13ax3bx3=9a+3b=9a+3b，04第1414頁共 2222 頁x 2.3, yx 2.3, y 2則x 2.32y 121, ,圓心M 2、3,1 ,r 1-2x 3y2表示C到A的距離,所以d故答案為:【點睛】AM32d r ,d r1,3122, ,1,3. .本題考查利用建系的方法解決向量的問題,向量是代數(shù)與幾何的一個紐帶,熟悉使用建系的方法，化繁為簡，考驗對問題的分析能力，屬中檔題1616 .已知點P在曲線-上，為曲線在點P處的切線的傾斜角,1的取值范圍是【答案】3【解析】.yy

17、-1-1 ,0)0),三、解答題1717 設(shè)函數(shù)4ex/ x(e1)24exe2x2ex14ex2e當且僅當，即 x x= 0 0 時等號成立.e-1-1 , 0)0).3na00, n，a, n. .2cosx. .4第1515頁共 2222 頁第1616頁共 2222 頁f X k,k R在區(qū)間0,上的無零點，求k的取值范圍【答案】(1)務(wù)3；(2)k 4或k 2后計算X6的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，可得結(jié)果(2(2)根據(jù)(1 1)的結(jié)論，計算f X的值域，根據(jù)f X的值域與k比較，可得結(jié)果所以f X/3sinX2cosX4sinX64sin所以X則令 -(1)求函數(shù)f X在x的單調(diào)遞增區(qū)

18、間(2)若函數(shù)h X【解析】(1 1)利用二倍角的正弦公式以及輔助角公式，可得4sinx，然6【詳解】4,3-XCOS-X2COSX56由函數(shù)sin第1717頁共 2222 頁2故函數(shù)f的單調(diào)遞增區(qū)間為(2)0,函數(shù)k 4si n， 所以4sin2,4, ,所以當k無零點. .【點本題考查正弦型函數(shù)的應(yīng)用，掌握基本的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像與性質(zhì),第1818頁共 2222 頁考驗計算能力，屬基礎(chǔ)題cos A1818 已知ABC的三個內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，且cosC(1(1)若三角形的三邊a,b,c構(gòu)成公差為 2 2 的等差數(shù)列，求a的值；(2)若點D在邊AB上，且滿足

19、DBDC, ,AD 3BD，求tan A的值. .DBCBCD，然后可得ACD，最后使用正弦定理以及弦化切，可得結(jié)果【詳解】綜上, ,a 3. .【答案】(1)【解析】(1)根據(jù)正弦定理將邊化角可得C，利用a,b,c構(gòu)成公差為 2 2 的等3差數(shù)列, 可知b a 2,c a4, ,最后利用余弦定理，可得結(jié)果cosA(1 1)由 cosC二cosAsinCa 2bsin A 2sinB二sin A；sinB 0 Ccsin AcosC2sin BcosCsi nC2sin BcosC, ,sinB 2sin BcosC, ,1cosC, ,2, C .3b,c構(gòu)成公差為由三邊a,的等差數(shù)列設(shè)三邊

20、長為a, ,a 2, ,a + 4, ,則cosCa2a 22a a 2所以a 3或a2(舍)a 2b(2)根據(jù)DB DC，可知設(shè)A，則B 60， 由DBDC, ,BCD 60，故ACD60(2(2)如圖，第1919頁共 2222 頁在ACD中，由正弦定理第2020頁共 2222 頁ADCD3CDCDsin ACD sin Asin 60sin則3sinsin 603sinsin 60cos21 .sin2tan【點睛】本題考查正弦定理、余弦定理解三角形, 掌握三角形中正弦定理、余弦定理以及面積公式，考驗分析問題能力，屬中檔題1919 .設(shè)數(shù)列an滿足a 2a24a3n 1L 2 ann 1

21、2n1,且數(shù)列an的前n項和為Sn. .(1)(1)an的通項公式;(2)(2)bnanan +1S2，記數(shù)列bn的前n項和為 證明：對于任意n N,都有Tn4. .【答案】(1)(1)ann答案見解析【解析】(1)(1) 計算a2a2n 2an 1n 1/n 2 21,然后聯(lián)立原式，可得結(jié)果. .(2(2)根據(jù)(1 1)的結(jié)論，可得bn12n，然后裂項求和的方法可得Tn，最后可得結(jié)果. .【詳解】(1(1)由題可知:2a24a32n1an2n1, ,1時, ,a11, ,a12a24a32n2ann 12 1, ,第2121頁共 2222 頁第2222頁共 2222 頁-得2n 1ann 2

22、n 1,即務(wù)經(jīng)驗證ai1符合上式, ,所以ann n(2(2)由題意:S佝an)nn2anan+1bn24 2n 1n2n 12-Tnbib2Lbn122122所以Tn4 1【點睛】本題考查數(shù)列的綜合應(yīng)用，熟練Sn, an之間的關(guān)系以及常用的數(shù)列求和的方法, 比如:錯位相減，裂項相消, 公式法等, 屬中檔題2020 .已知函數(shù)f Xxcosx,g x sin x,(1)求證：f X(2)若ax g Xbx在0,上恒成立，求2a的最大值與b的最小值. .【答案】(1 1)答案見解析;2(2(2)a最大值為一，b的最小值為 1.1.【解析】(1 1)構(gòu)建函數(shù)hx xcosx sinx，通過導數(shù)研究

23、函數(shù)h x在，2單調(diào)性并計算最值，可得結(jié)果(2)構(gòu)造函數(shù)M xsinx cx，通過分類討論的方法，c 0,c 1和0 c 1,利用導數(shù)判斷函數(shù)Mx的單調(diào)性，并計算最值比較，可得結(jié)果【詳解】(1)由h xg x x cosx sin x所以h x cosx xsinx cosx xsinx. .第2323頁共 2222 頁第2424頁共 2222 頁又x 0, ,h x xsinx 0, ,2所以h x在區(qū)間上0,單調(diào)遞減. .2從而h x h 00, ,f x g x. .(2 2)當x 0時,“ax gx”等價于Sinx ax 0”“g x bx”等價于Sinx bx 0”.令M x sin

24、x ex, ,則Mx cosx c, ,當e 0時，M x 0對任意x 0,恒成立 2當e 1時，因為對任意x 0,2Mxeosx eo, ,所以M x在區(qū)間0,-上單調(diào)遞減從而M x M 00對任意x 0,恒成立. .2當0 e 1時，存在唯一的x00,，使得Mx eosx e 0. .2第2525頁共 2222 頁因為M x在區(qū)間0,xo上是增函數(shù)所以M% %M 00. .進一步, ,M x 0對任意x 0,-恒成立”2當且僅當M 1c；0,即02 c, ,22綜上所述:當且僅當c2 -時,Mx0對任意x 0,恒成立2當且僅當c1時, ,M x0對任意x0,恒成立. .2所以，若ax g

25、x bx對任意x 0,恒成立,22則a最大值為一，b的最小值為 1.1.【點睛】本題考查導數(shù)的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵在于構(gòu)建函數(shù)，化繁為簡，同時掌握分類討論的思想，考驗分析問題的能力以及計算能力，屬中檔題2121.已知函數(shù)f X xlnx，其圖象的一條切線為y a X 1 (1) 求實數(shù)a的值；2(2) 求證：若0ba，則fx x 1 b x l nx. .【答案】(1 1)1； (2 2)答案見解析xMxM xM x與Mx在區(qū)間%上的情況如下第2626頁共 2222 頁【解析】(1 1 )假設(shè)切點，根據(jù)曲線在某點處導數(shù)的幾何意義，以及已知的切線方程，可得lnxoX。1 0,然后研究h x lnx x

26、 1可得xo，最后代值計算，可得結(jié)果. .(2 2)構(gòu)建函數(shù)g x xlnx In x x21 b x，計算g x，并利用二階導判斷g x的單調(diào)性，根據(jù)g x的值域來判斷g x的單調(diào)性，進一步求得g x 0,可 得結(jié)果. .【詳解】1第2727頁共 2222 頁(1)函數(shù)定義域為0,f xxlnx,.fx Inx 1.由題可知:f x在點xo，xoIn Xo處的切線為y a x 1, ,則a In Xo1且XoIn xoaxo1, ,二xjlnxoIn怡1 xo1，即In xoxo1 o. .令h x In x x 1 x o hx o, ,h x在0,1單調(diào)遞增當x 1時，hx o, ,h

27、x在 1,1, 單調(diào)遞減 當o x 1時, ,h x h 1 o；當x 1時, ,h x h 1 o. .1,a In Xo11. .故實數(shù)a的值為1. .即gxxI n xIn xx21b則1g xIn x 112x 1b. .x即1g xIn x12xbx令m xIn x12xb, ,x1112x2x則mx222x xx(2)令g x1x2x2x 1 o恒成立, ,2f x x 1 b x I nxm x在o,單調(diào)遞減，即gx在o,單調(diào)遞減. .122In e b e 1 bo, ,eee第2828頁共 2222 頁2X2O恒成立, ,1n xO，故n x在,1單調(diào)遞增. .e- g xo

28、g 1 In 11111 O, ,故g X g Xo1 O, ,即f xx21 bXIn x O. .2當O b 1時,f X X 1 b X I nx.【點睛】g 1 In 1 1 2 b b 1 0, ,Xo， 使得gXo0. . 當O,Xo時, ,g X0; ;XoXo,時, ,g X0, ,X在O,Xo單調(diào)遞增g XoXoIn XoXo2XO，在Xo,In Xo2Xo單調(diào)遞減. .1 b Xo. .O, ,即InXo -Xo2XoXoIn XoXoIn Xo2Xo1 b Xo21XoIn XoIn XoXoXo2xoInXo XoInXo2XoXo1 Xo;1eInX1,X丄1 e2X

29、2X21In XoXoXoXo第2929頁共 2222 頁本題考查導數(shù)的綜合應(yīng)用，第（2 2）問中，難點在于需要用二階導來判斷原函數(shù)的單調(diào)情況，考驗對問題的分析能力以及邏輯思維能力，屬難題 2222 在平面直角坐標系xOy中，已知直線l過點P 2,1且傾斜角為為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，若曲線C的極坐標方程為直線I與曲線C相交于A, ,B兩點. .（1 1）寫出曲線C的直角坐標方程和直線I的參數(shù)方程;x 2或2x y 30. .可得結(jié)果 結(jié)合韋達定理，進行計算，可得結(jié)果【詳解】（1）由直線I過點P 2,1且傾斜角為x 2 t cos得直線I的參數(shù)方程為( (t為參數(shù)););y 1 tsi n, 2cos 2.2小小由2，則sin 2 cos, ,sinx cos因為ysin 所以