1、數(shù)的整除”易錯題集錦一 . 填空(1)100 以內(nèi) 14 的倍數(shù)有 ( ),21 的倍數(shù)有 ( ) 它們的公倍數(shù)有 ( ),14 和 21 的最小公倍數(shù)是 ( ).(2)8 和 9 的最大公約數(shù)是 ( ), 最小公倍數(shù)是 ( ).(3)18 和 54 的最大公約數(shù)是 ( ), 最小公倍數(shù)是 ( ).(4) 三個質(zhì)數(shù)的最小公倍數(shù)是 105,這三個數(shù)是 ( ),( ),( ).自然數(shù) a 和 b,若 a 十 b=4,那么 a 與 b 的最小公倍數(shù)是().(6) A=2X3X3X5;B=2X2X3X5X11,那么 A 與 B 的最小公倍數(shù)是().(7) 如果 a,b 兩數(shù)是互質(zhì)數(shù) , 那么它們的最大

2、公約數(shù)是 ( ), 最小公倍數(shù)是 ( ).(8) 如果甲數(shù)能被乙數(shù)整除 , 甲, 乙兩數(shù)的最大公約數(shù)是 ( ).(9) 2 和 5 的公倍數(shù)特點是 ( ),2 和 5 的最小公倍數(shù)是 ( ).(10) 11 和 15 的最大公約數(shù)是 ( ). 最小公倍數(shù)是 ( ).(11) 48 和 16 的最大公約數(shù)是 ( ), 最小公倍數(shù)是 ( ).(12) 3,7 和 10 的最大公約數(shù)是 ( ), 最小公倍數(shù)是 ( ).(13) 7,21 和 42 的最大公約數(shù)是 ( ), 最小公倍數(shù)是 ( ).二. 判斷下面各題.正確的在()里畫V,錯誤的在()里畫”X.(1) 如果兩個數(shù)互質(zhì) ,那么它們沒有公約數(shù)

3、和最大公約數(shù) ( ).(2) 兩個不同的質(zhì)數(shù)一 定是 互質(zhì)數(shù) .( )(3) 兩個合數(shù)一定不是互質(zhì)數(shù) .( )(4) 互質(zhì)的兩個數(shù)一定都是質(zhì)數(shù) .( )(5) 互質(zhì)的兩個數(shù)的乘積是它們的最小公倍數(shù) .( )(6) 兩個自然數(shù)的積 ,一定是這兩個數(shù)的公倍數(shù) .( )(7) 兩個數(shù)的公約數(shù)一定比這兩個數(shù)都小 .( )(8) 兩個數(shù)的積 ,一定是這兩個數(shù)的最小公倍數(shù) .( )三. 選擇. 將正確答案的題號寫在括號內(nèi)(1)自然數(shù) a 除以自然數(shù) b,商是 5,那么 a 和 b 的最小公倍數(shù)是().1ab5b(1)若 a,b,c 都是自然數(shù),a 十 b=c,那么().1a 是 b 和 c 的最大公約數(shù).

4、2a 是 b 和 c 的最小公倍數(shù).3b 是 c 和 a 的最大公約數(shù).4a 是 a,b,c 的最小公倍數(shù).5b 和 c 都是 a 的約數(shù).6b 是 a 和 b 的最大公約數(shù).四 . 實際應用1. 從四月一日開始 , 小明的媽媽每 4 天休息一天 , 他的爸爸每 6 天休息一天 , 等爸爸媽媽全休息 時, 全家一起去公園玩 , 那么最早要到幾日小明全家才能一起去玩分析:小明爸爸和媽媽全都休息的時間既是 4 的倍數(shù) ,也是 6 的倍數(shù), 也就是 4 和 6 的公倍數(shù) . 題目中要求最早全家到公園去玩 , 因此爸爸 ,媽媽的共同休息日應該是 4 和 6 的最小公倍數(shù) . 解:4, 6=12答:最早

5、要到 4 月 1 2 日小明全家才能到公園玩 .2. 人民公園是 1 路,3 路,8 路汽車的起點站 .1 路汽車每 3 分鐘發(fā)一輛車 ,3 路汽車每 5 分鐘發(fā) 一輛車,8路汽車每 6 分鐘發(fā)一輛車 .1,3,8 路汽車在 8 時 55 分同時各出發(fā)一輛汽車后 ,求下一 次這三路汽車又在同一時刻發(fā)車是幾時幾分 .分析:解答此題的關鍵 ,是要先求出這三路汽車從 8 時 55 分同時各發(fā)出一輛汽車后 ,到下一次 又在同一時刻發(fā)車 , 經(jīng)過多少時間 , 顯然 , 經(jīng)過的時間應該是 3,5,6 的最小公倍數(shù) . 解:3,5,6=30 8 時 55 分+30分=9 時 25 分 答:下一次這三路汽車又

6、在同一時刻發(fā)車的時間是9 時 25 分.3.一種長方形的木板條 ,長 64 厘米,寬 40 厘米,用這樣的木板條拼成一個正方形,至少需長方形木板多少板分析 :解答此題的關鍵是要先求出正方形木板的邊長 . 由于長方形木條不能橫截或豎截 , 所以正方形的邊長應是長方形木條的長 （64） 和寬 （40） 的公倍數(shù) , 以它們公倍數(shù)做邊長 ,就能保證拼成的是正方形 . 而題目問 至少需要長方形木條多 少塊 , 要滿足這個條件 , 就要使拼成的正方形的邊長盡可能的小 , 從而可知 , 拼成的正方形木 板的邊長應是長方形木板條的長和寬的最小公倍數(shù) .解:64,40=2X2X2X8X5=320（320-64

7、）X（320-40）=5X8=40（ 塊）或320X320-（64X40）=102400 - 2560=40（ 塊）答 : 至少需要長方形木塊 40 塊 .4. 一次野營會餐時 , 每兩人合用一只飯碗 , 三人合用一只菜碗 , 四人合用 1 只湯碗會餐時共用 了 65只碗. 問參加會餐的一共有多少人分析:參加會參的人 ,一定是 2 的倍數(shù),也是 3 的倍數(shù),同時也是 4 的倍數(shù),那么參加會參的一定 是能同時被 2,3,4 的整除 ,也就是參加會餐的人是 2,3,4 的公倍數(shù) .而 2,3,4 的最小公倍數(shù)是 12. 參加會餐的人是12 的倍數(shù) .12 十 2=6（只）.飯碗12 十 3=4（只

8、）.菜碗12 十 4=3（只）.湯碗1 2 個人共用了 6 只飯碗,4 只菜碗,3 只湯碗,即 12 人共用 6+4+3=13（只）飯. 由于會餐時共用了 65 只碗,是 13 只飯碗的 5 倍,因此參加會餐的人也一定是 12 的 5 倍. 解:2,3,4=1212 -2=6（只）12 十 3=4（只）12 十 4=3（只）65 - （6+4+3）=65 - 13=512X5=60（ 人 ）答: 參加會餐的有 60 人 .5. 加工一種機器零件經(jīng)過四道工序 , 第一道工序 , 平均每人每小時加工 16 個; 第二道工序平均 每人每小時加工 12 個;第三道工序 ,平均每人每小時加工 20 個;

9、第四道工序 ,平均每人每小時 加工 15 個. 每道工序至少要安排多少人才算合理分析:題目問題的意思是 ,費時的工序安排的人要多 ,省時的工序安排的人要少 . 使每道工序既 不出現(xiàn)有人無活干的現(xiàn)象 ,也不出現(xiàn)有活無人干的現(xiàn)象 . 最合理人員分配方案是 , 每道工序在 交給下一道工序零件時 , 正好接受上一道工序送來的零件 .因此, 每一道工序加工零件總數(shù) ,應是每道工序平均每人每小時加工零件個數(shù)的公倍數(shù) .題目 問每道工序至少安排多少人才最合理. 那么每一道工序加工的零件總數(shù) , 應是每一道工序平均每人每小時加工零件個數(shù)的最小公倍數(shù) .解:16,12,20,15=2X2X3X5X4=240第一

10、道工序應安排：240 十 16=15(人)第二道工序應安排：240 十 12=20(人)第三道工序應安排：240 十 20=12(人)第四道工序應安排:240 十 15=16(人)答：第一道, 第二道, 第三道, 第四道工序分別安排 15 人,20 人,12 人,16 人.6.有甲,乙兩數(shù),它們的最大公約數(shù)是 6,最小公倍數(shù)是 72,求甲,乙二數(shù).解法一：72=2X2X2X3X3=2X2X(2X3)X3=4X6X34X6=246X3=18答：甲,乙二數(shù)分別是 24 和 18.解法二:72 - 6=1212=2X2X3因為 2 與 6(2X3=6)不是互質(zhì)數(shù)，所以只有 4(2X2=4)與 3 才

11、是互質(zhì)數(shù)6X4=246X3=18 答:甲,乙二數(shù)分別是 24 和 18.評析:解法一把甲 ,乙二數(shù)的最小公倍數(shù)分解質(zhì)因數(shù) ,從這個質(zhì)因數(shù)連乘式中找出它們的最大 公約數(shù) , 再組成一個連乘式 . 這個連乘式中除去有它們的最大公約數(shù)外 , 必須有兩個互質(zhì)數(shù) . 用 這個兩個互質(zhì)數(shù)分別乘以它們的最大公約數(shù) , 就可以求出這兩個數(shù) .解法二用甲 , 乙二數(shù)的最小公倍數(shù)除以它們的最大公約數(shù) , 所得的商必是甲 , 乙二數(shù)取出最大 公約數(shù)后 ,所剩下的兩個互質(zhì)數(shù)的積 .因此,把所求得的商再分解質(zhì)因數(shù) ,并搭配成兩個互質(zhì)數(shù) 最后用這個互質(zhì)數(shù)分別乘以它們的最大公約數(shù) , 就可以求出這兩個數(shù)了 .7. 父親和兒

12、子年齡的最大公約數(shù)是 6, 最小公倍數(shù)是 462, 求父親和兒子的年齡 .解: 462X6=27722772=2X2X3X3X7X11=(2X3)X(2X3)X7X112X3X7=422X3X11=66答 : 父親 66 歲 , 兒子 42 歲.評析:解答這個問題 ,需要先掌握一個定理 :兩個數(shù)的最小公倍數(shù)與最大公約數(shù)的乘積 , 等于這兩個數(shù)的乘積 . 根據(jù)這個定理 ,可知父親和兒子的年齡的乘積是 :462X6=2772 把 2772 分解質(zhì)因數(shù) :2772=2X2X3X3X7X11已知父親和兒子年齡的最大公約數(shù)是 6,6 是由質(zhì)因數(shù) 2 和 3 相乘得到的 .這就是說 , 父親的年 齡與兒子

13、年齡既有公約 2,又有公約數(shù) 3, 這就是他們年齡的乘積中有兩個質(zhì)因數(shù) 2 和兩個質(zhì)因 數(shù) 3 的道理 . 由此可知 , 父親年齡的質(zhì)因數(shù)分解式中 , 應有質(zhì)因數(shù) 2,3 和 11, 兒子年齡的質(zhì)因數(shù) 分解式中 , 應有質(zhì)因數(shù) 2,3,7.2X3X11=66,2X3X7=42.經(jīng)驗算，66 和 42 的最大公約數(shù)是 6,最小公倍數(shù)是 462,符合題意. 于是可知 , 父親年齡是 66 歲. 兒子年齡是 42 歲 .8. 有甲, 乙, 丙三個人 , 甲每分鐘行走 120 米, 乙每分鐘行走 100 米, 丙每分鐘行走 70 米. 如果三 人同時同向 , 從同地出發(fā) , 沿周長是 300 米的圓形

14、跑道行走 , 那么多少分鐘以后 , 三個人第一次 相遇解:300 - （120-100）=300 - 20=15（分鐘）300 - （120-70）=300 - 50=6（ 分鐘 ）300 - （100-70）=300 - 30=10（分鐘）15,6,10=2X5X3=30答:30 分鐘以后 , 三個人第一次相遇 .評析: 解答這個題目首先要了解一個事實 : 當甲第一次追上乙時 , 則甲比乙正好多行一圈 （300 米 ）. 同樣的 , 當甲第一次追上丙或乙第一次追上丙時 , 也是正好比丙多行一圈 . 由已知條件可知 , 甲每分鐘比乙多行 20 米 , 幾分鐘甲比乙多行了 300 米呢從而可知

15、, 甲第一次追上乙要用 15 分鐘 . 同理, 甲第一次追上丙要用 6 分鐘, 乙第一次追上丙要 用 10分鐘. 要求甲 , 乙, 丙三人多少分鐘第一次在跑道上相遇 , 就是求 15,6,10 的最小公倍數(shù) .9. 動物園的飼養(yǎng)員給三群猴子分花生 . 若只分給第一群 , 則每只猴子可得 12 粒; 若只分給第二 群, 則每只猴可得 1 5 粒;若只分給第三群 , 則每只猴子可得 20 粒. 那么平均分給三群猴子 , 每只 可得幾粒解:12,15,20=2X2X3X5=60設共有幾粒花生，n 是 60 的 m 倍,（m 為整數(shù)）則有 n=60m第一群猴子的只數(shù)是：60m* 12=5m;第二群猴子

16、的只數(shù)是：60m* 15=4m;第三群猴子的只數(shù)是 :60m* 20=3m三群猴子的總只數(shù)是 :5m+4m+3m=12m60m- 12m=5（粒）答: 平均分給三群猴子 , 每只可得 5 粒.評析 : 解題時有些同學束手無策 , 原因是花生總數(shù)及猴子總數(shù)的不確定性 . 解決這個難點的辦 法 , 可以用字母表示數(shù) .設共有花生幾粒 , 由題意可知 , 花生的總數(shù) n 應是 12,15 和 20 的公倍數(shù) . 三個數(shù)的公倍數(shù)必定 是它們最小公倍數(shù)的倍數(shù).12,15,20 的最小公倍數(shù)是 60.因此花生粒數(shù) n 應是 60 的倍數(shù).設 n 是 60 的 m 倍.知道花生的總粒數(shù) , 又知道每只猴子分

17、別的粒數(shù) , 就可以求出三群猴子每群有多少只 , 再求三 群猴子的總只數(shù) . 用花生的總粒數(shù)除以猴子的總只數(shù)就是問題所求 .在整個過程中 , 充分利用字母表示數(shù) . 恰當?shù)剡\用字母表示數(shù) , 不但會給解題帶來方便 , 而且對 今后的學習也是很有好處 .10學校買來 40 支圓珠筆和 50 本練習本，平均獎給四年級三好學生，結(jié)果圓珠筆多 4 支， 練習本多2 本，四年級有多少名三好學生，他們各得到什么獎品？11老虎和豹進行跳遠比賽 ;老虎每次跳 米,豹每次跳 米,它們每秒只跳一次 .比賽途中 ,從起 點開始 , 每隔 米設有一個陷阱 . 它們之中誰先掉進陷阱一個掉進陷阱時另一個跳了多遠？12已知

18、兩個自然數(shù)的和為54, 它們的最小公倍數(shù)與最大公倍約數(shù)的差為 114, 求這兩個自然數(shù). （這兩個自然數(shù)為 24 和 30. ）13有甲, 乙, 丙三種溶液 , 分別重 36 千克 ,48 千克和 24 千克. 現(xiàn)要將它們?nèi)糠謩e裝入小瓶 中, 每個小瓶裝入液體的重量相同. 問: 每瓶最多裝多少千克？14甲校和乙校有同樣多的同學參加數(shù)學競賽, 學校用汽車把學生送往考場 . 甲校用的汽車 ,每車坐 15 人,乙校用的汽車 ,每車坐 13 人,結(jié)甲校比乙校少派一輛汽車 .后來每校各增加一個 人參加競賽 , 這樣兩校需要的汽車就一樣多了 . 最后又決定每校再各增加一個人參加競賽 , 乙 校又要比甲校多派一輛汽車 . 問最后兩校共有多少人參加競賽？（最后甲乙兩校共有 1 84 人參加競賽 .）15大雪后的一天 ,