1、附錄C 極坐標和參數(shù)方程 第一節(jié) 極坐標 第二節(jié) 參數(shù)方程第一節(jié) 極 坐 標 我們知道可以利用直角坐標系來表示平面上點的位置和一些曲線的方程,但在有些具體問題中這并不方便.例如,雷達兵在報告雷達發(fā)現(xiàn)的飛機的位置時，只需指出飛機的方向和距離.像這種利用方向和距離來確定平面上點的位置的坐標系就是極坐標系.本節(jié)介紹極坐標系的概念和曲線的極坐標方程.一、極坐標的概念1.平面上點的極坐標10 1, 如圖所示 在平面上取一定點 ,從 引一條射線,再取定一個單位長度并規(guī)定角旋轉的正方向(通常以逆時針方向為正),這樣就構成了一個標. 點稱為點,射線稱為軸OOOxOOx極坐系極極.圖10-1 極坐標系圖形示意O

2、x,M ,.,.,:,.MOMOMOxOMMMMM 設 為平面上任意一點,連接 , 令 表示從 到 的角 稱為點 的極徑 稱為點 的極角這一對有序實數(shù) 與 稱為點 的極坐標記作0,0,0,0. 當 時 不論 取什么值 都表示極點.當 時 不論 取什么正值 當 都在極軸上0,02,.MMM 當時 對于平面上任意一點 除極點外都可以找到惟一的一對實數(shù)與之對應;反過來,對于任意一對實數(shù) 也總可以在平面上找到惟一的一點 與之對應.也就是說,當 和 在上述范圍內取值的 平面上的點 除極點外 與實數(shù)對之間具有一一對應的關系12340,02,3,3,4.例如,如圖10-2所示,當時 點和的極坐標11分別為

3、3,和 1,而極坐標為和 2,所對應的點626分別是和MMMM1234102,MMMM圖 的極坐標1M2M3M4Mx1166234O,.0,103( );0,103( )0,;0,. 由于實際應用的需要 極徑 和極角 也可以取負值當時 規(guī)定在角 的終邊上取點使如圖a 所示 當時 則在角 的終邊的反向延長線上取點,使如圖b 所示;當時 極軸按逆時針方向旋轉 當時 極軸按順時針方向旋轉MOMMOM103圖 極徑 和極角 的不同取值Ox,M 0 0O,M 0 0 x234372,1,3,4,6246104.1例如,點在極坐標系內的位置如圖所示MMMM 1234104,MMMM 圖 點在極坐 標系內的

4、位置1M2M3M4Mx6234O76y圖10-5 點M的極坐標OxM344,3733, 3,3,444113,.,243,MMMk 由此可知,在這樣的規(guī)定下,對于任意一對有序實數(shù)仍然可以在平面上確定惟一的點 , 但是反過來,平面上任意一點卻對應著無限多對實數(shù),它們都是這個點的極坐標.例如,圖10-5中點 的極坐標可以是一般說來 點 的極坐標可以寫為 3,-4或 421,kkZ 其中這種點與坐標之間的非一一對應關系是極坐標不同于直角坐標的地方.,.,00.由于 -可用來表示因此 可將的情形轉化為的情形來處理.除非必要, 一般不取負值 2.極坐標和直角坐標的互化 極坐標系和直角坐標系是兩種不同的坐

5、標系，同一個點可以用極坐標表示，也可以用直角坐標表示.為了研究問題方便，有時需要把它們進行互化.106,.如圖所示 把直角坐標系的原點作為極點 軸的非負半軸作為極軸 并在兩種坐標系中取相同單位長度x圖10-6 直角坐標系與極坐標系的關系xOy, yx,M x y,.: 設是平面上任意一點,它的直角坐標是 x,y極坐標是顯然可知M cossinxy10 110 1 ,.(!) 利用公式可以把點的極坐標化為直角坐標公式借助圖形記憶.M,.M 設點 的極坐標為 5,- 求它的直角坐標3例1,:由公式 10-1 可得 55cos,32x5 35sin.32y 解55 3,.22,10 1:于是得點的直

6、角坐標為我們也可以把點的直角坐標化為極坐標由公式變化可得MM222tan0 xyyxx1020,02 .tan,. 為了使點極點除外 的極坐標惟一確定,一般可取在由的值確定 時 應該根據(jù)點所在的象限決定恰當?shù)腗M,.設點的直角坐標為 1,-1 求它的極坐標M例2 :由公式 10-2 可得22112, 1tan1.1 71, 1,472,.4 因為點在第IV象限,所以于是可得點的極坐標為MM解二、曲線的極坐標方程1.曲線的極坐標方程的概念,.,xyxy 在平面上的一條曲線 在直角坐標系中可以用含有 和 的方程來表示同樣,在極坐標系中,曲線也可以用含有 和 的方程來表示而且有些曲線在直角坐標系中不

7、容易用 和 的方程表示,但在極坐標系中卻可簡單地用 和 的方程來表示這就要求我們在解決具體的曲線方程問題時 選擇建立恰當?shù)淖鴺讼祦淼贸龇匠?為了區(qū)別這兩類曲線方程,我們將曲線在直角坐標系中得出的方程稱為標而在極坐標系中得出的方程稱為標.直角坐方程,極坐方程利用點的直角坐標與極坐標間的互化公式,可將曲線的直角坐標方程與極坐標方程進行互化.2220. 將等軸雙曲線化為極坐標方程xyaa例3,cos ,sin,xy 由公式 10-1 將代入方程 得:22222cossin,a2222cossin.所以 a22cos2,所以a22.cos2即a.這就是所給的等軸雙曲線的極坐標方程解22200.將圓化為

8、極坐標方程xyaxa例4 ,:由公式 10-1 可得 2222cossin2cos0a所以22cos0,a所以02 cos0.或a0,2 cos0 . 因為表示點圓 與已知矛盾 應舍去 所以所求圓的極坐標方程為a0aa解2 sin0,. 將化為直角坐標方程 并作出它的圖像aa例52 sin,:a將方程 的兩端乘以 得22sin .a又因為222,sin,xyy所以222.xyay即 2220 xyaaa,0,107.caa 顯然 這是一個圓心是半徑是 的圓 如圖所示圖10-7 例5題圖形xOyc 解 2.極坐標方程的作圖 極坐標方程的作圖與直角坐標方程、函數(shù)的作圖一樣，都可用描點法.(1)0

9、;(2).2a a 作出下列極坐標方程的圖像. 例6(1)0 ,;a aaOa 對于方程可以看出當 取任何值時的取值都是 因此方程的圖像是以極點 為圓心, 為半徑的圓圖10-8 1080a a圖 例6題(1) 的圖像xOaa,0a解(2),2,2. 對于方程可以看出當 取任何值時的取值都是因此方程的圖像是通過極點且垂直于極軸的直線圖10-9OBA1092圖 例6題(2) 圖形xO22AB,. 在極坐標系中 有時方程的形式簡單 但所表示的曲線卻比較復雜如果只用描點法,則需要求出曲線上相當多的點,才能畫出整個曲線.為了作圖的方便,我們先來了解曲線對稱性.31411,10 10 ,;,2.12 設是

10、極坐標系中任意一點 圖是關于極點的對稱點是關于極軸的對稱點;是關于直線的對稱點MMMMMMM 圖10-10 極坐標系中的對稱關系xO21,M 2,M3,M 4,M ,由以上點的對稱關系 可得到曲線的對稱關系見表10-1.f = f線對稱關表10 -1 曲的系以代替 ,方程不變以代替 ,方程不變曲線關于極點對稱曲線關于極軸對稱 以- 代替 ,同時以-代替 ,方程不變曲線關于 =對稱21 cos0.作出方程的圖像aa例7 coscos ,. 因為-所以用- 代替方程不變 因此這方程表示的曲線是關于極軸對稱的 0.將與 的對應值列表如下 表10-20對應表10 - 2 與 的值0060.13a40.

11、29a30.5a2a231.5a341.71a561.87a2a解 依照上表作出各點并連成光滑的曲線,再根據(jù)對稱性就可作出所給方程的全部圖像(圖10-11),這曲線稱為心形線.圖10-11 心形線xO23462334562a3.極坐標方程的建立 ,. 我們知道曲線可以看成是適合某種條件的點的軌跡.如果在極坐標系內用流動坐標將滿足的條件表示成一個關系式則這個關系式就是曲線的極坐標方程f 0,.A aa 求經過點,0 且而和極軸垂直的直線的極坐標方程例8 10-12,.,2MOMOMAOMaOAM 如圖所示,設是直線上任意一點.連接,則=又因為所以有cos 即 cos a.這就是所求直線的極坐標方

12、程圖10-12 例8圖形xO,0A a,M 解 設有一圓經過極點 ,圓心 在極軸上,半徑為 ,求它的極坐標方程.OCa例9,10 13 ,2 ,2cos,2MOMMAOMAOMOMAOAaa 設 是圓上任意一點 圖連接 及 則 因為 所以 即 2 cosa, 這就是所求圓的極坐標方程 它與例4所化成的極坐標方程一致.圖10-13 例9圖形xO,M AC解第二節(jié) 參 數(shù) 方 程,.,0.,前面我們介紹了如何在直角坐標系或極坐標系內用流動坐標或來表示平面內一些曲線的方程但在實際問題中,有些曲線用以上的方法來表示比較困難,也就是說很難找到曲線所滿足的0或的式子為此 我們將引入一個新變量來表示曲線方程

13、,即:參數(shù)方程.x,yf x,yg 一、參數(shù)方程的概念先來看下面的一個例子.,.0 以初速度并與水平面成 角發(fā)射炮彈 若不計空氣的阻力求炮彈運動的軌跡方程10 17,0.,.,0 如圖所示 建立直角坐標系 設點為炮彈在運動中的任意一位置,可以看出,要用 和 之間的直接關系來表示炮彈運動的軌跡方程是比較困難的但是我們知道 炮彈運動的軌跡是由炮彈在各個時刻的位置所決定的.下面就來分析炮彈在任意位置的坐標 和 分別與時刻 之間的關系.如果不考慮地心引力,則經過時刻 ,炮彈運動到 ,于是=但事實上炮彈受地心引力的影響 不在點 而在點M x yxyf x,yxyttTOTtTM2.1cos ,sin,:

14、200由于點的橫坐標為縱坐標為因此我們就以方程組Mttgt12cos01sin2xtttytgt 00 ，2111,.0,.0,.gtttM x yttM x y來表示炮彈運動的軌跡方程 其中 是重力加速度 g=9.8m/s是炮彈落地的時刻對應于 的每一個值 就確定了炮彈相應的每一個位置因此 在上連續(xù)變化時就描出了炮彈運動的軌跡圖10-17 炮彈運動規(guī)律的軌跡OxyTQ0cosv t0sinv t0v t,M x y12cos01sin2xtttytgt 00 ，,:從這個例子可以看出曲線上動點的軌跡可以用流動坐標 和 分別與另一個變量 的一組方程M x yxyt 103xx tatbyy t

15、 ， . !.來表示參數(shù)方程一般形式, 同樣 在極坐標系中曲線上的動點的軌跡可以用流動坐標 和 分別與另一個變量 的一組方程Mt 10-4ttt ， .來表示 方程組（10-3）和方程組（10-4）叫做曲線的參數(shù)方程.變量t叫做參數(shù). 在用參數(shù)方程表示曲線時，方程中的參數(shù)不一定是時間，也可以是其他的量，應當根據(jù)問題的具體條件適當?shù)剡x定. 為了與曲線的參數(shù)方程有所區(qū)別，我們把表示曲線上點的坐標之間的直接關系的方程叫做曲線的普通方程.二、參數(shù)方程的作圖在所給曲線的參數(shù)方程 x= x tatby= y t ，,中 先給參數(shù)t以某些可能取的值,求出x和y的對應值,這樣就確定了曲線上的點,將這些點連成光

16、滑的曲線,就是參數(shù)方程的圖像.作出參數(shù)方程例1 x=tt y= t2，-+2.的圖像.tt,xy 這里 可以取一切實數(shù).將 和 的對應值列表如下 表10-4 解t,x, y對應表表10- 4 的10- 4 的值值txy 描點作圖時,可以不管表里第一行 的數(shù)值,只需根據(jù) 和的值,就可以確定點的位置,圖10-18就是所給參數(shù)方程的圖像.210182x tyt=圖 參數(shù)方程的圖像Oxy24yxtxy396244112000112443962三、化曲線的參數(shù)方程為普通方程曲線的參數(shù)方程： x= x tatby= y t ，.是通過參數(shù) 來間接表示 與 之間的關系如果從這兩個方程能消去參數(shù) ,那么就得到

17、表示 與 間的直接關系的普通方程.例如,上面所述的炮彈運動的參數(shù)方程可以化為普通方程.txytxy已知炮彈運動的參數(shù)方程為:12cos01sin2x=tttytgt 00，105106105,:從式解出 得tcos0 xt106 ,:代入式得21sincos2cos000 xxyg化簡得222tan2cosgyxx0.這就是炮彈運動軌跡的普通方程這個方程的右邊是x的二次式,軌跡是拋物線,拋物線的名稱就是由此而來的.把參數(shù)方程例2 2sin,cosxttyt=為參數(shù)=107108,.化為普通方程 并說明它表示什么曲線將式 10-7 兩邊平方,得: 22sin10-9xt 109:再將式與式 10

18、-8 兩邊相加得222sincos1.xytt:得普通方程21xy即2 1-y=x2,0,1 ,.cos,顯然 它的圖像是拋物線 頂點在對稱軸為 軸 開口向下由于恒為正值或零 故參數(shù)方程的圖像僅為 軸上方的部分,如圖10-19所示.yytx解2222,0,1,sec,sectanF x yx yxyxat tabxaty=bt 與曲線的參數(shù)方和化為普通方程的情況相反 若已知曲線的普通方程并給出某指定參變量分別與的函數(shù)關系 則曲線的普通方程也可化為參數(shù)方程.例如,已知雙曲線設是參數(shù)將代入雙曲線的普通方程,可得,因此:sectanx= aty=bt 就是所給雙曲線的參數(shù)方程.2sin1019cosx =ty =t圖 參數(shù)方程的圖像11Oxy10,1四、曲線參數(shù)方程的建立,txyt 建立曲線的參數(shù)方程 除去由曲線的普通方程化為參數(shù)方程以外,通常是把曲線看作動點的軌跡,選取適當?shù)膮?shù) ,使曲線上點的流動坐標 與 或 與分別用與參數(shù) 的關系式來表示,下面我們來介紹一些常見曲線的參數(shù)方程.1.橢圓的參數(shù)方程22221.,.,:xyM x,yababa, bMMAxAAOAAOxt 設是橢圓上的任意一點.以原點為圓心,分別以 為半徑作兩個輔助圓 圖10-20過 作直線 垂直于 軸 垂足為 交大輔助圓于