1、第七章 統(tǒng)計(jì)量及其分布 數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的任務(wù) 在實(shí)際問題中，經(jīng)常遇到要確定一個(gè)隨機(jī)變量的概率分布或它的某些數(shù)字特征。 例 確定某廠年生產(chǎn)燈泡的次品率。燈泡的質(zhì)量通常用壽命這個(gè)指標(biāo)來衡量，若規(guī)定，壽命低于1000小時(shí)者為次品，那么確定該廠生產(chǎn)燈泡的次品率可以歸結(jié)為求燈泡的壽命x這個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)F(x)，因?yàn)槿鬎(x)已知，則就是所要確定的次品率。 如何確定燈泡壽命x的分布函數(shù)呢？一個(gè)很自然的想法是：把每個(gè)燈泡的壽命都測(cè)試出來，根據(jù)測(cè)試的結(jié)果，就可以確定x的分布函數(shù)。然而這種做法在實(shí)際中是不可行的，因?yàn)闊襞莸膲勖囼?yàn)具有破壞性，一旦我們獲得所有燈泡的壽命數(shù)據(jù)，這些燈泡也就全部報(bào)廢了。因此，在燈泡

2、壽命試驗(yàn)中，一般只能從整批燈泡中選取若干個(gè)來進(jìn)行測(cè)試，這樣就產(chǎn)生一個(gè)問題，如何從試驗(yàn)所得的部分?jǐn)?shù)據(jù)推斷整批燈泡的壽命x的分布函數(shù)呢？ 例 確定某半導(dǎo)體廠生產(chǎn)的三極管的電流放大倍數(shù)X的平均值。這個(gè)問題就是確定X的數(shù)字特征E(X)。此時(shí)，測(cè)試三極管電流放大倍數(shù)雖不會(huì)遇到上例中的破壞性問題，但想通過逐個(gè)測(cè)試來計(jì)算算術(shù)平均值求得E(X)也是不可取的，因?yàn)橹饌€(gè)測(cè)試需要耗費(fèi)大量的人力、物力和時(shí)間。因此，在實(shí)際工作中，也只能對(duì)其中一部分三極管進(jìn)行測(cè)試。這樣又產(chǎn)生與上例相類似的問題，即如何從試驗(yàn)所得到的部分?jǐn)?shù)據(jù)來推斷三極管電流放大倍數(shù)的平均值呢？ 從以上兩例可以看到，在實(shí)際問題中經(jīng)常需要通過試驗(yàn)所得的部分（或

3、局部）數(shù)據(jù)來推斷整體的種種性質(zhì)（如分布、數(shù)字特征等）。怎樣進(jìn)行合理的推斷呢？這就是數(shù)理統(tǒng)計(jì)所要解決的主要任務(wù)。 由于這種從局部觀察去推斷整體的方法有著普遍的意義，因此數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法應(yīng)用非常廣泛，目前已應(yīng)用于教育科學(xué)、工程技術(shù)、管理科學(xué)、自然科學(xué)以及社會(huì)科學(xué)等領(lǐng)域。例如，教育科學(xué)中的教學(xué)質(zhì)量評(píng)估、預(yù)測(cè)以及試卷質(zhì)量的評(píng)價(jià)，工業(yè)生產(chǎn)中的產(chǎn)品質(zhì)量控制于抽樣檢查，氣象學(xué)中的天氣預(yù)報(bào)，地震學(xué)中地震預(yù)報(bào)，醫(yī)學(xué)中的疾病分析、藥品療效檢驗(yàn)，農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中的產(chǎn)品估計(jì)于種子優(yōu)選，人口學(xué)中的優(yōu)生學(xué)和人口控制等等都滲透了數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法。第一節(jié) 總體與樣本 在概率論部分，我們初步研究了隨機(jī)事件的概率、隨機(jī)變量及其分布。在實(shí)際

4、問題中，隨機(jī)現(xiàn)象可以用隨機(jī)變量來描述。為了較全面的了解隨機(jī)變量的規(guī)律性，就必須知道它的概率分布，或至少要知道它的一些數(shù)字特征，如數(shù)學(xué)期望、方差等。用什么方法才能確定出這個(gè)隨機(jī)變量的概率分布或數(shù)字特征呢？這是我們十分關(guān)心的問題，也是我們所要著眼解決的問題。由于大量的隨機(jī)實(shí)驗(yàn)必能呈現(xiàn)出隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性，因此從理論上說，只要對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行足夠多次的觀察，它的規(guī)律一定能清楚的呈現(xiàn)出來。但在實(shí)際中，我們只能對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行有限次的觀察或?qū)嶒?yàn)，以取得有代表性的觀察數(shù)據(jù)，再對(duì)這些數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，從而找出相應(yīng)的隨機(jī)變量的概率分布或數(shù)字特征。一、 總體與個(gè)體概念：在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，我們把研究對(duì)象的全體稱為總體，而把組成

5、總體的每一個(gè)單元稱為個(gè)體。（如同集合與元素的概念）?？傮w通常用或用表示。例如，我們要研究某批燈泡的平均壽命（平均耐用實(shí)數(shù)）時(shí)，該批燈泡的全體就組成了總體，而其中每個(gè)燈泡就是個(gè)體。在研究某鋼鐵廠某一天生產(chǎn)的10000根鋼筋的強(qiáng)度時(shí)，這10000根鋼筋就組成一個(gè)總體，而每一根鋼筋就組成一個(gè)個(gè)體。在實(shí)際中，我們主要關(guān)心的常常是研究對(duì)象的某個(gè)數(shù)據(jù)指標(biāo)（如燈泡的壽命，鋼筋的強(qiáng)度），它是一個(gè)隨機(jī)變量。例如,總體表示參加高考的全體考生,表示考生的高考總分?jǐn)?shù)，因此，與數(shù)量有對(duì)應(yīng)關(guān)系。各種需要轉(zhuǎn)化為考察分?jǐn)?shù)集.總體的某數(shù)量指標(biāo)，隨機(jī)變量取值的全體，從而研究總體的數(shù)量指標(biāo)，只要研究隨機(jī)變量或取值的全體。因此，總體

6、通常是指某個(gè)隨機(jī)變量取值的全體，其中每一個(gè)體都是一個(gè)實(shí)數(shù)。以后我們就把總體和數(shù)量指標(biāo)可能取值的全體組成的集合等同起來。隨機(jī)變量的分布就是總體的分布。總體就是指隨機(jī)變量或的取值集合。二、 樣本與樣本值數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中我們總是通過觀測(cè)和試驗(yàn)以取得信息.我們可從客觀存在的總體(母體)中按機(jī)會(huì)均等的原則隨機(jī)地抽取一些個(gè)體,然后對(duì)這些個(gè)體進(jìn)行觀測(cè)或測(cè)試某一指標(biāo)的數(shù)值.這種按機(jī)會(huì)均等的原則選取一些個(gè)體進(jìn)行觀測(cè)或測(cè)試的過程稱為隨機(jī)抽樣. 從一個(gè)總體中（它是數(shù)值集合）,隨機(jī)的抽取個(gè)個(gè)體(有放回的重復(fù)的抽樣),其中每個(gè)是一次抽樣觀察（記錄）值結(jié)果。我們稱為總體的一組樣本觀察值，對(duì)于某一次抽樣結(jié)果來說，它是完全確定的

7、一組數(shù)。但由于抽樣的隨機(jī)性，所以它又是隨每次抽樣觀察而改變的。記，令 ，則都是隨機(jī)變量；這樣每個(gè)都可以看作隨機(jī)變量（）所取的觀察值。我們將稱為總體的樣本,樣本中個(gè)體的數(shù)目稱為樣本容量，就是樣本的一組觀察值，稱為樣本值。由于每次抽取是獨(dú)立重復(fù)的(或可以這樣認(rèn)為),所以是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量, 與總體有相同的分布.我們把所有可能取值的全體稱為樣本空間。 由于我們抽取樣本的目的是為了對(duì)總體的某些特性進(jìn)行估計(jì)、推斷，因而要求抽取的樣本具有：（1）獨(dú)立性，（2）與總體有相同的分布，這樣的樣本稱為簡(jiǎn)單隨機(jī)本，獲得簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的方法稱為簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣。進(jìn)行重復(fù)抽樣所得的隨機(jī)樣本,就是簡(jiǎn)單隨機(jī)本.今后，如不作特殊

8、聲明，所提到的樣本都是簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。綜上所述，所謂總體就是一個(gè)隨機(jī)變量,所謂樣本就是個(gè)相互獨(dú)立且與有相同分布的隨機(jī)變量。顯然，若總體具有分布函數(shù),設(shè)為來自于總體的樣本，則相互獨(dú)立，的分布函數(shù)，的分布函數(shù)為 .例如，設(shè)總體服從參數(shù)為的指數(shù)分布， ；為來自于總體的樣本,則的分布函數(shù)為 .第二節(jié) 樣本矩和統(tǒng)計(jì)量一、樣本矩設(shè)為來自于總體的一個(gè)樣本,稱, (7.1)為樣本均值； , (7.2)為樣本方差;為樣本階矩（或階原點(diǎn)矩）；為樣本階中心矩。顯然，樣本均值，樣本方差，樣本階矩，樣本階中心矩都是隨機(jī)變量。如果是樣本的一組觀察值（稱為樣本值），則, ， ，分別是，的觀察值。總體矩：等稱為總體矩。人們也許

9、會(huì)問：樣本矩與相應(yīng)的總體矩有什么關(guān)系？可以證明，只要總體的階矩存在，樣本階矩依概率收斂于總體的階矩。例如 . 二、統(tǒng)計(jì)量在研究總體的性質(zhì)時(shí)，除了用到樣本外，還要用到由樣本構(gòu)造的某種函數(shù)。這種函數(shù)在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中稱為統(tǒng)計(jì)量。定義1 設(shè)為總體的一個(gè)樣本，為一個(gè)連續(xù)函數(shù)，則稱為一個(gè)統(tǒng)計(jì)量。顯然，是一個(gè)隨機(jī)變量。如果是樣本的觀察值（稱為樣本值）,則是的觀察值。若總體，其中µ，是已知參數(shù)，而X,X,X為來自X的樣本，則X，X+X，X-µ等都是統(tǒng)計(jì)量。三、順序統(tǒng)計(jì)量與經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)設(shè)為來自于總體的一個(gè)樣本，(可以有相等的)是樣本觀察值，將觀察值按大小次序排列，得到 我們規(guī)定取值為，由此得到的， 稱為的一組順序統(tǒng)計(jì)量。顯然，有 且 , . 令，記函數(shù)顯然，是一非減右連續(xù)函數(shù)，且滿足，和，由此可見，是一個(gè)分布函數(shù)，稱它為總體的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)或樣本分布函數(shù)。 對(duì)于每一固定，是事件發(fā)生的頻率，當(dāng)固定時(shí)，是一個(gè)隨機(jī)變量?？梢宰鳛榈奈粗植己瘮?shù)的一個(gè)近似，當(dāng)越大時(shí)，近似程度越好。事實(shí)上，當(dāng)時(shí)，以概率1關(guān)于均勻的收斂于,即(格里汶科定理) . 于是 .例