1、本章題頭 剛體剛體(rigid body)形變可以忽略的質(zhì)點(diǎn)系形變可以忽略的質(zhì)點(diǎn)系 各質(zhì)元相對(duì)位置固定的質(zhì)點(diǎn)系各質(zhì)元相對(duì)位置固定的質(zhì)點(diǎn)系一種理想化模型一種理想化模型剛剛體體力力學(xué)學(xué)平動(dòng)平動(dòng)運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)學(xué)學(xué)動(dòng)動(dòng)力力學(xué)學(xué)轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律功能關(guān)系功能關(guān)系定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)進(jìn)動(dòng)進(jìn)動(dòng) 陀螺儀陀螺儀* *平面運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)平面運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué) 剛體力學(xué)剛體力學(xué) 引言引言定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)4 - 14 - 11 1、剛體運(yùn)動(dòng)的幾種形式、剛體運(yùn)動(dòng)的幾種形式【平動(dòng)】【平動(dòng)】剛體內(nèi)任意兩點(diǎn)連線的空間指向在運(yùn)動(dòng)的剛體內(nèi)任意兩點(diǎn)連線的空間指向在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中始終保持

2、不變。過(guò)程中始終保持不變。 剛體平動(dòng)剛體平動(dòng) 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng) 剛體力學(xué)剛體力學(xué) 剛體的運(yùn)動(dòng)剛體的運(yùn)動(dòng)剛體內(nèi)各質(zhì)元的剛體內(nèi)各質(zhì)元的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)完全相運(yùn)動(dòng)狀態(tài)完全相同，所以可以用同，所以可以用剛體內(nèi)任一質(zhì)元?jiǎng)傮w內(nèi)任一質(zhì)元代表整個(gè)剛體的代表整個(gè)剛體的運(yùn)動(dòng)，通常代表運(yùn)動(dòng)，通常代表點(diǎn)選作質(zhì)心。點(diǎn)選作質(zhì)心?！巨D(zhuǎn)動(dòng)】【轉(zhuǎn)動(dòng)】剛體中所有的點(diǎn)都繞同一直線做圓周運(yùn)動(dòng)剛體中所有的點(diǎn)都繞同一直線做圓周運(yùn)動(dòng). . 轉(zhuǎn)軸上僅有一點(diǎn)固定轉(zhuǎn)軸上僅有一點(diǎn)固定定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，剛體在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，轉(zhuǎn)軸始終保持固定。轉(zhuǎn)軸始終保持固定。定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng) AAABCABCABCABC剛體的一般運(yùn)動(dòng)剛體的一般運(yùn)動(dòng)基點(diǎn)的平動(dòng)基

3、點(diǎn)的平動(dòng)+ +繞過(guò)基點(diǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)繞過(guò)基點(diǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的一般運(yùn)動(dòng)剛體的一般運(yùn)動(dòng)基點(diǎn)的平動(dòng)基點(diǎn)的平動(dòng)+ +繞過(guò)基點(diǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)繞過(guò)基點(diǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng) 剛體力學(xué)剛體力學(xué) 剛體的運(yùn)動(dòng)剛體的運(yùn)動(dòng)o o 轉(zhuǎn)動(dòng)平面轉(zhuǎn)動(dòng)平面x轉(zhuǎn)動(dòng)中心轉(zhuǎn)動(dòng)中心 剛體力學(xué)剛體力學(xué) 剛體的運(yùn)動(dòng)剛體的運(yùn)動(dòng)（1）、各質(zhì)元都在與轉(zhuǎn)）、各質(zhì)元都在與轉(zhuǎn)軸垂直的平面內(nèi)作圓周軸垂直的平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)，圓周運(yùn)動(dòng)的平面運(yùn)動(dòng)，圓周運(yùn)動(dòng)的平面稱為稱為轉(zhuǎn)動(dòng)平面轉(zhuǎn)動(dòng)平面。特點(diǎn)：特點(diǎn)：（2）定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，各質(zhì)）定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，各質(zhì)元的線量一般不同，但角元的線量一般不同，但角量（角位移、角速度、角量（角位移、角速度、角加速度）都相同。加速度）都相同。o o 轉(zhuǎn)動(dòng)平面轉(zhuǎn)動(dòng)平面x1

4、、角位置角位置)(t t 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程2、角位移角位移)()(t tt tt t d d3、角速度角速度d dt td d 4、角加速角加速度度d dt td d 22d dt td d 轉(zhuǎn)動(dòng)中心轉(zhuǎn)動(dòng)中心 剛體力學(xué)剛體力學(xué) 剛體的運(yùn)動(dòng)剛體的運(yùn)動(dòng)o o 轉(zhuǎn)動(dòng)平面轉(zhuǎn)動(dòng)平面xd d5、角量與線量的關(guān)系角量與線量的關(guān)系o op pR Rp pr rp pp pr r p pp pr r p pR R p pr ra a p pn nr ra a2 剛體力學(xué)剛體力學(xué) 剛體的運(yùn)動(dòng)剛體的運(yùn)動(dòng)20021tt t 0)(02022 6 6、在剛體作勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，相應(yīng)公、在剛體作勻

5、變速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，相應(yīng)公式式: : 剛體力學(xué)剛體力學(xué) 剛體的運(yùn)動(dòng)剛體的運(yùn)動(dòng)o o 轉(zhuǎn)動(dòng)平面轉(zhuǎn)動(dòng)平面x轉(zhuǎn)動(dòng)中心轉(zhuǎn)動(dòng)中心 例例1: 1: 在高速旋轉(zhuǎn)的微型電機(jī)里，有一圓柱形轉(zhuǎn)子可在高速旋轉(zhuǎn)的微型電機(jī)里，有一圓柱形轉(zhuǎn)子可繞垂直其橫截面通過(guò)中心的軸轉(zhuǎn)動(dòng)。繞垂直其橫截面通過(guò)中心的軸轉(zhuǎn)動(dòng)。 開始時(shí)其角速度開始時(shí)其角速度為零，經(jīng)為零，經(jīng)300s 后，其轉(zhuǎn)速達(dá)到后，其轉(zhuǎn)速達(dá)到 18000r/min。已知轉(zhuǎn)子已知轉(zhuǎn)子的角加速度與時(shí)間成正比。的角加速度與時(shí)間成正比。 問(wèn)在這段時(shí)間內(nèi)，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)問(wèn)在這段時(shí)間內(nèi)，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過(guò)多少轉(zhuǎn)？過(guò)多少轉(zhuǎn)？ 剛體力學(xué)剛體力學(xué) 剛體的運(yùn)動(dòng)剛體的運(yùn)動(dòng)4 - 24 - 2 mP rrOxyzLPrL

6、大?。捍笮。?sinrPL Pr 方向：方向：動(dòng)量臂動(dòng)量臂沿沿z軸方向軸方向大?。捍笮。悍较蚍较?2mrmrL 逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，沿沿z軸正向軸正向 2mrmrLz 特例：特例：圓周運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)對(duì)圓心圓周運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)對(duì)圓心O的角動(dòng)量的角動(dòng)量順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，沿沿z軸負(fù)向軸負(fù)向 2mrmrLz 剛體力學(xué)剛體力學(xué) 剛體的角動(dòng)量與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體的角動(dòng)量與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量iiiiiiioiivmrvmoovmrL大?。捍笮。?iiiiiizrmrvmL方向：沿轉(zhuǎn)軸方向方向：沿轉(zhuǎn)軸方向iiiizvmrL質(zhì)元對(duì)質(zhì)元對(duì)o o點(diǎn)的角動(dòng)量沿點(diǎn)的角動(dòng)量沿Z Z軸的投影軸的投影質(zhì)元對(duì)質(zhì)元對(duì)o o點(diǎn)的角動(dòng)量點(diǎn)的角動(dòng)量zmi

7、 OirOivoir剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量剛體相對(duì)轉(zhuǎn)軸上任意一點(diǎn)的角動(dòng)量沿轉(zhuǎn)軸的分量剛體相對(duì)轉(zhuǎn)軸上任意一點(diǎn)的角動(dòng)量沿轉(zhuǎn)軸的分量iiiiiiiiizZrmrvmLL2剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量iiirmI2ILZ結(jié)論：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體相對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量等于剛體結(jié)論：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體相對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度和剛體相對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的乘積轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度和剛體相對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的乘積剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量zmi OirOivoir質(zhì)點(diǎn)對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：質(zhì)點(diǎn)對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：l lm mO O2m ml lI IO O 例例2：圓錐擺：圓錐擺2mrI 例例1

8、：?jiǎn)螖[：?jiǎn)螖[l lm mO O O O2)sin(l lm mI IO OO O 剛體力學(xué)剛體力學(xué) 剛體的角動(dòng)量與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體的角動(dòng)量與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分立質(zhì)點(diǎn)系對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：分立質(zhì)點(diǎn)系對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量： 2i ii ir rm mI I對(duì)同一軸具有可加性對(duì)同一軸具有可加性例例3：求下圖所示剛性系統(tǒng)對(duì)軸：求下圖所示剛性系統(tǒng)對(duì)軸O OO O 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量O OO O )(22221123l lm ml lm mI IO OO O 剛體力學(xué)剛體力學(xué) 剛體的角動(dòng)量與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體的角動(dòng)量與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量質(zhì)量連續(xù)分布剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：質(zhì)量連續(xù)分布剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量： dmdmr rI I2 剛體力學(xué)

9、剛體力學(xué) 剛體的角動(dòng)量與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體的角動(dòng)量與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量dldmdsdmdVdm質(zhì)量為線分布質(zhì)量為線分布質(zhì)量為面分布質(zhì)量為面分布質(zhì)量為體分布質(zhì)量為體分布例例4：分別求勻直細(xì)桿對(duì)質(zhì)心軸、端垂軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：分別求勻直細(xì)桿對(duì)質(zhì)心軸、端垂軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量設(shè)單位長(zhǎng)度的質(zhì)量（設(shè)單位長(zhǎng)度的質(zhì)量（質(zhì)量的線密度）為質(zhì)量的線密度）為 r rd dr rl lm mdd 3121L LI IC C r rd dr rl lm mdd 331L LI IO O 形狀、大小相同的剛體，密度越大，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量越大；形狀、大小相同的剛體，密度越大，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量越大； 剛體力學(xué)剛體力學(xué) 剛體的角動(dòng)量與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體的角動(dòng)量與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量3121

10、L LI IC C 331L LI IO O 同一剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量大小取決于轉(zhuǎn)軸方向與位置。同一剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量大小取決于轉(zhuǎn)軸方向與位置。 2121m mL L L Lm m 231m mL L 222121)(L Lm mm mL L 推廣：平行軸定理推廣：平行軸定理2m md dI II Ic c L Lm m C C2/L L 剛體力學(xué)剛體力學(xué) 剛體的角動(dòng)量與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體的角動(dòng)量與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量CdOi im mCi ir ri ir r例例5 5 求質(zhì)量為求質(zhì)量為m、半徑為、半徑為R的勻質(zhì)的勻質(zhì)細(xì)圓環(huán)細(xì)圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。RO思考：思考：dm（軸與圓環(huán)平面垂直并通過(guò)圓心）（軸與圓環(huán)平面垂直并

11、通過(guò)圓心）2m mR RI I 2 2、等質(zhì)量、等半徑的勻質(zhì)、等質(zhì)量、等半徑的勻質(zhì)薄圓盤薄圓盤？R221m mR RI I 1 1、等質(zhì)量的勻質(zhì)、等質(zhì)量的勻質(zhì)薄圓筒薄圓筒？同勻質(zhì)同勻質(zhì)細(xì)圓環(huán)！細(xì)圓環(huán)！( (同勻質(zhì)同勻質(zhì)圓柱圓柱) ) 剛體力學(xué)剛體力學(xué) 剛體的角動(dòng)量與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體的角動(dòng)量與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 總質(zhì)量相同，質(zhì)量分布離軸越遠(yuǎn)，總質(zhì)量相同，質(zhì)量分布離軸越遠(yuǎn)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量越大；轉(zhuǎn)動(dòng)慣量越大； dmrrdr r2r rr rS Sd2d r rr rm md2d 注意：注意：物理中的數(shù)學(xué)處理！物理中的數(shù)學(xué)處理！ 剛體力學(xué)剛體力學(xué) 剛體的角動(dòng)量與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體的角動(dòng)量與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量小結(jié)：小結(jié)：由定義式求剛體轉(zhuǎn)動(dòng)

12、慣量：由定義式求剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：1 1）選取一個(gè)）選取一個(gè)恰當(dāng)恰當(dāng)?shù)馁|(zhì)元的質(zhì)元dm；2 2）寫出其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量）寫出其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量dI；3) 3) 統(tǒng)一積分變量，求出積分統(tǒng)一積分變量，求出積分: : m mr rI II Idd2 剛體力學(xué)剛體力學(xué) 剛體的角動(dòng)量與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體的角動(dòng)量與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量概括為三點(diǎn)：概括為三點(diǎn)：1. 1. 形狀大小相同的剛體，密度越大，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量越大；形狀大小相同的剛體，密度越大，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量越大；總質(zhì)量相同，質(zhì)量分布離軸越遠(yuǎn)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量越大；總質(zhì)量相同，質(zhì)量分布離軸越遠(yuǎn)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量越大；2.2. 同一剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量大小取決于轉(zhuǎn)軸位置。同一剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量大小取決于轉(zhuǎn)軸位置。 與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量有關(guān)的因素

13、：與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量有關(guān)的因素：剛體的質(zhì)量剛體的質(zhì)量質(zhì)量相對(duì)轉(zhuǎn)軸的分布質(zhì)量相對(duì)轉(zhuǎn)軸的分布 剛體力學(xué)剛體力學(xué) 剛體的角動(dòng)量與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體的角動(dòng)量與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量例例7 7：組合體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：組合體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量： lm、RM、1. 1. 勻質(zhì)剛體勻質(zhì)剛體+ +勻質(zhì)剛體勻質(zhì)剛體 O O 2225231)(R Rl lM MM MR Rm ml lI IO O 2 . 2 .勻質(zhì)剛體勻質(zhì)剛體+ +規(guī)則規(guī)則“空缺空缺” RO O m m圓柱體圓柱體思路：挖補(bǔ)法思路：挖補(bǔ)法補(bǔ)補(bǔ)全全O OO OO OI II II I 22413mRmR 組合體對(duì)某定軸的組合體對(duì)某定軸的I，等于各剛體對(duì)同一轉(zhuǎn)軸，等于各剛體對(duì)同一轉(zhuǎn)軸I之和

14、。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量具有可疊加性。之和。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量具有可疊加性。 剛體力學(xué)剛體力學(xué) 剛體的角動(dòng)量與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體的角動(dòng)量與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 RO O m mm m34 全全m mm m31 補(bǔ)補(bǔ)補(bǔ)補(bǔ)全全O OO OO OI II II I 222222121R RR Rm mR Rm mR Rm m補(bǔ)補(bǔ)補(bǔ)補(bǔ)全全22413mRmR 思路：挖補(bǔ)法思路：挖補(bǔ)法m m質(zhì)量為質(zhì)量為剩余部分剩余部分221R Rm mI IO O全全全全 2d dm mI II IO OO O補(bǔ)補(bǔ)補(bǔ)補(bǔ)補(bǔ)補(bǔ) 222221）（）（補(bǔ)補(bǔ)補(bǔ)補(bǔ)R Rm mR Rm m m m 剛體力學(xué)剛體力學(xué) 剛體的角動(dòng)量與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體的角動(dòng)量與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量第四節(jié)第四節(jié)4

15、- 34 - 3外力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩外力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩外力相對(duì)轉(zhuǎn)軸上某一點(diǎn)的力矩沿轉(zhuǎn)軸方向的分量外力相對(duì)轉(zhuǎn)軸上某一點(diǎn)的力矩沿轉(zhuǎn)軸方向的分量外力外力Fi對(duì)對(duì)O點(diǎn)的力矩點(diǎn)的力矩izoiioiioiiFrFrFrM沿沿Z軸方向軸方向的投影為零的投影為零iiiioiFrFooFr沿沿Z軸方向軸方向的投影為零的投影為零iiizFrMzmi OiFOizFiFoir方向：沿轉(zhuǎn)軸方向方向：沿轉(zhuǎn)軸方向ir外力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩外力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩iiizFrMzmi i OiFirOizFiFoir方向：沿轉(zhuǎn)軸方向方向：沿轉(zhuǎn)軸方向id大?。捍笮。篿iiizFrM siniiFd外力相對(duì)轉(zhuǎn)軸的合力矩外力相對(duì)轉(zhuǎn)軸的合力矩iiii

16、iizzrFMMsin外質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量定理 質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)點(diǎn)系定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)角動(dòng)量定軸轉(zhuǎn)動(dòng)角動(dòng)量定理定理Mt tL Ldd 質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量i ii ip pr rL L 一般研究思路：一般研究思路：定軸定軸 ILz z zM Mt tL Lz zdd 轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)dtId)( （適用于任意質(zhì)點(diǎn)系的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)）（適用于任意質(zhì)點(diǎn)系的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)）剛體剛體 I 恒定恒定 IMz 比較與說(shuō)明：比較與說(shuō)明： IMz m ma aF F 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程aF 一定，一定，mm是質(zhì)點(diǎn)平動(dòng)慣性的量度是質(zhì)點(diǎn)平動(dòng)慣性的量度

17、 Mz 一定，一定，I II是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的量度是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的量度 21t tt tF Fd dt t12m mm m 21ttzdtM12I II I 一維：一維：定軸：定軸： 剛體力學(xué)剛體力學(xué) 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理z zM Mt tL Lz zdd dtId)( 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理的應(yīng)用剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理的應(yīng)用 IMz 一般解題思路：一般解題思路： 1 1、選取研究對(duì)象。、選取研究對(duì)象。通常采用通常采用“隔離體隔離體”法。法。2 2、分析隔離體的受力情況，找出各力的力矩、分析隔離體的受力情況，找出各力的力矩。 3 3、列方程求解。、

18、列方程求解。對(duì)質(zhì)點(diǎn)：對(duì)質(zhì)點(diǎn)：寫出牛頓定律分量式；寫出牛頓定律分量式；對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體：對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體：應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定理；應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定理；列出必要的列出必要的輔助（關(guān)聯(lián)）方程。輔助（關(guān)聯(lián)）方程。4 4、必要時(shí)對(duì)結(jié)果進(jìn)行討論。、必要時(shí)對(duì)結(jié)果進(jìn)行討論。 剛體力學(xué)剛體力學(xué) 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理例例、一個(gè)質(zhì)量為、半徑、一個(gè)質(zhì)量為、半徑為的定滑輪（當(dāng)作均勻圓為的定滑輪（當(dāng)作均勻圓盤）上面繞有細(xì)繩，繩的一盤）上面繞有細(xì)繩，繩的一端固定在滑輪邊上，另一端端固定在滑輪邊上，另一端掛一質(zhì)量為掛一質(zhì)量為的物體而下垂的物體而下垂, ,繩與滑輪無(wú)相對(duì)滑動(dòng)。忽略繩與滑輪無(wú)相對(duì)滑動(dòng)。忽略軸處摩擦，求物體

19、由靜止軸處摩擦，求物體由靜止下落高度時(shí)的速度和此時(shí)下落高度時(shí)的速度和此時(shí)滑輪的角速度。滑輪的角速度。mg例例2、一根長(zhǎng)為、一根長(zhǎng)為l、質(zhì)量為、質(zhì)量為m的均勻細(xì)直棒，其的均勻細(xì)直棒，其一端有一固定的光滑水平軸，因而可以在豎一端有一固定的光滑水平軸，因而可以在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。最初棒靜止在水平位置，求直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。最初棒靜止在水平位置，求它由此下擺它由此下擺 角時(shí)的角加速度和角速度。角時(shí)的角加速度和角速度。 XOdmgdmx重力對(duì)整個(gè)棒的合力矩和全部重重力對(duì)整個(gè)棒的合力矩和全部重力集中于質(zhì)心所產(chǎn)生的力矩一樣力集中于質(zhì)心所產(chǎn)生的力矩一樣mgCxc恒恒量量，則則若若 I IL LM Mz zz z0說(shuō)明

20、：說(shuō)明：定律的適用對(duì)象定律的適用對(duì)象: : 一般質(zhì)點(diǎn)系一般質(zhì)點(diǎn)系包括：質(zhì)點(diǎn)、剛體組；包括：質(zhì)點(diǎn)、剛體組；非剛體等。非剛體等。 剛體力學(xué)剛體力學(xué) 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理 對(duì)于一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系，如果它受的對(duì)于某一定軸的對(duì)于一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系，如果它受的對(duì)于某一定軸的合外力矩為零，則它對(duì)于合外力矩為零，則它對(duì)于 這一固定軸的角動(dòng)量這一固定軸的角動(dòng)量保持不變。保持不變。對(duì)定軸的角動(dòng)量守恒對(duì)定軸的角動(dòng)量守恒定律定律討論：討論：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中角動(dòng)量守恒的幾種常見情況定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中角動(dòng)量守恒的幾種常見情況1 1、對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體、對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體 （I I 恒定）恒定）恒量恒量 I IL Lz z恒矢量

21、恒矢量被中香爐被中香爐x xz zy y陀螺儀陀螺儀 剛體力學(xué)剛體力學(xué) 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理2 2、對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的非剛體、對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的非剛體 （I I 可以變化）可以變化）恒量恒量 I IL Lz z增增大大時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)I I就就減減小??；減減小小時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)I I就就增增大大?；踊械膽?yīng)用花樣滑冰中的應(yīng)用張臂張臂收臂收臂 剛體力學(xué)剛體力學(xué) 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理視頻一視頻一 剛體力學(xué)剛體力學(xué) 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理3、對(duì)共軸物體系：對(duì)共軸物體系：)()(0 t tL Lt tL Lz zi iz z00 )(t t

22、L Lz z （負(fù)負(fù)）（正正）)()(j jj ji ii iI II I恒量恒量 全靜全靜人臺(tái)反轉(zhuǎn)人臺(tái)反轉(zhuǎn)初態(tài)初態(tài)末態(tài)末態(tài)人沿某方向撥輪人沿某方向撥輪 剛體力學(xué)剛體力學(xué) 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理 剛體力學(xué)剛體力學(xué) 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理例例1 1、質(zhì)量分別為質(zhì)量分別為M1、M2, ,半徑半徑分別為分別為R1 、R2的兩均勻圓柱的兩均勻圓柱, ,可可分別繞它們本身的軸轉(zhuǎn)動(dòng)分別繞它們本身的軸轉(zhuǎn)動(dòng), ,二軸二軸平行。原來(lái)它們沿同一轉(zhuǎn)向，平行。原來(lái)它們沿同一轉(zhuǎn)向，分別以分別以 1010， 2020的角速度勻速轉(zhuǎn)的角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng), ,然后平移二軸使它

23、們的邊緣然后平移二軸使它們的邊緣相接觸相接觸, ,如圖所示如圖所示. .求最后在接求最后在接觸處無(wú)相對(duì)滑動(dòng)時(shí)觸處無(wú)相對(duì)滑動(dòng)時(shí), ,每個(gè)圓柱的每個(gè)圓柱的角速度角速度 1 1， 2 2。R2M2R1M1R1M1R2M22211RR 二圓柱系統(tǒng)角動(dòng)量守恒故有二圓柱系統(tǒng)角動(dòng)量守恒故有對(duì)上述問(wèn)題有以下的解法對(duì)上述問(wèn)題有以下的解法: :在接在接觸處無(wú)相對(duì)滑動(dòng)時(shí)觸處無(wú)相對(duì)滑動(dòng)時(shí), ,二圓柱邊緣二圓柱邊緣的線速度一樣的線速度一樣, ,故有故有2211220110 JJJJ 222221112121RMJRMJ ,其中由以上二式就可解出由以上二式就可解出 1 1， 2 2。這種解法對(duì)嗎。這種解法對(duì)嗎? ?R1M

24、1R2M2正確的解法應(yīng)對(duì)兩圓柱分別使用角動(dòng)量定理，由正確的解法應(yīng)對(duì)兩圓柱分別使用角動(dòng)量定理，由于兩柱接觸時(shí)摩擦力大小相等、方向相反于兩柱接觸時(shí)摩擦力大小相等、方向相反, ,力矩和力矩和沖量矩的大小正比于半徑?jīng)_量矩的大小正比于半徑, ,方向相同方向相同: :)()(202222101111JfdtRfdtRJfdtRfdtR)()(2022101121JJRR1221RR從前已知由此可解得由此可解得:)( )(212202210112122211202210112MMRRMRMRJRJRJRJR)( )(211202210112122211202210121MMRRMRMRJRJRJRJR222

25、221112121RMJRMJ ,其中R1M1R2M2例例2 2、如圖所示、如圖所示, ,一質(zhì)量為一質(zhì)量為m的子彈以水平速度射入一靜的子彈以水平速度射入一靜止懸于頂端長(zhǎng)棒的下端止懸于頂端長(zhǎng)棒的下端, ,穿出后速度損失穿出后速度損失3/4,3/4,求子彈穿求子彈穿出后棒的角速度出后棒的角速度 。已知棒長(zhǎng)為。已知棒長(zhǎng)為l, ,質(zhì)量為質(zhì)量為M. .v0vmM碰撞過(guò)程中角動(dòng)量守恒碰撞過(guò)程中角動(dòng)量守恒2031Mlmlvmlv041vv Mlmv490請(qǐng)問(wèn)請(qǐng)問(wèn): :子彈和棒的總動(dòng)量守恒嗎子彈和棒的總動(dòng)量守恒嗎? ?為什么為什么? ? zMdtdLz 21ttzdtM12zzLL 與與 zMdtdI I 若

26、物體系對(duì)同一轉(zhuǎn)軸的合外力矩若物體系對(duì)同一轉(zhuǎn)軸的合外力矩 剛體力學(xué)剛體力學(xué) 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理第四節(jié)第四節(jié)4 - 44 - 4如何計(jì)算剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能？質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理剛剛體體定定軸軸轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理動(dòng)能定理對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體：對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體：12k kk kE EE EW WW W 內(nèi)內(nèi)外外ijijijijijijr rd df fdWdW 剛體內(nèi)：剛體內(nèi)：0 i ij jr rd d0 （剛體）（剛體）內(nèi)內(nèi)W W12k kk kE EE EW W 外外W? 外外? k kE E 剛體力學(xué)剛體力學(xué) 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的功能原理剛

27、體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的功能原理|cosrdFrdFdW 稱為力矩的功。稱為力矩的功。 rdF cos coscostFFFrM MddW 21MdW力矩作功是力作功的角量表達(dá)式力矩作功是力作功的角量表達(dá)式xPrFo rdd tF iiiiiiKrmvmE222121)( 剛體上所有質(zhì)元的動(dòng)能之和為：剛體上所有質(zhì)元的動(dòng)能之和為：2222121 Irmiii)( 拓展拓展: :定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中的克尼希定理定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中的克尼希定理222121C CC Ck kI Im mE E 2211()22KiiiiiiEmmr剛體上所有質(zhì)元的動(dòng)能之和為：剛體上所有質(zhì)元的動(dòng)能之和為：2222121 Irmiii)( 212221

28、21II21dIddtdI21 21 Md12KKEEW 上式即為：上式即為：合外力矩對(duì)一個(gè)繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體所做的功合外力矩對(duì)一個(gè)繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體所做的功等于剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量。等于剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量。定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理例例1 已知已知、N N12RR、 、0求停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)所轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)求停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)所轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)如何計(jì)算巖石重力勢(shì)能？如何計(jì)算巖石重力勢(shì)能？hhihcxOmCm一一個(gè)質(zhì)元：個(gè)質(zhì)元：iighm iiiPhgmE 重mhmhiiic 整個(gè)剛體：整個(gè)剛體：一個(gè)不太大的剛體的重力勢(shì)能相當(dāng)于它的全部質(zhì)量都一個(gè)不太大的剛體的重力勢(shì)能相當(dāng)于它的全部質(zhì)量都集中在質(zhì)心時(shí)所具有的

29、勢(shì)能。集中在質(zhì)心時(shí)所具有的勢(shì)能。剛體的機(jī)械能剛體的機(jī)械能cmghIE221 質(zhì)心的高度：質(zhì)心的高度：cpmghE 重力勢(shì)能：重力勢(shì)能：例例、一個(gè)質(zhì)量為、半徑為的定、一個(gè)質(zhì)量為、半徑為的定滑輪（當(dāng)作均勻圓盤）上面繞有細(xì)繩，滑輪（當(dāng)作均勻圓盤）上面繞有細(xì)繩，繩的一端固定在滑輪邊上，另一端掛繩的一端固定在滑輪邊上，另一端掛一質(zhì)量為的物體而下垂。忽略軸處一質(zhì)量為的物體而下垂。忽略軸處摩擦，求物體由靜止下落高度時(shí)摩擦，求物體由靜止下落高度時(shí)的速度和此時(shí)滑輪的角速度。的速度和此時(shí)滑輪的角速度。解：據(jù)機(jī)械能守恒定律：解：據(jù)機(jī)械能守恒定律：MmmghvRv 24可解出 222121mvImgh 例例2 2 質(zhì)

30、量為質(zhì)量為M長(zhǎng)度為長(zhǎng)度為L(zhǎng)的均質(zhì)細(xì)桿可繞一水平軸自由的均質(zhì)細(xì)桿可繞一水平軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)。開始時(shí)桿子處于鉛垂?fàn)顟B(tài)?，F(xiàn)有一質(zhì)量為轉(zhuǎn)動(dòng)。開始時(shí)桿子處于鉛垂?fàn)顟B(tài)。現(xiàn)有一質(zhì)量為m的的橡皮泥以速度橡皮泥以速度v 和桿子發(fā)生完全非彈性碰撞并且和桿和桿子發(fā)生完全非彈性碰撞并且和桿子粘在一起。子粘在一起。 試求：試求： 1. 碰撞后系統(tǒng)的角速度；碰撞后系統(tǒng)的角速度； 2. 碰撞后桿子能上擺的最大角度。碰撞后桿子能上擺的最大角度。）Lv4mM3L碰撞過(guò)程角動(dòng)量守恒碰撞過(guò)程角動(dòng)量守恒mvmM34JJL=)(+3MMJL2=1mm34JL2=)(mv4991616LLL22=+11333mmMM4mvLL3上擺過(guò)程機(jī)械能

31、守恒上擺過(guò)程機(jī)械能守恒3LL4vmMcoscosJ222()(+1m43JMM=mgLL 1g1)M34916L222=)(+1m4MLggmax(3mm+119163M)m varc cos2例例3 3：如圖示，已知?jiǎng)蛸|(zhì)園盤質(zhì)量為：如圖示，已知?jiǎng)蛸|(zhì)園盤質(zhì)量為MM，半徑為，半徑為R R，可繞垂直于盤面的光滑軸轉(zhuǎn)動(dòng)。質(zhì)量為可繞垂直于盤面的光滑軸轉(zhuǎn)動(dòng)。質(zhì)量為m=M/2m=M/2的泥的泥球下落球下落h h高度，砸在圓盤的高度，砸在圓盤的p p點(diǎn)，點(diǎn)， 已知已知q q60 60 。 求：（求：（1 1）碰撞后瞬間盤的角速度）碰撞后瞬間盤的角速度 0 0 （2 2）P P轉(zhuǎn)到轉(zhuǎn)到x x軸時(shí)的角速度和角加

32、速度？軸時(shí)的角速度和角加速度？碰撞碰撞 t 極小，對(duì)極小，對(duì) m 、M系統(tǒng)，沖系統(tǒng)，沖力遠(yuǎn)大于重力，故重力對(duì)力遠(yuǎn)大于重力，故重力對(duì)O力矩可力矩可忽略，忽略，碰撞過(guò)程碰撞過(guò)程中角動(dòng)量守恒：中角動(dòng)量守恒：碰撞前瞬間系統(tǒng)對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量：碰撞前瞬間系統(tǒng)對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量： cosmvR222221mRmRMRJ碰撞后瞬間系統(tǒng)對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量：碰撞后瞬間系統(tǒng)對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量：0 JRghRv2220 coscos sincosRgRgh222解得：解得：RgmRmgRJM222（2 2對(duì)對(duì)m 、M、地球系統(tǒng)，只有重地球系統(tǒng)，只有重力做功，力做功， E守恒，令守恒，令p p、x重合時(shí)重合時(shí)E EP P=0=02202121sinJJmgR第四節(jié)第四節(jié)4 - 54 - 5zg gm mO（倒下）（倒下）zg gm mO陀螺陀螺（不倒下）（不倒下）思考：為什么高速自轉(zhuǎn)的陀螺不會(huì)倒下？思考：為什么高速自轉(zhuǎn)的陀螺不會(huì)倒下？自轉(zhuǎn)軸自轉(zhuǎn)軸進(jìn)動(dòng)軸進(jìn)動(dòng)軸高速自旋的物體的軸在空間轉(zhuǎn)動(dòng)的現(xiàn)象叫進(jìn)動(dòng)。高速自旋的物體的軸在空間轉(zhuǎn)動(dòng)的現(xiàn)象叫進(jìn)動(dòng)。zg gm mL LOC Cr rM M進(jìn)動(dòng)進(jìn)動(dòng)【回