1、開(kāi)放題在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用松江區(qū)教師進(jìn)修學(xué)院附屬立達(dá)中學(xué) 徐明君摘  要 本文首先介紹了在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中開(kāi)展數(shù)學(xué)開(kāi)放題教學(xué)方法的重要性，筆者通過(guò)國(guó)內(nèi)的一些學(xué)者和專家的親身實(shí)踐和教學(xué)深切體會(huì)來(lái)介紹開(kāi)放題教學(xué)重要性、數(shù)學(xué)開(kāi)放題的定義的描述以及數(shù)學(xué)開(kāi)放題的五個(gè)特點(diǎn)等等，然后著重介紹了數(shù)學(xué)開(kāi)放題教學(xué)在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，具體從三個(gè)方面說(shuō)明：1、運(yùn)用數(shù)學(xué)開(kāi)放題開(kāi)展中學(xué)數(shù)學(xué)新知識(shí)的學(xué)習(xí)（具體例舉了一元二次方程的解法和全等三角形判定的教學(xué)）；2、利用數(shù)學(xué)開(kāi)放題教學(xué)梳理知識(shí)（具體例舉了二次多項(xiàng)式因式分解復(fù)習(xí)和直角三角形性質(zhì)的復(fù)習(xí)）；3、數(shù)學(xué)開(kāi)放題的編制（具體例舉了兩個(gè)陳題的改編）。最后介紹了應(yīng)用

2、數(shù)學(xué)開(kāi)放題教學(xué)方法在教學(xué)中的效果以及本人在幾年數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用數(shù)學(xué)開(kāi)放題教學(xué)方法的切身體會(huì)。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)開(kāi)放題 開(kāi)放題特點(diǎn) 新知識(shí)學(xué)習(xí) 梳理知識(shí) 編制 教學(xué)效果案例 通過(guò)長(zhǎng)期的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐和幾年來(lái)經(jīng)驗(yàn)的總結(jié)，使我深深體會(huì)到中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中除了抓好學(xué)生的雙基以外，還應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生的能力、激發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考和創(chuàng)新意識(shí)，以至于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，這樣我們的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)才能適應(yīng)社會(huì)的發(fā)展的需要，更好地為社會(huì)服務(wù)，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)才能有生命力，才能有意義，而培養(yǎng)學(xué)生的能力、激發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考和創(chuàng)新意識(shí)，最重要的責(zé)任落在我們教師的肩上，教師應(yīng)不斷研究教學(xué)模式，自我形成一種適應(yīng)時(shí)代需要的教學(xué)模式，而開(kāi)放題教學(xué)就是一種很

3、好的方式，它促進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)的開(kāi)放化和個(gè)性化，在這種數(shù)學(xué)教學(xué)模式下，學(xué)生以知識(shí)的主動(dòng)發(fā)現(xiàn)者、探索者和研究者的生份出現(xiàn)，學(xué)生不再是“裝”數(shù)學(xué)，而是“搞”數(shù)學(xué)，這樣在一定程度上去體驗(yàn)數(shù)學(xué)家進(jìn)行數(shù)學(xué)研究的活動(dòng)過(guò)程（盡管兩者完全不同），深切領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)的實(shí)質(zhì)，有利于形成正確的數(shù)學(xué)觀念和數(shù)學(xué)意識(shí)（如最優(yōu)化、整體、建模、運(yùn)動(dòng)、變化等），掌握數(shù)學(xué)的靈魂思想方法，為今后的學(xué)習(xí)以及成人后用數(shù)學(xué)的思想方法、思維方式來(lái)解決問(wèn)題做準(zhǔn)備。江澤民同志講過(guò)這樣一句話：“一個(gè)沒(méi)有創(chuàng)新能力的民族難以屹立于世界民族之林?！睍r(shí)代要求數(shù)學(xué)教育工作者改革人才培養(yǎng)模式，開(kāi)放題教學(xué)模式是建立在對(duì)學(xué)生積極鼓勵(lì)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探索的以學(xué)生為中心的創(chuàng)造性

4、模式。那么什么叫“數(shù)學(xué)開(kāi)放題”呢？我國(guó)國(guó)內(nèi)有關(guān)學(xué)者就這一問(wèn)題在“開(kāi)放題”和“封閉題”比較的基礎(chǔ)上作了相關(guān)的論述：封閉題開(kāi)放題u 凡是具有完備的條件和固定的答案的習(xí)題。u 條件恰當(dāng)（不多不少），答案固定的習(xí)題。u 答案不固定或者條件不完備的習(xí)題。u 條件多余需選擇，條件不足需補(bǔ)充或答案不固定的題。“數(shù)學(xué)開(kāi)放題”是為了達(dá)到一定的教育目的而精心編制設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，它要求學(xué)生進(jìn)行多方面、多角度、多層次探索，通常使用“試盡可能多地”一類詞語(yǔ)來(lái)提出，它對(duì)學(xué)生具有“鼓勵(lì)參與，激勵(lì)優(yōu)化，追求卓越”的作用。因此，有關(guān)專家對(duì)“數(shù)學(xué)開(kāi)放題”的概念下一個(gè)描述性的界定：數(shù)學(xué)開(kāi)放題是指那些答案不唯一，并在設(shè)問(wèn)方式上要求學(xué)

5、生進(jìn)行多方面、多角度、多層次探索的數(shù)學(xué)問(wèn)題。戴再平老師曾經(jīng)以三道開(kāi)放題和幾道封閉題在三所來(lái)源有顯著差異的學(xué)校：（1）省重點(diǎn)中學(xué)，（2）鎮(zhèn)完全中學(xué)，（3）鄉(xiāng)村初級(jí)中學(xué)各取一個(gè)初三班進(jìn)行了一次測(cè)試，結(jié)果如下：學(xué) 校（1）（2）（3）答對(duì)率（%）封閉題814951開(kāi)放題312119測(cè)試其中一道開(kāi)放題是：試指出下列兩個(gè)代數(shù)式的共同點(diǎn)：（1）12a2b2c;(2)8a3xy.測(cè)試說(shuō)明了知識(shí)和技能的堆砌對(duì)學(xué)生解決開(kāi)放性問(wèn)題和學(xué)生的創(chuàng)造思維能力的發(fā)展沒(méi)有必然的聯(lián)系。胡林瑞老師也曾經(jīng)用5道開(kāi)放題對(duì)同一所學(xué)校的51名初三和高三學(xué)生作了一次測(cè)試，得出“高三學(xué)生解這類題的能力并不比初三學(xué)生強(qiáng)，他們雖然多讀了三年書，

6、知識(shí)和技能上可能多一些，但發(fā)散性創(chuàng)造性思維能力都無(wú)甚增長(zhǎng)”的令人驚訝的結(jié)論。他進(jìn)一步分析：“這也許能說(shuō)明在進(jìn)行基礎(chǔ)知識(shí)教學(xué)的同時(shí)，如果不引導(dǎo)學(xué)生去進(jìn)行發(fā)現(xiàn)'，不注意培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)，而只要求學(xué)生記公式定理、套題型解法，則有可能導(dǎo)致學(xué)生思維發(fā)展的停滯，聰明才智被扼殺?！边@些研究的例子都說(shuō)明數(shù)學(xué)開(kāi)放題對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力的必然性，同時(shí)也從一個(gè)角度說(shuō)明目前僅僅通過(guò)封閉題從知識(shí)和技能上來(lái)要求學(xué)生是不夠的。特級(jí)教師鄔云德說(shuō)：“在數(shù)學(xué)教學(xué)中，適當(dāng)穿插一些開(kāi)放題，會(huì)給數(shù)學(xué)教學(xué)帶來(lái)生機(jī)，有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，也會(huì)提高你班級(jí)中的數(shù)學(xué)學(xué)困生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣?！币?、 數(shù)學(xué)開(kāi)放題的特點(diǎn)。在討論了數(shù)學(xué)開(kāi)放題

7、的概念后，應(yīng)進(jìn)一步考察數(shù)學(xué)開(kāi)放題的特點(diǎn)，這樣會(huì)更加深刻地對(duì)數(shù)學(xué)開(kāi)放題的內(nèi)涵有一個(gè)深入的了解。一道數(shù)學(xué)題，如果它具備開(kāi)放題的特點(diǎn)越多、特點(diǎn)越明顯，那么這道數(shù)學(xué)題的開(kāi)放度就越大。數(shù)學(xué)開(kāi)放題有以下幾個(gè)特點(diǎn)：（1）問(wèn)題的條件常常是不完備的。一個(gè)開(kāi)放題的條件可以不足，也可以多余。條件不足時(shí)要求學(xué)生予以補(bǔ)充，條件多余時(shí)要求學(xué)生進(jìn)行選擇。例 1在下列三個(gè)不為零的式子 中，任選兩個(gè)你喜歡的式子組成一個(gè)分式是 ，把這個(gè)分式化簡(jiǎn)所得的結(jié)果是 .在本題中，根據(jù)三個(gè)條件中任選兩個(gè)，條件是多余的。多余的條件使本題的解題策略具有開(kāi)放性。例2 如圖，在四邊形ABCD中，已知ABCD，再添加一個(gè)條件：，使四邊形ABCD為平行

8、四邊形（不再添加任何輔助線）。在本題中，給出的條件不足，學(xué)生需要補(bǔ)充一個(gè)條件才能滿足四邊形ABCD為平行四邊形。正是由于條件的不足，從而使本題的結(jié)論具有很大的開(kāi)放性。（2）問(wèn)題的答案是不確定的，具有層次性。開(kāi)放題的解答的多樣性，決定了它能夠滿足各種層次水平的學(xué)生的要求，使他們可以在自己的能力范圍內(nèi)解決問(wèn)題，從而體現(xiàn)出層次性。例3 在平面直角坐標(biāo)系中，有A（2，3）、B（3，2）兩點(diǎn)（1）請(qǐng)?jiān)偬砑右稽c(diǎn)C，求出圖象經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的函數(shù)關(guān)系式（2）反思第（1）小問(wèn)，考慮有沒(méi)有更簡(jiǎn)捷的解題策略？請(qǐng)說(shuō)出你的理由本題有幾種不同的解答思路：針對(duì)問(wèn)題（1）：依直覺(jué)作答，先設(shè)一點(diǎn)C，再按二次函數(shù)求的解析式。

9、對(duì)問(wèn)題作出猜想，根據(jù)兩點(diǎn)確立一條直線.將A、B兩點(diǎn)，按一次函數(shù)直線模式求解析式，再在此直線上找到一點(diǎn)C.直接看出A、B兩點(diǎn)均在雙曲線上，由此找出C點(diǎn)的坐標(biāo)。針對(duì)問(wèn)題（2）：反思（1）問(wèn)也有三種情況：若按上面做的，再按或找出簡(jiǎn)捷方法；若按上面做的，再按或說(shuō)明有簡(jiǎn)捷方法；若按上面做的，又通過(guò)或說(shuō)明簡(jiǎn)捷。本題重點(diǎn)考查學(xué)生的“發(fā)散思維”，也說(shuō)明不同的解法體現(xiàn)出學(xué)生能力和水平的層次性。（3）問(wèn)題的解決策略具有非常規(guī)性、發(fā)散性、創(chuàng)新性。解決開(kāi)放題時(shí)，往往沒(méi)有一般的解題模式可以遵循，有時(shí)需要打破原有的思維模式，從多個(gè)不同的角度思考問(wèn)題，有時(shí)發(fā)現(xiàn)一個(gè)新的解答需要一種新的方法或開(kāi)拓一個(gè)新的研究領(lǐng)域。譬如，我們?cè)?/p>

10、學(xué)習(xí)正多邊形的時(shí)候，可從學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)正三角形入手，自行設(shè)計(jì)一些開(kāi)放題導(dǎo)入。例4 試比較如圖兩個(gè)幾何圖形的異同。本題可以通過(guò)兩個(gè)圖形的異同可以多角度來(lái)挖掘正多邊形的性質(zhì)，從而為學(xué)習(xí)幾何提供好的方法。例如，它們的相同點(diǎn)：都是多邊形；都有相等的邊；都有相等的內(nèi)角；都是正多邊形；都有外接圓；都有內(nèi)切圓；各角的平分線都交于一點(diǎn)；都是軸對(duì)稱圖形等等。它們的不同點(diǎn)：邊數(shù)（或頂點(diǎn)數(shù)）不同；各自內(nèi)角度數(shù)不同；對(duì)稱軸的數(shù)目不同；正三角形不是中心對(duì)稱圖形，而正六邊形是中心對(duì)稱圖形等等。在解答本題時(shí)并沒(méi)有常規(guī)的解題模式可以遵循，思維是發(fā)散性的，如找到一個(gè)新觀點(diǎn)，就可以發(fā)現(xiàn)新的解答。如考慮對(duì)角線就可以發(fā)現(xiàn)三角形沒(méi)有對(duì)角

11、線而六邊形有三條對(duì)角線這一新的不同點(diǎn)。（4）問(wèn)題的研究具有探究性和發(fā)展性。對(duì)一個(gè)開(kāi)放題的研究與封閉題有很大的不同，這主要體現(xiàn)在對(duì)答案的探索性（盡管解封閉題時(shí)也需要一定的探索，但其探索性大大低于開(kāi)放題）和問(wèn)題本身可層層發(fā)展成為一系列的問(wèn)題。例題5 如下幾何圖形，除了線段成比例、對(duì)稱等方面的獨(dú)特性質(zhì)外，它還有一個(gè)不太被人注意的性質(zhì)，這就是在圖中的A、B、C、D、E五點(diǎn)中，每?jī)蓚€(gè)點(diǎn)之間的距離不是等于正五邊形的邊長(zhǎng)，就是等于正五邊形的對(duì)角線。也就是說(shuō)，這五個(gè)點(diǎn)之間只有兩種長(zhǎng)度距離（此時(shí)我們稱這五個(gè)點(diǎn)具有兩種距離）。試研究平面上具有兩種距離的四個(gè)點(diǎn)。本題有六種答案：雖然我們找出了六種解答，但是這卻要經(jīng)過(guò)

12、一個(gè)較長(zhǎng)的探索過(guò)程，不僅如此，本題還可以進(jìn)一步發(fā)展出其他問(wèn)題，譬如：各個(gè)圖形每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是多少？各個(gè)圖中的兩個(gè)距離之比是多少？試研究平面上具有三種距離的五個(gè)點(diǎn)？試研究空間具有兩種距離的四個(gè)點(diǎn)？（5）問(wèn)題的教學(xué)具有參與性和學(xué)生主體性。由于開(kāi)放題沒(méi)有固定的標(biāo)準(zhǔn)答案，這就使教師在課堂教學(xué)中難以使用“灌輸式”的教學(xué)方法。學(xué)生主動(dòng)參與解題活動(dòng)不但成為可能，而且是非常自然和必要的。例如，在例5的教學(xué)中，如果教師仍然采用“灌輸式”的方法一個(gè)一個(gè)地介紹答案，這樣必將會(huì)受到學(xué)生的反對(duì)，一些學(xué)生早已用自己的方法找到了教師還來(lái)不及講的，甚至是教師事先根本沒(méi)有預(yù)料的答案，學(xué)生希望老師與他們一起來(lái)分享這種成功的喜悅。

13、任何一個(gè)好老師都不會(huì)壓制學(xué)生的這種愿望，這就使課堂教學(xué)自然地走向以學(xué)生主動(dòng)參與為特征的開(kāi)放式教學(xué)。二、 數(shù)學(xué)開(kāi)放題教學(xué)在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用。（一）運(yùn)用數(shù)學(xué)開(kāi)放題開(kāi)展中學(xué)數(shù)學(xué)新知識(shí)的學(xué)習(xí)。在中學(xué)教材中有很多新知識(shí)的引入若運(yùn)用數(shù)學(xué)開(kāi)放題進(jìn)行教學(xué)則起到事半功倍的效果。這是因?yàn)椤皵?shù)學(xué)開(kāi)放題”界定為一種特殊的數(shù)學(xué)問(wèn)題，強(qiáng)調(diào)它并不是一個(gè)純數(shù)學(xué)范圍的概念，而是一個(gè)有著教育范疇的概念。這就是說(shuō)數(shù)學(xué)開(kāi)放題是為了達(dá)到一定的教育教學(xué)目的而精心編制設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，它有著為特定的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)水平的一類學(xué)生所設(shè)計(jì)的。所以在開(kāi)展中學(xué)數(shù)學(xué)新知識(shí)的教學(xué)中，采用“數(shù)學(xué)開(kāi)放題”教學(xué)很有意義。譬如，在學(xué)習(xí)一元二次方程的解法教學(xué)中，學(xué)

14、生已經(jīng)具備了求平方根運(yùn)算的開(kāi)平方法、二次三項(xiàng)式的因式分解法(其中包括利用因式分解的完全平方公式法和十字相乘法)以及配方法，還有小學(xué)里學(xué)習(xí)的兩個(gè)因式乘積等于零等等知識(shí)，所以我們?cè)谏弦辉畏匠探夥ǖ臅r(shí)候可以嘗試把教材中的問(wèn)題“怎樣解方程x2=4?”、“怎樣解方程（1+x）2=16?”、“怎樣解方程x2-7x+12=0？”等等一些新知識(shí)引入可以設(shè)計(jì)成為一些開(kāi)放題形式。如果我們改變這些問(wèn)題的設(shè)問(wèn)方式：例6 試盡可能多地找出使一元二次方程x2=4成立的實(shí)數(shù)x.對(duì)于已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)“一元二次方程”的學(xué)生來(lái)說(shuō)，根本沒(méi)有必要把問(wèn)題敘述得這樣復(fù)雜；而對(duì)于從未學(xué)過(guò)這一知識(shí)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，我們可以讓學(xué)生在已有的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)的

15、基礎(chǔ)上采用“試錯(cuò)法”來(lái)讓學(xué)生自主地尋找一元二次方程的一個(gè)解或兩個(gè)解，這一個(gè)解或兩個(gè)解都可以成為問(wèn)題的正確答案（只是存在解答水平的層次不同而已），因此上面的課本例題改編已具備開(kāi)放題的特征，我們?cè)谄綍r(shí)開(kāi)展新知識(shí)的教學(xué)活動(dòng)中，對(duì)于從未學(xué)習(xí)過(guò)這一知識(shí)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，這就是“數(shù)學(xué)開(kāi)放題”在開(kāi)展新知識(shí)教學(xué)中的運(yùn)用，它有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，更重要的是由于采用“試錯(cuò)法”，學(xué)生親身體驗(yàn)探究數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程；問(wèn)題答案的分層，鼓勵(lì)了數(shù)學(xué)學(xué)困生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情。又如，在學(xué)習(xí)“全等三角形的判定”時(shí)也可以采用“開(kāi)放題”教學(xué)的形式來(lái)開(kāi)展教學(xué)活動(dòng)。這一個(gè)內(nèi)容的學(xué)習(xí)是在學(xué)生具備“全等三角形的定義”和“畫三角形”的知識(shí)基礎(chǔ)上進(jìn)行

16、的，在新知識(shí)“全等三角形的判定”的學(xué)習(xí)中，可以設(shè)計(jì)開(kāi)放題：例7 怎樣用最少的對(duì)應(yīng)元素判定兩個(gè)三角形全等？依據(jù)全等三角形的定義，在兩個(gè)三角形中，每個(gè)三角形分別有三條邊、三個(gè)角共6個(gè)元素，如果這6對(duì)元素分別對(duì)應(yīng)相等，則這兩個(gè)三角形全等，但這樣所用的元素不是最少的。在教學(xué)中，學(xué)生親手已經(jīng)經(jīng)過(guò)了“畫三角形”、同學(xué)間根據(jù)條件所剪得三角形的比較以及同學(xué)間的交流，在老師的輔導(dǎo)下，這樣使學(xué)習(xí)的問(wèn)題逐漸達(dá)到一定的深度與廣度，特別是在自己動(dòng)手的基礎(chǔ)上聽(tīng)別人的想法，能進(jìn)一步打開(kāi)自己的思路，也使對(duì)所研究的問(wèn)題更加明了。（1）如果能用一個(gè)元素對(duì)應(yīng)相等來(lái)判斷，則一定是最少的，但以一條邊對(duì)應(yīng)相等或一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，都不能判定

17、兩個(gè)三角形全等。（2）如果能用兩個(gè)元素分別對(duì)應(yīng)相等，能否由此判定兩個(gè)三角形全等呢？?jī)蓚€(gè)元素分別對(duì)應(yīng)相等，可分為以下幾種情況：兩條邊分別對(duì)應(yīng)相等；兩個(gè)角分別對(duì)應(yīng)相等；一條邊和它的一個(gè)鄰角分別對(duì)應(yīng)相等；一條邊和它的對(duì)角分別對(duì)應(yīng)相等。但是，經(jīng)過(guò)畫圖、拼剪、討論后認(rèn)定，在上述情況下，都不能判定兩個(gè)三角形全等。（3）是不是三個(gè)元素分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形一定全等呢？三個(gè)元素分別對(duì)應(yīng)相等，可分為以下幾種情況：三條邊分別對(duì)應(yīng)相等；三個(gè)角分別對(duì)應(yīng)相等；兩條邊和它們的夾角分別對(duì)應(yīng)相等；兩條邊和其中一邊的對(duì)角分別對(duì)應(yīng)相等；兩個(gè)角和它們的夾邊分別對(duì)應(yīng)相等；兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊分別對(duì)應(yīng)相等。學(xué)生例舉出反例，說(shuō)明或

18、成立時(shí)，兩個(gè)三角形不一定全等。以上例舉了代數(shù)和幾何各一種例子用“數(shù)學(xué)開(kāi)放題”開(kāi)展新知識(shí)課堂教學(xué)，在每次課堂小結(jié)中學(xué)生對(duì)“數(shù)學(xué)開(kāi)放題”也作了相應(yīng)的評(píng)價(jià)，整理出來(lái)學(xué)生對(duì)這樣的教學(xué)評(píng)價(jià)如下：很有趣，愿意思考；答案不唯一，有層次性；需要分析、探討，用的知識(shí)很廣；開(kāi)始不理解，不知從哪里下手等等。在課后評(píng)課中，聽(tīng)課老師也對(duì)這樣的教法進(jìn)行了探討，最后大家認(rèn)為：允許商量、交流，這樣的教學(xué)模式能促進(jìn)學(xué)生的課堂參與，并能使課堂學(xué)習(xí)的課題不斷深入，達(dá)到一定的深度和廣度，從而完美地完成課堂教學(xué)；特別是在學(xué)生自己動(dòng)手的基礎(chǔ)上再聽(tīng)取別人的想法，能進(jìn)一步打開(kāi)自己的思路，及時(shí)修正錯(cuò)誤的思路，增強(qiáng)解決問(wèn)題的信心，這是在過(guò)去學(xué)習(xí)

19、和解題中所沒(méi)有過(guò)的體驗(yàn)；有的老師說(shuō)，題目挺有趣，有吸引力；有的老師說(shuō)，解法很靈活，不過(guò)于依賴某一專門知識(shí)，主要依靠學(xué)生自己的智力水平和能力基礎(chǔ)。（二）利用數(shù)學(xué)開(kāi)放題教學(xué)梳理知識(shí)。運(yùn)用數(shù)學(xué)開(kāi)放題教學(xué)對(duì)逐節(jié)學(xué)的知識(shí)進(jìn)行消化、提煉、整理，就可得到系統(tǒng)的知識(shí)結(jié)構(gòu)，將零星的知識(shí)編織成一張有序的、主次分明的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，收到化厚為薄，綱舉目張，易懂、易記、易用之效果。譬如，在復(fù)習(xí)因式分解一節(jié)內(nèi)容中，我們以復(fù)習(xí)二次三項(xiàng)式因式分解為例。我們可以分三個(gè)步驟進(jìn)行。第一步驟，老師出示已印好的題目發(fā)給學(xué)生。判斷下列二次三項(xiàng)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)能否因式分解，若能的，請(qǐng)把它們用適當(dāng)?shù)姆椒ㄒ蚴椒纸?。?）x2-2X+1; (2)x2

20、-2x-3；（3）x2-2x-4; (4)x2-2x+3.我們知道對(duì)于二次三項(xiàng)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)適當(dāng)因式分解有三種方法：利用完全平方公式；利用十字相乘法；利用一元二次方程求根公式法。學(xué)生解答后發(fā)現(xiàn)：本題（1）利用完全平方公式法；題（2）運(yùn)用十字相乘法；題（3）運(yùn)用一元二次方程求根公式法；而題（4）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不能因式分解。如此，在學(xué)生腦中就會(huì)自然而然地出現(xiàn)這樣的問(wèn)題，為什么一個(gè)二次三項(xiàng)分解因式會(huì)有四種可能性呢？所以，這堂復(fù)習(xí)課，就是幫助學(xué)生在回憶以前學(xué)過(guò)的零碎的舊知識(shí)的基礎(chǔ)上理清思路，從而建立二次三項(xiàng)式因式分解的知識(shí)結(jié)構(gòu)，在原有的基礎(chǔ)上要有質(zhì)的變化。第二步驟，老師出示準(zhǔn)備好的開(kāi)放題。例8 為使下列

21、式子可以因式分解（在整數(shù)范圍內(nèi)）,a,b分別可取哪些整數(shù)? (1)x2+ax+12;（2）X2+4x+b.經(jīng)過(guò)學(xué)生自己動(dòng)手，互相討論后，學(xué)生得到各種答案，在解答過(guò)程中，學(xué)生在明確二次三項(xiàng)式的因式分解方法，為了更加完善二次三項(xiàng)式是分解因式，我們可以順勢(shì)力導(dǎo)，把題中“在整式范圍內(nèi)”改成“在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)”呢？那么到底怎樣的二次三項(xiàng)式用怎樣的適當(dāng)方法去分解因式呢？第三步驟，師生總結(jié)二次三項(xiàng)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)用適當(dāng)方法分解因式的知識(shí)結(jié)構(gòu)。對(duì)于二次三項(xiàng)式ax2+bx+c(a0) 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)用適當(dāng)方法分解因式思路：（1） 若0時(shí)，二次三項(xiàng)式ax2+bx+c(a0)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)能分解因式；反之<0時(shí)，二次三

22、項(xiàng)式ax2+bx+c(a0) 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)就不能分解因式。（2） 若=0時(shí)，二次三項(xiàng)式ax2+bx+c(a0)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)能用完全平方公式分解因式；若是一個(gè)有理數(shù)的完全平方數(shù)就是在二次根號(hào)中能開(kāi)的盡的，如1，4，9，二次三項(xiàng)式ax2+bx+c(a0)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)就可以用十字相乘法分解因式；反之，就用一元二次方程求根公式法進(jìn)行。本題告訴我們，在數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)復(fù)習(xí)課中，我們認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)教學(xué)不完全建立在“概念、定理例題練習(xí)”的知識(shí)傳授型模式之上，還可以建立在用數(shù)學(xué)開(kāi)放題教學(xué)的基礎(chǔ)上對(duì)學(xué)生積極鼓勵(lì)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行以學(xué)生為中心的創(chuàng)造型模式之上。這樣也有利于學(xué)生對(duì)知識(shí)的綜合應(yīng)用，從而使每節(jié)知識(shí)串成一條線，達(dá)到知

23、識(shí)點(diǎn)的牢固掌握。又如，在初三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)中，以直角三角形的一些性質(zhì)定理復(fù)習(xí)為例，我們可以拿出“母子直角三角形”相應(yīng)地編制成數(shù)學(xué)開(kāi)放題。例9 在RtABC中，CD是斜邊上的高，根據(jù)上述條件，結(jié)合圖形直接寫出你能得出的結(jié)論，并加以證明。這個(gè)問(wèn)題一展示出來(lái)，學(xué)生就表現(xiàn)出極大的興趣，教師組織討論后，學(xué)生紛紛得出以下結(jié)論：1=B, 2=A;ACBCBD, ABCACD, ACDCBD;CD2=AD·BD,BC2=BD·AB,AC2=AD·AB;AB·CD=BC·AC;AB2=AC2+BC2;這時(shí)，教師就應(yīng)抓住時(shí)機(jī)，將學(xué)生的討論作適當(dāng)?shù)募?，如按角的關(guān)系、邊

24、的關(guān)系、三角形的關(guān)系將結(jié)論進(jìn)行歸類，這樣就自然將分類思想滲透到教學(xué)中，同時(shí)也使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系、內(nèi)在規(guī)律有了真切的認(rèn)識(shí)。從以上兩個(gè)利用開(kāi)放題教學(xué)來(lái)梳理知識(shí)的問(wèn)題本身來(lái)看，其涉及的知識(shí)以及問(wèn)題的情景很簡(jiǎn)單，這樣有利于增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和信心。從問(wèn)題的解答過(guò)程來(lái)看，允許學(xué)生根據(jù)自己的喜愛(ài)對(duì)知識(shí)進(jìn)行分類，讓學(xué)生充分發(fā)表自己的觀點(diǎn)和選擇結(jié)果，使自己有更多的機(jī)會(huì)反思數(shù)學(xué)對(duì)象的變化；同時(shí)，通過(guò)小組討論以及班級(jí)討論，學(xué)生的認(rèn)知沖突在不斷轉(zhuǎn)換為更有價(jià)值的探討，從而成為自己進(jìn)一步探討數(shù)學(xué)規(guī)律的動(dòng)力。此外，在這樣的教學(xué)過(guò)程中，還有利于學(xué)生觀察、實(shí)驗(yàn)、抽象、概括等科學(xué)思維方法以及分類、數(shù)學(xué)結(jié)合等數(shù)學(xué)思想。從

25、問(wèn)題的結(jié)果來(lái)看，它具有引申的可能，有利于學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)的探索樂(lè)趣，并形成系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，從而達(dá)到理想的復(fù)習(xí)效果。（三）數(shù)學(xué)開(kāi)放題的編制。目前在中學(xué)數(shù)學(xué)教材中，習(xí)題基本上是為了使學(xué)生了解和牢記數(shù)學(xué)結(jié)論而設(shè)計(jì)的。在這樣的情況下，學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中往往容易產(chǎn)生以多做多練、機(jī)械操作來(lái)代替主動(dòng)參與、發(fā)展智力活動(dòng)的傾向。為了改變這種情況，使數(shù)學(xué)教學(xué)更多地體現(xiàn)以學(xué)生為主體的積極探究精神，使數(shù)學(xué)教學(xué)更有利于學(xué)生創(chuàng)造精神的培養(yǎng)，適當(dāng)增加開(kāi)放題是必要的，也就是說(shuō)我們可以把中學(xué)數(shù)學(xué)教材中一些教法可以適當(dāng)進(jìn)行改造，編制一些數(shù)學(xué)開(kāi)放題進(jìn)入課堂教學(xué)，從而提高課堂教學(xué)的效率。編制數(shù)學(xué)開(kāi)放題常用的有以下幾種方法：1. 弱化陳題

26、的條件，使其結(jié)論多樣化。例10 在ABC中，A>90°，AB>AC,AB、AC的中垂線分別交BC于D、E兩點(diǎn)，求證：AD>AE.此題是封閉題，其條件充分，結(jié)論唯一確定。如果去掉條件中的某一項(xiàng)，如“A>90°”，這時(shí)題目的結(jié)論就不確定了。于是得到開(kāi)放題：在ABC中，AB>AC,AB、AC的中垂線分別交BC于D、E兩點(diǎn)，試探討AD與AE的大小關(guān)系。學(xué)生在解答本題時(shí)可能會(huì)從特殊圖形（如ABC為銳角三角形）出發(fā)考慮問(wèn)題(如圖1)，這樣就會(huì)得出“AD<AE”的結(jié)論。當(dāng)然也可能有的學(xué)生從ABC為直角三角形出發(fā)考慮問(wèn)題（如圖2），這樣就會(huì)得出“AD=A

27、E”的結(jié)論。這時(shí)，教師就可引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行討論，找出在不同條件下，AD與AE的各種不同的大小關(guān)系。本題的答案是：(1) 當(dāng)A>90°時(shí)，AD>AE.(2) 當(dāng)A=90°時(shí)，AD=AE（D、E兩點(diǎn)重合）。(3) A<90°時(shí)，由于AB>AC,故有C>B,這時(shí)B必為銳角，考慮C.若C<90°,則AD<AE(如圖1)。若C=90°，這時(shí)AC的中垂線平行BC（如圖3），不存在E點(diǎn)，與已知條件相矛盾，此時(shí)情況應(yīng)排除。若C>90°，則C<B+90°時(shí)，AD<AE; C=B+90&#

28、176;時(shí)，AD=AE; C>B+90°時(shí)，AD>AE(如圖4)。2. 隱去陳題的結(jié)論，使其指向多樣化。例11 考慮常見(jiàn)陳題：如圖，ABC為等邊三角形，點(diǎn)D、E分別在BC邊和CA邊上，BD=2DC,CE=2EA,AD與BE相交于G，求證：AD=BE.本題只要隱去結(jié)論“求證：AD=BE”，就可得到開(kāi)放題：如圖，ABC為等邊三角形，點(diǎn)D、E分別在BC邊和CA邊上，BD=2DC,CE=2EA,AD與BE相交于G，試就有關(guān)圖形的形狀、大小和關(guān)系得出盡可能多的結(jié)論。本題的答案：先考慮三角形的全等關(guān)系，有：（1） ACDBAE.(因?yàn)锳C=AD,CD=AEBAE=C),由此推出：（2） AD=BE.（3