1、裝訂線 本科生畢業(yè)論文設計 題目：等價關系的應用 淺談等價關系在大學數(shù)學一些課程中的應用摘 要等價關系作為集合元素之間的一種特殊二元關系，在大學數(shù)學多門課程中均有廣泛應用，例如數(shù)學分析，高等代數(shù)，近世代數(shù)，離散數(shù)學，點集拓撲等根底課程和專業(yè)核心課程本文首先從等價關系的兩種定義出發(fā)，通過等價關系的不同定義其在高等代數(shù)中的矩陣合同、相似概念；近世代數(shù)中的陪集、商群概念；離散數(shù)學中的等值式；圖論及點集拓撲中的連通關系、商空間等概念，并討論這些概念在一些課程中的作用其次，討論等價關系在高等數(shù)學的求解極限中的應用最后，本文討論了等價關系在大學課程之外的應用拓展關鍵詞：等價關系；相似；陪集；商群；商空間A

2、BSTRACT裝訂線As a special mutual relation within elements of a set, equivalence relation play an important and wide role in the university mathematics courses, such as mathematical analysis, advanced algebra, modern algebra, discrete mathematics, point set topology and other basic curriculum and the pr

3、ofessional core courses. Firstly, from the two definition of equivalence relation, this paper define the concepts of matrix similar in Higher Algebra, the conset quotient groups of modern algebra, equivalent type of the discrete mathematics,connected relation, quotient space concepts of graph theory

4、 and topology through different equivalence classes and discuss application of these concepts in those courses. Secondly,this paper is using the equivalent relation to solving limit of higher mathematics. Finally, this paper discusses the application development of equivalent relation which is outsi

5、de of university courses.Key words: equivalence relation ; similar ; conset ; topology of connected relation ; quotient space目 錄摘 要IABSTRACTII1引言12根本概念23等價關系與集合分類間的關系4由集合分類唯一確定一等價關系4等價關系唯一確定一集合分類4簡單的應用64等價關系在幾門課程中的應用7數(shù)學分析中的等價關系7高等代數(shù)中的等價關系9初等變換9矩陣的相似10矩陣的合同10等價關系在離散數(shù)學中的引出的新概念11等價關系在近世代數(shù)中的引出的新概念13陪集13

6、商群15等價關系在點集拓撲中的引出的新概念15商空間15連通分支16道路連通空間175等價關系的開展以及應用拓展186小結(jié)20參考文獻21致謝221 引言大學四年，在開設的數(shù)學與應用數(shù)學根底、核心課程中，我們發(fā)現(xiàn)，大多課程都是以集合作為第一章內(nèi)容，隨后利用集合定義映射、函數(shù)等概念，反之兩集合元素之間的關聯(lián)表達元素與元素之間關聯(lián)，而映射和函數(shù)均為一種特殊的關系在集合的所有關系中，有一種特殊的關系等價關系出現(xiàn)在了大學數(shù)學眾多課程中，例如：數(shù)學分析中等價無窮小的概念，高等代數(shù)中矩陣的合同、相似、等價概念，近世代數(shù)的中集合的分類等等基于此，本文從等價關系的兩種定義出發(fā)，即代數(shù)角度和集合角度的定義出發(fā)，

7、通過其等價類來統(tǒng)一總結(jié)與等價關系息息相關的這些概念，一方面有助于對這些課程中新概念的理解，另一方面進一步了解等價關系以及各種具體的等價類,有助于大家對等價關系的更深理解,并提高大家抽象思維能力和邏輯推理能力，為今后進一步學習和掌握與等價關系相關的新概念打好根底所以有必要對等價關系做一個更為深刻的理解本文首先介紹了等價關系的定義，其次分析了等價關系在數(shù)學分析、高等代數(shù)、離散數(shù)學、近世代數(shù)和離散數(shù)學等課程中的主要應用，最后對這些應用作了分析與拓展，使大家對等價關系有更為透徹的把握，也希望大家有一個大致的輪廓：以"等價關系"為主線，周圍延伸出其在一些課程的應用2 根本概念首先，從

8、代數(shù)和集合兩個角度分別給出等價關系的定義.定義 2.1 一個到的映射叫做的元間的一個關系假設=對，就說和符合關系，記成定義 2.2 設為非空集合 上的二元關系如果滿足自反的、對稱的和傳遞的，那么稱為 上的等價關系(1) 反射律( 自反性) : , 均有;(2) 對稱律對稱性: , 均有;(3) 推移律( 傳遞性) : , 均有.等價關系是指非空集合中二元反射律，對稱律及推移律的一種二元關系，也就是定義2.3 設是一個非空集合，是中的一個二元關系，它滿足以下條件: 1.，均有； 2.，假設有，那么有； 3.，假設有及那么有就叫集合的一個等價關系這個定義也可改寫為較簡單的定理2.1 設是一個非空集

9、合，是中的一個二元關系，它滿足以下條件:1,均有；2，假設有及，那么定有.就叫集合的一個等價關系 再來看為何前兩個定義是一致的說明:i由定義2.1的自反性推出定義2.2中的第二條是顯然的，這里就不再討論了ii由的對稱律知，所以有 ，又，所以有 證畢 數(shù)學中，等價關系有很多，例如，容易驗證：為等價關系，我們稱之為平凡的等價關系 下面再舉幾個例子 例1 集合的冪集中兩個元素之間的“相等關系可以理解為的子集,容易驗證它是自反的，對稱的，傳遞的因此是中的一個等價關系例2 集合的冪集中的兩個元素之間的“包含關系可以理解為集合的子集顯而意見他是自反的，傳遞的，但是他不是對稱的，因此不是中的一個等價關系 例

10、3 實數(shù)集合中有一個通常的小于等于關系，即的子集容易驗證關系是傳遞的，但是反對稱的，反自反的所以不是上的等價關系3 等價關系與集合分類間的關系本節(jié)中，我們討論等價關系與集合的分類之間的一一對應關系，近世代數(shù)中的內(nèi)容告訴我們，集合的任一等價關系可唯一確實定集合的一種分類，反之，集合的任一分類可唯一地確定一等價關系本文就是從等價關系確定的等價類出發(fā)，來討論幾門課程中與等價關系息息相關的新概念3.1 由集合分類唯一確定一等價關系先來看集合的分類分成假設干個叫做類的子集，使得的每一個元屬于而且只屬于一個類，那么這些類的全體叫做集合的一個分類等價關系于集合的分類的關系由以下的兩個定理可以看出定理 3.1

11、.1 集合的一個分類決定的元間的一個等價關系我們利用給的分類來做一個等價關系規(guī)定：,當而且僅當，在同一類 這樣規(guī)定的 顯然是的元間的一個關系只需證明，它是一個等價關系即可 i與同在一個類，即; ii假設和同在一類，那么與也在一類，即; iii假設，同在一類，且，同在一類，因為類與類之間兩兩無交，所以，也在同一類，即 從而命題得證3.2 等價關系唯一確定一集合分類 反之，下面的定理告訴我們：集合中元之間的一種等價關系亦能唯一確定集合的一種分類 定理3.2.1 集合元間的一個等價關系決定的的一個分類 我們利用給定的等價關系來做一個的分類把所有同的一個固定元等價的元都放在一起，作為一個子集，這個子集

12、有符號來表示我們說，所有這樣得到的子集就做成的一個分類可以分三步來證明這一點(I) 假定 那么，由等價關系的性質(zhì)以及 和 的定義， 這就是說，(1) 但由等價關系的相關性質(zhì)， 因此同樣可以推得(2) 由(1)與(2)， (II) 的每一個元只能屬于一個類，假定 那么由，的定義， ，這樣有上面的定理3.1.1證明的ii ，iii步得 ，于是由i可得 =(III)的每一個元的確實屬于某一個類因為，由定理3.1證明的i以及上述類的定義， 證完 由此可見，集合的等價關系與集合的分類之間有一一對應的關系，而本文正是基于這種對應關系，由集合的某一種等價關系確定的等價類誘導出數(shù)學分析、高等代數(shù)、近世代數(shù)等課

13、程中的幾個重要概念及應用3.3 簡單的應用 等價關系及對應的等價類例子在生活中隨處可見，比方定義一個班級同學的性別關系：甲乙滿足關系當且僅當甲乙同性別甲乙分別是指同學甲、乙，顯然其為等價關系，利用等價關系確定等價類的方法很快得出兩個等價類：男生、女生下面再介紹等價關系的兩個簡單應用的例子來說明如何利用等價關系來確定相應的等價類. 例 1 我們?nèi)∫粋€固定的整數(shù)，利用這個，我們規(guī)定的元間的一個關系，當而且只當?shù)臅r候，這里表示能整除可以驗證這就一個等價關系 例 2 定義在整數(shù)集上的關系，那么可以驗證是等價關系，并且有4 等價關系在幾門課程中的應用4.1 數(shù)學分析中的等價關系數(shù)學分析中，等價關系主要是

14、指等價無窮小，有時候當我們在求極限時，我們可以不用羅比達法那么，而利用等價無窮小會往往會給我們的求解帶來極大地方便定義4.1 假設性質(zhì) ，那么； .1) 自反性：；2) 對稱性：；3) 傳遞性：.綜上所述，等價無窮小是等價關系.常見的等價無窮小:當時，從等價關系的角度來看，求極限時，將比值極限為1的兩個無窮小量定義為等價關系，從而根據(jù)此等價關系將比值極限為1的無窮小量歸為一類，在求極限時可以相互替代，給大家在求極限時帶來很大的方便.例1 求極限解 因為，例 2 解 利用,那么例 3 解 此題如果不用等價無窮小，在第二步的時候就要使用羅比達法那么對分子分母分別求導，讀者可以自己嘗試，但這樣可能會

15、帶來一定的計算量同時還有可能出錯例 4 解 有，從而 從以上四例可以看出如果用羅比達法那么去解題都會帶來很大的計算量，而且很容易出錯，而利用等價無窮小去求解極限，它大大提高了求解的效率和正確率，從而帶來了解題的方便性4.2 高等代數(shù)中的等價關系4.2.1 初等變換在高等代數(shù)中我們講的等價關系主要是講矩陣的等價在講等價矩陣之前，我們先定義初等變換定義4.2.1 對矩陣施行一下三種運算稱為初等行(列)變換：（1） 對調(diào)矩陣的某兩行列；（2） 非零數(shù)乘以矩陣的某一行(列)；（3） 一個數(shù)乘以矩陣的某一行列加到另外一行列我們再來看等價矩陣定義4.2.2 假設矩陣經(jīng)有限次的初等行變換變成矩陣，那么稱與行

16、等價，記為;假設矩陣經(jīng)有限次的初等列變換變成矩陣，那么稱與列等價，記為;假設矩陣經(jīng)有限次的初等變換變成矩陣，那么稱與等價，記為所以初等變換滿足等價關系，也就滿足等價關系的自反性、對稱性和傳遞性4.2.2 矩陣的相似定義4.2.3 設,為階方陣，假設存在可逆矩陣,使得那么稱與相似值得一提的是相似矩陣也必須滿足反身性、對稱性和傳遞性，因為矩陣相似必等價由定義我們注意兩點：1 單位矩陣和矩陣或者單位矩陣相似的只能是他們本身 即,2 存在可逆矩陣.易知所以我們可以得出結(jié)論：，但是反過來就不成立4.2.3 矩陣的合同定義 設為階方陣，假設存在可逆矩陣使得,那么稱與合同合同是矩陣之間的一種關系，很容易看出

17、，合同關系具有 反身性: ; 對稱性：由即得； 傳遞性：由和即得合同我們必須注意兩點1.合同必定等價，等價未必合同；既相似有合同與一個對角陣，即存在可逆矩陣使得下面通過幾個簡單的例子來進一步了解高等代數(shù)中的等價、相似、合同 例 1 4階矩陣相似與,的特征值為2、3、4、5，那么 解 要解決這個問題首先就要對等價關系的性質(zhì)要有一個透徹的理解，由得特征值和性質(zhì)相似的性質(zhì)就可以知道矩陣的特征值是2、3、4、5，所以的特征值是1、2、3、4，所以，所以這道題利用相似的性質(zhì)去解答就很簡單 例 2 設那么的個特征值是多少？ 解 由可以知道矩陣是可以對角化的，而且可以知道矩陣的秩是1(讀者可以自己利用矩陣的

18、性質(zhì)加以證明,所以有且僅有一個非零特征值，再由相似的性質(zhì)可知該特征值是，而其余個特征值都是零 例 3 試判定=，=是否等價？是否相似？是否合同？ 解 首先觀察這兩個矩陣很容易看出他們是等價的，因為矩陣可以由經(jīng)過一系列的初等變換而得，至于相似和合同我們可以通過求他們的特征值來確定, 具有四階特征值1，具有二階特征值1,二階特征值-1，所以他們是不相似的特征值的大小不一樣而且是不合同的特征值的正負性是不同的4.3 等價關系在離散數(shù)學中的引出的新概念離散數(shù)學中的等價關系是從代數(shù)角度出發(fā)定義的，也就是等價關系的定義2.1所定義的，在這里記作 定義 4.3.1 設為非空集合 上的等價關系，令 ，那么稱

19、為關于 的等價類，簡記為 定義 4.3.2 設為非空集合 上的等價關系，以 的所有不交的等價類作元素的集合稱為 關于 的商集，記為，即 定義 4.3.3 設為非空集合 上的等價關系，如果是自反的、反對稱的和傳遞的，那么稱為上的偏序關系，簡稱偏序，記作例如實數(shù)集上的小于等于關系，正整數(shù)集上的整除關系都是偏序關系 需要指出的是偏序關系是等價關系的一種延伸，它和等價關系一起作為離散數(shù)學的兩種重要的關系，對集合進行不同的分類例 ，其中的含義就是可以被3整除不難驗證為上的等價關系，其中可以得到相應的等價類有 ，另外可以得到的相應的商集 數(shù)理邏輯中，命題公式 和等值(記為)是指由它們構(gòu)成的等價式 為永真式

20、命題公式的等值關系是建立在由所有命題公式構(gòu)成的集合上的一種等價關系，這種等價關系將所有命題公式按其是否等值劃分成假設干個等價類，屬于同一個等價類中的命題公式彼此等值，因而，只要清楚了等價類中某一個公式的性質(zhì)，那么與該公式同類的公式的性質(zhì)也就完全清楚了至于等價類的公式這里不再介紹，下面看幾個例題 例 1 驗證等值式 證明 蘊涵等值式 結(jié)合律 蘊涵等值式 需要指出的是上面的每一步都用了置換規(guī)那么在上述演算中，是從左邊公式開始進行的，當然也可以從右邊公式演算 例 2 判別公式的類型： 解 因而是滿足式 圖論中，無向圖中點與點之間的連通關系實際上是一種等價關系，它是建立在由無向圖中所有結(jié)點做成的集合上

21、的等價關系，只要兩個結(jié)點間存在通路，那么這兩個結(jié)點就是等價的，它們便歸于同一類，無向圖中連通分支的概念就建立在連通關系的根底之上圖的同構(gòu)關系也是圖論中又一種十分重要的等價關系，它實際上是全體圖集合上的一個同時具有自反、對稱和傳遞三個性質(zhì)的二元關系，可按此等價關系對全體圖集合中的圖進行劃分，使屬于同一個等價類中的圖具有完全相同的性質(zhì)4.4 等價關系在近世代數(shù)中的引出的新概念我們知道群、環(huán)、域是近世代數(shù)的三個重要組成局部，三局部中的由等價關系所引出的陪集和商群的概念是大家學習的一個難點 先看一個群和的一個子群，先規(guī)定一個的元中間的關系： ,當且僅當?shù)臅r候給出了和，可以唯一決定是不是屬于，所以是一個

22、關系且(1) ,所以；(2) ，所以 ；(3) ，所以 這樣，是一個等價關系利用這個等價關系，可以得到一個的分類這樣得來的類有一個特殊的名字，并且用一種特殊的符號來表示他們，在下一節(jié)中將會對其有一個詳細的介紹4.4.1 陪集定義 由上節(jié)的等價關系所決定的類叫做子群的右陪集包含元的右陪集用符號來表示 同樣的道理我們可以定義左陪集我們可以再規(guī)定等價關系：，當且僅當?shù)臅r候 同右陪集一樣可以看出，也是一個等價關系利用這個等價關系，可以得到的另一個分類，第三章已經(jīng)講過，這里就不再做過多的描述 定義 由等價關系所決定的類叫做子群的左陪集，包含元的左陪集用符號來表示例 ，求子群的左右陪集解 容易得到 同樣也

23、可以用來做右陪集但是因為所以一定有 可以算一個測驗一下：,.這樣，子群把整個群分成三個不同的右陪集而這三個右陪集放在一起顯然是的一個分類類似的可以得到右陪集：可以看到的左右陪集并不相同 利用左右陪集的概念可以得到不變子群給出一個群，一個子群，那么的一個右陪集未必等于 定義 一個群的子群叫做一個不變子群，假設對于的每一個元來說，都有=時一個不變子群的左(右)陪集叫做的一個陪集 注意，所謂=，并不是說可以和的每一個元交換，而且說和這兩個集合一樣4.4.2 商群 一個群的不變子群的陪集所做成的群叫做一個商群，用符號來表示 因為的指數(shù)就是的陪集的個數(shù)，顯然有，商群的元的個數(shù)等于的指數(shù)，當是有限群的時候

24、，有 從等價關系的角度看, 商群就是關于不變子群根據(jù)上述等價關系所做的一個分類, 把每一個類“粘合成一個元, 這些新的元素構(gòu)成的群稱為的商群例1 是一個不變子群首先容易看出是子群，因為.但是,，所以從而命題得證4.5 等價關系在點集拓撲中的引出的新概念4.5.1 商空間定義 4.5.1 設是一個拓撲空間, 是一個集合，為一個滿射,那么 是 的一個拓撲，稱為 的一個商拓撲定義 設是一個拓撲空間, 是的一個等價關系商集及其商拓撲 構(gòu)成的拓撲空間稱為的商空間 定義 設和是兩個拓撲空間，滿足，那么稱映射為一個商映射，如果他是一個滿射并且的拓撲是對于映射而言的商拓撲 如果是一個拓撲空間，是中的一個等價關

25、系，假設無另外的說明，那么認為商集的拓撲是商拓撲，也就是說將商集認為拓撲空間時，指的就是商空間 通過在一個拓撲空間中給定等價關系的方法來得到商空間是構(gòu)造新的拓撲空間的一種重要的方法手段，下面看幾個例子 例 1 在單位閉區(qū)間中定義一個等價關系便得到了一個商空間習慣上將這個商空間說成是“在單位閉區(qū)間I中粘合兩個短點所得到的商空間 例 2 在單位正方形中定義一個等價關系：得到了一個商空間將這個商空間簡單的說成是將的一對豎直的對邊上的每一對具有相同的第二個坐標的點和粘合而得到的商空間這個商空間將同陪與一截“管子，即圓柱面4.5.2 連通分支定義 設是一個拓撲空間，如果中有一個連通子集同時包含和，稱點和

26、是連通的定義 設是一個拓撲空間，對于中的點的連通關系而言的每一個等價類稱為空間的一個連通 如果是拓撲空間的一個子集，作為的子空間的每一個連通分支稱為的子集的一個連通分支定理4.5.1 設是一個拓撲空間，是拓撲空間的一個連通分支，那么1如果是的一個連通子集，并且；2是一個連通子集；3是一個閉集4.5.3 道路連通空間定義 設是一個拓撲空間，如果中有一條從到的道路，我們那么稱點和是道路連通的 定義 設是一個拓撲空間，對于中點的道路連通關系而言的每一個等價類稱為拓撲空間的一個道路連通分支 如果是拓撲空間的一個子集，作為的子空間的每一個道路連通分支稱為的子集的一個道路連通分支5 等價關系的開展以及應用

27、拓展離散數(shù)學課程中,將等價關系用于多方面具體的分類,所以將要講述一些關于等價關系的擴展知識等價關系的概念在被廣泛應用的同時,也在不斷地開展當中自從美國計算機與控制論專家L. A.Zadeh 于1965 年首次提出Fuzzy 集的概念,從而對經(jīng)典的Cantor 集合理論做出了深刻的推廣以來,模糊數(shù)學已經(jīng)逐步開展成為一個較為完善的數(shù)學分支,并在眾多的領域特別是人工智能領域獲得了卓有成效的應用經(jīng)典的二元關系理論中存在一個缺限,即沒有考慮元素與元素間關系程度的不同在Zadeh提出了Fuzzy 集的概念以后,人們便將經(jīng)典的二元關系擴充為模糊數(shù)學中的模糊二元關系, 通過模糊二元關系可以較好地刻畫元素與元素

28、間關系程度的不同,以模糊二元關系為根底,人們很自然地提出了模糊等價關系的概念一個上的模糊等價關系實際上就是上的一個模糊子集,滿足自反性、 對稱性和傳遞性,與普通等價關系既有關系又有區(qū)別借助于模糊等價關系,可以較好地解決具有Fuzzy 性的聚類分析問題,而聚類分析那么是數(shù)據(jù)挖掘領域中的重要課題之一在教學過程中適當介紹模糊等價關系,一方面可以使學生們加深對等價關系概念的理解,學會用開展的眼光分析和解決問題,另一方面可以克服大多數(shù)離散數(shù)學教材只注重闡述理論而很少涉及其理論在計算機領域中的應用的缺陷,使學生們盡可能多地了解等價關系在計算機領域中的具體應用,提高學習的興趣事實上,等價關系在計算機領域中還

29、有很多應用,例如在軟件工程領域,為了盡可能多的找出軟件設計過程中可能存在的各種錯誤,常常使用一種被稱之為“等價類劃分的軟件測試方法這種方法實際上就是將所有待測試的數(shù)據(jù)所構(gòu)成的集合劃分成假設干個符合軟件需求規(guī)格及設計規(guī)定的有效等價類和假設干個不符合軟件需求規(guī)格及設計規(guī)定的無效等價類,然后在每個有效等價類和無效等價類中只各取一個數(shù)據(jù)進行測試在組合計數(shù)問題中會碰到這樣一種困難，即區(qū)分所討論的組合計數(shù)問題中哪些應該看成是相同的，哪些應該看成是不同的，在計數(shù)的過程中不能出現(xiàn)任何的重復或遺漏這種困難是概念性的，因為它要依據(jù)具體問題的要求確切地給出對象異同的數(shù)學定義也就是說，要在對象集合上定義一個等價關系，這樣，計數(shù)的對象便是等價類，而不是元素本身組合計數(shù)問題中的許多結(jié)論、定理(如著名的Burnside引理、Polya計數(shù)定理)都要以這類等價關系的概念為根底 通過上面各種具體等價關系的描述可以看到，盡管這些具體的等價關系分屬于離散數(shù)學課程中各個不同的分支，所基于的集合中的對象表現(xiàn)形式和描述方式不同，對象的性質(zhì)也是千差萬別，但它們都是基于某一集合上的二元關系且均具有自反、對稱和可傳遞三個性質(zhì)，將它們的這種共性抽象出來便可使這些具體的等價關系都統(tǒng)一到定義1上來，從而實現(xiàn)了從特殊到一般的抽象由此可見，等價關系實質(zhì)上是對相應集合中的具有同一性的對象即具有共性特征的