1、1第八章第八章 多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)8.1 多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念 8.2 偏導(dǎo)數(shù)與高階偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)與高階偏導(dǎo)數(shù) 8.3 全微分及其應(yīng)用全微分及其應(yīng)用 8.4 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 8.5 隱函數(shù)的求導(dǎo)法則隱函數(shù)的求導(dǎo)法則 8.6 多元函數(shù)的極值及其多元函數(shù)的極值及其 應(yīng)用應(yīng)用 返 回CALCULUS 第八章 多元函數(shù)微分學(xué) 返回 第一節(jié)第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念第八章第八章 多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)目的要求目的要求 1.了解平面區(qū)域、點(diǎn)的鄰域、開區(qū)域與了解平面區(qū)域、點(diǎn)的鄰域、開區(qū)域與閉區(qū)域等概念閉區(qū)域等概念 2.理解多元函數(shù)

2、的概念，會求二元函數(shù)的定義域重點(diǎn)重點(diǎn)1.1.二元函數(shù)的概念二元函數(shù)的概念2.2.二元函數(shù)的連續(xù)性的概念二元函數(shù)的連續(xù)性的概念 3. 了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念以及有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)第一節(jié)第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念 在一元函數(shù)的微積分中，所討論的對象都是一元函數(shù)y=f(x)，即函數(shù)只依賴于一個(gè)自變量。 在數(shù)學(xué)上，這種由多個(gè)因素才能確定的變量，就是多元函數(shù)。 但在很多實(shí)際問題中，往往牽涉到多方面的因素，但在很多實(shí)際問題中，往往牽涉到多方面的因素，反映到數(shù)學(xué)上，就是一個(gè)變量依賴于多個(gè)變量的反映到數(shù)學(xué)上，就是一個(gè)變量依賴于多個(gè)變量的情形。情形。第一節(jié)第一節(jié) 多元函數(shù)的基

3、本概念多元函數(shù)的基本概念 一元函數(shù)的定義域是在數(shù)軸上討論，一般是一個(gè)區(qū)間開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間）。平面上進(jìn)行討論，二元函數(shù)平面上進(jìn)行討論，二元函數(shù)z=f (x,y)的定義域的定義域在幾何上表示一個(gè)平面區(qū)域。在幾何上表示一個(gè)平面區(qū)域。量多了一個(gè)，它的定義域很自然地要擴(kuò)充到量多了一個(gè)，它的定義域很自然地要擴(kuò)充到但是對于二元函數(shù)而言，由于自變但是對于二元函數(shù)而言，由于自變一、平面區(qū)域一、平面區(qū)域 2.1 多元函數(shù)的基本概念. ),(0 00 0PU記記為為( (不包含圓周不包含圓周) )，為半徑的圓的內(nèi)部為半徑的圓的內(nèi)部d d為一正數(shù)，為一正數(shù)，d d,),(000平平面面上上的的一一定定點(diǎn)點(diǎn)

4、是是設(shè)設(shè)xOyyxP,為為圓圓心心則則以以0 0P 0 00 0 PPPPU),(即即 22020)()(),( yyxxyx1、鄰域、鄰域（一平面區(qū)域（一平面區(qū)域一、平面區(qū)域一、平面區(qū)域的的后后，稱稱為為去去掉掉中中心心上上述述鄰鄰域域0 00 00 0PP),P(U去心去心鄰域鄰域,. )P(U0 0簡簡記記為為. )(0 00 0PU簡簡記記為為稱為點(diǎn)稱為點(diǎn) d d的的0P鄰域鄰域,),P(U0 0記記為為0P (neighborhood)任任一一點(diǎn)點(diǎn)，上上平平面面為為平平面面上上的的一一點(diǎn)點(diǎn)集集，是是設(shè)設(shè)xOyPxOyE內(nèi)內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)：(1) 邊界點(diǎn)：邊界點(diǎn)：)3(的的某某個(gè)個(gè)鄰鄰域域，若若

5、存存在在 P E:的的關(guān)關(guān)系系有有以以下下三三種種與與則則EP使使得得若若存存在在,0 d d:(2)外外點(diǎn)點(diǎn), 的點(diǎn)的點(diǎn)既含有屬于既含有屬于的任何鄰域內(nèi)的任何鄰域內(nèi)若在若在EP的所有邊界點(diǎn)集合稱為的所有邊界點(diǎn)集合稱為E.的的內(nèi)內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)是是則則稱稱點(diǎn)點(diǎn)EP.的的外外點(diǎn)點(diǎn)是是則則稱稱點(diǎn)點(diǎn)EP.的邊界點(diǎn)的邊界點(diǎn)為點(diǎn)集為點(diǎn)集則稱則稱EPE的邊界。的邊界。,),(EPU ,),(, EPU0 0使使得得即即存存在在,的的點(diǎn)點(diǎn)又又含含有有不不屬屬于于點(diǎn)點(diǎn)E2 2、區(qū)域、區(qū)域(region)(boundary) ,2 20 00 02 22 24 41 1RyxPyxyxE 點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)點(diǎn)點(diǎn)集集例例: :中中總

6、總有有的的去去心心鄰鄰域域，如如果果對對于于任任意意給給定定的的),(0 00 0PUP (point of accumulation)2 2、區(qū)域、區(qū)域(region):(4)聚聚點(diǎn)點(diǎn)的的邊邊界界E. 3 3,.4 41 11 12 20 02 20 0 yx若若,.4 41 12 22 20 02 20 02 20 02 20 0 yxyx或或若若 ，也可不屬于也可不屬于本身可屬于本身可屬于中的點(diǎn)中的點(diǎn)EEPE,EP 為為則則稱稱的聚點(diǎn)的聚點(diǎn). .,的的內(nèi)內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)為為則則點(diǎn)點(diǎn)EP,的的邊邊界界點(diǎn)點(diǎn)為為則則點(diǎn)點(diǎn)EP;的的聚聚點(diǎn)點(diǎn)也也是是 E;的的聚聚點(diǎn)點(diǎn)也也是是E .,4 41 12 20 0

7、2 20 02 20 02 20 0 yxyxyxE或或yO2 21 1 ,中中或或設(shè)設(shè)點(diǎn)點(diǎn)集集1 10 02 22 22 22 2 yxyxyxE例例: :中中總總有有的的去去心心鄰鄰域域，如如果果對對于于任任意意給給定定的的),(0 00 0PUP (point of accumulation)2 2、區(qū)域、區(qū)域(region):(4)聚聚點(diǎn)點(diǎn) ，也可不屬于也可不屬于本身可屬于本身可屬于中的點(diǎn)中的點(diǎn)EEPE,EP 為為則則稱稱的聚點(diǎn)的聚點(diǎn). .,),(的的邊邊界界點(diǎn)點(diǎn)是是原原點(diǎn)點(diǎn)E0 00 0.的的聚聚點(diǎn)點(diǎn)但但不不是是ExyO1 1 如果點(diǎn)集E內(nèi)任意兩點(diǎn)都能用全屬于E的折線或曲線連接起來，

8、則稱E為連通的. 連通的開集稱為開區(qū)域，簡稱區(qū)域連通的開集稱為開區(qū)域，簡稱區(qū)域. .,為為開開集集則則稱稱的的內(nèi)內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)的的點(diǎn)點(diǎn)都都如如果果點(diǎn)點(diǎn)集集EEE:)(開開集集5 5(6)連通：連通：(7)區(qū)域：區(qū)域： .41| ),(22 yxyx例如，例如，xyo.41| ),(22 yxyx例如，例如，xyo區(qū)域及其它的邊界所成的集合稱為閉區(qū)域區(qū)域及其它的邊界所成的集合稱為閉區(qū)域.2 2、區(qū)域、區(qū)域(region)xyO例例例例)1,1(xyO為無界開區(qū)域?yàn)闊o界開區(qū)域.0),( yxyxE區(qū)域區(qū)域1,10),( yxxyxE區(qū)域區(qū)域(8)有界與無界區(qū)域：有界與無界區(qū)域：否則稱否則稱E為無界區(qū)域?yàn)闊o

9、界區(qū)域.使使一一切切點(diǎn)點(diǎn)如如果果存存在在正正數(shù)數(shù)對對于于區(qū)區(qū)域域,ME,MAPMAPAEP ，即即不不超超過過間間的的距距離離與與某某一一定定點(diǎn)點(diǎn)為為有有界界區(qū)區(qū)域域，則則稱稱 E為有界閉區(qū)域?yàn)橛薪玳]區(qū)域.2 2、區(qū)域、區(qū)域(region)注：注：n n維空間中鄰域、區(qū)域等概念維空間中鄰域、區(qū)域等概念 nRPPPPPU ,|),(00d dd d內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)、區(qū)域等概念也可定義內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)、區(qū)域等概念也可定義鄰域：鄰域：2 2、區(qū)域、區(qū)域(region) 導(dǎo)言：多元函數(shù)是多元函數(shù)微積分學(xué)研究的對象.同一元函數(shù)類似對于多元函數(shù)也有極限、連續(xù)等基本概念.二、二、 多元函數(shù)的概念多元函數(shù)的概念在多元

10、函數(shù)中的推廣，它與一元函數(shù)相關(guān)內(nèi)容在多元函數(shù)中的推廣，它與一元函數(shù)相關(guān)內(nèi)容類似且密切相關(guān)，在這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)中應(yīng)注類似且密切相關(guān)，在這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)中應(yīng)注意與一元函數(shù)的對比意與一元函數(shù)的對比.在研究方法上把握一般在研究方法上把握一般與特殊之間辯證關(guān)系與特殊之間辯證關(guān)系.這些內(nèi)容作為一元函數(shù)這些內(nèi)容作為一元函數(shù)第一節(jié)第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念矩形面積矩形面積 S 與長與長 x，寬，寬 y 之間關(guān)系為之間關(guān)系為 其中長其中長 x 和寬和寬 y 是兩個(gè)獨(dú)立的變量是兩個(gè)獨(dú)立的變量, 例2著名著名 的生產(chǎn)的生產(chǎn)DouglasCobb 函數(shù)為函數(shù)為 ，LcKQ 這里這里 為常數(shù)，為常數(shù)，

11、, c0, 0 KLS= x y (x0, y0)例例1矩形面積矩形面積 S 有惟一確定值對應(yīng)有惟一確定值對應(yīng).當(dāng)當(dāng)x, y 的值取定后的值取定后, 內(nèi)內(nèi),在它們變化范圍在它們變化范圍Q就就 有惟一確定的值相對應(yīng)有惟一確定的值相對應(yīng).值取定后值取定后, 當(dāng)當(dāng)K, L的的Q是一個(gè)依賴于是一個(gè)依賴于K和和L的變化而變化的量的變化而變化的量Q表示產(chǎn)量，表示產(chǎn)量，分別表示投入的勞動力數(shù)量和資本數(shù)量，分別表示投入的勞動力數(shù)量和資本數(shù)量， 在西方經(jīng)濟(jì)學(xué)中，在西方經(jīng)濟(jì)學(xué)中，二、二、 多元函數(shù)的概念多元函數(shù)的概念第一節(jié)第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念),(yx,),( ,),(Dyxzyx ),(

12、yxfz 其中其中 稱為自變量，稱為自變量，yx,),(fD).(Df設(shè)設(shè)D D為為 中的一個(gè)非空點(diǎn)集，中的一個(gè)非空點(diǎn)集，2RzDyxzf),(yx記為記為實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)z的取值范圍稱為值域，的取值范圍稱為值域，記為記為),(yx的變化范圍的變化范圍D稱為函數(shù)的定義域，稱為函數(shù)的定義域，量，量，z稱為因變稱為因變又記為又記為記為記為 f ：DR ，二元函數(shù)，二元函數(shù)，則稱映射則稱映射f 為定義在為定義在D上的上的一確定的實(shí)數(shù)一確定的實(shí)數(shù)z與之對應(yīng)，與之對應(yīng)，都有惟都有惟使得對于使得對于D中每一個(gè)有序?qū)崝?shù)對中每一個(gè)有序?qū)崝?shù)對射射f ，若有一個(gè)映若有一個(gè)映1.定義定義二二. . 多元函數(shù)的概念多元函數(shù)的

13、概念類似地可定義三元及三元以上函數(shù)類似地可定義三元及三元以上函數(shù)定義域定義域D( f )、對應(yīng)法則、對應(yīng)法則f函數(shù)的表示法：函數(shù)的表示法：（1二元顯函數(shù)二元顯函數(shù) z=f(x,y)（2二元隱函數(shù)二元隱函數(shù) F(x,y,z)=0確定函數(shù)的兩要素：確定函數(shù)的兩要素：多元函數(shù)多元函數(shù)二二. . 多元函數(shù)的概念多元函數(shù)的概念 2.二元函數(shù)的定義域 當(dāng)用某個(gè)解析式表達(dá)二元函數(shù)時(shí)，凡是使解析式有意義的自變量所組成的平面點(diǎn)集為該二元函數(shù)的定義域，.,1 22的示意圖的示意圖并作出并作出的定義域的定義域求函數(shù)求函數(shù)DDyxz 例例1 1解解, 0122 yx. 1),(22 yxyxD,1 22 yx即即所以

14、函數(shù)的定義域?yàn)樗院瘮?shù)的定義域?yàn)閤y二元函數(shù)的定義域通常為平面區(qū)域二元函數(shù)的定義域通常為平面區(qū)域.要使函數(shù)有意義須滿足要使函數(shù)有意義須滿足有界閉區(qū)域有界閉區(qū)域二二. . 多元函數(shù)的概念多元函數(shù)的概念( (自然定義域自然定義域) )例例2 2.1)ln(22Dyxxyxyz的的定定義義域域求求函函數(shù)數(shù) 解解 010022yxxyxy函數(shù)的定義域?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?, 0, 0),(22 yxxyxyyxDxyxy 要使函數(shù)有意義須滿足要使函數(shù)有意義須滿足無界開區(qū)域無界開區(qū)域 2.二元函數(shù)的定義域例例3.14arcsin2222的的定定義義域域求求 yxyxz解解要使函數(shù)有意義要使函數(shù)有意義,必需必

15、需 01142222yxyx41,22 yx即即故所求定義域?yàn)楣仕蠖x域?yàn)?41),(22 yxyxD有界閉區(qū)域有界閉區(qū)域xyO41 2.二元函數(shù)的定義域 .,)3arcsin(),(222并并作作圖圖的的定定義義域域求求yxyxyxf Solution. 013222yxyx 22242yxyx所求定義域?yàn)樗蠖x域?yàn)?, 42| ),(222yxyxyxD 例例4 2.二元函數(shù)的定義域 ?)ln(ln)(ln 是同一函數(shù)嗎是同一函數(shù)嗎與與yxxzyxxz Solution. , 0)( )(ln yxxyxxz的的定定義義域域?yàn)闉?,00 )ln(ln yxxyxxz的的定定義義域域?yàn)闉?/p>

16、 )ln(ln)(ln不不是是同同一一函函數(shù)數(shù)與與yxxzyxxz ).,(,),( 22yxfyxyxyxf求求設(shè)設(shè) Solution. )(),(yxyxyxyxf 2)(yxyxyx ,)(112yxyxyx .11),(2xyyyxf 例例5例例6換元法換元法 3.二元函數(shù)的幾何圖形 設(shè)函數(shù) z = f (x, y) 的定義域?yàn)镈. ).,(yxfz ),(zyxM),(),(),(Dyxyxfzzyx ),(yx),(zyxMxyz平面上的投影平面上的投影.而定義域而定義域 D 正是這曲面在正是這曲面在Oxy該幾何圖形通常是一張曲面該幾何圖形通常是一張曲面. 這個(gè)點(diǎn)集稱為二元函數(shù)的圖

17、形這個(gè)點(diǎn)集稱為二元函數(shù)的圖形.得到空間點(diǎn)集得到空間點(diǎn)集D上的一切點(diǎn)時(shí)上的一切點(diǎn)時(shí), 當(dāng)當(dāng)(x, y) 取遍取遍確定空間一點(diǎn)確定空間一點(diǎn)這樣這樣, 就就對應(yīng)的函數(shù)值為對應(yīng)的函數(shù)值為 ,),(DyxP 點(diǎn)點(diǎn)對于任意取定的對于任意取定的D一元函數(shù)一元函數(shù) 表示表示 x y平面上的一條曲線平面上的一條曲線y = f (x)221yxz 二二元元函函數(shù)數(shù)例例2 2xyzyxz 1二二元元函函數(shù)數(shù)例例1 1表表示示平平面面即即上上半半球球面面分分上上方方的的部部單單位位球球面面）在在半半徑徑為為的的球球面面（稱稱為為,xOy,表表示示以以原原點(diǎn)點(diǎn)為為中中心心):(RD)1:(22 yxD 3.二元函數(shù)的幾

18、何圖形xyzoxyzsin 例例4圖形如右圖圖形如右圖.2222azyx 例例3如右圖，為球面如右圖，為球面.),(222ayxyxD 222yxaz .222yxaz 單值分支單值分支: 3.二元函數(shù)的幾何圖形4. 多元函數(shù)的定義多元函數(shù)的定義 .,),(, 11記記為為元元函函數(shù)數(shù)的的為為則則稱稱的的值值和和它它對對應(yīng)應(yīng)按按照照一一定定法法則則總總有有確確定定變變量量如如果果對對于于每每一一個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)維維空空間間內(nèi)內(nèi)的的點(diǎn)點(diǎn)集集設(shè)設(shè)有有nxxuuDxxPDnnn ),(21nxxxfu ),(:xfy 一元函數(shù)一元函數(shù)一個(gè)自變量一個(gè)自變量. ),(:yxfz 二二元元函函數(shù)數(shù)兩個(gè)自變量兩個(gè)自

19、變量. ),(:zyxfu 三三元元函函數(shù)數(shù)三個(gè)自變量三個(gè)自變量. ),(:1nxxfun 元函數(shù)元函數(shù)n個(gè)自變量個(gè)自變量. n元函數(shù)在幾何上表示元函數(shù)在幾何上表示n+1維空間上的一般曲面維空間上的一般曲面. 二二. . 多元函數(shù)的概念多元函數(shù)的概念注意注意 (1) 多元函數(shù)也有單值函數(shù)和多值函數(shù)，如多元函數(shù)也有單值函數(shù)和多值函數(shù)，如2222azyx 在討論過程中通常將其拆成幾個(gè)單值函數(shù)后在討論過程中通常將其拆成幾個(gè)單值函數(shù)后再分別加以討論再分別加以討論.(2) 多元函數(shù)也有分段函數(shù)，如多元函數(shù)也有分段函數(shù)，如 0 00 ),(222222yxyxyxxyyxf(3) 點(diǎn)函數(shù)點(diǎn)函數(shù)u=f(P)

20、能表示所有的函數(shù)能表示所有的函數(shù).(4) 函數(shù)有加減乘除數(shù)乘及復(fù)合運(yùn)算函數(shù)有加減乘除數(shù)乘及復(fù)合運(yùn)算(略略)二二. . 多元函數(shù)的概念多元函數(shù)的概念 (5)一元函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性等一元函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性等性質(zhì)的定義在多元函數(shù)中不再適用，但有界性性質(zhì)的定義在多元函數(shù)中不再適用，但有界性的定義仍然適用的定義仍然適用.二二. . 多元函數(shù)的概念多元函數(shù)的概念三三. .多元函數(shù)的極限多元函數(shù)的極限 AxfxxAAxfxxxxfxx )(lim)()( 0000時(shí)時(shí)的的極極限限，記記為為為為，則則稱稱常常數(shù)數(shù)無無限限趨趨近近時(shí)時(shí)，附附近近有有定定義義，若若在在設(shè)設(shè)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) z =

21、f (x, y) 在點(diǎn)在點(diǎn) 的某一去心的某一去心),(000yxP時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)0 00 0yyxx,方式趨于定點(diǎn)方式趨于定點(diǎn) 時(shí)時(shí), ),(000yxP,),(lim00Ayxfyyxx .),(lim),(),(Ayxfyxyx 0 00 0或或記作記作的極限，的極限，則稱則稱 A 為函數(shù)為函數(shù) z = f (x, y)常數(shù)常數(shù) A, 函數(shù)值函數(shù)值 f (x, y) 趨于一個(gè)確定趨于一個(gè)確定如果動點(diǎn)如果動點(diǎn) P(x, y) 在該鄰域內(nèi)以任意在該鄰域內(nèi)以任意鄰域內(nèi)有定義鄰域內(nèi)有定義, 1.定義定義（一二元函數(shù)的極限（一二元函數(shù)的極限 ( (二重極限二重極限) )指當(dāng)指當(dāng)P (x, y) 以任意方式

22、與方向趨以任意方式與方向趨于定點(diǎn)于定點(diǎn)P0(x0, y0), 二元函數(shù)極限的說明：二元函數(shù)極限的說明： (2)對于二元函數(shù)極限的不存在對于二元函數(shù)極限的不存在, 以不同路徑趨于點(diǎn)以不同路徑趨于點(diǎn) 時(shí)時(shí), ),(000yxP在某一路徑上點(diǎn)在某一路徑上點(diǎn)P (x, y) 趨于點(diǎn)趨于點(diǎn) 的極限不存在的極限不存在,),(000yxP則可以斷定函數(shù)在則可以斷定函數(shù)在 點(diǎn)的極限不存在點(diǎn)的極限不存在.),(000yxP),(0 00 0yxxy特征特征.即極限趨近方式具有任意性即極限趨近方式具有任意性于于A. 函數(shù)都無限接近函數(shù)都無限接近（1對于二元函數(shù)極限的存在是或或函數(shù)趨于不同的值函數(shù)趨于不同的值;則有

23、若當(dāng)點(diǎn)則有若當(dāng)點(diǎn) P (x, y)（兩種路徑）（兩種路徑）三三. .多元函數(shù)的極限多元函數(shù)的極限 例1 考察函數(shù) 在 處的極限是否存在. x y -1.0-0.5-0.5-0.2-0.20 00.20.20.50.51.01.0-1.0-1.00.000.000.600.600.920.921.001.000.920.920.600.600.000.00-0.5-0.5-0.60-0.600.000.000.720.721.001.000.720.720.000.00-0.60-0.60-0.2-0.2-0.92-0.92 -0.72-0.720.000.001.001.000.000.00-

24、0.72-0.72 -0.92-0.920 0-1.00-1.00 -1.00-1.00 -1.00-1.00-1.00-1.00 -1.00-1.00 -1.00-1.000.20.2-0.92-0.92 -0.72-0.720.000.001.001.000.000.00-0.72-0.72 -0.92-0.920.50.5-0.60-0.600.000.000.720.721.001.000.720.720.000.00-0.60-0.601.01.00.000.000.600.600.920.921.001.000.920.920.600.600.000.002222),(yxyxyx

25、f )0,0(做出函數(shù)在點(diǎn)做出函數(shù)在點(diǎn) 附近的函數(shù)值表，如下附近的函數(shù)值表，如下)0 , 0(函數(shù)函數(shù) 在在 處的極限不存在處的極限不存在. .),(yxf)0 , 0(三三. .多元函數(shù)的極限多元函數(shù)的極限 例例1 1 證明函數(shù)證明函數(shù) 在在 處的極限處的極限不存在不存在. .2222),(yxyxyxf )0 , 0(讓讓 沿直線沿直線 而趨于而趨于 ，),(yxkxy )0 , 0(22220limyxyxkxyx 它將隨它將隨k k 的不同而具有不同的值的不同而具有不同的值. .極限極限 不存在不存在. .222200limyxyxyx 證證則有則有 2211kk )1()1(lim2

26、2220kxkxx 因而，因而，三三. .多元函數(shù)的極限多元函數(shù)的極限例例2 2 討論函數(shù)討論函數(shù)222222,0( , )0,0 xyxyxyf x yxy 解解 當(dāng)P(x,y)沿 x 軸趨于(0,0)時(shí), 0,0)xy （ 當(dāng)P(x,y)沿 y軸趨于(0,0)時(shí), 當(dāng)當(dāng)(x, y)(0, 0)時(shí)的極限。時(shí)的極限。)0,0( yx),(limyxfyx0 00 0),(lim0 00 0 xfx 0 00 0 xlim,0 0 ),(limyxfyx0 00 0),(limyfy0 00 0 ,0 0 三三. .多元函數(shù)的極限多元函數(shù)的極限當(dāng)當(dāng)P(x,y)沿沿 y=kx( ) 趨于趨于(0,

27、0)時(shí)時(shí),.0 k當(dāng)當(dāng)k取不同值時(shí)取不同值時(shí),),(lim00yxfyx取不同值，取不同值，222222,0( , )0,0 xyxyxyf x yxy ),(lim00yxfyx22220limxkxkxkxyx 21kk .),(lim00不存在不存在故故yxfyx三三. .多元函數(shù)的極限多元函數(shù)的極限確定極限不存在的方法：確定極限不存在的方法： （2）找兩種不同趨近方式，找兩種不同趨近方式，此時(shí)也可斷言此時(shí)也可斷言),(yxf在點(diǎn)在點(diǎn)若極限存在若極限存在,但兩者不相等，但兩者不相等，例例3 3 證明證明 不存在不存在 26300limyxyxyx 處極限不存在處極限不存在),(0 00

28、00 0yxP例例3 3 證明證明 不存在不存在 證證26300limyxyxyx 取取,3kxy 26300limyxyxyx 6263303limxkxkxxkxyx ,12kk 其值隨其值隨k k的不同而變化，的不同而變化，故極限不存在故極限不存在確定極限不存在的方法：確定極限不存在的方法：不存在不存在.觀察觀察26300limyxyxyx ,263圖形圖形yxyxz 播放播放確定極限不存在的方法：確定極限不存在的方法：2. 2. 二元函數(shù)極限的計(jì)算二元函數(shù)極限的計(jì)算 對于未定型，不再有LHospital法則，須化成確定型. 二元函數(shù)極限與一元函數(shù)極限具有類似的性質(zhì)與運(yùn)算法則. 計(jì)算二元函數(shù)的極限時(shí)，常把二元函數(shù)極限轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)極限問題，再利用四則運(yùn)算法則、夾逼定理、作變量代換、兩個(gè)重要極限、無窮小替換、對函數(shù)作恒等變換約去零因子、還可利用多元初等函數(shù)的連續(xù)性. 三三. .多元函數(shù)的極限多元函數(shù)的極限解解:例例4 4 求求 2 22 22 22 20 00 01 1yxyxyx sin)(lim2. 2. 二元函數(shù)極限的計(jì)算二元函數(shù)極限的計(jì)算 2 22 22 22 20 00 01 1yxyxyx sin)(lim. 0 0 二元函數(shù)極限與一元函數(shù)極限具有類似的性質(zhì)與運(yùn)算法則. 二元函數(shù)極限與一元函