1、會(huì)計(jì)學(xué)1圓的一般方程用圓的一般方程用第一頁，共27頁。(x(x0 0-a)-a)2 2+(y+(y0 0-b)-b)2 2r r2 2時(shí)時(shí), ,點(diǎn)點(diǎn)M M在圓在圓C C外外. .2 2、點(diǎn)與圓的位置、點(diǎn)與圓的位置(wi zhi)(wi zhi)關(guān)系關(guān)系: :M MO OO OM MO OM M),(ba),(ba),(ba),(00yx),(00yx),(00yx第1頁/共27頁第二頁，共27頁。待定系數(shù)待定系數(shù)(xsh)法法解：設(shè)所求圓的方程解：設(shè)所求圓的方程(fngchng)為：為：222)()(rbyax因?yàn)橐驗(yàn)?yn wi)A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圓上都在圓上2

2、22222222(5)(1)(7)( 3)(2)( 8)abrabrabr 235abr 22(2)(3)25xy所求圓的方程為所求圓的方程為 例例2 ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圓的方程求它的外接圓的方程.第2頁/共27頁第三頁，共27頁。圓心圓心(yunxn)：兩條弦的中垂線：兩條弦的中垂線的交點(diǎn)的交點(diǎn)半徑半徑(bnjng)：圓心到圓上一：圓心到圓上一點(diǎn)點(diǎn)xyOMA( (5, ,1) )B( (7,-,-3) )C( (2,-,-8) )第3頁/共27頁第四頁，共27頁。因?yàn)橐驗(yàn)?yn wi)O(0,0),A (

3、1,1),B(4,2)都都在圓上在圓上（4-a）2+（2-b）2=r2（a）2+（b）2=r2（1-a）2+（1-b）2=r2解：設(shè)所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為解：設(shè)所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x-a）2+（y-b）2=r2待定系數(shù)待定系數(shù)(xsh)法法方法(fngf)一：所求圓的方程為：所求圓的方程為：即（即（x-4）2+（y+3）2=25a=4b=-3r=5解得解得 練一練一練練1： 求過三點(diǎn)求過三點(diǎn)O(0，0)，M1 (1，1) ，M2（4，2）的）的方程，并求出這個(gè)圓的半徑和圓心坐標(biāo)方程，并求出這個(gè)圓的半徑和圓心坐標(biāo).第4頁/共27頁第五頁，共27頁。1： 求過三點(diǎn)求過三點(diǎn)(sn din)O(0，0)

4、，M1 (1，1) ，M2（4，2）的方程，并求出這個(gè)圓的半徑和圓心坐標(biāo)）的方程，并求出這個(gè)圓的半徑和圓心坐標(biāo).幾何幾何(j h)方法方法方法(fngf)二：yxM1( (1, ,1) )M2( (4, ,2) )0 練一練練一練第5頁/共27頁第六頁，共27頁。圓心圓心(yunxn)：兩條直線：兩條直線的交點(diǎn)的交點(diǎn)半徑：圓心半徑：圓心(yunxn)到到圓上一點(diǎn)圓上一點(diǎn)xyOCA( (1, ,1) )B( (2,-,-2) ):10l xy 弦弦ABAB的垂的垂直平分線直平分線例例3.己知圓心為己知圓心為C的圓經(jīng)過的圓經(jīng)過(jnggu)點(diǎn)點(diǎn)A(1,1)和和B(2,-2),且圓心在直線且圓心在直

5、線l:x-y+1=0上上,求圓心為求圓心為C的的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.第6頁/共27頁第七頁，共27頁。解解1:1: A(1,1),B(2,-2)例例3 3 己知圓心為己知圓心為C C的圓經(jīng)過點(diǎn)的圓經(jīng)過點(diǎn)A(1,1)A(1,1)和和B(2,-2),B(2,-2),且圓心且圓心在直線在直線(zhxin)l:x-y+1=0(zhxin)l:x-y+1=0上上, ,求圓心為求圓心為C C的圓的標(biāo)準(zhǔn)方的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程程. .312 1( ,),3.222 1ABABDk 線段的中點(diǎn)113().232ABx線段的垂直平分線CD的方程為：y+即：即：x-3y-3=0103,3302xyxlxyy 聯(lián)立直

6、線 CD的方程：解得：圓心圓心(yunxn)C(-3,-2)22(1 3)(12)5.rAC 22(2)25.Cy圓心為 的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+3)第7頁/共27頁第八頁，共27頁。例例3 3 己知圓心為己知圓心為C C的圓經(jīng)過點(diǎn)的圓經(jīng)過點(diǎn)A(1,1)A(1,1)和和B(2,-2),B(2,-2),且且圓心在直線圓心在直線l:x-y+1=0l:x-y+1=0上上, ,求圓心為求圓心為C C的圓的標(biāo)準(zhǔn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)(biozhn)(biozhn)方程方程. .圓經(jīng)過圓經(jīng)過(jnggu)A(1,1),B(2,-2)解解2:設(shè)圓設(shè)圓C的方程的方程(fngchng)為為222()(),xaybr圓心在直線

7、圓心在直線l:x-y+1=0上上22222210(1)(1)(2)( 2)ababrabr 325abr 22(2)25.Cy圓心為 的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+3)待定系數(shù)待定系數(shù)法法第8頁/共27頁第九頁，共27頁。幾何幾何(j h)方法方法 求圓心坐標(biāo)求圓心坐標(biāo) （兩條直線兩條直線(zhxin)的交的交點(diǎn)）（常用弦的中垂線點(diǎn)）（常用弦的中垂線） 求半徑求半徑(bnjng) (bnjng) （圓心到圓上一點(diǎn)的距離）（圓心到圓上一點(diǎn)的距離） 寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程待定系數(shù)法待定系數(shù)法22222()()0)xaybrxyDxEyF設(shè)方程為(或列關(guān)于列關(guān)于a a，b b，r r（或（或D D

8、，E E，F(xiàn) F）的）的方程組方程組解出解出a a，b b，r r（或（或D D，E E，F(xiàn) F），），寫出標(biāo)準(zhǔn)方程（或一般方程）寫出標(biāo)準(zhǔn)方程（或一般方程） 小結(jié)小結(jié)求圓的方程求圓的方程第9頁/共27頁第十頁，共27頁。4.1.2 圓的一般方程圓的一般方程第10頁/共27頁第十一頁，共27頁。 x2 y 2DxEyF0 把把圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（x-a)2+(y-b)2=r2展開，得展開，得 22222202 rbabyaxyx由于由于(yuy)a, b, r均為常數(shù)均為常數(shù)FrbaEbDa 222,2,2令令結(jié)論：任何一個(gè)結(jié)論：任何一個(gè)(y )圓方程可以寫成圓方程可以寫成下面形式下面形式

9、 動(dòng)動(dòng)手動(dòng)動(dòng)手第11頁/共27頁第十二頁，共27頁。1.是不是任何一個(gè)形如是不是任何一個(gè)形如 x2 y 2DxEyF0 方程方程(fngchng)表示的曲線是圓呢？表示的曲線是圓呢？ 思思考考(sko(sko) )2.下列方程下列方程(fngchng)表示什么圖形？表示什么圖形？（1）x2+y2-2x+4y+1=0； （2）x2+y2-2x-4y+5 =0；（3）x2+y2-2x+4y+6=0.第12頁/共27頁第十三頁，共27頁。配方配方(pi fng)可得可得：把方程把方程(fngchng)：x2 y 2DxEyF0 (1) 當(dāng)當(dāng)D2+E2-4F0時(shí)時(shí),表示表示(biosh)以（以（ ）

10、為圓心，以為圓心，以( ) 為半徑的圓為半徑的圓.2,2ED FED42122 22224()()224DEDEFxy (2) 當(dāng)當(dāng)D2+E2-4F=0時(shí)時(shí),方程只有一組解方程只有一組解x=-D/2 y=-E/2，表示一個(gè)點(diǎn)（，表示一個(gè)點(diǎn)（ ）.2,2ED 動(dòng)動(dòng)腦動(dòng)動(dòng)腦第13頁/共27頁第十四頁，共27頁。(3) 當(dāng)當(dāng)D2+E2-4F0時(shí)時(shí),方程無實(shí)數(shù)解方程無實(shí)數(shù)解,所所以不表示以不表示(biosh)任何圖形任何圖形.所以形如所以形如x2 y 2DxEyF0 （D2+E2-4F0）可表示）可表示(biosh)圓圓的方程的方程22224()()224DEDEFxy 第14頁/共27頁第十五頁，共

11、27頁。 圓的一般方程：圓的一般方程：x2 y 2DxEyF0圓的一般方程圓的一般方程(fngchng)與標(biāo)準(zhǔn)方程與標(biāo)準(zhǔn)方程(fngchng)的關(guān)系：的關(guān)系：(D2+E2-4F0)（1）a=-D/2，b=-E/2，r= FED42122 沒有沒有(mi yu)xy這樣的這樣的二次項(xiàng)二次項(xiàng)（2）標(biāo)準(zhǔn)）標(biāo)準(zhǔn)(biozhn)方程易于看出圓心與方程易于看出圓心與半徑半徑一般方程一般方程突出突出形式上形式上的特點(diǎn)：的特點(diǎn)：x2與與y2系數(shù)相同并且不等于系數(shù)相同并且不等于0；第15頁/共27頁第十六頁，共27頁。 判斷下列判斷下列(xili)方程能否表示圓的方程方程能否表示圓的方程,若能若能寫出圓心與半徑

12、寫出圓心與半徑(1) x2+y2-2x+4y-4=0(2) 2x2+2y2-12x+4y=0(3) x2+2y2-6x+4y-1=0(4) x2+y2-12x+6y+50=0(5) x2+y2-3xy+5x+2y=0是是圓心圓心(yunxn)（1，-2）半徑）半徑3是是圓心（圓心（3，-1）半徑）半徑10不是不是(b shi)不是不是不是不是 練習(xí)練習(xí)第16頁/共27頁第十七頁，共27頁。1. 已知圓已知圓 x2+y2+Dx+Ey+F=0的圓心坐標(biāo)為的圓心坐標(biāo)為(-2,3),半徑為半徑為4,則則D,E,F分別分別(fnbi)等于等于2. 2. x2+y2-2ax-y+a=0 是圓的方程的充要條

13、件是圓的方程的充要條件是是3 , 6, 4)( A3 , 6 , 4)( B3, 6 , 4)( C3, 6, 4)( D21)( aA21)( aB21)( aC21)( aDDD 練習(xí)練習(xí)(linx(linx) )第17頁/共27頁第十八頁，共27頁。3.圓圓x2+y2+8x-10y+F=0 與與x軸相切軸相切,則則這個(gè)圓截這個(gè)圓截y軸所得的弦長是軸所得的弦長是4.4. 點(diǎn)點(diǎn)A(3,5) 是圓是圓 x2+y2-4x-8y-80=0 的一條的一條(y tio)弦的中點(diǎn)弦的中點(diǎn),則這條弦所則這條弦所在的直線方程是在的直線方程是08 yx 練習(xí)練習(xí)(linx(linx) )6)(A5)(B4)(

14、C3)( DA第18頁/共27頁第十九頁，共27頁。因?yàn)橐驗(yàn)?yn wi)O(0,0),A (1,1),B(4,2)都在都在圓上圓上（4-a）2+（2-b）2=r2（a）2+（b）2=r2（1-a）2+（1-b）2=r2解：設(shè)所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為解：設(shè)所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x-a）2+（y-b）2=r2待定系數(shù)待定系數(shù)(xsh)法法方法(fngf)二：所求圓的方程為：所求圓的方程為：即（即（x-4）2+（y+3）2=25a=4b=-3r=5解得解得 舉例舉例例例1： 求過三點(diǎn)求過三點(diǎn)O(0，0)，M1 (1，1) ，M2（4，2）的方程，并求出這個(gè)圓的半徑和圓心坐標(biāo)的方程，并求出這個(gè)圓的半徑和圓

15、心坐標(biāo).第19頁/共27頁第二十頁，共27頁。 舉例舉例(j l)(j l)例例1： 求過三點(diǎn)求過三點(diǎn)O(0，0)，M1 (1，1) ，M2（4，2）的方）的方程程(fngchng)，并求出這個(gè)圓的半徑和圓心坐標(biāo)，并求出這個(gè)圓的半徑和圓心坐標(biāo).幾何幾何(j h)方法方法方法一：yxM1( (1, ,1) )M2( (4, ,2) )0第20頁/共27頁第二十一頁，共27頁。 舉舉例例(j (j l)l)例例1： 求過三點(diǎn)求過三點(diǎn)O(0，0)，M1 (1，1) ，M2（4，2）的方程的方程(fngchng)，并求出這個(gè)圓的半徑和圓心坐，并求出這個(gè)圓的半徑和圓心坐標(biāo)標(biāo).解：設(shè)所求圓的一般方程為解：

16、設(shè)所求圓的一般方程為：因?yàn)橐驗(yàn)?yn wi)O(0,0),A (1,1),B(4,2)都在圓上都在圓上，則，則222240) 0(DEFxyDx Ey FF=0D+E+F+2=04D+2E+F+20=0所求圓的方程為所求圓的方程為:x2+y2-8x+6y=0 即（即（x-4）2+（y+3）2=25待定系數(shù)法待定系數(shù)法方法三：F=0D=-8E=6解得解得第21頁/共27頁第二十二頁，共27頁。 小小結(jié)結(jié)(xioj(xioji)i)( (特殊特殊(tsh)(tsh)情況時(shí)情況時(shí), ,可借助圖象求解更簡單可借助圖象求解更簡單) )注意:求圓的方程時(shí),要學(xué)會(huì)根據(jù)題目條件(tiojin),恰當(dāng)選擇圓的方

17、程形式:若知道或若知道或涉及圓心和半徑涉及圓心和半徑,我們一般采用我們一般采用圓的圓的標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)方程方程較簡單較簡單.若已知若已知三點(diǎn)三點(diǎn)求圓的方程求圓的方程,我們常常采用我們常常采用圓圓的的一般一般方方程用待定系數(shù)法求解程用待定系數(shù)法求解. 第22頁/共27頁第二十三頁，共27頁。例例2. 已知一曲線是與兩定點(diǎn)已知一曲線是與兩定點(diǎn)O(0,0)、A(3,0)距離距離(jl)的比為的比為1/2的點(diǎn)的軌跡，求此曲的點(diǎn)的軌跡，求此曲線的方程，并畫出曲線線的方程，并畫出曲線. 舉例舉例(j l)(j l)2222222( , )(0)(0)12(3)(0)23064( 9)0 x yxyxyxyx 解：

18、設(shè)是所求曲線上的點(diǎn)，則由題意可得：兩邊平方化簡得：該曲線為圓.yx .O.（-1，0）A(3,0)M(x,y)直譯直譯(zhy)法法第23頁/共27頁第二十四頁，共27頁。 舉例舉例(j l)(j l)例例4. 已知線段已知線段AB的端點(diǎn)的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是（的坐標(biāo)是（4，3），端點(diǎn)），端點(diǎn)A在圓在圓(x+1)2+y2=4上運(yùn)動(dòng)上運(yùn)動(dòng)(yndng)，求線段，求線段AB的中點(diǎn)的中點(diǎn)M的軌跡的軌跡方程方程.解：設(shè)點(diǎn)解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)的坐標(biāo)(zubio)是（是（x,y）,點(diǎn)點(diǎn)A的坐標(biāo)的坐標(biāo)(zubio)為（為（x0,y0）由于由于B點(diǎn)坐標(biāo)為（點(diǎn)坐標(biāo)為（4，3），），M為為AB的中點(diǎn)，所的中點(diǎn)，所以以23,2400yyxx整理得整理得. 32, 4200yyxx又因?yàn)辄c(diǎn)又因?yàn)辄c(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)，所以在圓上運(yùn)動(dòng)，所以A點(diǎn)坐標(biāo)滿足點(diǎn)坐標(biāo)滿足 方程，又有方程，又有（x0+1）2+y02=4 所以所以（2x-4+1）2+(2y-3)2=4整理得整理得1)2