1、1 如何折成正多邊形【典例 1】 如圖 1， 在ABC 中， 已知BAC45，ADBC 于點 D， BD2， DC3， 求 AD 的長小萍同學靈活運用軸對稱的知識，將圖形進行翻折變換，巧妙地解答了此題請按照小萍的思路，探究并解答下列問題：(1)分別以 AB，AC 為對稱軸，畫出ABD，ACD 的軸對稱圖形，點 D 的對稱點分別為E，F，延長 EB，FC 交于點 G，求證：四邊形 AEGF 是正方形；(2)設 ADx，利用勾股定理，建立關于 x 的方程模型，求出 x 的值【點撥】先根據ABDABE，ACDACF，得出EAF90；再根據對稱的性質得到 AEAF，從而說明四邊形 AEGF 是正方形【

2、解析】(1)由題意，得ABDABE，ACDACF，DABEAB，DACFACBAC45，EAFEABBACFAC90ADBC，EADB90，FADC90四邊形 AEGF 為矩形又AEAD，AFAD，AEAF，四邊形 AEGF 是正方形(2)ADx，AEEGGFxBD2，DC3，BE2，CF3，BC5BGx2，CGx3在 RtBGC 中，BG2CG2BC2，(x2)2(x3)252，化簡，得 x25x60解得 x16，x21(舍去)，ADx6【跟蹤練習 1】同學們在小學階段做過這樣的折紙游戲：把一個長方形紙片經過折疊可以得到新的四邊形如圖 2，將長方形ABCD 沿 DE 折疊，使點A 與點 F

3、重合，再沿 EF剪開，即得圖 2中的四邊形 DAEF求證：四邊形 DAEF 為正方形【解析】矩形 ABCD 沿 DE 折疊，使點 A 與點 F 重合，DAEDFEDADF，DFEA四邊形 ABCD 是矩形，DFEAADF90四邊形 DAEF 為矩形又DADF，矩形 DAEF 為正方形【典例 2】折紙這種傳統(tǒng)手工藝術中蘊含著許多數學思想，我們可以通過折紙得到一些特殊圖形把一張正方形紙片按照圖3的過程折疊后展開課題學習3(1)猜想四邊形 ABCD 是什么四邊形；(2)請證明你所得到的數學猜想【點撥】解決本題的關鍵是熟練運用折疊的性質及正方形的性質，再結合的折疊過程進行合理猜想并論證2 折疊正多邊形

4、【解析】(1)四邊形 ABCD 是菱形(2)觀察折疊過程知，AMG 沿 AG 折疊，AM 落在 AC 上，MADDAC12MAC同理，可得CABNAB12CAN，DCAMCD12ACM，ACBNCB12ACN，MACNAC12MAN，MCANCA12MCN四邊形 AMCN 是正方形，MANMCN90，DACBACBCADCA，ADBC，ABDC，ADCD，四邊形 ABCD 為平行四邊形又ADCD，四邊形 ABCD 為菱形【跟蹤練習 2】將正方形 ABCD 折疊，使頂點 A 與 CD 邊上的點 M 重合，折痕交 AD 于點 E， 交 BC 于點 F， 邊AB折疊后與BC邊交于點G(如圖4)如果

5、M 為 CD 邊的中點，求證：DEDMEM345【解析】設正方形的邊長為 a，DEx，則 DMa2，EMEAax在DEM 中，D90，DE2DM2EM2，即 x2a22(ax)2，解得 x3a8EM5a8，DEDMEM345【典例 3】如圖 5，把矩形紙片 ABCD 沿對角線 BD 向上折疊，(1)在圖 5中用實線畫出折疊后得到的圖形(要求尺規(guī)作圖， 保留作圖痕跡，不寫作法)；(2)折疊后重合部分是什么圖形？說明理由課題學習5【點撥】(1)根據折疊的性質，可以作BDGBDC，再在 DG上截取 DEDC，即可畫出折疊后的圖形3 折疊與作圖(2)由折疊的性質及矩形的性質即可得出重合部分圖形的形狀【

6、解析】(1)方法不唯一：作BDGBDC，在射線 DG 上截取 DEDC， 連結 BE，如解圖，DEB 即為所求作的圖形(2)是等腰三角形證明：BDE 是BDC 沿 BD 折疊而成，FDBCDB四邊形 ABCD 是矩形， ABCD,ABDBDC，FDBABD，BDF 是等腰三角形【跟蹤練習 3】 如圖 6， 矩形紙片 ABCD 的邊長 AB4，AD2翻折矩形紙片，使點 A 與點 C 重合，折痕分別交 AB，CD 于點 E，F(1)在圖中用尺規(guī)作圖作出折痕EF所在的直線(保留作圖痕跡，不寫作法)；(2)求線段 AE 的長【解析】(1)連結 AC，作 AC 的垂直平分線，交 AB 于點 E，交 CD

7、 于點 F，如解圖【答案】(1)如解圖(2)52(2)如解圖，連結 CE四邊形 ABCD 是矩形，B90，BCAD2由翻折，得 AECE設 AEx，則 BE4x，CEx在 RtBCE 中，CE2BC2BE2，x222(4x)2，解得 x52AE52名師指津1 折疊后重合的兩個圖形全等，主要是利用重合的角相等，重合的邊相等2 折疊變換其實是軸對稱變換3 通過折痕來構造圖形的基本原理是：疊合可以產生全等圖形，由此產生一些相等的角和相等的邊，為所要構造的圖形提供合適的條件4 要折出的圖形是正多邊形時，如何產生各條相等的邊和各個相等內角是我們尋找折疊方法的主要出發(fā)點按時完成按時完成A A本課后訓練相關內容本課后訓練相關內容點此進入點此進入人有了知識，就會具備各種分析能力，明辨是非的能力。所以我們要勤懇讀書，廣泛閱讀，古人說“書中自有黃金屋。