1、第第20章章 陳列與組合陳列與組合分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理排排 列列組組 合合10.1 分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理 問題1某人從甲地到乙地，可以乘汽車、輪船或火車，一天中汽車有3班，輪船有2班，火車有1班一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法？ 問題2 某人從甲地出發(fā)，經(jīng)過乙地到達丙地從甲地到乙地有A，B，C共3條路可走；從乙地到丙地 有a，b共2條路可走那么，從甲地經(jīng)過乙地到丙地共有多少種不同的走法？10.1 分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理分類計數(shù)原理加法原理：分類計數(shù)原理加法原理： 假設(shè)完成一件事有

2、n類方法，在第1類方法中有k1種不同的方法，在第2類方法中有k2種不同的方法在第n類方法中有kn種不同的方法，那么，完成這件事共有 Nk1k2kn種不同的方法10.1 分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理 分步計數(shù)原理乘法原理：分步計數(shù)原理乘法原理：10.1 分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理 假設(shè)一件事需求分成n個步驟完成，做第1步有k1種不同的方法，做第2步有k2種不同的方法做第n步有kn種不同的方法，那么，完成這件事共有 Nk1k2kn種不同的方法例題解析 例1 書架上層放有5本不同的語文書，中層放有6本不同的數(shù)學(xué)書，下層放有4本不同的外語書求解以下問題

3、： 1從中任取1本，有多少種不同的取法？ 2從中任取語文、數(shù)學(xué)和外語書各1本，有多少種不同的取法？10.1 分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理 解1從書架上任取1本書，有3類方法：第1類方法是從上層取語文書，可以從5本書中任取1本，有5種方法；第2類方法是從中層取數(shù)學(xué)書，可以從6本書中任取1本，有6種方法；第3類方法是從下層取外語書，可以從4本書中任取1本，有4種方法根據(jù)分類計數(shù)原理，得到不同的取法的種數(shù)是 N5641510.1 分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理1從中任取1本，有多少種不同的取法？ 解 從書架上任取語文、數(shù)學(xué)和外語書各1本，可以分成3個步驟

4、完成：第1步是從上層取1本語文書，有5種方法；第2步是從中層取1本數(shù)學(xué)書，有6種方法；第3步是從下層取1本外語書，有4種方法根據(jù)分步計數(shù)原理，得到不同的取法的種數(shù)是 N564120 10.1 分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理 2從中任取語文、數(shù)學(xué)和外語書各1本，有多少種不同的取法？ 例2 甲、乙兩個同窗做“石頭、剪刀、布的游戲，出手一次，共有多少種不同的情況發(fā)生？假設(shè)三個人做此游戲，出手一次，又有多少種不同的情況發(fā)生？10.1 分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理 分析 雖然甲、乙兩個同窗是同時出手，但無妨看作甲先出手、乙后出手，這是兩個接連進展的過程 解

5、甲出手有3種選擇，乙出手也有3種選擇，所以兩人做游戲出手一次，共有339種不同的情況 類似地，假設(shè)甲、乙、丙三人做此游戲，出手一次，共有 33327種不同的情況 課堂練習(xí) 1在一次讀書活動中，指定的書目包括：不同的文學(xué)書3本，歷史書5本，科技書7本，某同窗恣意選讀其中1本，共有多少種不同的選法？ 2某班三好學(xué)生中男生有5人，女生有4人，從中任選1人去領(lǐng)獎，共有多少種不同的選法？從中任選男女各1人去參與座談會，共有多少種不同的選法？10.1 分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理 3某手機消費廠為某種機芯設(shè)計了3種不同的外形，每種外形又有5種不同顏色的外殼及6種不同的屏幕背景燈光，

6、問這種手機共可設(shè)計多少種不同的款式？ 4由1，3，5，7這4個數(shù)字組成的沒有反復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)共有多少個？10.1 分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理10.2 排排 列列 要從甲、乙、丙3名工人中選取2名，分別安排上日班和晚班，找出一切的選擇方法，將下表補充完好10.2 排排 列列 有分別編號的4個小球和3個盒子，要 選取其中的3個小球分別放入盒子中，每個盒子只能放一個球，下表已給出兩種放置方法，請他補充列出其他一切方法一、陳列與陳列數(shù)的概念一、陳列與陳列數(shù)的概念10.2 排排 列列10.2 排排 列列 從n個不同元素中取m個元素n，mN，mn的一切陳列的個數(shù)，稱為從n個不同的

7、元素中取出m個元素的陳列數(shù)，用符號P 表示mn10.2 排排 列列 普通地，從n個不同的元素中任取m個元素n，mN * ，mn，按照一定的順序排成一列，稱為從n個不同的元素中取出m個元素的一個陳列課堂練習(xí) 1判別以下問題是不是求陳列數(shù)的問題，假設(shè)是，請寫出相應(yīng)的陳列數(shù)的符號： 1把5只蘋果平均分給5個同窗，計算共有多少種分配方法 2從5只蘋果中取出2只給某位同窗，計算共有多少種選擇方法 310個人互寫一封信，計算共寫多少封信 410個人互通一次，計算共通幾次10.2 排排 列列 2按要求寫出陳列，并寫出相應(yīng)的陳列數(shù)的符號： 13個元素a，b，c全部取出的一切陳列 2從5個元素a，b，c，d，e

8、中任取2個元素的一切陳列10.2 排排 列列10.2 排排 列列二、陳列數(shù)公式二、陳列數(shù)公式25P10.2 排排 列列 求陳列數(shù)P ：假定有排好順序的m個空位，從n個不同的元素a1， a2 ， a3 ， an中任取m個去填空，一個空位填一個元素，每一種填法就對應(yīng)一個陳列因此，一切不同的填法的種數(shù)就是陳列數(shù)P 由此可得陳列數(shù)公式：10.2 排排 列列 陳列數(shù)公式的特點是：等號右邊第1個因數(shù)是n，后面的每個因數(shù)都比它前面一個因數(shù)少1，最后一個因數(shù)為nm1，共有m個因數(shù)相乘 根據(jù)分步計數(shù)原理，全部填滿m個空位共有 從n個不同元素中取出全部n個元素的一個陳列稱為n個元素的一個全陳列這時陳列數(shù)公式中mn

9、，即有 P nn1n2321 正整數(shù)1，2，3，n的連乘積稱為n的階乘，記作n！即nn10.2 排排 列列例題解析例1 計算以下各題：10.2 排排 列列 解2此題也可以直接用計算器計算計算 的按鍵過程為：計算 的按鍵過程為：10.2 排排 列列解 由于即解得所以例例2 假設(shè)假設(shè) ，求，求 10.2 排排 列列 例3有5本不同的書，發(fā)給3名同窗，每人1本，共有多少種不同的分法？35 解 分書方法的種數(shù)就是從5本書中任取3本書的陳列數(shù)，即 P 54360種 例4 某信號兵用紅、黃、藍3面旗掛在豎直的旗桿上表示信號，每次可以任掛1面、2面或3面，并且不同的懸掛順序表示不同的信號，一共可以表示多少種

10、信號？10.2 排排 列列種 解 用1面旗表示的信號有 種，用2面旗表示的信號有 種，用3面旗表示的信號有 種. 根據(jù)分類計數(shù)原理，所求信號種數(shù)是10.2 排排 列列 例5 用09這10個數(shù)字可以組成多少個沒有反復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？ 解法1 符合條件的三位數(shù)可以分為3類： 第1類：每位數(shù)字都不是0的三位數(shù)，有 個. 第2類：個位數(shù)字是0的三位數(shù)，有 個. 第3類：十位數(shù)字是0的三位數(shù)，有 個. 根據(jù)分類計數(shù)原理，符合條件的三位數(shù)的個數(shù)是10.2 排排 列列 解法2 由于百位上的數(shù)字不能是0，所以可分兩個步驟來完成： 第1步，先排百位上的數(shù)字，它只能從除0以外的19這9個數(shù)字中任選一個，有P 種選法

11、 第2步，再排十位和個位上的數(shù)字，它可以從余下的9個數(shù)字包括0中任選兩個，有P 種選法 根據(jù)分步計數(shù)原理，所求的三位數(shù)的個數(shù)是 解法3 從09這10個數(shù)字中任選3個數(shù)字的陳列數(shù)為P ，其中0排在百位上的陳列數(shù)為P ，因此所求的三位數(shù)的個數(shù)是 3102910.2 排排 列列10.2 排排 列列 例6以一切26個英文字符組成一個26位的密碼，規(guī)定在一個密碼中不出現(xiàn)一樣的字符，那么可以組成多少種不同的密碼？以單臺計算機去解密，假設(shè)計算機解密的速度是每秒鐘檢查107個不同的密碼，那么最多需求多少時間才干解密？結(jié)果以年為單位，保管6位有效數(shù)字 解26個英文字符是26個不同的元素，一個密碼是26個元素的一

12、個全陳列，總計密碼數(shù)是26的全陳列數(shù)所以組成的密碼數(shù)是26！ 計算機解密耗時最長的情況是直到最后一個才檢查到設(shè)置的密碼，此時耗時T為 所以，用題中所給計算機解密，最多需求時間約為12788.3億年 10.2 排排 列列 課堂練習(xí) 2 計算： 2假設(shè) ，求n。 3由0，1，2，3，5，7，9這7個數(shù)字能組成多少個沒有反復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？ 417人排隊，甲必需站在正中間有多少種排法？ 27人排隊，甲，乙必需站頭尾有多少種排法 10.2 排排 列列10.3 組組 合合 在一個4人甲、乙、丙、丁參與的小型任務(wù)會議上，任何一位與會者都要同其他與會者每人握手一次下表已給出兩次握手的雙方名單，請補充列出其他各

13、次握手的雙方名單10.3 組組 合合 列出各次握手的雙方名單就是要從4個人中選出兩人，且不計兩人間的順序，并將各種選法羅列出來 要從甲、乙、丙3名工人中選取2名，共同值晚班，有多少種選擇方法？請逐一列出 普通地，從n個不同元素中取出m個元素n，mN* ，mn，不思索順序組成一組，稱為從n個不同元素中取出m個元素的一個組合從n個不同元素中取出mmn個元素的一切組合的個數(shù)，稱為從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，用符號C 表示mn10.3 組組 合合一、組合與組合數(shù)的概念一、組合與組合數(shù)的概念例題解析 1在人數(shù)為60人的班級中，選出5人參與專業(yè)知識競賽，有多少種選法？ 2由20人組成的足球隊中，

14、除守門員外，還需選10人作為首發(fā)陣容，可組成多少種不同的首發(fā)陣容？又要在50名拉拉隊員中挑選20人前往助陣，有多少種挑選方案？10.3 組組 合合 例 把以下的問題歸結(jié)為組合問題，并寫出相應(yīng)的組合數(shù)的符號：10.3 組組 合合 2除去守門員，從19位球員中選10人出陣，由于10人將分別擔(dān)當(dāng)右后衛(wèi)、左前鋒等不同職責(zé)，因此與順序有關(guān)，是陳列問題，共有 種不同的首發(fā)陣容；選助陣?yán)爢T與順序無關(guān)，是組合問題，共有 種挑選方案 10192050560 解 1普通來說，專業(yè)知識競賽的選手之間無分工問題所以選擇過程與順序無關(guān)，是組合問題，共有C 種選法課堂練習(xí) 1把以下的問題歸結(jié)為組合問題，并寫出相應(yīng)的組

15、合數(shù)的符號： 16位朋友相互握手道別，共握手多少次？ 26道習(xí)題恣意選做4道題，有多少種不同的選法？ 3正16邊形有多少條對角線？10.3 組組 合合 2按要求寫出以下組合： 1從5個元素a，b，c，d，e中任取2個元素的一切組合 2從4個元素a，b，c，d中任取3個元素的一切組合10.3 組組 合合10.3 組組 合合二、組合數(shù)公式二、組合數(shù)公式34 第1步，從個不同元素中取出個元素作組合，共有 種。34 從個不同元素中取個元素的陳列數(shù) ：10.3 組組 合合 通常，從n個不同元素中取出m個元素的陳列數(shù)P ，可以按以下兩步求得： 第1步，先求出從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)C .mnm

16、n33 第2步，對每一個組合中的3個不同元素作全陳列，各有P 6種 根據(jù)分步計數(shù)原理，得 因此 由此得到組合數(shù)公式：10.3 組組 合合mn 第2步，求每一個組合中m個元素的全陳列數(shù)P .根據(jù)分步計數(shù)原理，得10.3 組組 合合 組合數(shù)C 同樣也可以利用計算器直接計算，其按鍵順序是：mn 由于 所以組合數(shù)公式還可寫成 根據(jù)組合數(shù)公式，當(dāng)mn時有例題解析10.3 組組 合合例例1計算：計算：解10.3 組組 合合 解 由于12個點中任何3個點都不在同不斷線上，所以任取3個點都可以畫出一個三角形因此所求三角形的個數(shù)，就是從12個不同的元素中取出3個元素的組合數(shù)，即 所以一共可畫220個三角形 例2

17、 平面內(nèi)有12個點，任何3個點不在同不斷線上，以每3個點為頂點畫一個三角形，一共可畫多少個三角形？ 解 設(shè)與會的人數(shù)為n根據(jù)題意，相互握手的次數(shù)為C 15，即 解得 所以，共有6人參與這次集會 2n10.3 組組 合合 例3 一次小型聚會，每一個與會者都和其他與會者握一次手，共有15次握手，問有多少人參與這次聚會？ 例4100件商品中含有3件次品，其他都是正品，從中任取3件： 13件都是正品，有多少種不同的取法？ 23件中恰有1件次品，有多少種不同的取法？ 33件中最多有1件次品，有多少種不同的取法？ 43件中至少有1件次品，有多少種不同的取法？ 解 由于3件都是正品，所以應(yīng)從97件正品中取，

18、一切不同取法的種數(shù)是 10.3 組組 合合10.3 組組 合合 解 從97件正品中取2件，有C 種取法；從3件次品中取1件，有C 種取法因此，根據(jù)分步計數(shù)原理，任取的3件中恰有1件次品的不同取法的種數(shù)是 2971323件中恰有1件次品，有多少種不同的取法？ 解 件中最多有件次品的取法，包括只需件是次品和沒有次品兩種，其中只需件是次品的取法有C C 種，沒有次品的取法有C 種，因此，3件中最多有1件次品的取法的種數(shù)是1329739710.3 組組 合合33件中最多有1件次品，有多少種不同的取法？ 解 3件中至少有1件次品的取法，包括1件是次品，2件是次品和3件是次品，因此3件中至少有1件次品的取法的種數(shù)是 10.3 組組 合合43件中至少有1件次品，有多少種不同的取法？課堂練習(xí) 210.3 組組 合合計算： 2平面內(nèi)有8個點，其中只需3個點在一條直線上，過每2個點作一條直線，一共可以作幾條直線？ 3從2，3，5，7，11這5個數(shù)中任取2個相加，可以得到多少個不同的和？10.3 組組 合合三、組合數(shù)的性質(zhì)三、組合數(shù)的性質(zhì) 在普通情況下：從n個元素中選出m個元素的組合數(shù)，與從n個元素中選出nm個元素的